第十一章 全等三角形

2第十一章全等三角形能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形（1）（2）（3）（4）一、全等三角形的概念觀察下面兩組圖形，它們是不是全等圖形？為什么？（1）（2）如果兩個圖形全等，它們的形狀一定相同、大小一定相等！小試身手下列說法是否正確,并簡要說明理由:(1)邊長相等的正方形都是全等圖形;

同一面中華人民共和國國旗上,4個小五角星都是全等圖形.(3)半徑相等的兩個圓是全等圖形它們會全等嗎？各圖中的兩個三角形全等嗎?在圖13.1-1中,把

ABC沿直線BC平移，得到

DEF.思考ABCDEFACODBACODB旋轉(zhuǎn)兩個三角形關(guān)系：AOCBDABCDAABBDCABCD翻轉(zhuǎn)兩個三角形關(guān)系：小結(jié)：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折前后的兩個圖形全等。ABCDEFDBOACABCD全等三角形定義：能夠完全重合的兩個三角形叫_________全等三角形

把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，

重合的角叫做對應角。重合的邊叫做對應邊，其中點A和__，點B和__，點C和__是對應頂點。AB和___，BC和___，AC和___是對應邊?！螦和___，∠B和___，∠C和___是對應角。DEFDEEFDF∠D∠E∠FABCDEF“全等”用符號“≌”表示，讀作“全等于”如上圖：△ABC全等于△DEF記作：△ABC

≌△DEF

（注意：書寫時應把對應頂點寫在相對應的位置上）ABCDEF?ABC≌?DEF，對應邊大小有什么關(guān)系？對應角呢？ABCDEF全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。如圖：∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，BC=EF，AC=DF

（）∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

（）全等三角形的對應邊相等全等三角形的對應角相等ABCDEF全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的周長相等，面積相等。ABCDEF全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應的高、中線、角平分線相等。

1、全等用符號

表示，讀作：。

2、若△ABC≌△DEF，則∠B=

,∠BAC=

,BC=

,AC=

.

3、判斷題

1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等。（）

2）全等三角形的周長相等。（）

3）全等三角形的面積不相等。（）

隨堂練習：≌全等于∠EEFDF∠EDF√

√

XACBＤＦＥ第二題圖

1、若△AOC≌△BOD，AC=

∠A＝ABOCD

2、若△ABD≌△ACE，BD＝

，∠BDA＝

3、若△ABC≌△CDA,AB=

∠BAC＝

ABCD

請?zhí)羁誃D∠BCE∠CEACD∠DCAABCDE公共點公共角公共邊填一填DFDEEF∠D∠E∠F角角角邊邊邊AC=AB=BC=∠A=∠B=∠ACB=請指出圖中?ABC≌?DEF對應邊和對應角ABCFDE兩個全等三角形的長邊與長邊，短邊與短邊分別是對應邊，大角與大角，小角與小角分別是對應角。換句話說就是：對應邊所對的角是對應角;對應角所對的邊是對應邊.填一填角角角邊邊邊AB=AC=BC=∠BAC=∠B=∠C=ADAEDE∠DAE∠D∠E請指出圖中△ABC≌△ADE對應邊和對應角有對頂角的，對頂角一定為對應角。ABCDE∠1=∠221∠D∠BAD∠ABDADBDBABCDA填一填角角角邊邊邊AB=AC=BC=∠BAC=∠ABC=∠C=EF如圖：平移后△ABC≌△EFD,若AB＝6，AE＝2你能說出AF的長嗎？說說你的理由。解：∵△_____≌△_____

∴AB＝____＝__

∴AB－

＝EF－

∴AF=BE=_____ABCEFDEFAEEA6-2=4變式練習有公共邊的，公共邊一定是對應邊.請指出圖中△ABC≌△BAD的對應邊和對應角6等式的性質(zhì)1思考：P5拓廣探索？？∠ADE∠E∠AEDADAEABCED填一填角角角邊邊邊AB=AC=BC=∠A=∠B=∠ACB=如圖：△ABC≌△AED若AB＝6，AC＝2,∠Ｂ＝25°，你還能說出△ADE中其他角的大小和邊的長度嗎？

解：∵△ABC≌△AED∴∠E＝∠B＝25°（全等三角形對應角相等）

AC=AD=2

AB=AE=6（全等三角形對應邊相等）有公共角的，公共角一定是對應角。請指出圖中△ABC≌△AED對應邊和對應角△ABC≌△FED⑴寫出圖中相等的線段，相等的角；

⑵圖中線段除相等外，還有什么關(guān)系嗎？請與同伴交流并寫出來.

A

B

C

D

E

F

二、全等三角形的判定ABCDEF①AB=DE③CA=FD②BC=EF④∠A=∠D⑤∠B=∠E⑥∠C=∠F1.滿足這六個條件可以保證△ABC≌△DEF嗎？2.如果只滿足這些條件中的一部分,那么能保證△ABC≌△DEF嗎?思考：（1）只給一條邊時；3㎝3㎝只給一個條件45?（2）只給一個角時；45?結(jié)論:只有一條邊或一個角對應相等的兩個三角形不一定全等.探究一①兩邊；③兩角。②一邊一角；如果滿足兩個條件，你能說出有哪幾種可能的情況？給兩個條件探究二①如果三角形的兩邊分別為4cm，6cm時6cm6cm4cm4cm結(jié)論:兩條邊對應相等的兩個三角形不一定全等.②三角形的一條邊為4cm,一個內(nèi)角為30°時:4cm4cm30?30?結(jié)論:一條邊一個角對應相等的兩個三角形不一定全等.45?30?45?30?③如果三角形的兩個內(nèi)角分別是30°，45°時結(jié)論:兩個角對應相等的兩個三角形不一定全等.根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180度，則第三角一定確定，所以當三內(nèi)角對應相等時，兩個三角形不一定全等兩個條件①兩角；②兩邊；③一邊一角。結(jié)論：只給出一個或兩個條件時，都不能保證所畫的三角形一定全等。一個條件①一角；②一邊；你能得到什么結(jié)論嗎？①三角；②三邊；③兩邊一角；④兩角一邊。如果滿足三個條件，你能說出有哪幾種可能的情況？探索三角形全等的條件已知兩個三角形的三個內(nèi)角分別為30°，60°，90°它們一定全等嗎？

這說明有三個角對應相等的兩個三角形不一定全等⑴三個角已知兩個三角形的三條邊都分別為3cm、4cm、6cm。它們一定全等嗎？3cm4cm6cm4cm6cm3cm6cm4cm3cm⑵三條邊這說明有三條邊對應相等的兩個三角形全等三邊對應相等的兩個三角形全等。簡寫為“邊邊邊”或“SSS”邊邊邊公理：

注：這個定理說明，只要三角形的三邊的長度確定了，這個三角形的形狀和大小就完全確定了，這也是三角形具有穩(wěn)定性的原理。如何用符號語言來表達呢?在△ABC與△DEF中ABCDEFAB=DEAC=DFBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）判斷兩個三角形全等的推理過程，叫做證明三角形全等。

A

C

B

D證明：∵D是BC的中點∴BD=CD在△ABD與△ACD中AB=AC（已知）BD=CD（已證）AD=AD（公共邊）∴△ABD≌△ACD（SSS）例1如圖,△ABC是一個鋼架，AB=AC,AD是連接A與BC中點D的支架，求證：△ABD≌△ACD求證：∠B=∠C，∴∠B=∠C，歸納：①準備條件：證全等時要用的條件要先證好；②三角形全等書寫三步驟：寫出在哪兩個三角形中擺出三個條件用大括號括起來寫出全等結(jié)論證明的書寫步驟：練習:已知：如圖，AB=AD，BC=DC，

求證：△ABC≌△ADCABCDACAC()

≌AB=AD()BC=DC()∴△ABC△ADC（SSS）證明：在△ABC和△ADC中=已知已知公共邊BCCB△DCBBF=CDABCD1、填空題：解：△ABC≌△DCB理由如下：AB=CDAC=BD=△ABC≌（）（SSS

（1）如圖，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？試說明理由。（2）如圖，D、F是線段BC上的兩點，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD，還需要條件AE

BDFC

====××ⅤⅤ或BD=FC圖1已知：如圖1，AC=FE，AD=FB,BC=DE求證：△ABC≌△FDE證明：∵

AD=FB

∴AB=FD（等式性質(zhì)）在△ABC和△FDE中AC=FE（已知）BC=DE（已知）AB=FD（已證）∴△ABC≌△FDE（SSS）求證：∠C=∠E，AcEDBF==??。。（2）∵△ABC≌△FDE（已證）∴∠C=∠E（全等三角形的對應角相等）求證：AB∥EF；DE∥BC已知:如圖，AB=AC,DB=DC,請說明∠B=∠C成立的理由ABCD在△ABD和△ACD中，AB=AC(已知）DB=DC（已知）

AD=AD

（公共邊）∴△ABD≌△ACD(SSS)解：連接AD∴∠B=∠C(全等三角形的對應角相等）已知:如圖,四邊形ABCD中，AD=CB,AB=CD求證：∠A＝∠C。AC

D

B分析：要證兩角或兩線段相等，常先證這兩角或兩線段所在的兩三角形全等，從而需構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造公共邊是常添的輔助線1234已知：AC=AD,BC=BD,求證：AB是∠DAC的平分線.∵

AC=AD()BC=BD()AB=AB()∴△ABC≌△ABD()∴∠1=∠2∴AB是∠DAC的平分線ABCD12（全等三角形的對應角相等）已知已知公共邊SSS（角平分線定義）證明:在△ABC和△ABD中1.邊邊邊公理：有三邊對應相等的兩個三角形全等簡寫成“邊邊邊”（SSS）2.邊邊邊公理在應用中用到的數(shù)學方法:

證明線段(或角)相等轉(zhuǎn)化

證明線段(或角)所在的兩個三角形全等.小結(jié):兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等。\=\=SSA（3）兩邊一角SAS（3）兩邊一角如圖△ABC和△DEF中，

AB=DE=3㎝，∠B=∠E=300

，BC=EF=5㎝

問：△ABC≌△DEF？3㎝5㎝300ABC3㎝5㎝300DEF如圖△ABC和△DEF中，

AB=DE=3㎝，∠B=∠E=300，BC=EF=5㎝

問：△ABC≌△DEF？3㎝5㎝300ABC3㎝5㎝300DEFSAS（3）兩邊一角兩邊和兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等。用符號語言表達為：在△ABC與△DEF中AB=DE∠B=∠EBC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）ABCDEF兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。簡寫成“邊角邊”或“SAS”邊角邊公理：已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD△ABD和△CBD全等嗎？例1分析:△ABD≌△CBD邊:角:邊:AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已知)？ABCD(SAS)現(xiàn)在例1的已知條件不改變,而問題改變成:問AD=CD，BD平分∠ADC嗎？

已知：如圖，AB=CB，∠ABD=∠CBD。問AD=CD，

BD平分∠ADC嗎？例題推廣ABCDABCD練習(2)已知:AD=CD，BD平分∠ADC。

問∠A=∠C嗎？ABCDO補充題：例1如圖AC與BD相交于點O，已知OA=OC，OB=OD，說明△AOB≌△COD的理由。例2如圖，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判斷BC=AD嗎？說明理由。ABCD歸納：判定兩條線段相等或二個角相等可以通過從它們所在的兩個三角形全等而得到。探究新知

因鋪設電線的需要，要在池塘兩側(cè)A、B處各埋設一根電線桿（如圖），因無法直接量出A、B兩點的距離，現(xiàn)有一足夠的米尺。請你設計一種方案，粗略測出A、B兩桿之間的距離。。AB

小明的設計方案：先在池塘旁取一個能直接到達A和B處的點C，連結(jié)AC并延長至D點，使AC=DC，連結(jié)BC并延長至E點，使BC=EC，連結(jié)CD，用米尺測出DE的長，這個長度就等于A，B兩點的距離。請你說明理由。想一想

AC=DC

∠ACB=∠DCEBC=EC△ACB≌△DCEAB=DE小明做了一個如圖所示的風箏，其中∠EDH=∠FDH,ED=FD，將上述條件標注在圖中，小明不用測量就能知道EH=FH嗎？與同桌進行交流。EFDH△EDH≌△FDH根據(jù)“SAS”，所以EH=FH有兩角和它們夾邊對應相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”）。ASA（3）兩邊一角∠A=∠A’

（已知）AB=A’C（已知）∠B=∠C（已知）在△ABE和△A’CD中△ABE≌△A’CD（ASA）用數(shù)學符號表示

有兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。(簡寫成“角角邊”或“AAS”）AAS（3）兩邊一角用數(shù)學符號表示ABCDEF△ABC≌△DEF（AAS）∠A=∠DBC=EF∠B

=∠E在△ABC和△DEF中例題講解：例1.已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點O，AB=AC，∠B=∠C。

求證：AD=AE證明：在△ADC和△AEB中∠A=∠A（公共角）AC=AB（已知）∠C=∠B（已知）∴△ACD≌△ABE（ASA）∴AD=AE（全等△的對應邊相等）AEDCBO2.如果把已知中的AB=AC改成AD=AE,那么BD和CE還相等么？例2.如圖，∠1=∠2，∠3=∠4

求證：AC=AD如果把已知中的∠3=∠4改成,∠D=∠C此題又如何?變式

已知，如∠1=∠2，∠C=∠D

求證：AC=ADCAD1B234證明：∵∠3=∠4∴∠ABC=∠ABD在△ABC與△ABD中∠1=∠2∠ABC=∠ABDAB=AB∴△ABC≌△ABD(ASA)∴

AC=ADOACDBAO=BO如圖，AB、CD相交于點O，已知∠A=∠B添加條件（填一個即可）

就有△AOC≌△BOD還有嗎？填一填如圖，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD嗎？為什么？AD與BC呢？ABCD1234∴AB=CDBC=AD（全等三角形對應邊相等）做一做

用數(shù)字標出角書寫證明時方便證明：連接AC∵AB∥CD，AD∥BC（已知）∴∠1＝∠2∠3＝∠4在△ABC與△CDA中∠1＝∠2（已證）AC=AC

（公共邊）∠3＝∠4（已證）∴△ABC≌△CDA（ASA）例題講解：已知：點D在AB上，點E在AC上，BE和CD相交于點O，AB=AC，∠B=∠C。

求證：△ABE≌△ACD例1.1.如圖，應填什么就有△AOC≌△BOD∠A=∠B（已知）

（已知）

∠C=∠D（已知）∴△AOC≌△BOD（）2.已知，如圖，∠1=∠2，∠C=∠D

求證：AC=AD

在△ABD和△ABC中∠1=∠2（已知）∠D=∠C（已知）

AB=AB（公共邊）∴△ABD≌△ABC（AAS）∴AC=AD（全等三角形對應邊相等）證明：12

直角邊和一條斜邊對應相等的兩個直角三角形全等。(簡寫成“直角邊斜邊”或“HL”）HL直角三角形全等用數(shù)學符號表示ABCDEF△ABC≌△DEF（HL）∠A=∠D=90°BC=EFAB=DE在Rt△ABC和Rt△DEF中例：如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求證：BC﹦ADABCD解:∵AC⊥BC,BD⊥AD∴∠C與∠D都是直角在Rt△ABC和Rt△BAD中，{AB=BA(斜邊）AC=BD（直角邊）∴Rt△ABC≌Rt△BAD

(HL)∴BC=AD練一練⒊如圖，AC=AD，∠C，∠D是直角，將上述條件標注在圖中，你能說明BC與BD相等嗎？CDAB解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,則

AB=AB,AC=AD.∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL).∴BC=BD(全等三角形對應邊相等).如圖，兩根長度為12米的繩子，一端系在旗桿上，另一端分別固定在地面兩個木樁上，兩個木樁離旗桿底部的距離相等嗎？請說明你的理由。所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)所以BD=CD解：

BD=CD{AB=ACAD=AD由題意知∠ADB=∠ADC=90°議一議如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么關(guān)系？解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,則

BC=EF,AC=DF

.∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).∴∠ABC=∠DEF(全等三角形對應角相等).∵∠DEF+∠DFE=90°,∴∠ABC+∠DFE=90°.ABCDFE角平分線的概念一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。oBCA12三、角平分線的性質(zhì)復習提問復習提問點到直線距離:從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。OPAB我的長度尺規(guī)作角的平分線觀察領(lǐng)悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作?。畠苫≡凇希粒希碌膬?nèi)部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？

Ｏ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，

∴△OMC≌△ONC（SSS）

∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等用符號語言表示為：AOBPED12∵∠1=∠2PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等)推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D，E。求證：PD=PE證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定義）在△PDO和△PEO中∴PD=PE（全等三角形的對應邊相等）∠PDO=∠PEO∠AOC=∠BOCOP=OP∴△PDO≌△PEO（AAS）證明：角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等。DPEAOBC角平分線的性質(zhì)推論：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上AOBPED12∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷：練習2∵如圖，

DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。BDCD（×）∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等練習如圖，∵OC是∠AOB的平分線，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等在△OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D.求證：AC=BD.OABECD例題講解練習在△ABC中，∠

C=90°

，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，BC＝7，DE＝3.求BD的長。EDCBA如圖，在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF鞏固提高，1、在Rt△ABC中，BD是角平分線，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？ABCDE

2、如圖,OC是∠AOB的平分線,點P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC知識應用1.如圖，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別是E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB=60°，則∠EBF=

度，BE=

。60BF2如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么線段BE是△ABC的

，AE+DE=

。角的平分線6cm練習3.已知△ABC中,∠C=900,AD平分∠CAB,且

BC=8,BD=5,求點D到AB的距離是多少？ABCDE你會嗎？例

已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點P.

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.證明：過點P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BM是△ABC的角平分線，點P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點P到邊AB、BC、

CA的距離相等ABCMNPDEF怎樣找三角形內(nèi)到三角形三邊距離相等的點？如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點Ｐ．求證：點Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ更上一層樓！結(jié)論三角形內(nèi)心到三邊的距離相等三角形外心到三邊的距離相等三角形全等的四種判定方法：

SSS（邊邊邊）SAS（邊角邊）ASA（角邊角）AAS（角角邊）有三邊對應相等的兩個三角形全等.有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.有兩角和及其中一個角所對的邊對應相等的兩個三角形全等.可以把求證角相等、線段相等的問題轉(zhuǎn)化為求證三角形全等。練一練一、挖掘“隱含條件”判全等1.如圖（1），AB=CD，AC=BD，則△ABC≌△DCB嗎?說說理由ADBC圖（1）2.如圖（2），點D在AB上，點E在AC上，CD與BE相交于點O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，則∠C=,BE=.說說理由.BCODEA圖（2）3.如圖（3），AC與BD相交于O,若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，則CD=.說說理由.ADBCO圖（3）20°5cm3cm友情提示：公共邊，公共角，對頂角這些都是隱含的邊，角相等的條件！4、如圖，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根據(jù)“SAS”需要添加條件