福建省夏泉五校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

廈泉五校2023-2024學(xué)年高一年級第一學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)科試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分第Ⅰ卷（共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，則集合（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由并集運算的定義可得.【詳解】，，根據(jù)并集運算的定義可得，故選：A.2.已知：“”，：“”，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先求得中對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)充分、必要條件的知識確定正確答案.【詳解】對于，令，可得，即，故或，解得或，故是的必要不充分條件.故選：A3.函數(shù)的定義域為，值域為，則圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意和函數(shù)的概念，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，值域為，對于A中，函數(shù)的定義域為，不符合題意；對于B中，函數(shù)的定義域為，值域為，符合題意；對于C中，根據(jù)函數(shù)的概念，一對一對應(yīng)和多多對一對應(yīng)是函數(shù)，而C項中出現(xiàn)一對多對應(yīng)，所以不是函數(shù)，不符合題意；對于D中，函數(shù)的定義域為，但值域為，不符合題意.故選：B4.已知函數(shù)，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)換元法求函數(shù)解析式.【詳解】令，可得.所以，因此的解析式為.故選：D.5.已知函數(shù)，則其圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性，排除選項，再取特殊值，可得答案.【詳解】，是奇函數(shù)，排除A、C，當(dāng)時，，排除D．故選：B.6.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實數(shù)（）A.2 B. C.4 D.2或【答案】B【解析】【分析】利用冪函數(shù)的定義求出m值，再由單調(diào)性驗證即得.【詳解】因函數(shù)是冪函數(shù)，則，即，解得或，當(dāng)時，函數(shù)在上遞增，則，當(dāng)時，函數(shù)在上遞減，不符合要求，實數(shù).故選：B7.若兩個正實數(shù)x，y滿足，且不等式有解，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用均值不等式求出最小值，根據(jù)題意列不等式求解即可.【詳解】，要使得不等式有解，只需有解即可，解得或者，故選：D8.已知數(shù)學(xué)符號表示取a和b中最大的數(shù)，若對任意，函數(shù)，則的最小值為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的定義可得函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求解最小值.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)的定義，可得的圖象（實線部分），由的圖象可知，當(dāng)時，最小，且最小值，故選：D二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.設(shè)，則下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用作差比較逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以，因此本選項正確；B：因為，所以，因此本選項正確；C：因為，所以，因此本選項不正確；D：因為，所以，因此本選項不正確，故選：AB10.下列各組函數(shù)是同一組函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】BCD【解析】【分析】由同一函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則都相同，即可判斷選項中的函數(shù)是否為同一函數(shù).【詳解】A：，，定義域相同，但對應(yīng)法則不同，不同函數(shù)；B：，，定義域和對應(yīng)法則都相同，同一函數(shù)；C：與，定義域和對應(yīng)法則都相同，同一函數(shù)；D：，，，定義域和對應(yīng)法則都相同，同一函數(shù)；故選：BCD.11.已知函數(shù)關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.的定義域為R B.的值域為C.若，則x的值是 D.的解集為【答案】BC【解析】【分析】求出分段函數(shù)的定義域可判斷A；求出分段函數(shù)的值域可判斷B；分、兩種情況令求出可判斷C；分、兩種情況解不等式可判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域是，故A錯誤；當(dāng)時，，值域為，當(dāng)時，，值域為，故的值域為，故B正確；當(dāng)時，令，無解，當(dāng)時，令，得到，故C正確；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，令，解得，故解集為，故D錯誤．故選：BC．12.已知定義在上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①，；②，當(dāng)時，都有；③．則下列選項成立的是（）A. B.若，則C.若，則 D.，，使得【答案】ACD【解析】【分析】由條件可得是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，然后逐一判斷每個選項即可.【詳解】由條件①得是偶函數(shù)，條件②得在上單調(diào)遞增，所以，故A對，若，則，得，故B錯，若，則或，因為，所以或，故C正確，因為定義在上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且在上單調(diào)遞增，所以，所以對，只需即可，故D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域為________．【答案】【解析】【分析】由具體函數(shù)的定義域即可得出答案.【詳解】函數(shù)的定義域為,解得：且.所以的定義域為.故答案為：14.集合，，且，則實數(shù)可取值組成的集合為_________【答案】【解析】【分析】確定，，考慮和兩種情況，計算得到答案.【詳解】，，則，當(dāng)時，，滿足條件；當(dāng)時，，，則或，解得或.綜上所述：.故答案：.15.若是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，又，則不等式解集為______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性求解即可；【詳解】因為是偶函數(shù)，所以所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，解得：，故答案為：.16.已知函數(shù)，若的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】分別討論和時，結(jié)合基本不等式和二次函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，解不等式可得所求范圍.【詳解】函數(shù)，可得時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，由時，，若時，在遞減，可得，由于的最小值為，所以，解得；若時，在處取得最小值與題意矛盾，故舍去；綜上得實數(shù)a的取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值求法，考查二次函數(shù)的單調(diào)性和運用，以及不等式的解法，屬于中檔題.四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18~22題12分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，.（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，得，根據(jù)集合的交集運算，直接得出結(jié)果.（2）先由補集的運算得出或，由于，根據(jù)集合間的包含關(guān)系，分類討論當(dāng)和兩種情況，可列出關(guān)于的不等式，從而可求出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：當(dāng)時，得，則.【小問2詳解】解：由，得或，由于，，當(dāng)時，則，解得：，滿足；當(dāng)時，要使成立，則或，解得：，綜上，實數(shù)的取值范圍是或.18.已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實數(shù)的取值集合；（2）設(shè)不等式的解集為，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知在時恒成立，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值集合；（2）分析可知，分、兩種情況討論，求出集合，結(jié)合可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：由，都有不等式成立，得在時恒成立，所以，因為二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，當(dāng)時，，，所以，.【小問2詳解】解：由可得.①當(dāng)時，可得或，因為是的充分條件，則，則，此時，；②當(dāng)時，可得或，因為是的充分條件，則，則，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)的圖像過點．（1）求實數(shù)m的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；【答案】（1）（2）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析【解析】【分析】（1）將代入解析式，得到m的值；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟：取值，作差，判號，下結(jié)論.【小問1詳解】將點代入函數(shù)中，可得，解得．小問2詳解】單調(diào)遞增，證明如下．由（1）可得，任取，則，因為，則，，，即，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．20.為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，小李決定返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，承包老家的土地發(fā)展生態(tài)農(nóng)業(yè)．小李承包的土地需要投入固定成本萬元，且后續(xù)的其他成本總額（單位：萬元）與前年的關(guān)系式近似滿足．已知小李第一年的其他成本為萬元，前兩年的其他成本總額為萬元，每年的總收入均為萬元．（1）小李承包的土地到第幾年開始盈利？（2）求小李承包的土地的年平均利潤的最大值．【答案】（1）第年（2）最大為萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個未知數(shù)的值，設(shè)小李承包的土地到第年的利潤為萬元，求出函數(shù)的解析式，然后解不等式，可得出結(jié)論；（2）設(shè)年平均利潤為萬元，可得出，利用基本不等式求出的最大值及其對應(yīng)的值，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，解得，所以．設(shè)小李承包的土地到第年的利潤為萬元，則，由，得，解得．故小李承包的土地到第年開始盈利．【小問2詳解】設(shè)年平均利潤為萬元，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．故當(dāng)小李承包的土地到第年時，年平均利潤最大，最大為萬元．21.已知定義在上的函數(shù)滿足：．（1）求函數(shù)的表達式；（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用方程組法求函數(shù)解析式即可；（2）要使在上恒成立，分離參數(shù)結(jié)合基本不等式求解即可.【小問1詳解】將的替換為得，聯(lián)立解得【小問2詳解】不等式為，化簡得，要使其在上恒成立，則，，當(dāng)且僅當(dāng)取等，所以．22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若函數(shù)在上既有最大值又有最小值，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為（2）或【解析】【分析】（1）代入