數(shù)與式中考復(fù)習(xí)建議剖析

“數(shù)與式”專題中考復(fù)習(xí)幾點建議數(shù)與式在義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程中占有重要地位，有著重要的教育價值．“數(shù)與式”主要包括數(shù)與式的有關(guān)概念和運算，以及用數(shù)或式表示各種情境中的數(shù)量關(guān)系，它們是初中數(shù)學(xué)中最為基礎(chǔ)的內(nèi)容．從知識角度來看，這部分內(nèi)容極為突出地體現(xiàn)著其基礎(chǔ)性與核心性；從技能角度看，這部分內(nèi)容體現(xiàn)著其結(jié)果的確定性和操作的靈活性；從其功能的角度看，這部分知識有著極為廣泛的應(yīng)用性和工具性．因此是中考命題的熱點問題，縱觀這幾年的中考題，年年都考，在中考試卷中也大都以容易題和中檔題的形式出現(xiàn)。一．內(nèi)容特點分析1．自身的結(jié)構(gòu)特點這部分知識的自身結(jié)構(gòu)特點概括地說有以下三個方面：“數(shù)”和“式”的本質(zhì)意義都是用來表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的；教材中，“數(shù)”是沿著由“算術(shù)數(shù)”到有理數(shù)再到實數(shù)這樣的系列擴展的，相應(yīng)地，“式”是沿著由整式到有理式（引入分式）再到根式這樣的系列擴展的．而兩個系列之間，由于“用字母表示數(shù)”的生成過程是由“特殊”向“一般”發(fā)展，這便使兩個系列之間具有良好的類比關(guān)系；數(shù)和式的有關(guān)運算構(gòu)成了這部分知識的核心內(nèi)容．由于數(shù)和式是兩個逐步擴張的知識系列，所以相關(guān)概念就比較多，其間的轉(zhuǎn)化關(guān)系也比較多．其層層遞進并形成新知識的邏輯思維過程也大量蘊涵其中，對培養(yǎng)能力有重要的價值．2．在初中數(shù)學(xué)中的地位“數(shù)與式”在初中數(shù)學(xué)中的地位主要體現(xiàn)在它的基礎(chǔ)性和廣泛的應(yīng)用性上：從內(nèi)容構(gòu)成來看，“數(shù)與式”不僅是方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等知識表達和運算的基礎(chǔ)，而且也是許多圖形問題中有關(guān)數(shù)量表達與計算的基礎(chǔ)；從數(shù)學(xué)思想方法的角度來看，這部分知識所蘊含的思想方法對后繼知識的學(xué)習(xí)具有十分重要的作用，如，轉(zhuǎn)化的思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、類比思想等對方程、不等式、函數(shù)的研究，以及幾何和概率等內(nèi)容的學(xué)習(xí)具有重要的指導(dǎo)意義．此外，“數(shù)與式”這部分內(nèi)容中所滲透的“數(shù)感”和“符號感”也是理解方程和函數(shù)意義的本質(zhì)及進行相關(guān)運用的基礎(chǔ)．二．“數(shù)與式”的中考內(nèi)容要求．中考復(fù)習(xí)的依據(jù)：新課程標(biāo)準(zhǔn)；考試說明．兼顧教材．特別是考試說明依據(jù)新課標(biāo)又從全面復(fù)習(xí)的角度，重新解讀了新課標(biāo)和教材．考試說明中將《數(shù)與式》的內(nèi)容從基本要求、略高要求、較高要求三個層面上進行了知識和技能，過程和方法，情感價值觀三個維度的具體目標(biāo)的解讀．三．“數(shù)與式”的考點題型分析．隨著對《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》——新課標(biāo)理解的進一步深入，2012年各地中考試卷關(guān)于“數(shù)與式”的考法更加注意體現(xiàn)這部分內(nèi)容的結(jié)構(gòu)特點，具體可歸結(jié)為如下的幾個方面：1．考查對數(shù)與式基本概念的理解例1（2011陜西）的相反數(shù)是（）A． B． C． D．例2（2012貴州）數(shù)字，，，，，，中是無理數(shù)的有（）個． A． 1 B． 2 C．3 D．4例3（2012湖北）若與互為相反數(shù)，則的值為（）A．3B．9C．12D．27例4(2012北京)首屆中國（北京）國際服務(wù)貿(mào)易交易會（京交會）于2012年6月1日閉幕，本屆京交會期間簽訂的項目成交總金額達60110000000美元，將60110000000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（）A． B． C． D．例1考查是否真正理解了相反數(shù)的概念；例2考查無理數(shù)的概念，特殊角的三角函數(shù)值；例3考查了“絕對值”和“平方數(shù)”的非負性質(zhì)，以及絕對值的意義和“相反數(shù)”的意義．例4考查了科學(xué)記數(shù)法.四道題目均有助于提高試卷的效度和可推廣性．考法評析：突現(xiàn)所考知識的“基礎(chǔ)性”及其基本的認知要求，是四道題目的共同特點.2．考查對數(shù)與式有關(guān)性質(zhì)的掌握例1（2012湖南）實數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列各式正確的是（）A.B.C.D.例2（2012貴州）若分式無意義，則的值為．例3（2012湖北）已知，則的取值范圍是（）A． B． C． D．例1考查實數(shù)與數(shù)軸，不等式的性質(zhì)，絕對值；例2考查分式在什么情況下無意義以及絕對值的意義；例3考查平方根的意義和性質(zhì)．考法評析：三道題目都圍繞著基本性質(zhì)，構(gòu)題簡明，目標(biāo)明確，具有較好的效度．3．考查對數(shù)與式運算法則的掌握例1（2012福州）下列計算正確的是（）A．B．·C．D．例2（2012湛江）下列運算中，正確的是（）A．B．C．·D．例3（2012杭州）下列計算正確的是（）A．B．C．D．考法評析：數(shù)、式的運算法則是極為重要的基礎(chǔ)知識，有必要進行針對性的考查．本例的三道題目以不同的方式考查了掌握運算法則和運算性質(zhì)的情況，同底數(shù)冪的乘法和除法；合并同類項；冪的乘方與積的乘方.這樣的題目有著較好的效度．4．考查數(shù)與式的運算及變形的技能例1（2012南昌）已知，，則（） A． 10 B． 6 C．5D．3例2（2012北京）分解因式：．例3（2012廣東）已知，，求代數(shù)式的值．例4（2010常州）若實數(shù)滿足，則_______.例1考查乘法公式的變形拓廣應(yīng)用；例2考查會用提公因式法和公式法對代數(shù)式進行變形后因式分解；例3考查用因式分解法將分式運算化簡變形后再代入求值．例4考查對代數(shù)式進行變形，再用整體代入思想簡化運算，求出代數(shù)式的值.考法評析：掌握數(shù)與式的運算及變形技能，是學(xué)習(xí)數(shù)與式的重要目的之一，也是提高運算能力的重要基礎(chǔ)．這樣的題目既有對運算規(guī)范的要求，也有對運算靈活運用的要求，具有較好的效度和可推廣性．5．考查數(shù)與式基本的列式能力例1（2012宜昌）根據(jù)《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要》，教育經(jīng)費投入應(yīng)占當(dāng)年GDP的4%．若設(shè)2012年GDP的總值為n億元，則2012年教育經(jīng)費投入可表示（）億元．A．B．C．D．例2：（2012安徽）某企業(yè)今年3月份產(chǎn)值為萬元，4月份比3月份減少了10%，5月份比4月份增加了15%，則5月份的產(chǎn)值是（）萬元A．B．C．D．例1和2體現(xiàn)了代數(shù)式的抽象性（在某種程度上也是數(shù)學(xué)抽象性的表現(xiàn)），這樣的試題針對性強，突出了列代數(shù)式的重要性，試題有較好的效度和可推廣性．考法評析：列出代數(shù)式表達各種情景中的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系，是學(xué)習(xí)“數(shù)與式”極為重要的目的．以上兩題所考查的就是這個目的所對應(yīng)的列式能力，6．借助圖形，考查數(shù)與式數(shù)形結(jié)合的能力例1（2011蕪湖）從邊長為cm的正方形紙片中剪去一個邊長為cm的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個矩形（不重疊無縫隙），則矩形的面積為（）.A．B．C．D．例2（2012柳州）如圖，給出了正方形ABCD的面積的四個表達式，其中錯誤的是（）A．B．C．D．考法評析：像這樣的試題，以式的建立和表達為基礎(chǔ)，把圖形直觀和其中蘊含的數(shù)量關(guān)系與式的表達有機地結(jié)合起來，考查考生運用代數(shù)與幾何的相關(guān)知識解決問題．因此，這樣的題目，既突出了對數(shù)形結(jié)合思想的考查，又突出了對分析問題與解決問題能力的考查．7．借助數(shù)與式發(fā)現(xiàn)規(guī)律，考查歸納的能力例1（2012重慶）下列圖形都是由同樣大小的五角星按一定的規(guī)律組成，其中第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有8個五角星，第③個圖形一共有18個五角星，…，則第⑥個圖形中五角星的個數(shù)為（）A．50B．64C．68D．72分析：先根據(jù)題意求找出其中的規(guī)律，即可求出第⑥個圖形中五角星的個數(shù)．解答：第①個圖形一共有2個五角星，第②個圖形一共有：2+（3×2）=8個五角星，第③個圖形一共有8+（5×2）=18個五角星，…第n個圖形一共有：1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n－1）=2[1+3+5+…+（2n－1）]則第（6）個圖形一共有：2×62=72個五角星；考法評析：考查了圖形變化規(guī)律的問題，把五角星分成三部分進行考慮，并找出第個圖形五角星的個數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵．例（2012鹽城）已知整數(shù)滿足下列條件：，，，，…，依次類推，則的值為（）A．－1005B．－1006C．－1007D．－2012分析：根據(jù)條件求出前幾個數(shù)的值，再分是奇數(shù)時，結(jié)果等于，是偶數(shù)時，結(jié)果等于，然后把的值代入進行計算即可得解．考法評析：本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，根據(jù)所求出的數(shù)，觀察出n為奇數(shù)與偶數(shù)時的結(jié)果的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．四．“數(shù)與式”考點的再思考1．準(zhǔn)確與靈活是“運算”之本；靈活運用運算法則，運算律和運算性質(zhì)，對以下幾道中考試題，我們給出新的解法，請同學(xué)們感悟“靈活”的意義和作用。例1.化簡：解：原式先把除法轉(zhuǎn)換成乘法，再用分配律例2.計算：解：原式先從括號內(nèi)提出“公因式”而后約分以上兩題是中考題，也都是較容易的題，從每一道題的解法可以看出：越是能適時而恰當(dāng)運用“運算律”，“公式”“性質(zhì)”等，則越可使運算步驟減少，過程簡化。所以，越是善于將算法、算律、公式、性質(zhì)聯(lián)合運用，越能提高運算的準(zhǔn)確性和過程的簡約性.2.深入把握“數(shù)”、“式”的性質(zhì)用活數(shù)的構(gòu)成和表示例1.計算：歸納各計算結(jié)果中的個位數(shù)字規(guī)律，猜測的個位數(shù)是（）A.2B.4C.6D.8分析：考查的個位數(shù)的出現(xiàn)規(guī)律用活“數(shù)”、“式”的大小關(guān)系例2.若，則之間的大小關(guān)系.分析：方法一（做差法）當(dāng)時，方法二（特數(shù)值法）令考點評析：由本題可以看出，數(shù)與式的大小問題，都是以實數(shù)的大小關(guān)系為基礎(chǔ)的，所以，掌握實數(shù)的大小關(guān)系，是非常重要的。3．?dāng)?shù)與式的新題型例1.計算的結(jié)果估計在（）A．6至7之間B．7至8之間C．8至9之間D．9至10之間分析：先對二次根式化簡為，再估計的大小，尋找最接近的兩個整數(shù)3和4，再利用這兩個證書確定范圍.例2.已知，（為任意實數(shù)），則的大小關(guān)系？分析：例3．若，則M的值一定是().A．正數(shù)B.負數(shù)C.零D.整數(shù)分析：因為顯然不能同時成立，所以，.例4.在一條筆直的公路邊，有一些樹和路燈，每相鄰的兩盞燈之間有3棵樹，相鄰的樹與樹，樹與燈間的距離是10cm，如圖，第一棵樹左邊5cm處有一個路牌，則從此路牌起向右510m～550m之間樹與燈的排列順序是（）

A．B．C．D．分析：第一個燈的里程數(shù)為10米，第二個燈的里程數(shù)為50，第三個燈的里程數(shù)為90米…第n個燈為40n－30米，從而知530米處的里程數(shù)是燈，故應(yīng)該是樹、樹、燈、樹，4．綜合問題中的數(shù)與式數(shù)與式是基本數(shù)學(xué)知識，常作為綜合問題中的輔助背景出現(xiàn).例1.已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，為實數(shù)，求的取值范圍.分析：本題中的二次根式是隱含條件，不要忽略.解：由題意例2.如圖，為線段上一動點，分別過點作，，連接．已知，，，設(shè)．ABCDE⑴用含ABCDE⑵請問點滿足什么條件時，的值最??？⑶根據(jù)⑵中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．分析：（1）（2）兩點間線段最短（3）作，做即為代數(shù)式的最小值分析：以式的建立和表達為基礎(chǔ)，把圖形直觀和其中蘊含的數(shù)量關(guān)系與式的表達有機地結(jié)合起來，考查考生運用代數(shù)與幾何的相關(guān)知識解決問題．（1）考查的都是列式的能力；（2）要借助“兩點的所有連線中線段最短”來求得相應(yīng)的最小值（3）則是依據(jù)給出的代數(shù)式構(gòu)造出類似于滿足（2）的那樣的幾