四川省瀘州市瀘縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

瀘縣四中20232024學(xué)年高一上期期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1已知全集，集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合集合的運(yùn)算，求解即可.【詳解】由題可得：，，故．故選：.2.“，使”的否定是（）A.，使 B.，使C.，使 D.，使【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.【詳解】“，使”的否定為，使故選：D3.已知和均為非零實(shí)數(shù)，且，則下面表達(dá)正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】選項(xiàng)B、C、D可以利用賦值法進(jìn)行判定，選項(xiàng)A可利用作差與0比較，從而得到結(jié)論．【詳解】∵和均為非零實(shí)數(shù)，且，∴不妨取，，，故選項(xiàng)B不正確；取，，則，故選項(xiàng)C不正確；取，，則，故選項(xiàng)D不正確；∵，∴，故選項(xiàng)A正確，故選：A．4.設(shè)a，b，c為的三條邊長(zhǎng)，則“”是“為等腰三角形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別討論命題的充分性和必要性即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，充分性：若，則為等腰三角形.必要性：若為等腰三角形，則a，b不一定相等.故選：A.5.已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.5 C.6 D.無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【解析】【分析】由集合描述列舉出元素，即可確定元素個(gè)數(shù).【詳解】由，則可為，所以，共6個(gè)元素.故選：C6.某校新生加入乒乓球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)多于加入籃球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)，加入籃球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)多于加入足球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)，加入足球協(xié)會(huì)學(xué)生人數(shù)的3倍多于加入乒乓球協(xié)會(huì)和加人籃球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)之和，若該校新生每人只能加入其中一個(gè)協(xié)會(huì)，則該校新生中加入這三個(gè)協(xié)會(huì)的總?cè)藬?shù)至少為（）A.9 B.12 C.15 D.18【答案】C【解析】【分析】依題意列出不等式，結(jié)合其整數(shù)的性質(zhì)依次從小到大分析即可得解.【詳解】依題意，設(shè)加入乒乓球協(xié)會(huì)、籃球協(xié)會(huì)、足球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)分別為a，b，c，則，又，若，則，不滿足；若，則，不滿足；若，則，不滿足；若，則，滿足；則，，，則.故選：C.7.已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由于函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，解得.且有，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8.已知定義在上函數(shù)滿足：對(duì)任意的，有，且是偶函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由不等式在恒成立，結(jié)合的單調(diào)性、對(duì)稱性即可求的取值范圍.【詳解】對(duì)任意的，有，知：在上單調(diào)遞增，是偶函數(shù)，知：關(guān)于對(duì)稱，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；∵不等式對(duì)任意的恒成立，且，∴即可，而根據(jù)對(duì)稱性有，∴綜上知：或，解得，故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：注意抽象函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱性判斷1、對(duì)任意的：有單調(diào)遞增；有單調(diào)遞減；2、當(dāng)是偶函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱；思路點(diǎn)睛：對(duì)稱型函數(shù)不等式在一個(gè)閉區(qū)間上恒成立：在對(duì)稱軸兩邊取大于或小于該閉區(qū)間最值即可，結(jié)合函數(shù)區(qū)間單調(diào)性求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的有（）A.與B.與C.與D.與【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由同一函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)，函數(shù)，兩函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則都一致，所以是同一函數(shù)，故正確；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，它們的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)與函數(shù)，兩函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則都一致，所以是同一函數(shù)，故正確；對(duì)于D，函數(shù)與的定義域相同，對(duì)應(yīng)法則也相同，所以是同一函數(shù)，故正確；故選:ACD10.設(shè)函數(shù)、的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是偶函數(shù)C.是偶函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，，，，故是奇函數(shù)，A正確；，故為偶函數(shù)，B正確；，故是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；，故為偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：AB．11.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最小值是2 B.的最大值是1C.的最小值是4 D.的最大值是【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題中條件及基本不等式，逐項(xiàng)分析即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是2，故A正確；因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是1，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故D正確，故選:ABD.12.定義在R上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）.A.B.為偶函數(shù)C.區(qū)間上有最大值D.的解集為【答案】AD【解析】【分析】賦值，令，可判斷A；令，結(jié)合奇偶函數(shù)定義可判斷B；根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性定義可判斷C；利用函數(shù)單調(diào)性解不等式判斷D.【詳解】令，則，故，A正確；令，則，即，故函數(shù)為奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；設(shè)，則，由題意可得，即，即，故函數(shù)為R上的減函數(shù)，所以在區(qū)間上有最大值為，C錯(cuò)誤；等價(jià)于，又為R上的減函數(shù)，故，所以，解得，即的解集為，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的綜合應(yīng)用.關(guān)鍵點(diǎn)在于賦值法的運(yùn)用，通過(guò)對(duì)題意的理解，巧妙的賦予特殊值，結(jié)合奇函數(shù)定義判斷奇偶性，利用單調(diào)性的定義判斷單調(diào)性，然后利用函數(shù)性質(zhì)求解抽象函數(shù)的值域（最值）、解抽象函數(shù)不等式.第II卷非選擇題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)在上的值域是_____.【答案】【解析】【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值為1，又，故函數(shù)的值域?yàn)?，故答案為：?4.“”是“”的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___．【答案】【解析】【分析】求解一元二次不等式和一元一次不等式，根據(jù)充分不必要性，列出不等式，則問(wèn)題得解.【詳解】由，解得；由，即，解得或；又“”是“”的充分不必要條件，故可得，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查由命題之間的充分性和必要性求參數(shù)范圍，屬基礎(chǔ)題.15.不等式的解集為，不等式的解集為，不等式的解集是，那么等于__________．【答案】【解析】【詳解】分析：利用一元二次不等式的解法可得，，求出，根據(jù)韋達(dá)定理求得的值，從而可得結(jié)果.詳解：不等式變形得：，計(jì)算得出：，即，不等式變形得：，計(jì)算得出：，即，∴，即不等式的解集為，∴由韋達(dá)定理可得，，則，故答案為．點(diǎn)睛：集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)：（1）看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提；（2）有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決；（3）注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和圖．16.定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，．若當(dāng)時(shí)，，則的最小值等于________．【答案】【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為在區(qū)間上，，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解．【詳解】當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，故…，可得在區(qū)間上，，所以當(dāng)時(shí)，，作函數(shù)的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，由得，由圖象可知當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＞1}.（1）求集合；（2）設(shè)集合M＝{x|a＜x＜a+6}，且A∪M＝M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）{x|﹣2≤x≤1}（2）【解析】【分析】（1）進(jìn)行補(bǔ)集和交集的運(yùn)算即可；（2）根據(jù)可得出，然后即可得出，然后解出的范圍即可．【小問(wèn)1詳解】，則，又，則；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，且，∴，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為:18.（1）若x＞0，求f（x）=的最小值．（2）已知0＜x＜，求f（x）=x（13x）的最大值．【答案】(1)12;(2)．【解析】【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可；（2）化簡(jiǎn)得f（x）=x（13x）=?[3x?（13x）]，再利用基本不等式求最大值.【詳解】（1）若x＞0，則3x＞0，，∴f（x）=+3x≥2?=12，當(dāng)且僅當(dāng)=3x，即x=2時(shí)，取“=”，因此，函數(shù)f（x）的最小值為12；（2）若，∵f（x）=x（13x）=?[3x?（13x）]≤?=，當(dāng)且僅當(dāng)3x=13x，即x=時(shí)，取“=”，因此，函數(shù)f（x）的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（1）畫(huà)出函數(shù)的圖象；（2）求函數(shù)的解析式（寫出求解過(guò)程）．（3）求，的值域．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）作出時(shí)的圖象（拋物線的一部分），再作出其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，即可得結(jié)論；（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解析式；（3）由函數(shù)圖象得函數(shù)的單調(diào)性，從而可得最大值和最小值，即得值域．【小問(wèn)1詳解】先作出時(shí)的圖象（拋物線的一部分），再作出其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象：【小問(wèn)2詳解】是奇函數(shù)，時(shí)，，，所以，所以；【小問(wèn)3詳解】由（1）可知在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，，，，因此最大值為1，最小值為，所以的值域?yàn)椋?0.已知函數(shù)．（1）求的解析式；（2）試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增，證明詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用湊配法求得的解析式.（2）先求得的解析式并判斷出單調(diào)性，然后利用單調(diào)性的定義進(jìn)行證明.【小問(wèn)1詳解】，所以.【小問(wèn)2詳解】，在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，，其中，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.21.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二次不等式求解即可；（2）分情況討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，再根據(jù)恒成立問(wèn)題求解即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，解得【小問(wèn)2詳解】當(dāng)對(duì)稱軸，即時(shí)，在時(shí)取最小值，解得，與矛盾，不合題意；當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取最小值，解得，此時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，在時(shí)取最小值，解得，此時(shí).綜上，的取值范圍為22.已知二次函數(shù)滿足，且的最小值是．求的解析式；若關(guān)于x的方程在區(qū)間上有唯一實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；函數(shù)，對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）(2)（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）因，故對(duì)稱軸為，故可設(shè)，再由得.（2）有唯一實(shí)數(shù)根可以轉(zhuǎn)化為與有唯一的交點(diǎn)去考慮.（3），任意都有不等式成立等價(jià)于，分、、和四種情形討論即可.解析：（1）因，對(duì)稱軸為，設(shè)，