六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)奧數(shù)培優(yōu) 第02講 整除問(wèn)題綜合（教師版）

第2講整除問(wèn)題綜合第2講整除問(wèn)題綜合六年級(jí)秋季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)數(shù)論綜合提高一（六上）1、整除

（1）整除定義：

如果整數(shù)a除以整數(shù)b（b不等于0），除得的商是整數(shù)且沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，也可以說(shuō)b能整除a，記作b|a．

（2）

特殊數(shù)的整除特征

（a）尾數(shù)判斷法

能被2、5整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字能被2或5整除；

能被4、25整除的數(shù)的特征：末兩位能被4或25整除；

能被8、125整除的數(shù)的特征：末三位能被8或125整除．

（b）截?cái)嗲蠛头?/p>

能被9、99、999及其約數(shù)整除的數(shù)的特征．

（c）截?cái)嗲蟛罘?/p>

能被11、101、1001及其約數(shù)整除的數(shù)的特征．

（d）分解判定法

一些復(fù)雜整數(shù)的整除性，例如63、72等，可以把它們分拆成互質(zhì)的整數(shù)，分別驗(yàn)證整除性．

特別地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001

（3）常用整除性質(zhì)

性質(zhì)1：如果c|a，c|b，那么c|(a+b)、c|(a-b)．

性質(zhì)2：如果bc|a，那么b|a，c|a．

性質(zhì)3：如果b|a，c|a，且（b，c）=1那么bc|a．

性質(zhì)4：如果c|b，b|a，那么c|a．

（4）整除的一些基本方法

（a）分解法

分解得到的數(shù)有整除特性．

兩兩互質(zhì)．

（b）數(shù)字謎法

被除數(shù)的末位已知

除數(shù)變?yōu)槌朔〝?shù)字謎的第一個(gè)乘數(shù)．

（c）試除法

除數(shù)比較大．

被除數(shù)的首位已知．

（d）同除法

被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)除以相同的數(shù)．

簡(jiǎn)化后的除數(shù)有整除特征．2、質(zhì)數(shù)合數(shù)

（1）質(zhì)數(shù)與合數(shù)的定義

質(zhì)數(shù)是只能被1和自身整除的數(shù)；合數(shù)是除了1和它本身之外，還能被其他數(shù)整除的數(shù)．

（2）分解質(zhì)因數(shù)

分解質(zhì)因數(shù)是把一個(gè)數(shù)寫成質(zhì)因數(shù)相乘的形式．典型題型1、整除

（1）基本整除問(wèn)題：對(duì)各種整除的判別法要非常熟悉，尤其是9和11這種常見數(shù)字．

（a）9的考點(diǎn)：亂切法；

（b）11的考點(diǎn)：

奇位和減偶位和；

兩位截?cái)嗲蠛停?/p>

三位截?cái)?，奇段和減偶段和．

（2）整除的性質(zhì)和使用；

（3）

整除與位值原理

（4）整除方法在數(shù)字迷中的應(yīng)用2、質(zhì)數(shù)合數(shù)

（1）質(zhì)數(shù)合數(shù)填數(shù)字：注意2和5的特殊性；

（2）判斷大數(shù)是否為質(zhì)數(shù)：逐一試除法；

（3）末尾0的個(gè)數(shù)問(wèn)題：層除法．備注備注本講主要包括與整除、分解質(zhì)因數(shù)相關(guān)的內(nèi)容，需要熟練掌握所有相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，大部分題型之前已經(jīng)接觸過(guò)．一些題目可能涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，或者利用代數(shù)式、方程求解．課堂例題課堂例題整除性判斷1、（1）五位數(shù)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，如它能被75整除，那么這個(gè)五位數(shù)可能是多少？（2）如果六位數(shù)能被624整除，則三個(gè)方格中的數(shù)是多少？（3）末三位是999的自然數(shù)能被29整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？【答案】

（1）30675、38625或39675（2）504（3）26999【解析】

（1），故某兩位為25的倍數(shù)，原數(shù)只能為或．再結(jié)合數(shù)字和為3的倍數(shù)且無(wú)重復(fù)數(shù)字，進(jìn)而得到五位數(shù)為38625、30675或39675．（2），故末三位與120的和為624的倍數(shù)，只能為．（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法豎式形式的數(shù)字謎：，解得最小為．2、（龍校六年級(jí)秋季）將自然數(shù)1、2、3、…、N依次寫下去組成一個(gè)數(shù)“12345678910111213…”，該數(shù)恰好能被36整數(shù)，N最小是________，如果N小于200，共有_______種這樣的情況．【答案】

10【解析】

．由4和9的整除特征，時(shí)均不滿足要求．故，化簡(jiǎn)得或，即或，最小值為，在2015內(nèi)共10個(gè)．最值問(wèn)題3、一個(gè)各位數(shù)字互不相同的五位數(shù)可以被9整除，去掉末兩位之后形成的三位數(shù)可以被23整除，這個(gè)五位數(shù)的最小值等于多少？最大值呢？【答案】

13806；94365【解析】

前三位滿足被23整除且各位數(shù)字互不相同的最小、最大三位數(shù)分別是138、943，易知13806即為最小數(shù)，94365即為最大數(shù)．4、（龍校五年級(jí)春季）六位數(shù)中各位數(shù)字互不相同，它能被11整除，那么這樣的六位數(shù)最小是多少？【答案】

470129【解析】

最小為470123，而其被11除余5，故加6即可．而無(wú)重復(fù)數(shù)字，符合要求，因此470129即為所求．乘積的整除性或分解形式5、已知是495的倍數(shù)，其中a，b，c分別代表不同的數(shù)字．請(qǐng)問(wèn)：三位數(shù)是多少？【答案】

865【解析】

由，得：要同時(shí)能被5、9、11整除．由個(gè)位數(shù)字可以推斷，不能被5整除；又由11的整除性質(zhì)可以推斷，不能被11整除．所以既是5的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)，只能是605．由于605不能被9整除，所以必須能被9整除．由是9的倍數(shù)，推出，所以．6、72乘以一個(gè)三位數(shù)后，正好得到一個(gè)立方數(shù)．這個(gè)三位數(shù)最大是多少？【答案】

648【解析】

，故三位數(shù)形式為．由可知．，故三位數(shù)最大為．乘積末尾0的個(gè)數(shù)7、設(shè)，請(qǐng)問(wèn)：（1）N的末尾一共會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”？（2）用N不斷除以12，直到結(jié)果不能被12整除為止，一共可以除以多少次12？【答案】

（1）426個(gè)（2）850次【解析】

（1）明顯中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)比質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)多，所以末尾有多少個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”由質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)決定．先求出的乘積中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)，再減去的乘積中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)，就是N中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)．用層數(shù)法計(jì)算的乘積中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)：（算式中的余數(shù)略去不寫），，，，個(gè)；用層數(shù)法計(jì)算的乘積中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)：（算式中的余數(shù)略去不寫），，，個(gè)；所以N中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)是個(gè)，故N的末尾一共會(huì)出現(xiàn)426個(gè)連續(xù)的數(shù)字“0”．（2），所以分別看N中質(zhì)因數(shù)2和3的個(gè)數(shù)即可．用層數(shù)法計(jì)算的乘積中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)：（算式中的余數(shù)略去不寫），，，，，，，，，，個(gè)；用層數(shù)法計(jì)算的乘積中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)：（算式中的余數(shù)略去不寫），，，，，，，，個(gè)；用層數(shù)法計(jì)算的乘積中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)：（算式中的余數(shù)略去不寫），，，，，，個(gè)；用層數(shù)法計(jì)算的乘積中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)：（算式中的余數(shù)略去不寫），，，，，個(gè)；所以N中有個(gè)2，有個(gè)3．因?yàn)?，所以一共可以除?50次12．8、在數(shù)列1，4，7，10，13，16，19，……中，如果前n個(gè)數(shù)的乘積的末尾0的個(gè)數(shù)比前個(gè)數(shù)的乘積的末尾0的個(gè)數(shù)少3個(gè)，那么n最小是多少？【答案】

83【解析】

易知乘積分解質(zhì)因數(shù)必然是“2多5少”，故第個(gè)數(shù)位125的倍數(shù)且不為625的倍數(shù)，即，k最小為2，進(jìn)而n最小為．分解質(zhì)因數(shù)9、兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場(chǎng)乒乓球比賽，采取三局兩勝制．每局先得11分者為勝，如果打到10平，則先多得2分者為勝．結(jié)果三局比賽下來(lái)，單方最高得分都不超過(guò)20分，把每人每局得分乘在一起恰為480480．請(qǐng)問(wèn)：各局的比分分別是多少？（按大比小的方式寫出）【答案】

16:14，15:13，11:1【解析】

由于480480能被13整除，而單局的比分又不能超過(guò)20分，因此6個(gè)得分中一定有一個(gè)是13，那么這場(chǎng)比賽的得分可能是15:13，或13:11．情況1：如果一場(chǎng)比賽的比分是15:13，那么另外四個(gè)得分乘積就是．11一定是其中的一個(gè)得分，而另外三個(gè)得分中一定有7或者14．①如果7是其中一個(gè)得分，那么這場(chǎng)比賽的比分就是11:7，而第三場(chǎng)比賽的比分乘積是，這種情況下湊不出滿足比賽規(guī)則的比分．②如果14是其中一個(gè)得分，那么這場(chǎng)比賽的比分只能是16:14，此時(shí)第三場(chǎng)比賽比分是11:1，滿足要求．情況2：如果一場(chǎng)比賽的比分是13:11，那么另外四個(gè)得分乘積就是．由于11已經(jīng)在13:11中出現(xiàn)，那么剩下的兩場(chǎng)比賽的得分中就沒(méi)有11，只能從20:18，19:17，……，12:10中選擇．因此余下的四個(gè)得分都要不小于10．但是注意到這四個(gè)得分的乘積是，而已經(jīng)超過(guò)3360，因此這種情況下也沒(méi)有滿足要求的結(jié)果．綜合以上分析，得到了唯一滿足要求的答案——3局比賽的比分為16:14，15:13，11:1．10、（2008年金帆六秋）101個(gè)連續(xù)的非零自然數(shù)的和恰好是四個(gè)不同的質(zhì)數(shù)的積，那么這個(gè)最小的和應(yīng)該是__________．【答案】

6666【解析】

設(shè)中間數(shù)（即第51個(gè)數(shù)）為，則，且101個(gè)數(shù)總和為，所以可表示為四個(gè)不同質(zhì)數(shù)乘積．由于101為質(zhì)數(shù)，故能表示為3個(gè)不同質(zhì)數(shù)乘積．從51向上逐一試驗(yàn)，得最小的為66，總和為6666．其它11、在6和15之間插入30，可以得到6、30、15這樣一串?dāng)?shù)，其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和都可以整除它們的乘積．請(qǐng)你在3與4之間插入兩個(gè)非零自然數(shù)，使得其中每相鄰兩個(gè)數(shù)的和可以整除它們的乘積．【答案】

6、12【解析】

設(shè)插入的非零自然數(shù)為a、b．為整數(shù)，故；為整數(shù)，故或12．經(jīng)驗(yàn)證，不是整數(shù)，是整數(shù)．因此，應(yīng)插入6、12．12、（2012高思杯六年級(jí)）小羊的手機(jī)密碼是一個(gè)四位數(shù)，其中每個(gè)數(shù)字都是1到5中的數(shù)字，已知這個(gè)四位數(shù)滿足以下條件：（1）沒(méi)有重復(fù)數(shù)字；（2）是3的倍數(shù)；（3）是5的倍數(shù)；（4）相鄰兩數(shù)之差不超過(guò)2．根據(jù)以上條件，可以算出小羊的密碼是__________．【答案】

1425【解析】

首先，因?yàn)闆](méi)有重復(fù)數(shù)字，且是3的倍數(shù)，可知這四位數(shù)由1、2、4、5這四個(gè)數(shù)字組成．又因?yàn)槭?的倍數(shù)，因此末位是5．根據(jù)“相鄰兩數(shù)之差不超過(guò)2”，可知十位只能是4，所以百位是2，千位是1．13、（龍校六年級(jí)秋季）某商店僅有紅藍(lán)兩種不同的筆，同種顏色的筆的單價(jià)相同，兩種筆的單價(jià)均是整數(shù)元，且兩種筆的單價(jià)之和為19元．又知若用65元錢去該店買筆，無(wú)論怎樣買都不可能把錢恰好花光．求兩種筆的單價(jià)之差．【答案】

5元【解析】

每種單價(jià)均不為的約數(shù)，因?yàn)槿裟撤N單價(jià)a元滿足，則兩種各買k支，剩下的錢全買單價(jià)a元的必能將前花光．這樣，65、46、27、8的所有約數(shù)均不為單價(jià)，可排除1、5、13、2、3、9、4、8，只可能為，價(jià)差為元．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、（1）六位數(shù)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，如它能被36整除，那么這個(gè)六位數(shù)是多少？（2）如果六位數(shù)能被324整除，則三個(gè)方格中的數(shù)是多少？（3）末三位是999的自然數(shù)能被23整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？【答案】

（1）105372（2）220、544或868（3）20999【解析】

（1），故原數(shù)為4的倍數(shù)，個(gè)位可能為2或6．再考慮其為9的倍數(shù)，若個(gè)位為2，則千位5；若個(gè)位為6，則千位為1，矛盾．因此，為102375．（2），故即滿足要求，進(jìn)而、也滿足要求．（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法豎式形式的數(shù)字謎：，解得最小為．2、（龍校六年級(jí)秋季）將自然數(shù)1、2、3、…、N依次寫下去，形成一個(gè)多位數(shù)“12345678910111213…”，該數(shù)能被45整數(shù)，N最小是________；如果N小于2012，共有________種這樣的情況．【答案】

35；88【解析】

．由5和9的整除特征，有，化簡(jiǎn)得或，即或，最小值為．從1開始每45個(gè)數(shù)有2個(gè)符合要求，在2015內(nèi)共個(gè)（最后剩余的部分沒(méi)有滿足要求的數(shù)）．3、2011年，海淀區(qū)，某頂級(jí)大學(xué)附中）已知是396的倍數(shù)，其中、、分別代表不同的數(shù)字．請(qǐng)問(wèn)：三位數(shù)是．【答案】

22【解析】

是396的倍數(shù)，也就是說(shuō)可被4、9、11整除．首先能判斷被4整除的只能是．其次，若被9整除，則，且不能被11整除，則除被4整除外還需被11整除，可以發(fā)現(xiàn)為，與題目要求的“、、分別代表不同的數(shù)字”相互矛盾，不可行；所以考慮若被11整除，則，且不能被9整除，則除被4整除外還需被9整除，所以可以為5004或9000．所以為548或908．4、一個(gè)各位數(shù)字互不相同的四位數(shù)可以被9整除，去掉末兩位之后形成的兩位數(shù)可以被29整除，這個(gè)四位數(shù)的最大值等于多少？最小值呢？【答案】

8793【解析】

前兩位最大為，百位最大為9，進(jìn)而個(gè)位為，滿足要求，故最大值為8793；前兩位最小為29，百位最小為0，進(jìn)而個(gè)位為，滿足要求，故最小值為2907．5、（2014年金帆五秋）在2009后面補(bǔ)上三個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使得這個(gè)七位數(shù)能被2，3，4，5，6整除，那么當(dāng)補(bǔ)上的三個(gè)數(shù)字的和最大時(shí)，所補(bǔ)的三個(gè)數(shù)字是__________．【答案】

940【解析】

易知七位數(shù)為10的倍數(shù)，末尾為0，此時(shí)只需七位數(shù)是3和4的倍數(shù)即可．根據(jù)3的整除特征，易知補(bǔ)充的另外兩個(gè)數(shù)之和被3除余1，理論上最大為16，且880即滿足要求．因此，所填三個(gè)數(shù)的數(shù)字之和最大為16．6、（金帆六年級(jí)秋季）有8個(gè)盒子，各盒中分別裝有奶糖9，13，24，28，30，31，37，44塊．甲先取走一盒，其余各盒被乙、丙、丁三人取走．已知乙、丙取走的糖的塊數(shù)相同且為丁的兩倍，問(wèn)：甲取走的一盒中有多少塊奶糖？【答案】

31【解析】

設(shè)丙取走1份，則乙、丙各取2份，三人總和為5份，即塊數(shù)為5的倍數(shù)．8盒總數(shù)被5除余1，因此甲的塊數(shù)被5除也余1，只可能為31塊．課后作業(yè)課后作業(yè)1、五位數(shù)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，如果它能被225整除，那么這個(gè)五位數(shù)是選項(xiàng)（）．A．38025B．37025C．38075【答案】

A

【解析】

，只有38025是9的倍數(shù)．2、已知六位數(shù)是99的倍數(shù)，那么這個(gè)六位數(shù)是______．A．260172B．250173C．200102【答案】

A

【解析】

B個(gè)位不是2，A、C中只有A兩位截?cái)嗲蠛蜑?9的倍數(shù)．3、的末尾有________個(gè)連續(xù)的0．【答案】

75【解析】

顯然只需要統(tǒng)計(jì)5的次數(shù)即可．，，，故含個(gè)5；，，，故含個(gè)5．因此，原式含5的次數(shù)為，即乘積末尾有75個(gè)連續(xù)的0．4、兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是1190，則這兩個(gè)數(shù)中較小的是___________________．【答案】

34【解析】

將1190分解質(zhì)因數(shù)，，易得，．5、太上老君煉仙丹，第一次煉一丹，第二次煉三丹，第三次煉五丹，第四次煉七丹，……，顆顆煉成不老長(zhǎng)生丹．然后裝入金葫蘆，每個(gè)葫蘆六十丹，恰裝滿葫蘆若干．已知丹數(shù)不足千，問(wèn)共煉________仙丹．【答案】

900【解析】

．，故，進(jìn)而，即n為30的倍數(shù)，顯然只有符合要求．6、在等差數(shù)列1，8，15，22，29，36，43，中，如果前n個(gè)數(shù)乘積的末尾0的個(gè)