新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題3.1函數(shù)的概念及其表示（講）解析版

專題3.1函數(shù)的概念及其表示新課程考試要求1．了解函數(shù)的概念，會(huì)求簡單的函數(shù)的定義域和值域.2．理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法.3．了解簡單的分段函數(shù)，會(huì)用分段函數(shù)解決簡單的問題.核心素養(yǎng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象（例1.3）、數(shù)學(xué)運(yùn)算（例2--12）、數(shù)學(xué)建模（例9）、直觀想象（例5.10）等核心數(shù)學(xué)素養(yǎng).考向預(yù)測1.分段函數(shù)的應(yīng)用,要求不但要理解分段函數(shù)的概念，更要掌握基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)．2．函數(shù)的概念，經(jīng)常與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合考查.【知識(shí)清單】1．函數(shù)的概念函數(shù)兩個(gè)集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集對應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).3．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).【考點(diǎn)分類剖析】考點(diǎn)一函數(shù)的概念【典例1】【多選題】（2021·浙江高一期末）在下列四組函數(shù)中，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不表示同一函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】根據(jù)同一函數(shù)的要求，兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則應(yīng)相同，對四個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)函數(shù)分別進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，所以二者不是同一函數(shù)，故A符合題意；B選項(xiàng)，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域相同，對應(yīng)法則也相同，所以二者是同一函數(shù)，故B不符合題意；C選項(xiàng)，SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，所以二者不是同一函數(shù)，故C符合題意；D選項(xiàng)，SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，所以二者不是同一函數(shù)，故D符合題意；故選：ACD.【規(guī)律方法】函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對應(yīng)關(guān)系是否分別相同．【變式探究】（2021·浙江高一期末）下列函數(shù)中，與函數(shù)SKIPIF1<0是相等函數(shù)的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】依次判斷各個(gè)選項(xiàng)的解析式和定義域是否和SKIPIF1<0相同，二者皆相同即為同一函數(shù)，由此得到結(jié)果.【詳解】SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0；對于A，SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域不同，不是同一函數(shù)，A錯(cuò)誤；對于B，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域相同，解析式相同，是同一函數(shù)，B正確；對于C，SKIPIF1<0定義域?yàn)镾KIPIF1<0，與SKIPIF1<0定義域不同，不是同一函數(shù)，C錯(cuò)誤；對于D，SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0解析式不同，不是同一函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：B.【易混辨析】1.判斷兩個(gè)函數(shù)是否為相同函數(shù)，注意把握兩點(diǎn)，一看定義域是否相等，二看對應(yīng)法則是否相同．2.從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個(gè)交點(diǎn).考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域【典例2】（2019·江蘇高考真題）函數(shù)的定義域是_____.【答案】.【解析】由已知得,即解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?【典例3】（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）（1）已知SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的定義域；（2）已知SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，求SKIPIF1<0的定義域；（3）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的定義域．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0.【解析】利用抽象函數(shù)的定義域求解.【詳解】（1）∵SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0的范圍與SKIPIF1<0中的x的取值范圍相同．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0．（2）由題意知SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0中SKIPIF1<0的取值范圍與SKIPIF1<0中的x的取值范圍相同，∴SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0．（3）∵函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0．又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0.【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)的具體解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集．(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還需要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．2．抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．【變式探究】1.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】C【解析】故答案選C2．（2020·河南省鄭州一中高二期中（文））已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（）A．[0,] B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域是所以所以，解得：故函數(shù)的定義域是[0,]故選：A【特別提醒】求函數(shù)的定義域，往往要解不等式或不等式組，因此，要熟練掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢記不等式的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸解題.另外，函數(shù)的定義域、值域都是集合，要用適當(dāng)?shù)谋硎痉椒右员磉_(dá)或依據(jù)題目的要求予以表達(dá)．高頻考點(diǎn)三：求函數(shù)的解析式【典例4】（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知fSKIPIF1<0=x2+SKIPIF1<0，則函數(shù)f(x)=_______，f（3）=_______．【答案】SKIPIF1<011【解析】利用換元法可求出SKIPIF1<0，進(jìn)一步可得SKIPIF1<0.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.【典例5】（2021·全國高三專題練習(xí)）如圖所示，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是折線段ABC，其中A、B、C的坐標(biāo)分別為(0，4)、(2，0)、(6，4)，求函數(shù)SKIPIF1<0的解析式．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)圖象分段求出解析式，再寫成分段的形式即可得解.【詳解】設(shè)線段SKIPIF1<0所對應(yīng)的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理，線段SKIPIF1<0所對應(yīng)的函數(shù)解析式為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式．2.已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示．3.已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法．4.若與或滿足某個(gè)等式，可構(gòu)造另一個(gè)等式，通過解方程組求解．5.應(yīng)用題求解析式可用待定系數(shù)法求解．【變式探究】1.已知單調(diào)函數(shù)f(x)，對任意的x∈R都有f[f(x)?2x]=6，則f(2)=()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】設(shè)t=f(x)?2x，則ft=6令x=t，則f解得t=2，∴fx∴f2故選C．2．（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）已知二次函數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的解析式．（2）求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）3．【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入求解SKIPIF1<0，化簡求解系數(shù)．（2）將二次函數(shù)配成頂點(diǎn)式，分析其單調(diào)性，即可求出其最值．【詳解】（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴由題SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.考點(diǎn)四：求函數(shù)的值域

【典例6】函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的值域?yàn)?故選：.【典例7】【多選題】（2021·全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，值域?yàn)镾KIPIF1<0，則（）A．函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0 B．函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0C．函數(shù)SKIPIF1<0的定義域和值域都是SKIPIF1<0 D．函數(shù)SKIPIF1<0的定義域和值域都是SKIPIF1<0【答案】BC【解析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域即可判斷選項(xiàng)A，根據(jù)SKIPIF1<0值域?yàn)镾KIPIF1<0，即可判斷選項(xiàng)B，令SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0得范圍即為定義域，由SKIPIF1<0可得值域，即可判斷選項(xiàng)C，由SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0可得SKIPIF1<0，但無法判斷定義域，可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于選項(xiàng)A：令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，故選項(xiàng)A不正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)镾KIPIF1<0值域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，可得函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：令SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0可得SKIPIF1<0恒成立，所以函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：若函數(shù)SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)無法判斷其定義域是否為SKIPIF1<0，故選項(xiàng)D不正確，故選：BC【典例8】（2021·浙江高一期末）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是_________，函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)開_________．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】①由SKIPIF1<0解不等式，即可求出定義域；②利用換元法，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，求值域即可.【詳解】①由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0.②令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以原函數(shù)可化為SKIPIF1<0，其對稱軸為SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0的值域?yàn)镾KIPIF1<0.故答案為：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0【規(guī)律方法】函數(shù)值域的常見求法：(1)配方法配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法．(2)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)與形結(jié)合的方法．(3)基本不等式法：要注意條件“一正，二定，三相等”．（可見上一專題）(4)利用函數(shù)的單調(diào)性①單調(diào)函數(shù)的圖象是一直上升或一直下降的，因此若單調(diào)函數(shù)在端點(diǎn)處有定義，則該函數(shù)在端點(diǎn)處取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則y最?。絝(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則y最?。絝(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函數(shù)，若ad＞0，則用單調(diào)性求值域；若ad＜0，則用換元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函數(shù)，若不能用基本不等式，則可考慮用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的單調(diào)減區(qū)間為(0，eq\r(k)]，單調(diào)增區(qū)間為[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做對勾函數(shù)，其圖象的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的情況，可根據(jù)函數(shù)的奇偶性解決．*(5)導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)函數(shù)求出最值，從而確定值域．高頻考點(diǎn)五：分段函數(shù)及其應(yīng)用【典例9】（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三月考（理））如圖，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0向，以每SKIPIF1<0個(gè)單位的速度在正方形SKIPIF1<0的邊上運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)SKIPIF1<0從點(diǎn)SKIPIF1<0出發(fā)，沿SKIPIF1<0方向，以每秒SKIPIF1<0個(gè)單位的速度在正方形SKIPIF1<0的邊上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為SKIPIF1<0(單位：秒)，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0(規(guī)定SKIPIF1<0共線時(shí)其面積為零，則點(diǎn)SKIPIF1<0第一次到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，分別求出當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對應(yīng)的函數(shù)解析式，進(jìn)而得答案.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0所以根據(jù)分段函數(shù)的解析式即可得在區(qū)間上的函數(shù)圖像為選項(xiàng)A.故選:A.【典例10】（2021·四川達(dá)州市·高三二模（理））已知函數(shù)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，結(jié)合圖象有SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0SKIPIF1<0求解.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖所示：設(shè)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，其對稱軸為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞增，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0【典例11】（2021·全國高一課時(shí)練習(xí)）對于任意的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0中較小的那個(gè)數(shù)，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則集合SKIPIF1<0_______；SKIPIF1<0的最大值是_______.【答案】SKIPIF1<01【解析】作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象，解出方程SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由圖可得SKIPIF1<0，然后可得其最大值.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如下，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0則集合SKIPIF1<0由題意及圖象得SKIPIF1<0由圖象知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0最大，最大值是1.故答案為：SKIPIF1<0，1【典例12】（江蘇高考真題）已知實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則a的值為________【答案】SKIPIF1<0【解析】分當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)和當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)兩種分別討論求解方程，可得答案.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解