第03講 三角函數(shù)的應(yīng)用及利用三角函數(shù)測高（原卷版）

第03講三角函數(shù)的應(yīng)用及利用三角函數(shù)測高目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助計(jì)算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計(jì)算，并能夠進(jìn)一步對結(jié)果的意義進(jìn)行說明，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識及解決實(shí)際問題的能力。2.把直角三角形的邊角關(guān)系與實(shí)際問題聯(lián)系起來，在解決實(shí)際問題時(shí)，養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣。3.能夠設(shè)計(jì)活動方案、自制測傾器和運(yùn)用側(cè)傾器進(jìn)行實(shí)地測量以及撰寫活動報(bào)告。4.能夠?qū)λ玫臄?shù)據(jù)進(jìn)行分析，能夠?qū)?cè)傾器進(jìn)行調(diào)整及對測量結(jié)果進(jìn)行矯正，從而得出符號實(shí)際的結(jié)果。5.能夠綜合運(yùn)用直角三角形邊角關(guān)系的知識解決實(shí)際問題。知識精講知識精講知識點(diǎn)01三角函數(shù)的應(yīng)用1．直角三角形知識解決實(shí)際問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型。

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形。

(4)得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解。

知識點(diǎn)02有關(guān)概念

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示。

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成的形式。

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖。

(3)方位角：從某點(diǎn)的指北方向線按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標(biāo)方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°。

(4)方向角：指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標(biāo)方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°。

注意：

1．解直角三角形實(shí)際是用三角知識，通過數(shù)值計(jì)算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖。

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解。3．解直角三角形的應(yīng)用題時(shí)，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進(jìn)而根據(jù)條件選擇合適的方法求解。知識點(diǎn)03測量傾斜角測量傾斜角可以用側(cè)傾器。簡單的側(cè)傾器由度盤、鉛錘和支桿組成（如下圖所示）。1．簡易測傾器的制作方法簡單的測傾器可以自己制作。用木板做一個(gè)半圓刻度盤，用螺栓、螺母把它的直徑的中心和一根長木桿連在一起,并在半圓圓心掛一鉛垂線，沿直徑的兩端做一水平頂線。當(dāng)木桿與地面垂直時(shí)，通過頂線的視線是水平的，此時(shí)的鉛垂線位置作為零刻度線，即可制作出一個(gè)簡易的測傾器，如圖①所示。2．使用測傾器測量傾斜角的步驟①如圖①所示，把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置。

②如圖②所示，轉(zhuǎn)動度盤，使度盤的直徑對準(zhǔn)目標(biāo)M，記下此時(shí)鉛垂線所指的度數(shù)。

③根據(jù)同角的余角相等可知，所測傾斜角(即仰角AOM)等于鉛垂線所指的度數(shù),讀出鉛垂線所指的度數(shù)，即為AOM的度數(shù)。知識點(diǎn)04測量底部可以到達(dá)的物體的高度所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點(diǎn)與被測物體的底面之間的距離。測量步驟①在測點(diǎn)安置側(cè)傾器；②測量物體頂端相對于測點(diǎn)的仰角；③測量測點(diǎn)到物體的水平距離；④量出側(cè)傾器的高度。示意圖物體的高度為MN，測點(diǎn)為A，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E測量數(shù)據(jù)①測得M的仰角；②測點(diǎn)A到物體的水平距離；③側(cè)傾器的高度。計(jì)算關(guān)系由示意圖知，，。在中，，則，，即物體的高度為。知識點(diǎn)05測量底部不可以到達(dá)的物體的高度所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點(diǎn)與被測物體的底部之間的距離。測量步驟（如下圖所示，測量物體MN的高度）：（1）在測點(diǎn)A處安置測傾器，測得此時(shí)M的仰角；（2）在測點(diǎn)A與物體之間的B處安置測傾器(A，B與N在一條直線上，且A，B之間的距離可以直接測得)，測得此時(shí)M的仰角；（3）量出測傾器的高度AC=

BD=a，以及測點(diǎn)A，B之間的距離

AB

=

b。

結(jié)果的計(jì)算過程:由上圖知E，D，C三點(diǎn)在同一直線上，且，則四邊形BDEC和四邊形ACEN都是矩形，。在中，，則。在中，，則。由，得，即物體MN的高度為。能力拓展能力拓展考法01解直角三角形在解決幾何圖形計(jì)算問題中的應(yīng)用【典例1】如圖，在△AOB中，∠0＝90°．AP平分∠OAB．若△AOP～△BOA，OA＝2，則OP的長為（

）A． B． C．1 D．【即學(xué)即練】如圖，在正方形中，點(diǎn)G是上一點(diǎn)，且，連接交對角線于F點(diǎn)，過D點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)E，若，則的長為（

）A． B． C． D．【典例2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC上，且AD=BD=CD，AE是BC邊上的高，若沿AE所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)D處，若AB=，則△ADC的周長等于（

）A．1 B． C．2 D．3【典例3】如圖，等邊ABC的邊長為3，點(diǎn)D在邊AC上，AD＝，線段PQ在邊BA上運(yùn)動，PQ＝，則四邊形PCDQ面積的最大值為（

）A． B． C． D．考法02解直角三角形在解決實(shí)際生活、生產(chǎn)問題中的應(yīng)用【典例4】如圖，一棵大樹被臺風(fēng)攔腰刮斷，樹根A到刮斷點(diǎn)的距離是4米，折斷部分與地面成的夾角，那么原來這棵樹的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【即學(xué)即練】為做好疫情防控工作，確保師生生命安全，學(xué)校每日都在學(xué)生進(jìn)校前進(jìn)行體溫檢測．某學(xué)校大門高6.5米，學(xué)生身高1.5米，當(dāng)學(xué)生準(zhǔn)備進(jìn)入體溫檢測有效識別區(qū)域時(shí)，在點(diǎn)D處測得攝像頭A的仰角為，當(dāng)學(xué)生剛好離開體溫檢測有效識別區(qū)域段時(shí)，在點(diǎn)C處測得攝像頭A的仰角為，則體溫檢測有效識別區(qū)域段的長為（

）A．米 B．米 C．10米 D．米【典例5】如圖，某漁船正在海上P處捕魚，先向北偏東30°的方向航行10km到A處．然后右轉(zhuǎn)40°再航行到B處，在點(diǎn)A的正南方向，點(diǎn)P的正東方向的C處有一條船，也計(jì)劃駛往B處，那么它的航向是（

）A．北偏東20° B．北偏東30° C．北偏東35° D．北偏東40°【典例6】如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球處看一棟樓頂部處的仰角為，看這棟樓底部處的俯角為，熱氣球處與樓之間的水平距離為，則這棟樓的高度為（

）A． B． C． D．考法03利用三角函數(shù)測高【典例7】如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)是同一幢樓上的兩個(gè)不同位置，從點(diǎn)觀測標(biāo)志物的俯角是65°，從點(diǎn)觀測標(biāo)志物的俯角是35°，則的度數(shù)為（

）A．25° B．30° C．35° D．65°【典例8】2022年北京冬季奧運(yùn)會日益臨近，國家跳臺滑雪中心建設(shè)已初具規(guī)模，國家跳臺滑雪中心的賽道線剖面因與中國傳統(tǒng)吉祥飾物“如意”的形曲線契合，被形象地稱為“雪如意”．“雪如意”的剖面示意圖如圖：跳臺由頂部的頂峰平臺、中部的大跳臺騰空起點(diǎn)、賽道、底部的看臺區(qū)組成．為有效進(jìn)行工程施工監(jiān)測，現(xiàn)在處設(shè)置了監(jiān)測標(biāo)志旗（標(biāo)志旗高度忽略不計(jì)），賽道可近似視作坡度為的一段坡面，通過高程測量儀測得點(diǎn)、點(diǎn)的海拔高度差（即）是160米，從頂峰平臺點(diǎn)俯視處的標(biāo)志旗，俯角約為37°．由處釋放的遙控?zé)o人機(jī)豎直上升到與平臺水平位置后，遙感測得之間距離為152米，若圖中各點(diǎn)均在同一平面，則賽道長度約為（）米．（參考數(shù)據(jù)：，，）A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2【即學(xué)即練】某興趣小組想測量一座大樓AB的高度．如圖，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為12米它的坡度．在離C點(diǎn)40米的D處，用測量儀測得大樓頂端A的仰角為37度，測角儀DE的高度為1.5米，求大樓AB的高度約為（

）米（）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，一條河兩岸互相平行，為測得此河的寬度PT（PT與河岸PQ垂直），測P、Q兩點(diǎn)距離為m米，，則河寬PT的長度是（

）A． B． C． D．2．如圖1，是我們經(jīng)?？吹降囊环N折疊桌子，它是由下面的支架AD、BC與桌面構(gòu)成，如圖2，已知OA＝OB＝OC＝OD＝20cm，∠COD＝60°，則點(diǎn)A到地面（CD所在的平面）的距離是（

）A．30cm B．60cm C．40cm D．60cm3．如圖，在坡角為的山坡上A、B、C處栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹的坡面上的距離BC為（

）A． B． C． D．4．如圖，某河堤橫斷面迎水坡的坡度為，則坡角（

）A． B． C． D．5．某時(shí)刻海上點(diǎn)P處有一客輪，測得燈塔A位于P的北偏東30°方向，且相距50海里．客輪以60海里/小時(shí)的速度沿北偏西60°方向航行小時(shí)到達(dá)B處，那么tan∠BAP=（）A． B． C． D．6．如圖，C、D分別是一個(gè)湖的南、北兩端A和B正東方向的兩個(gè)村莊，CD=6km，且D位于C的北偏東30°方向上，則AB的長為（）A．2km B．3km C．km D．3km7．某水庫堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡度是1︰，堤壩高BC＝50m，則AB＝________m．8．如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高度BC為______米．9．某校自開展課后延時(shí)服務(wù)以來，組建了許多興趣小組，小明參加了數(shù)學(xué)興趣小組，在課外活動中他們帶著測角儀和皮尺到室外開展實(shí)踐活動，當(dāng)他們走到一個(gè)平臺上時(shí)，發(fā)現(xiàn)不遠(yuǎn)處有一棵大樹，如圖所示，小明在平臺底部的點(diǎn)C處測得大樹的頂部B的仰角為60°，在平臺上的點(diǎn)E處測得大樹的頂部的仰角為30°．測量可知平臺的縱截面為矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求大樹AB的高．（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）10．如圖，甲?乙兩樓相距，甲樓高，自甲樓樓頂看乙樓樓頂，仰角為，乙樓有多高？（結(jié)果精確到）題組B能力提升練1．如圖，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的點(diǎn)C處安裝水平遮陽板CD=1米，當(dāng)太陽光線與水平線成α=60°角時(shí)，光線剛好不能直接射人室內(nèi)，則m的值是（

）A．m=+0.8 B．m=+0.2 C．m=-0.2 D．m=-0.82．如圖是凈月潭國家森林公園一段索道的示意圖．已知A、B兩點(diǎn)之間的距離為35米，，則纜車從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，上升的高度（BC的長）為（

）A．35sin米 B．米 C．35cos米 D．米3．如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組測量一棵樹的高度，在點(diǎn)A處測得樹頂C的仰角為，在點(diǎn)B處測得樹頂C的仰角為，且A，B，D三點(diǎn)在同一直線上，若，則這棵樹的高度是（

）A． B． C． D．4．一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對稱圖形，已知，，則房頂A離地面的高度為（

）A． B．C． D．5．如圖，小明同學(xué)在東西方向的環(huán)海路A處，測得海中燈塔P在北偏東60°方向上，在A處東500米的B處，測得海中燈塔P在北偏東30°方向上，則燈塔P到環(huán)海路的距離PC=（）米．A．250 B．500 C．250 D．5006．溫州市處于東南沿海，夏季經(jīng)常遭受臺風(fēng)襲擊．一次，溫州氣象局測得臺風(fēng)中心在溫州市A的正西方向300千米的B處（如圖），以每小時(shí)10千米的速度向東偏南30°的BC方向移動，并檢測到臺風(fēng)中心在移動過程中，溫州市A將受到影響，且距臺風(fēng)中心200千米的范圍是受臺風(fēng)嚴(yán)重影響的區(qū)域．則影響溫州市A的時(shí)間會持續(xù)多長？（）A．5 B．6 C．8 D．107．如圖，一輛小車沿著坡度為的斜坡從點(diǎn)A向上行駛了50米到點(diǎn)B處，則此時(shí)該小車離水平面的垂直高度為_____________.8．如圖，兩根竹竿和斜靠在墻上，量得，，則竹竿與的長度之比為__________．9．某學(xué)校九年級的學(xué)生去參加社會實(shí)踐，在風(fēng)景區(qū)看到一棵古松，不知這棵古松有多高，下面是他們的一段對話：甲：我站在此處看樹頂仰角為45°.乙：我站在此處看樹頂仰角為30°.甲：我們的身高都是1.5m．乙：我們倆相距20m．請你根據(jù)兩位同學(xué)的對話，計(jì)算這棵古松DE的高度．（結(jié)果保留根號）．10．如圖，在河流的右岸邊有一高樓，左岸邊有一坡度的山坡，點(diǎn)與點(diǎn)在同一水平面上，與在同一平面內(nèi)．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測量樓的高度，在坡底處測得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿坡面上行了米（即米）到達(dá)點(diǎn)處，此時(shí)在處測得樓頂?shù)难鼋菫椋▍⒖紨?shù)據(jù)：，，）（1）求點(diǎn)到點(diǎn)的水平距離的長；（2）求樓的高度．題組C培優(yōu)拔尖練1．小林在放學(xué)路上，看到隧道上方有一塊宣傳“重慶﹣﹣行千里，致廣大”豎直標(biāo)語牌CD．他在A點(diǎn)測得標(biāo)語牌頂端D處的仰角為42°，由A點(diǎn)沿斜坡AB下到隧道底端B處（B，C，D在同一條直線上），AB＝10m，坡度為i＝1：，則標(biāo)語牌CD的長為（

）m（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．（參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）A．4.3 B．4.5 C．6.3 D．7.82．如圖，在熱氣球C處測得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30°、45°，熱氣球C的高度CD為100米，點(diǎn)A、D、B在同一直線上，則AB兩點(diǎn)的距離是（）A．200米 B．200米 C．220米 D．100米3．如圖，在中，，為邊上的高，點(diǎn)沿所在的直線運(yùn)動時(shí)，三角形的面積發(fā)生變化，當(dāng)?shù)拿娣e為48時(shí)，的長為（

）．A． B． C． D．4．如圖，已知樓房AB高為50m，鐵塔塔基距樓房基間的水平距離BD為100m，塔高CD為m，則下面結(jié)論中正確的是（

）．A．由樓頂望塔頂仰角為60° B．由樓頂望塔基俯角為60°C．由樓頂望塔頂仰角為30° D．由樓頂望塔基俯角為30°5．如圖，一座金字塔被發(fā)