第八章+向量的數(shù)量積與三角恒等變換綜合測評(A卷) 高一下學期數(shù)學人教B版（2019）必修第三冊

第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換綜合測評(A卷)第Ⅰ卷(選擇題)一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.[2023廣西模擬]若P(3,4)是角α的終邊上一點,則sin2α=()A.2425 B.1625 C.1225 2.[2023江蘇鼓樓校級月考]若α為第三象限角,且sinα=-35,則tanαA.-3 B.-13 C.2 D.3.[2023全國甲卷(文)]已知向量a=(3,1),b=(2,2),則cos<a+b,a-b>=()A.117 B.1717 C.55 4.已知α∈0,π2,若sinα=45,則cosα-π6=()A.33+410 B.43+310 C5.若sinα=35,則cosπ3+αcosπ3-α=()A.43100 B.11100 C.-43100 D6.已知平面向量|a|=2,b=(3,1),且|a-b|=10,則(b-a)·(2b+a)=()A.10 B.14 C.14 D.107.如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,F為AB的中點,CE=2,CB=4,AB=6,則EA·A.0 B.1 C.-1 D.28.在矩形ABCD中,AB=2BC=2,動點M在以點C為圓心且與BD相切的圓上,則AM·A.[-5,-1] B.[-5,1]C.[-3+5,-1] D.[-3+5,3-5]二、多選題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.[2023貴州松桃校級月考]下列說法中,正確的是()A.對于任意向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|B.若a·b=0,則a=0或b=0C.對于任意向量a,b,有|a·b|≤|a||b|D.若a,b共線,則a·b=±|a||b|10.下列化簡正確的是()A.cos2π8-sin2B.2sin275°-1=1C.1+tan15D.tan20°+tan4011.[2023江蘇如東期中]下列說法中正確的為()A.若向量a=(1,3),a-b=(-1,-3),則a∥bB.若AB與C.若平面上不共線的四點O,A,B,C滿足OA-3OB+2OC=0,則|ABD.若非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角是π12.[2023河北武強校級期中]已知向量a=(2,1),b=(1,-1),c=(m-2,-n),向量e是與b方向相同的單位向量,其中m,n均為正數(shù),且(a-b)∥c,下列說法正確的是()A.a與b的夾角為鈍角B.向量a在b方向上的投影為55C.2m+n=4D.mn的最大值為2第Ⅱ卷(非選擇題)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.計算:sin46°cos16°-cos314°sin16°=.14.[2023北京西城校級期中]當x=θ時,函數(shù)f(x)=sinx-3cosx取得最大值,則θ的一個取值為.15.已知向量a=(λ,-3),b=(1,λ).若(a+b)⊥b,則λ=.16.若角α的終邊經(jīng)過點P(1,-2),則cosα=,tan2α=.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知向量a,b滿足a=(1,-1),|b|=1.(1)若a,b的夾角為π3,求a·b(2)若(a-b)⊥b,求a與b的夾角.18.(12分)[2023黑龍江南崗校級期中]已知cosα=-35,α∈π2,π,sinβ=-1213,β是第三象限角,求sin(α+β),cos(α-β),tan(α+β)的值19.(12分)[2023湖北黃岡期中]已知向量m=(2,cosα),n=(2sinα,-6),且m⊥n.(1)求2sin2α+3sinαcosα的值;(2)若sin(α-β)=55,α,β∈(0,π),求角20.(12分)某房地產(chǎn)開發(fā)公司為吸引更多消費者購房,決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個花園,如圖所示.已知扇形AOB的圓心角∠AOB=π4,半徑為200米.現(xiàn)需要修建的花園為平行四邊形OMNH,其中M,H分別在半徑OA,OB上,N在AB上(1)求扇形AOB的弧長和面積;(2)設∠MON=θ,平行四邊形OMNH的面積為S.求S關于角θ的函數(shù)解析式,并求S的最大值.21.(12分)[2023上海虹口校級期中]在平行四邊形ABCD中,E是DC的中點,AE交BD于點M.(1)若AM=λAC+μBD,求實數(shù)λ與μ的值;(2)若|AB|=4,|AD|=2,且<AD,AB>=π3,則當點P在BC邊上運動時,求22.(12分)[2023四川成都期中]已知函數(shù)f(x)=2cosx(3sinx-cosx)+a的最大值為1.(1)求實數(shù)a的值;(2)將f(x)圖象上所有點向右平移π12個單位長度,再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的12,縱坐標不變,得到g(x)的圖象,若g(x)-m=2在π4,參考答案一、單選題1.A∵P(3,4)是角α終邊上一點,∴sinα=432+42∴sin2α=2sinαcosα=2×45×32.A因為α為第三象限角,且sinα=-35,所以cosα=-45,則tanα2=3.B∵a=(3,1),b=(2,2),∴a+b=(5,3),a-b=(1,-1).則有cos<a+b,a-b>=(a+b)·4.A因為α∈0,π2,sinα=45,所以cosα=1-cosα-π6=cosαcosπ6+sinαsinπ6=35.D由題意,得cosπ3+αcosπ3-α=cosπ3cosα-sinπ3sinαcosπ3cosα+sinπ3sinα=14cos2α-34sin2α=14-sin2α=14?9256.B因為|a-b|=10,所以a2+b2-2a·b=10,又因為a2=4,b2=10,所以a·b=2,則(b-a)·(2b+a)=2b2-a·b-a2=20-2-4=14,故選B.7.A由題得CF=5,因為EB=EC+CB=2所以EB·EA=-15BA+35BC·45BA?35BC=-425BA8.A由題意|AC|=|BD|=5,設C到BD的距離為d,則d=1×故AM·BD=(AC+CM其中AC·BD=(AD+AB)·(AD?AB)=-3,設CM,BD的夾角為θ,CM·BD=|CM||綜上,AM·BD的取值范圍為[-5,-1].二、多選題9.ACD對于A,由向量加法的三角形法則可知A正確;對于B,∵當a·b=0時,a⊥b,∴B錯誤;對于C,∵|a·b|=|a||b||cosθ|≤|a||b|,∴C正確;對于D,∵當a,b共線同向時,a·b=|a||b|cos0°=|a||b|,當a,b共線反向時,a·b=|a||b|cos180°=-|a||b|,∴當a,b共線時,a·b=±|a||b|,∴D正確.故選ACD.10.ACDcos2π8-sin2π8=cos2sin275°-1=-cos150°=321+tan15°1-因為tan60°=tan(20°+40°)=tan20°+tan40°即tan20°+tan40°+tan120°tan2011.AC對于選項A,向量a=(1,3),a-b=(-1,-3),則b=a-(a-b)=(2,6),則b=2a,則a∥b,即選項A正確;對于選項B,若AB與CD是共線向量,則點A,B,C,D在同一條直線上或AB對于選項C,若平面上不共線的四點O,A,B,C滿足OA-3OB+2OC=0,則OA?OB=2(OB?OC),即BA=2對于選項D,已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a-b|,設|a|=|b|=|a-b|=1,則a2=b2=a2+b2-2a·b,即a·b=12,設a與a+b的夾角是θ,則cosθ=a·(a+b)|a||a+b|=a·12.CD對于A,向量a=(2,1),b=(1,-1),則a·b=2-1=1>0,則a,b的夾角為銳角,A錯誤;對于B,向量a=(2,1),b=(1,-1),則向量a在b方向上的投影數(shù)量為a·b|b|=22,向量e是與b對于C,向量a=(2,1),b=(1,-1),則a-b=(1,2),若(a-b)∥c,則-n=2(m-2),變形可得2m+n=4,C正確;對于D,由選項C的結(jié)論,2m+n=4,而m,n均為正數(shù),則有mn=12(2m·n)≤122m+n22=2,當且僅當2m=n,三、填空題13.12sin46°cos16°-cos314°sin16°=sin46°cos16°-cos(360°-46°)sin16°=sin46°cos16°-cos46°sin16°=sin(46°-16°)=sin30°=114.5π6(答案不唯一)因為f(x)=sinx-3cosx=2sinx-π3,所以當x-π3=π2+2kπ,k∈Z,即x=5π所以θ=5π6+2kπ,k∈Z,所以θ可以取15.1a+b=(1+λ,λ-3),又(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=λ2-2λ+1=(λ-1)2=0,解得λ=1.16.5543∵角α的終邊經(jīng)過點P(1,-2),∴cosα=15=55,∴tan四、解答題17.解(1)a=(1,-1),所以|a|=2,所以a·b=|a||b|cosπ3=2×1(2)因為(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0,所以a·b-b2=0,所以a·b=1,令<a·b>=θ,所以cosθ=a·因為θ∈[0,π],所以θ=π4,故a與b的夾角為π18.解cosα=-35,α∈π2,π,則sinα=1-cos2α=4∵sinβ=-1213,β∴cosβ=-1-sin2β=-513,∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×-513+-35×-1213=1665,∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-35×-513+45×-1213=-3365,∴tan(α+β)=tanα+19.解(1)因為m=(2,cosα),n=(2sinα,-6),且m⊥n,所以m·n=2sinα-6cosα=0,即tanα=3,原式=2si(2)因為tanα=3,α∈(0,π),所以α∈0,π2,因為β∈(0,π),則α-β∈-π,π2,因為sin(α-β)=55>0,所以α-β∈0,π2,則cos(α-β)=1-sin2(α-β)=255,可得tan(α-β)=sin(α-β)cos20.解(1)扇形AOB的弧長為π4×200=50π扇形AOB的面積為12×50π×200=5000π(平方米)(2)過N作NP⊥OA于點P,過H作HE⊥OA于點E,如圖所示.因為∠AOB=π4,所以OE=EH=NP=200sinθ,OP=200cosθ所以HN=EP=OP-OE=200(cosθ-sinθ).于是S=HN·NP=40000(cosθ-sinθ)sinθ=40000sinθcosθ-40000sin2θ=20000sin2θ-40000·1=200002sin2θ+π4-20000,θ∈0,π4.因為0<θ<π4,所以π4<2θ+當2θ+π4=π2,即θ=π8時,S取到最大值,且最大值為20000221.解(1)如圖,AM=λAC+μBD=λ(AB+AD)+μ(AD?AB)=(λ-μ)AB+(λ+μ)AD,且D,M,B三點共線,∴λ-μ+λ+μ=1,解得設AM=kAE=k(AD+DE)=k2AB+kAD,且AM=12-μAB+12+μAD,∴12-μ=(2)設BP=tBC=tAD,0≤t≤1,AE=AD+DE=12AB+AD,∴AP·AE=(AB+tAD)·12AB+AD=12AB2+tAD2+t2+1AB∵0≤t≤1,12≤6t+12≤18,∴AP·AE22.解(1)函數(shù)f(x)=2cosx(3sinx-cosx)+a=23sinxcosx-2cos2x+a=2sin2x-π6+a-1.由于函數(shù)的最大值為1,所以2+a-1=1,解得a=0.(2)由(1)得,f(x)=2sin2x-π6-1,將f(x)圖象上所有點向右平