專題15 整式的乘法與因式分解60道計(jì)算專訓(xùn)（6大題型）（解析版）

專題15整式的乘法與因式分解50道計(jì)算專訓(xùn)（6大題型）【題型目錄】題型一同底數(shù)冪的乘法題型二冪的乘方與積的乘方題型三同底數(shù)冪的除法題型四乘法公式題型五因式分解題型六新定義計(jì)算【題型一同底數(shù)冪的乘法】1．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則求解即可得到答案；（2）先根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則求解，再合并同類項(xiàng)即可得到答案；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握．2．（2020上·福建龍巖·八年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)校考期中）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)0(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘的法則以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪相乘的法則以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，正確掌握同底數(shù)冪相乘的法則以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如果，求n的值．【答案】【分析】由題意可知，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則可變形為，即得出，解出n的值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法．掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解題關(guān)鍵．4．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可；（2）由同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可；（3）由同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可；（4）參照同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．計(jì)算同底數(shù)冪的乘法時(shí)，底數(shù)不變，指數(shù)相加．7．（2023下·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期中）（1）若，，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）15（2）【分析】（1）逆用同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則求得a的值，再代入求解即可．【詳解】解：（1），，；（2），，．．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握同底數(shù)冪的乘法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）回答下列問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)已知，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算解答；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以．?）解：因?yàn)?，所以，所以．【點(diǎn)睛】此題考查了同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則及逆運(yùn)算，正確掌握同底數(shù)冪乘法的計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2021下·安徽合肥·七年級(jí)合肥壽春中學(xué)?？计谥校┰谟?jì)算時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)每一個(gè)加數(shù)都是下一個(gè)加數(shù)的2倍，于是他的做法是：令，，，即．仿照上述做法，解決下列問(wèn)題：(1)______．(2)計(jì)算：（寫出計(jì)算過(guò)程）．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，即，計(jì)算求解即可；（2）令，則，即，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：令，則，∴，解得，，故答案為：；（2）解：令，則，∴，解得，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的運(yùn)算．10．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)0(5)0(6)0【分析】（1）先將轉(zhuǎn)化為，再利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（2）先將轉(zhuǎn)化為，再利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（3）先將轉(zhuǎn)化為，再利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則運(yùn)算即可；（4）先根據(jù)“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可；（5）先確定每一項(xiàng)的符號(hào)，再根據(jù)“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可；（6）先確定每一項(xiàng)的符號(hào)，再根據(jù)“同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加”運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可；【詳解】（1）解：原式=；（2）原式；（3）原式；（4）原式=；（5）原式；（6）原式．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，其中每一項(xiàng)的符號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn)．【題型二冪的乘方與積的乘方】11．（2023上·天津?yàn)I海新·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪相乘，最后合并同類項(xiàng)；（2）先算冪的乘方，再算同底數(shù)冪相乘；【詳解】（1）；（2）；【點(diǎn)睛】該題主要考查了整式的乘法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方以及合并同類項(xiàng)．12．（2023上·福建福州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)已知，求n的值．(2)已知，求m的值．【答案】(1)2(2)3【分析】（1）利用冪的乘方法則變形得到，即可求解；（2）運(yùn)用冪的乘方，把底數(shù)都化為3的形式，結(jié)合同底數(shù)冪的乘法，列出關(guān)于的方程求解．【詳解】（1）解：，∴，解得：；（2），，即，，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方等知識(shí)．熟練掌握運(yùn)算法則的逆用是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）已知，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)冪的乘方變形，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出答案即可；（2）先根據(jù)冪的乘方法則將原式各項(xiàng)化為含的冪的形式，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴原式；（2）解：∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的乘方及其逆運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法，掌握運(yùn)用整體代入法是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·山西臨汾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，．(1)求和的值．(2)利用（1）中的結(jié)果，求的值．【答案】(1)，(2)36【分析】（1）利用冪的乘方的法則及同底數(shù)冪的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算，從而可求解；（2）把所求的式子進(jìn)行整理，再代入相應(yīng)的值運(yùn)算即可．【詳解】（1）∵，，∴，，∴，．（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．15．（2023上·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知，．求：(1)；(2)的值．【答案】(1)5400(2)【分析】（1）逆向運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）逆向運(yùn)用同底數(shù)冪的除法法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方的逆運(yùn)算，掌握冪的運(yùn)算性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023上·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)長(zhǎng)治市第六中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）我們知道，一般的數(shù)學(xué)公式、法則、定義可以正向運(yùn)用，也可以逆向運(yùn)用．對(duì)于“同底數(shù)冪的乘法”“冪的乘方”“積的乘方”這幾個(gè)法則的逆向運(yùn)用表現(xiàn)為，，（m，n為正整數(shù)）．請(qǐng)運(yùn)用這個(gè)思路和冪的運(yùn)算法則解決下列問(wèn)題：(1)已知，請(qǐng)把用“<”連接起來(lái)：____________．(2)若，求的值．(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)72(3)8【分析】（1）逆用冪的乘方，化成指數(shù)相同的冪，再比較大??；（2）逆用同底數(shù)冪的乘法即可求解；（3）逆用同底數(shù)冪的乘法和逆用冪的乘方，化成指數(shù)相同的冪，再計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：由題得：．，；（2）解：∵，∴；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方法則，掌握法則的逆用是解題的關(guān)鍵．17．（2023上·北京海淀·八年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先計(jì)算同底數(shù)冪的乘法，再合并同類項(xiàng)；（2）把積中的每個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘即可；（3）先計(jì)算同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方，積的乘方，再合并同類項(xiàng)．【詳解】（1）解：；（2）解：==；（3）解：===．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方運(yùn)算，積的乘方運(yùn)算，合并同類項(xiàng)，掌握冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．（2022上·福建莆田·八年級(jí)?？计谥校?）已知，，，為正整數(shù)，求的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由可得：再把化為：，從而可得答案；（2）根據(jù)積的乘方與冪的乘方化為，代入，即可求解．【詳解】（1）解：（2）解：∵，，∴【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪乘法運(yùn)算及其逆運(yùn)算，積的乘方、冪的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（2022上·四川宜賓·八年級(jí)?？计谥校┯^察并驗(yàn)證下列等式：(1)續(xù)寫等式：；（寫出最后結(jié)果）(2)我們已經(jīng)知道，根據(jù)上述等式中所體現(xiàn)的規(guī)律，猜想結(jié)論：_______；（結(jié)果用因式乘積表示）(3)利用上述結(jié)論計(jì)算：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）觀察所給的各式即可得到答案；（2）根據(jù)題干中已知等式知從開(kāi)始的連續(xù)個(gè)整數(shù)的立方和等于這個(gè)數(shù)的和的平方，據(jù)此可得；（3）提公因式，進(jìn)而根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）由題意可得：；故答案為：．（2）；故答案為：．（3）【點(diǎn)睛】本題考查積的乘方以及數(shù)字規(guī)律，涉及整式混合運(yùn)算，有理數(shù)運(yùn)算等知識(shí)，綜合程度較高．20．（2022下·安徽·七年級(jí)?？计谥校┫聢D是東東同學(xué)完成的一道作業(yè)題，請(qǐng)你參考東東的方法解答下列問(wèn)題．(1)計(jì)算：①；②．(2)若，請(qǐng)求出n的值．【答案】(1)①1；②(2)【分析】（1）①根據(jù)逆用積的乘方法則得結(jié)論；②先逆運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法法則，再逆用積的乘方法則和乘方法則得結(jié)論；（2）先運(yùn)用冪的乘方法則和同底數(shù)冪的乘法法則得方程，求解即可．【詳解】（1）解：①原式；②原式；（2）解：∵，∴，則，解得：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的運(yùn)算，掌握冪的乘方法則、同底數(shù)冪的乘法法則、積的乘方法則是解決本題的關(guān)鍵．【題型三同底數(shù)冪的除法】21．（2023上·北京東城·八年級(jí)北京一七一中?？计谥校┯?jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)0(2)【分析】本題考查整式的乘法與除法運(yùn)算：（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方，整式的除法分別計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)整式的除法進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）；（2）．22．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）嘗試解決下列有關(guān)冪的問(wèn)題：(1)若，求的值；(2)已知，求的值；(3)若為正整數(shù)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘法以及積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘法以及積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘法以及積的乘方法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：原式即，則，即．（2）．（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘法以及積的乘方，掌握同底數(shù)冪的除法法則，冪的乘法以及積的乘方法則是解題的關(guān)鍵．23．（2023上·四川眉山·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】（1）解：，，，（2）解：，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘法、同底數(shù)冪的除法、冪的乘方，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．24．（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┮阎?1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方逆運(yùn)算進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的除法、冪的乘方逆運(yùn)算進(jìn)行求解即可；【詳解】（1）．（2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法的逆運(yùn)算，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．25．（2023上·福建泉州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）本學(xué)期我們學(xué)習(xí)了“同底數(shù)冪除法”的運(yùn)算，運(yùn)算法則如下：．根據(jù)“同底數(shù)冪除法”的運(yùn)算法則，回答下列問(wèn)題：(1)填空：___________，___________；(2)如果，求出的值；(3)如果，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)；(2)3(3)或或【分析】（1）直接利用例題的方法計(jì)算；（2）利用例題方法得出，解方程即可；（3）分類討論，指數(shù)相等時(shí)，時(shí)，時(shí)，分別計(jì)算即可．【詳解】（1）解：；；故答案為；；（2）解：，，，，解得：，；（3）解：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪除法,熟練掌握同底數(shù)冪除法的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．26．（2023下·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┯?jì)算：(1)．(2)(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方與積的乘方運(yùn)算法則化簡(jiǎn)即可；（2）分別根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法法則以及積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可；（3）根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】（1）；（2）；（3）【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023下·河南焦作·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)4(2)【分析】（1）先將變形成，再代入求值即可；（2）依據(jù)同底數(shù)冪的除法法則以及懸的乘方法則,將變形為,再代入求值即可．【詳解】（1）解：∵∴（2）當(dāng)時(shí)【點(diǎn)睛】本題主要考查了同底數(shù)冪的除法法則以及冪的乘方法則的運(yùn)用，關(guān)鍵是掌握冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘．28．（2023下·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算(1)已知，，求：的值．(2)，求：的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同底數(shù)冪的除法的法則進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）利用同底數(shù)冪的乘除法的法則，冪的乘方的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：，，；（2），原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．29．（2023下·江蘇徐州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算；（2）先將變形為，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法則計(jì)算．【詳解】（1）解：（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．30．（2023下·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第二十一中學(xué)校考期中）按要求完成下列各小題(1)若，求的值；(2)若，求的值；(3)若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)冪的乘方運(yùn)算法則將代數(shù)式轉(zhuǎn)換為含的式子，再將代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算法則將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將代入計(jì)算即可；（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算法則將代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)等式的性質(zhì)建立兩個(gè)等式，將兩個(gè)等式相加即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：；（3）解：∵，∴，∴，將①+②得．【點(diǎn)睛】本題考查的代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方運(yùn)算、同底數(shù)冪的乘法和除法運(yùn)算，以及掌握等式的性質(zhì)．【題型四乘法公式】31．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京市第三十五中學(xué)校考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：(1)，其中，．(2)已知，求代數(shù)式的值．【答案】(1)，1(2)，12【分析】本題考查了乘法公式，整式的加減，以及求代數(shù)式的值．（1）先根據(jù)乘法公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，然后把，代入計(jì)算即可．（2）先根據(jù)乘法公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，然后把代入計(jì)算即可．【詳解】（1），當(dāng)，時(shí)，原式；（2），∵，∴，∴原式．32．（湖北省武漢市東湖高新區(qū)2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）（1）先化簡(jiǎn)，再求值，其中，.（2）已知是完全平方式，則m的值為_(kāi)_____.（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）；；（2）【分析】本題考查的是乘法公式的應(yīng)用，多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，化簡(jiǎn)求值，完全平方式的理解；（1）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的整式的乘法，再合并同類項(xiàng)，最后計(jì)算多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，再代入求值即可；（2）根據(jù)完全平方式的特點(diǎn)，結(jié)合，從而可得答案.【詳解】解：（1），當(dāng)，時(shí)，原式；（2）∵是完全平方式，∴，∴m的值為.33．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（）直接根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可；（）利用平方差公式，完全平方公式和多項(xiàng)式的乘法法則計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：原式，；（2）解：原式，，．【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，完全平方公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．34．（2023上·甘肅天水·八年級(jí)校聯(lián)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則，進(jìn)行計(jì)算，化簡(jiǎn)后，再代值計(jì)算即可．【詳解】解：原式；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，是解題的關(guān)鍵．35．（2023上·福建福州·八年級(jí)校考期中）（1）已知a，b為實(shí)數(shù)．①若，，求，②若，，分別求a，b的值．（2）若a，b，x，y滿足：，，，，求的值．【答案】①25；②，或，；③【分析】（1）①利用完全平方公式進(jìn)行變形，再整體代入求值即可；②把已知的兩式相加可求得，再代入求值即可；（2）由已知條件得出，，構(gòu)造方程求解即可．【詳解】解：（1）①；②，，兩式相加可得，，即，∴，∵，，即，，當(dāng)時(shí)，，，∴，，當(dāng)時(shí)，，，∴，，綜上所述，，或，；（2）∵，，，，∴，即，，，，，∴，∴，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值、利用完全平方公式的變形求值，運(yùn)用整體代入的思想是解題的關(guān)鍵．36．（2023上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．【答案】，【分析】先對(duì)括號(hào)內(nèi)用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，合并同類項(xiàng)后，再進(jìn)行多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式運(yùn)算，然后代值計(jì)算即可．【詳解】解：原式，當(dāng)，時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式化簡(jiǎn)求值，掌握公式及化簡(jiǎn)步驟是解題的關(guān)鍵．37．（2023上·山西呂梁·八年級(jí)?？计谥校╅喿x下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．材料1：①一個(gè)數(shù)的平方一定是非負(fù)數(shù)，如；②兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和也是非負(fù)數(shù)，如；③一個(gè)非負(fù)數(shù)與一個(gè)正數(shù)的和是正數(shù)，如．材料2：若，則；若，則；若，則．材料3：利用可以將一個(gè)代數(shù)式化為的形式．任務(wù)：(1)將化為的形式．(2)比較與的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】該題主要考查了完全平方公式“”的應(yīng)用，以及整式化簡(jiǎn)和大小比較，常見(jiàn)大小比較的方法“作差法”；（1）根據(jù)化簡(jiǎn)即可；（2）將兩式相減，化簡(jiǎn)后確定與0的大小即可；【詳解】（1）原式．（2）．．38．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？计谥校┪覀冎溃鷶?shù)式的運(yùn)算屬于不改變代數(shù)式值的恒等變形．探究下列關(guān)于的代數(shù)式，并解決問(wèn)題．(1)如果，那么的值是，的值是；(2)如果求的值：求的值．【答案】(1)，；(2)；．【分析】（）先把原式左邊按照多項(xiàng)式乘法展開(kāi)，然后根據(jù)多項(xiàng)式相等的意義解答即可；（）先由（）的方法算得和的值，再通過(guò)下列方法計(jì)算：按照多項(xiàng)式乘法公式展開(kāi)后湊出和，再把和的值代入計(jì)算即可；按照完全平方公式變形，然后把和的值代入計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，∴，∴，，故答案為：，；（2）由，，∴，，，，；由，，，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算，完全平方公式的變形求值，熟練掌握完全平方公式和整式的乘法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．39．（2023上·廣東梅州·七年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐探索：根據(jù)表中所給，的數(shù)值，分別填寫下表中和的值．，的數(shù)俉，，，發(fā)現(xiàn)：根據(jù)上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？_________．實(shí)踐：請(qǐng)根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計(jì)算：【答案】探索：見(jiàn)解析；發(fā)現(xiàn)：；實(shí)踐：5670【分析】本題考查代數(shù)式求值及有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，重點(diǎn)是將運(yùn)用進(jìn)行轉(zhuǎn)換，結(jié)合已知條件將已知數(shù)值代入代數(shù)式進(jìn)行正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．探索：將各組數(shù)分別代入兩個(gè)代數(shù)式中計(jì)算即可．發(fā)現(xiàn)：根據(jù)表中數(shù)值即可求得答案．實(shí)踐：根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】探索：，的數(shù)值，，，24122412發(fā)現(xiàn)：實(shí)踐：．40．（2023上·四川眉山·八年級(jí)校考期中）已知，，求下列各式的值．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)10(2)【分析】（1）根據(jù)完全平方公式得出，再代入進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)完全平方公式先求出的值，再利用平方根的定義求值即可得到答案．【詳解】（1）解：，，；（2）解：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用完全平方公式的變形進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握完全平方公式是解此題的關(guān)鍵．【題型五因式分解】41．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？计谥校┮蚴椒纸?1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．（1）直接利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．42．（2023上·海南?？凇ぐ四昙?jí)海南華僑中學(xué)校考期中）把下列多項(xiàng)式分解因式：(1)(2)(3)(4)（十字相乘法）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了因式分解．選擇合適的方法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．（1）直接提公因式即可；（2）利用公式法進(jìn)行因式分解即可；（3）綜合提公因式、公式法進(jìn)行因式分解即可；（4）利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解；．43．（2023上·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期中）分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了用公式法和提公因式法因式分解的知識(shí)，（1）提取公因式即可；（2）直接利用平方差公式因式分解即可；（3）先提取公因式，然后再利用平方差公式因式分解即可．（4）先提取公因式2，然后再利用完全平方公式因式分解即可．【詳解】（1）（2）（3）（4）44．（2023上·山西呂梁·八年級(jí)?？计谥校┌严铝卸囗?xiàng)式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】該題主要考查了因式分解，解題關(guān)鍵是掌握因式分解的常見(jiàn)方法：“提公因式法、公式法、十字相乘法”；（1）先提公因式，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解即可；（2）先提公因式，再運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解即可；【詳解】（1）原式；（2）原式．45．（2023上·廣東廣州·七年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┓纸庖蚴?1)；(2)；(3)；【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）本題考查的是利用分組分解法分解因式，把原式化為，先利用完全平方公式把后面一組分解因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）本題考查的是利用完全平方公式分解因式，先把看作整體，計(jì)算乘法運(yùn)算，再連續(xù)兩次使用完全平方公式分解因式即可；（3）本題考查的是利用添項(xiàng)法結(jié)合完全平方公式與平方差公式分解因式，把與看作是整體，先加上，再減去，利用分組分解法進(jìn)行第一次分解，再利用平方差公式進(jìn)行第二次分解即可.【詳解】（1）解：；（2）；（3）；46．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京十五中?？计谥校╅喿x下列材料，回答問(wèn)題：“我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等，例如：分解因式，我們可以進(jìn)行以下操作：，再利用平方差公式可得；再如：求代數(shù)式的最小值，我們可以將代數(shù)式進(jìn)行如下變形：，于是由平方的非負(fù)性可知，當(dāng)時(shí)，有最小值.根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：(1)若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)______．(2)分解因式：______，代數(shù)式的最小值為_(kāi)_____．【答案】(1)4(2)；【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可求解；（2）把多項(xiàng)式進(jìn)行配方，化成完全平方式，再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）是一個(gè)完全平方式，故答案為：4；（2）；的最小值為故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，偶次方非負(fù)性的性質(zhì)，因式分解．本題是閱讀型題目，讀懂材料并熟練相應(yīng)的方法是解題的關(guān)鍵．47．（2023上·上海浦東新·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀下列解題的過(guò)程．分解因式：解：請(qǐng)按照上述解題思路完成下列因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題中所給方法可進(jìn)行因式分解；（2）根據(jù)題中所給方法可進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解，熟練掌握因式分解是解題的關(guān)鍵．48．（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州第一中學(xué)校考期中）閱讀與思考：分組分解法指通過(guò)分組分解的方式來(lái)分解用提公因式法和公式法無(wú)法直接分解的多項(xiàng)式，比如：四項(xiàng)的多項(xiàng)式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進(jìn)行分組分解．例1：“兩兩分組”：

例2：“三一分組”：；

解：原式

解：原式

．

．歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當(dāng)分組，然后用提公因式法或運(yùn)用公式法繼續(xù)分解．請(qǐng)同學(xué)們?cè)陂喿x材料的啟發(fā)下，解答下列問(wèn)題：(1)①填空：解：原式＝____________②因式分解：；(2)已知，且，求的值．【答案】(1)①，，，②；(2)【分析】（1）根據(jù)題意的分組分解法直接分組，再提取公因式或利用公式法因式分解即可得到答案；（2）將兩多項(xiàng)式相減得到a，b，c的關(guān)系，代入等式求解即可得到答案；【詳解】（1）解：由題意可得，解：①原式；②原式；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，即：，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查利用公式法，提取公因式法結(jié)合分組分解法因式分解，解題的關(guān)鍵是讀懂題意的分組分解法，合理分組．49．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校╅喿x下列材料，回答問(wèn)題．(1)形如型的二次三項(xiàng)式，有以下特點(diǎn)：①二次項(xiàng)系數(shù)是1；②常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)之積；③一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)之和．把這個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，可以這樣來(lái)解：．因此，可以得________．利用上面的結(jié)論，可以直接將某些二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式；(2)利用（1）中的結(jié)論，分解因式：①________；②________；③________．【答案】(1)(2)①；②；③【分析】（1）根據(jù)題材即可得出結(jié)論；（2）利用題材做給方法因式分解即可．【詳解】（1）解：．因此，可以得故答案為：．（2）解：①．故答案為：；②．故答案為：；③．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，明確題意，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．50．（2023上·上海靜安·七年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┫乳喿x下列解題過(guò)程，然后完成后面的題目．分解因式：解：以上解法中，在的中間加上一項(xiàng)，使得三項(xiàng)組成一個(gè)完全平方式，為了使這個(gè)式子的值保持與的值相等，必須減去同樣的一項(xiàng)．按照這個(gè)思路，(1)試把多項(xiàng)式分解因式；(2)試把多項(xiàng)式分解因式．【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照材料根據(jù)原式加上配成完全平方公式，再減去，運(yùn)用平方差公式因式分解即可；（2）仿照材料根據(jù)原式加上配成完全平方公式，再減去，再運(yùn)用平方差公式因式分解即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解、完全平方公式、平方差公式，閱讀材料、掌握材料介紹的方法是解答本題的關(guān)鍵．【題型六新定義計(jì)算】51．（2023下·湖南永州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）配方法是數(shù)學(xué)中重要的思想方法之一，它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為一個(gè)完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”，例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．【解決問(wèn)題】（1）已知13是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成（a，b是正整數(shù)）的形式______；（2）若可配方成（m，n為正整數(shù)），則______；【探究問(wèn)題】（3）已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)新定義把13寫成兩個(gè)整數(shù)的平方和即可；（2）原式利用完全平方公式后，再確定出m與n的值，即可求出的值；（3）根據(jù)S為“完美數(shù)”，利用完全平方公式配方，確定出k的值即可．【詳解】解：（1）；（2）；∴，∴；（3）；∵S是“完美數(shù)”，，是整數(shù)，∴k可以?。军c(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式的應(yīng)用，掌握利用完全平方公式分解因式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．52．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題，我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”，例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題；（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式：______；（2）若可配方成（m、n為常數(shù)），則______．探究問(wèn)題；（3）已知，則______．（4）已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）8，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義即可得到答案；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)常數(shù)的值，進(jìn)而即可求解；（3）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x和y的值，進(jìn)行計(jì)算即可；（4）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意，得：；故答案為：；（2）∵，∴；∴；故答案為：；（3）∵，∴，∴，∴，，∴，∴；故答案為：；（4），理由如下：，∵S為“完美數(shù)”，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用．熟練掌握配方法，理解并掌握完美數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．53．（2023上·四川資陽(yáng)·八年級(jí)四川省樂(lè)至中學(xué)?？计谥校┒x：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)就叫做復(fù)數(shù)，表示為（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：(1)填空：①＝__________；②＝____________(2)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分分別相等，完成下列問(wèn)題：已知，（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值．(3)求的值【答案】(1)①②(2)(3)【分析】（1）各式利用平方差公式，以及完全平方公式計(jì)算即可求出值；（2）根據(jù)實(shí)數(shù)部分與虛數(shù)部分相等列出方程求出方程的解即可得到x與y的值；（3）原式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出值；【詳解】（1）①原式；②原式；故答案為：；（2）由已知等式得：,解得：；（3）由題意可得：；【點(diǎn)睛】本題考查了新定義-復(fù)數(shù)，整式的混合運(yùn)算的應(yīng)用，能讀懂題意是解此題的關(guān)鍵，主要考查了學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，難度適中．54．（2023上·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)椋?是“完美數(shù)”．解決問(wèn)題：（1）已知10是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式；（2）若可配方成（m、n為常數(shù)），則；探究問(wèn)題：（3）已知，求的值；（4）已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義求解即可；（2）利用配方法把原式變形，求出，，即可求解；（3）利用配方法把原式變形，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性求得，，即可求解；（4）利用配方法把原式變形，再根據(jù)“完美數(shù)”的定義求解即可．【詳解】解：（1）由題意可得，，故答案為：；（2）∵，∴，，∴，故答案為：；（3），∴，∴，∴，∴，，∴，，∴，故答案為：；（4），∵S為“完美數(shù)”，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用、“完美數(shù)”的定義，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．55．（2022上·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀╅喿x理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于，記為，這個(gè)數(shù)叫做虛數(shù)單位，那么形如(，為實(shí)數(shù))的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加、減、乘法運(yùn)算與整式的加、減、乘法運(yùn)算類似(實(shí)數(shù)將在八年級(jí)進(jìn)行學(xué)習(xí)，實(shí)數(shù)包括有理數(shù))．例如：；；.(1)填空：________，________；(2)計(jì)算：①；②；(3)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問(wèn)題：已知：(，為有理數(shù))，求的值；(4)試一試，請(qǐng)利用以前學(xué)習(xí)的有關(guān)知識(shí)將化簡(jiǎn)成(，為有理數(shù))的形式．【答案】(1)，；(2)，；(3)；(4)見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)新定義可得結(jié)論；（2）①根據(jù)和平方差公式計(jì)算即可；②根據(jù)和完全平方公式進(jìn)行分解即可；（3）根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義分別求出，的值，并代入所求式即可求解；（4）將所求式的分子和分母同時(shí)乘以，并結(jié)合，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：，；故答案為：，；（2）①；②；；（3）因?yàn)椋核裕航獾卯?dāng)，時(shí)，（4）【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算，完全平方公式，平方差公式，理解新定義的運(yùn)算法則握是解題的關(guān)鍵．56．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于－1，記為，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么形如（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個(gè)復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計(jì)算：．；．(1)填空：______，______；(2)計(jì)算：①；②；(3)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問(wèn)題：已知：，（x，y為實(shí)數(shù)），求的值．(4)試一試：請(qǐng)你參照這一知識(shí)點(diǎn)，將（m為實(shí)數(shù)）因式分解成兩個(gè)復(fù)數(shù)的積．【答案】(1)i；2(2)①5；②(3)14(4)【分析】（1）根據(jù)題中虛數(shù)定義和整式中的同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則求解即可；（2）①利用整式的平方差公式和題中虛數(shù)定義求解即可；②利用整式的完全平方公式和題中虛數(shù)定義求解即可；（3）根據(jù)復(fù)數(shù)相等列二元一次方程組求得x、y值，再代值求解即可；（4）根據(jù)虛數(shù)定義和整式的平方差公式分解因式即可求解．【詳解】（1）解：，，故答案為：i；2；（2）解：①；②；（3）解：由題意，得，解得，∴；（4）解：∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算、因式分解、解二元一次方程組、代數(shù)式求值，理解題中虛數(shù)定義和復(fù)數(shù)的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似并靈活運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．57．（2023下·福建寧德·七年級(jí)校聯(lián)考期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成、是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．【解決問(wèn)題】（1）已知是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫成（a、b是整數(shù)）的形式．（2）若可配方成（m、n為常數(shù)），則．【探究問(wèn)題】（3）已知，求的值；（4）已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）13，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“完美數(shù)”的定義即可得到答案；（2）利用配方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后求得對(duì)應(yīng)常數(shù)的值，進(jìn)而即可求解；（3）配方后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得x和y的值，進(jìn)行計(jì)算即可；（4）利用完全平方公式把原式變形，根據(jù)“完美數(shù)”的定義證明結(jié)論．【詳解】（1）根據(jù)題意得：；（2）根據(jù)題意得：，，，∴；（3）將等式變形得：，即，∵，，解得：，，∴；（4）當(dāng)時(shí)，S為“完美數(shù)”，理由如下：，，是整數(shù)，，也是整數(shù)，是一個(gè)“完美數(shù)”．【點(diǎn)睛】本題考查的是配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式、偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．58．（2022下·福建三明·七年級(jí)統(tǒng)考期中）閱讀以下材料：對(duì)數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（，年），納皮爾發(fā)明對(duì)數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（，年）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)之間的聯(lián)系．對(duì)數(shù)的