2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學試卷（解析版）

2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學模擬演練（二）

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，

只有一項是符合題目要求的.

1,已知集合A,B滿足A8={1，2,3},若A*,且[A&B],[B&A]表示兩個不同

的“A8互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對“個數(shù)為（）

A.9B.4C.27D.8

K答案XC

R解析》當4=0時,集合B可以為{1,2,3}；

當A=⑴時,集合3可以為{2,3},{1,2,3}；

當4={2}時,集合8可以為{1,3},{1,2,3}；

當4={3}時,集合8可以為{1,2},{1,2,3}；

當人={1,2}時，集合B可以為{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；

當人={1,3}時，集合8可以為{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；

當4={2,3}時,集合5可以為⑴,{1,2},{1,3},[1,2,3}；

當4={1,2,3}時,集合=可以為0,{1},{2},⑶,{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}.

故滿足題意的“A8互襯對”個數(shù)為27.

故選：C

2.已知z=’—走i，則下列說法正確的是（）

22

2

A.z?+z-1=0B.z—z—l=0

C.z2—z+l=0D.z2+z-i-l=0

K答案Xc

1

7初6.Grrl2（1右1/.273.1B

解析因為所以

KXz=-2--------2---1,z=1k--2--------2---1J=—4I—41-------2---1=-----2--------2---1,

z+1'.旦/一11后

-------------1

2222

故z2+z-l#0，Z2-Z-1^0'Z2-Z+1=0>z2+z+1*0.

故選：C.

3.若整數(shù)N被p整除后余數(shù)為g,則表示為N=q(mod〃)，則“No0(mod2)或

NH0(mod3)^“NH()(mod6)，呃()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

K答案Dc

K解析》因為6的因數(shù)包含2、3,且2x3=6,

故"N=()(mod6)”是“N=0(mod2)且N=()(mod3)”的充要條件，

由逆否命題的等價性，則“N+0(mod2)或N*0(mod3)”是“N豐0(mod6)”的充要條

件.

故選：C.

4.已知向量a=(l,2,l),/?=(-1,1,1),則〃在。上的投影向量為()

(-2,2,2、(444、

A，［333>1B.匕《々J

cj」,"DJ一意,空”〕

333

K答案XA

R解析2由空間向量的數(shù)量積可得cos<a,b>=

|o|-|^|瓜義布

所以，a在人上的投影向量為Wcos<a，b>-K="x—xA/2=：8222

33'3

故選：A.

5.我國古人智慧體現(xiàn)在建筑學上的成就頗多，著名的太和殿的一角中所體現(xiàn)了中國古人智

慧中的“七踩斗拱”技術，內(nèi)分為“頭”和“拱具體介紹為“七踩斗拱有頭翹一件，頭昂后帶

翹頭一件，昂后帶六分頭一件.螞蚱頭后帶菊花頭一件，撐頭木后帶麻葉頭一件；正心瓜

拱、正心萬拱各一件，外拽單材瓜拱、單材萬拱各兩件，廂供一件.”若從“翹頭、六分

頭、菊花頭、麻葉頭”中選擇1個，從“單材瓜拱、單材萬拱、正心瓜拱、正心萬拱、廂供

一件，，中選擇2個，則“單材瓜拱”與“麻葉頭”同時被選上的概率為（)

K答案Xc

K解析U從“翹頭、六分頭、菊花頭、麻葉頭”中選擇1個，從“單材瓜拱、單材萬拱、正心

瓜拱、正心萬拱、廂供一件”中選擇2個共有C；C；=4（）種取法，

41

滿足條件的取法共有C；=4,故“單材瓜拱”與“麻葉頭”同時被選上的概率為為=元.

故選：C

6.若/（x）=sin3》+三（。＞0）在（0,兀）上有且只有兩個零點，則①的取值范圍為

()

585%58

A.B.C.D.

3'33旬353

K答案2A

K解析》；69>(),XG(0,7l),：.COX+—&(—,(DTl+—),

v7333

函數(shù)/（x）=sins+茨（口＞0）在區(qū)間（0,兀）上有且只有兩個零點,

元58

則2兀<兀/+—43兀.解得一<tv4一.

333

故選：A

z，5

7.若(x-2)4(X?+3尤)=%+%(2-2)+4(x-2.++an(x—2),則---=

a4

()

1234

A.—B.—C.-D.一

5555

K答案》D

R解析R(x—2)(x?+3x)=(x—2)(x—2)+7(x—2)+10

=(X-2)6+7(X-2)5+10(X-2)4,

所以％=L%=7,%=10，

4

所以

5,

故選：D.

8.已知a=2e"，b-ee<c=￡—,試比較a,b,c的大小關系為()

In2

A.b>oaB.b>a>c

C.c>a>bD.ob>a

K答案DB

K解析》先證明兩個不等式：

(1)21nx<%--(x>1),設/(x)=21nx-x+'(x>l),則

r(x)=2_i_!=_j_L_i]<o(x〉i),即〃x)在a,”。)上單調遞減，故

XX)

/(x)</(l)=O,即21nx<x—，(x〉l)成立

X

(2)——(%>1),設g(x)=lnx-^^~~—(x>1),

x+1x+1

則g'(x)=-------7=-一^T>0(X>1),即g(x)在(1,+s)上單調遞增，故

X(x+1)x(x+l)

g(x)>g6=0，即lnx>3^~?(x>l)成立

x+1

再說明一個基本事實，顯然3<兀<3.24,于是1.73<6〈后<1.8.

由(1)可得，取x=2,可得21n2<L5=ln2<0.75=e075>2；

2442

由(2)可得，取x=2,可得ln2〉一，再取x=—,可得In—>—〉0.27,

3337

即e027<3=eW27>3.

34

hee=4ee-1-8e075

_—____=_____>____>____顯然〃>0，于是力>。；

a2e無222

e2

cIn2_e~?,3e“42-而-o.271.73-而o]，顯然a>0,于是c<。.

a2e42In24

故〃>a>c.

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，

有多個選項符合要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有錯選得0分.

9.有關平面向量的說法，下列錯誤的是()

A.若allb，hllc，則allc

B.若Q與人共線且模長相等，則q=b

C.若忖〉W且a與/方向相同,則a"

D.==恒成立

K答案UABC

K解析U對于A選項，取〃=(),因為“〃6，bile'則a、c,不一定共線，A錯；

對于B選項，若a與人共線且模長相等，則或&=-/,,B錯；

對于C選項，任何兩個向量不能比大小，C錯：

對于D選項，(聞出=丸(。/)=(砌恒成立，D對.

故選：ABC.

10.已知b>0,e"—@e<弛約恒成立，則下列說法正確的是()

bb

A.若6e(O,e),則ae(0,+co)B.a=]nb-l

\-a

C.a+Z?22恒成立D.<的最大值為1一

b-2e

K答案》ACD

ApInbzyplr?卜

R解析》對B,令f(。戶e"——。------，則力>0,e"—±e〈上叱恒成立等價為。>0,

hhbb

/(〃)<0恒成立.

r(a)=e"-2單調遞增，由/'(a)=O=>Q=l-lnb,且

b

aG(-oo,l-lnZ?),/,(a)<0,/(a)單調遞減；ae(l-lnZ?,+8),/'(a)>0,/(a)單

調遞增.

又/(a)n“n=—^=0,；.a=]_ln力，B錯；

對A,be(0,e),a=l-ln/?e(0,+oo),A對；

對C,a+b-\-lnb+b,々g(〃)=l—ln8+Z?,g'(5)=-：+l,由g'(Z?)=0=Z?=l.

故泰(0,l),g'?<0,g("單調遞減;匹(l,+8),g'?>0,g(b)單調遞增.

故g(Z?)2g(l)=2,C對；

對D,'=能，令〃(3=能,/(3=121|^,由/(b)=o=b=癡.

故bw(0,而"?>0,g(b)單調遞增;be(點伍)<0,g("單調遞減.

故g(b)〈g(正)=，，D對.

故選：ACD.

11.在平面直角坐標系尤Oy中，A為坐標原點，3(2,0),點列P在圓(x+|)+y2

上，若對于V〃eN*，存在數(shù)列｛%｝，4=6,使得不瓦廣^=17,則下列說法正

確的是()

A.｛4｝為公差為2的等差數(shù)列

B.&｝為公比為2的等比數(shù)列

2023

C.a2O23=4047-2

D.｛??｝前n項和S,=2+(2〃—1)?2,,+1

K答案DCD

K解析X對AB,由點列尸在圓(X+2]+/=—±,則由參數(shù)方程得

pgaj,”則

r、/PBa4〃+2a4〃+2

對于V〃cN*，存在數(shù)列｛%｝，4=6,使得”人n即工n=7^^^①,

1j2PAq_12n-\%2n-]

也?、?/p>

an2〃+1

①②兩式相除得:"T(2〃—1)(2〃+3)=a,-________%=(4

(2n+l)22(〃-1)+12(〃+l)+l-(2〃+l

令”=詈1，則%?%="；，則也｝為以首項4=三七=2,公比為

2〃+12/1I

c-bn-2rt+l_a2-14〃+22n-1

n-----X-----二2的等比數(shù)列.

hn-X%??-12〃+12n-12n+l

2n-1

貝11-^=%=2"?an(2〃+1)?2",AB錯;

2/7+1'"

對C,^023=(2x2023+1)-22023=4047-22023,C對；

對D,5?=3?2'5?22+(2〃+1)2”,

2S?=3?225?23+(2n+l)2H+l,

兩式相減得，-S“=3?2’2?222?23+2?2"(2/1+1)2,,+|

2(1-2"+'\

=2+22+23++2/,+,-(2/?+1)2"+,=、2-(2n+l)2n+1=-2-(2/?-l)?2n+1-

.?.S,=2+(2〃-1>2"+I,D對.

故選：CD.

2x.t

12.已知=g(x)為4x)導函數(shù)，aeR,awO,則下列說法正確的是

aex

()

A.f(x)為偶函數(shù)

B.當且awO時，/(x)21恒成立

g(x)ri

C.二/\的值域為[—1,1]

f(X)

D./(x)與曲線y=《無交點

a

K答案UAD

1.

‘一23+1—2x+1p2.v.i

K解析》對A,xeR,〃一x)=―~=—6―=/(x),，〃x)為偶函數(shù)，

ex

A對；

1i1

對B,=22,因為e2'+l>O,e'>0,

aex

所以當a<0,f(以)<0,B錯;

2v

.,_z>,e+11e'+j)可得

對C'由F=Z

e2j-l2

g(x)=r(x)=z

IT需e2v+1e2v+1

?.d+lw(l,M),.?.^^(0,2),.?.需=l-^^e(-1,1),C錯:

px1Px

對D,由—2=0n-!-=0,方程無解，/(x)與曲線y=J無交點，D對.

aae'a

故選：AD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在對于一些敏感性問題調查時，被調查者往往不愿意給正確答復，因此需要特別的調

查方法.調查人員設計了一個隨機化裝置，在其中裝有形狀、大小、質地完全相同的50個

黑球和50個白球，每個被調查者隨機從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實回答

問題一：你公歷生日是奇數(shù)嗎？若摸到白球則如實回答問題二：你是否在考試中做過

弊.若100人中有52人回答了“是“，48人回答了“否則問題二“考試是否做過弊”回答

“是''的百分比為(以1()0人的頻率估計概率).

R答案254%

K解析X由題意可知，每名調查者從袋子中抽到1個白球或黑球的概率均為0.5,

所以，100人中回答第一個問題的人數(shù)為100x0.5=50,則另外5()人回答了第二個問

題，

在摸到黑球的前提下，回答“是''的概率為即摸到黑球且回答“是”的人數(shù)為

50x1=25,

2

則摸到白球且回答“是''的人數(shù)為52-25=27,

27

所以，問題二“考試是否做過弊”且回答“是”的百分比為寶=0.54=54%.

故K答案』為：54%.

14.若對于V/^^e[-e,e],V^e(-l,+oo),使得不等式

4x3+ln(x+l)+(2023-m)x_l<〉ln(y+l)恒成立，則實數(shù)x的范圍為.

K答案》(-1,0]

K解析H4/+ln(x+l)+(2023-加卜一1<丁111(〉+1)恒成立，

等價于[4d+ln(x+l)+(2023-⑹AlL<[yln(y+l)L.

令/()')=》ln(y+1),ye(-l,+oo),則/'(y)=In(y+1)+,

y+1

注意到y(tǒng)e(-LO)時,f'(y)<0,f(0)=0,ye(0,+oo)時,fr(y)>0.

則f(y)在(-L0)上單調遞減,在(0,+8)上單調遞增,則/'(y)4/(0)=0.

則3心+1孔加=0,則[4%3+1小+1)+(2023-m)K-1、<[yln(y+l)L

=[4d+in(x+1)+(2023)％-1]<0.

令g(m)=一xm4-4x3+2023x+In(x+1)-1,me[-e,e].

當尤=0,g(m)=-1<0,故x=0滿足條件；

當1>0,則g(m)在[一e,e]上單調遞減，故

g(時=g(-e)=ex+4x3+2023x+In(x+1)-1.

令p(x)=ex+4x3+2023%+In(元+1)—1,xe(0,+oo).

則”(x)=12x2+e+2023+—>0,得p(x)在(0,+8)上單調遞增，

x>l時，p(x)〉p(l)>0,因p(x)此時無最值，且玉e(0,+°o)，p(x)>0.

則x>0不合題意；

當x<(),g(“)在［-e,e］上單調遞增，故

g(〃?)=g(e)=-ex+4x3+2()23x+In(x+1)-1.

令“(x)=-ex+4x3+2023%+In(x+1)-1,xe(-1,0).

則"(x)=12x2+—>―+2023-e.

,)x+1

令丸(x)=Ux2+—!-j-+2023-e,xe(-l,0).

貝=24x-1<0,故Mx)

（-1,0）上單調遞減,

(x+1)

則/?(x)="'(x)>n'(0)=2024-e>0,則〃(力在(-1,0)上單調遞增,

則”(x)<〃(0)=-1<0,則xe(—1,0)符合題意.

綜上，XG(—1,0］.

故K答案》：（-1,0].

15.已知C:y2=]X,過點P（l,0）傾斜角為60的直線/交C于A、8兩點（A在第一象

限內(nèi)），過點A作AZ），x軸，垂足為。，現(xiàn)將。所在平面以x軸為翻折軸向紙面外翻

2兀

折，使得Nx上平面-X下平面=§，則幾何體外接球的表面積為.

工答案』1371

K解析D翻折前，設點A（%，x）、B（x2,y2）,貝力＞0,直線/的方程為y=石（》一1）,

y=G(x-i)(x

聯(lián)立］,3可得(?2,即點A（2,JJ）、B1

y'=^〔x

易知點。（2,0）,

翻折后，以原坐標原點。為原點，原縱軸的負半軸所在直線為x軸，直線OP所在直線為

y軸，

過點。且垂直于平面OP8的直線作z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

、MT

設四棱錐P-ABD的外接球球心為G（a,b,c）,

［百

a2+(/?-1)'+c2=a2+(/?-2)'+c2a=——

2

222(6,3

由題意可得〈a+(/?-1)+ca------,解得《<o=—

22

7

3

a+?

a2+(b-l)2+c2+(h-2)2

2

7

33、

所以，球心為,所以，球G的半徑為|PG|

因此，球G的表面積為4HAG『=13兀.

故K答案》為：13兀.

16.已知橢圓C：工+金=1,過點J。,。）的直線/斜率范圍為

43<2）

-8,一與u［也,+00）,過（0,0）向/作垂線，垂足為P,。為橢圓上一點，K為橢圓

右焦點，則戶。+2|乙。|的最小值為.

35

K答案X—

K解析工設直線/斜率為k,直線/的方程為/=左（%+（｝過（0,0）向/作垂線的方程為

…卜+不

聯(lián)立方程'解得戶一2哥

1

V=——X

-1

其中—D(0,6],

k

2

若。（見〃），右準線為尤=幺，則。到右準線的距離為

c

尸2為橢圓右焦點，故IWQI=J（m-c）2+〃2且勺+g=i（a>L>°）,

貝》=從_嚶

a

所以I鳥Cl=J(m—c)2+〃2m2-2cm+a2=\em-a\

\FiQ\_\em-a\

故乙I

e

而橢圓的離心率e=g,則。到右準線I'的距離|QV'|=圖1=2\F2Q\.

過P作\PN\±r于N,則|PQ|+2|&2|=\PQ\+\QN'\>|PN|=

當）=指且。在線段尸N上時，|PN|取最小值，最小值為

K

35

|PN|4+—-------

2(3+1)

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17.人類探索浩瀚太空的步伐從未停止，假設在未來，人類擁有了兩個大型空間站，命名

為“領航者號''和''非凡者號其中“領航者號”空間站上配有2搜“M2運輸船”和1搜“T1轉

移塔”，“非凡者號”空間站上配有3搜“T1轉移塔”.現(xiàn)在進行兩艘飛行器間的“交會對

接”.假設“交會對接”在M年中重復了“次，現(xiàn)在一名航天員乘坐火箭登上這兩個空間站

中的一個檢查“領航者號”剩余飛行器情況，記“領航者號''剩余2搜"M2運輸船”的概率為

P”，剩余1搜“M2運輸船”的概率為戒.其中宇航員的性別與選擇所登錄空間站的情況如

下表所示.

男性宇航員女性宇航員

“領航者號”空間站380220

“非凡者號”空間站120280

P(K2>k]0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

n^ad-bcy

K-,n-a+b+c+d

(a+Zj)(c+d)(a+c)(Z?+d)

(1)是否有99.9%的把握認為選擇登錄空間站的情況與性別相關聯(lián)；

y2

(2)若k為函數(shù)/(x)=—極小值的一倍，求即“+%與3的遞推關系式.

Inxe

解：(1)小史遜理衛(wèi)之嘰367〉1。.828

500x500x6(X)x400

...有99.9%的把握認為選擇登錄空間站的情況與性別相關聯(lián)；

(2)/(幻=^，函數(shù)定義域為(0,1)一。,一)，則

由/'(6=0得1=e,

由用x)>o得％>e,由/'(x)<0得0<x<l或l<x<e,

/(x)在(e,+?>)上單調遞增，在(0,1)和(l,e)上單調遞減，

.?.當％=e時，f(x)取得極小值，且/(e)=e,

X2

%為函數(shù)/(x)=--極小值的一倍，.,"=2,

Inxe

_c]C；C；C；八八12_7

.2=可苻0+曰曰4+0(一P|一")=301+§小二藥，

z~ll01、z~tlz~ll1216

%d----=------

——；-----「-r1P1\?+~Z~i1-I----「---Ir—;----「--r1*Q-*\*—「;—Iz「rI,(\A-P1i?~Q1\'I/——QQ-*\■

y5\Jyy5jyy”327

…C；C'C'C；八八、12

當〃22時4=才?苻.21+壽?才4i+0{-p,i-4i)=

C；C\、12

q,i+曰H_q,i)=-+§，

②

24i212

2x①+②，得2p“+qn=-p“_|+--§q“_i+§=§(2P+如)+§,

從而2P“+/-1=g(2p“_1+%-1).

18.對于數(shù)列=5+1)2",〃eN*，的前〃項和，在學習完“錯位相減法”后，善于觀察

的小周同學發(fā)現(xiàn)對于此類“等差x等比數(shù)列“，也可以使用“裂項相消法“求解，以下是她的思

考過程：

111

①為什么/4\=--------可以裂項相消？是因為此數(shù)列的第"，”+1項有一定關系，

即第n項的后一部分與第n+\項的前一部分和為零

②不妨將4,=(〃+1)2",〃eN*也轉化成第%”+1項有一定關系的數(shù)列，因為系數(shù)不

確定,所以運用待定系數(shù)法可得％,=(川+4)2"-[p(〃+l)+q]2"T=(〃+I)2”,通過

化簡左側并與右側系數(shù)對應相等即可確定系數(shù)

③將數(shù)列q=(〃+1)2",〃eN”表示成勺=(P"+4)2"-[〃(〃+1)+切2向形式，然后

運用“裂項相消法”即可！

聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚了她的創(chuàng)新意識，但也同時強調一定要將基

礎的“錯位相減法”掌握.

(1)(鞏固基礎)請你幫助小周同學，用“錯位相減法“求｛%｝的前〃項和S.；

(2)(創(chuàng)新意識)請你參考小周同學的思考過程，運用“裂項相消法“求｛4｝的前"項和

S,.

解：(1)因為q=("+1)2”

所以S“=q+4+%++an=2x2'+3x22+4x23++(“+1)2”①

貝ij2s“=2x22+3x23+4x24+-+("+1)2'用②

所以①-②得：

,2_)2+1

-5?=2X2'+(22+23++2")-(〃+1)2,,+,=4+―=———(〃+1)2,,+|=-n-2"+'

1—2

所以5〃二小2向；

(2)因為a”=("+1)2",

設a”=(/?〃+q)2"-[p(〃+l)+q]2"+i=(-Q〃-q-2p)2",

—"=["=]

比較系數(shù)得：c/得〈I，所以4=(—〃+1)2〃一(—〃)2向，

-q-2p=\[q=l

所以S“=q+。2+。3++an

=0x2'-(-1)X22+(-1)X22-(-2)X23++(-n+1)2"-(-n)2,,+l=n-2,,+l,

19.已知底面為正方形的四棱柱ABC。-AB'C'。'，AD=AA'=4,E,F,”分別為

FP

A4',A'。'，C'。的中點，三角形S八社的面積為4,尸為直線上一動點且一-=%

PH

(2)是否存在X,使得線段3P與平面8CE夾角余弦值為

(1)證明:連接

因為S4既=gAE-AB?sinNBAE=4sinNBAE=4,

71

所以sin/BAE=l,所以NBA￡=—,即AA'_LAB，

2

又ADLA4',ADr^AB=A，AD,ABu平面43cO,故A4'_L平面ABC。，

FP

當2=1時，——=4=1,則P為尸”中點，P在377上，

PH

平面ABC。，ACu平面ABC。，.??■￡>￡>'_LAC,

又AC工BD,DD'\BD=D,DD',BDu平面BDDH，

AC_L平面瓦加笈，

又6Pu平面BDDB，：,BPIAC；

(2)解：以。為原點，DA所在直線為x軸，。。所在直線為y軸，￡)￡)'所在直線為z

軸，建立空間直角坐標系，

.?.0(0,0,0),5(4,4,0),￡(4,0,2),C(O,4,4),設尸(a,2-a,4),

所以說=(O,T,2),BC=(-4,0,4),BP=(a-4,-?-2,4),

設平面BCE的法向量。=(x,y,z),

n-BE—0一2y+z=0/、

則《即，門，令z=2，則y=Lx=2,/.n=(2,1,2),

八BC'=0-x+z=0

若線段BP與平面BC'E夾角余弦值為,，

8

則cos(BP,〃)==~^~,

n

.COS/BPn\_Kl_If_735

、/忸P〃3j2a2_4a+366

33/—62。+622=0,

VA=(-62)2一4x33x622=—78260<0,方程無解,

20.已知在三角形ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的三邊，若

sin2A+6sin2B+3sin2C=6^sinAsinBsinC

(1)求/C的大小;

(2)求邁L的值.

3b

解：(1)因為sin2A+6sin?8+3sin2c=6指sinAsinBsinC，

所以/+6b2+3c?=6y/3absinC>

2

則c2=2yj3ahsinC-——2b2,

3

^a2+3b2-2y/3absinC

又C°sC=號+瓜2

2ab2ah9

CQI

所以逐sinC+cosC=-^+二,

3b2a

因為某察2忌=2,當且僅當煞親即2。=3叱取等號,

V3sinC+cosC=2sinC+-<2,當且僅當。+四=N，即。=四時，取等號,

I6J623

所以J^sinC+cosC='+也=2,

3b2a

71

所以C二一；

3

(2)由(1)可得加=38，

所以2亙=班.

3b

21.已知在△ABC中，以3為坐標原點，角A,B,。所對應的邊分別為mb,c,且。=

4,若2〃+CCOSJB=16.

(1)求A點的軌跡方程G

(2)已知坐標原點為0,若過點尸(-8,0)的兩條直線與C分別交于M,N兩點,設

M(%,yj,/V(x2,y2),兩直線斜率分別為《，&且匕a=】，連接例，N交x軸于點

Q,△OMQ,AOMN面積分別為SI,S,,求3S|?一%.―%_s2的最大值.

y

解：（1）設點A的坐標為A（x,y）,

依題意可得8（0,0）,C（4,0）,

22

則b=J（X-4）2+V,c=^x+y,

"2+M_h1

又2匕+ccosB=16,則28+cx^^~—=16,BP16/j+c2-Z?2=112，

2ac

所以16^/(x-4)2+r+x2+/-(x-4)2-y2=112.化簡得3x2+4/=192,

22

A點的軌跡為橢圓，其方程為工+E=1.

6448

（2）由匕?左2=1，則占,《同號，

不妨令匕＞網(wǎng)＞0，則乂＞%＞。，設。（不，（）），則內(nèi)＞。，

由直線PM的方程為y=4（X+8）,

￡+?=1

聯(lián)立《6448,消了整理得(3+46)》2+64好》+2566一192=0,

y=4(x+8)

ril。256^-192刃24—32448K

則的二F^T,得寸節(jié)或，

,24—32148網(wǎng)

同理得”工^，/

3+4代'

由直線MN的方程為y=M（iJ+X'

xy.-xy,

令y=0,貝|」為=」2一以

由S|=gx°y,52=1x0(^-y2),

則3百.^^■一=2%(必一%)

=2x^^x("%)=2(wf%)

(24-32公48匕24-32片48公

2

、3+4收3+443+443+4片

56x48x(4-e)_56x48x(A「&)

“25+叫+12居=〃49+12(仁_網(wǎng))2

456x48/_56x48-/T

2x---------------<2x—,=64J3

4Q

，一+12(A1—/)2V49xl2

k、-k，2

當且僅當二/=12億-％2)時，等號成立,

rv|

22.已知函數(shù)/(x)=(x—l)e*—ox—l,^(x)=(x-l)lnx-/zx-l

⑴若〃=1,b=2,試分析/(x)和g(x)的單調性與極值；

⑵當a=b=l時，/(x)、g(x)的零點分別為X1,巧；乙，從下面兩個條件中

任選一個證明.(若全選則按照第一個給分)

求證：①In』+如％4<：；*；

②eM<衛(wèi)三+2.

2

(1)解：由已知/(x)=(x-l)e*-該函數(shù)的定義域為(YO,+8),

所以/'(x)=e*+(x-l)e*-1=xev-l,

當x<0時，ra)<o,

令/?(x)=xe*-l(xNO),所以〃'(x)=e"+xe*=e*(x+l),

所以力'(x)>0,所以函數(shù)〃(x)=xe*—1在[0,+e)上單調遞增，

又力(0)=—1<0,〃(l)=e—l>0,

所以存在％=毛<0,1),使得〃(品)=0，

當XG[0,%）時，&（力<0,當xe（x5，+oo）時,/i（x）>0,

所以當XG(TX),X5)時，r(x)<0，函數(shù)/(x)在(TX),毛)上單調遞減,

當%?看,+8)時，制X)>0,函數(shù)/(X)在(事,+。。)上單調遞增，

Xs

又/'(七)=0，其中x5e=1,

/、1

所以x=x$為函數(shù)/(X)的極小值點，極小值為一毛----，

X5

函數(shù)/(%)沒有極大值點；

由已知g(x)=(x—l)lnx—2x—1,該函數(shù)的定義域為(O,+8),

所以g'(x)=lnx+——--2=Inx-——1,

xx

設0(x)=lnx_L_l,=—+-4->0,

XXX

所以函數(shù)0(x)=lnx-1在(0,+功單調遞增，

X

又夕(e)=—J<0,°卜2)=2—《―1>0,

所以存在x=%6，x(,G(e,e2),使得*(X6)=lnx6—，T=。，

X6

當0<工<工6時，0(x)<o,當%>冗6時，e(x)>o,

所以當0<x<4時，g'(x)<。，函數(shù)g(x)在(0,%)上單調遞減，

當X〉天時，g'(x)>o,函數(shù)g(x)在(/，+8)上單調遞增，

又g'(x6)=。,

所以X=%6為函數(shù)g(x)的極小值點，極小值為一4----1,

*6

函數(shù)g(x)沒有極大值點，

(2)證明：①由⑴可得，函數(shù)/(x)=(x-l)e"-x—1在(—，鼻)上單調遞