專題11 二次函數壓軸題（原卷版）

專題11二次函數壓軸題1．（2023·無錫·中考真題）已知二次函數的圖像與軸交于點，且經過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內角是的兩倍，求點的橫坐標．2．（2023·徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標系中，二次函數的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．(1)求點的坐標；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當線段的中點在該二次函數的因象的對稱軸上時，的面積為．

3．（2023·常州·中考真題）如圖，二次函數的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標．4．（2023·蘇州·中考真題）如圖，二次函數的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側），直線是對稱軸．點在函數圖像上，其橫坐標大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．(1)求點的坐標；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經過點，求長的取值范圍．5．（2023·南通·中考真題）定義：平面直角坐標系中，點，點，若，，其中為常數，且，則稱點是點的“級變換點”．例如，點是點的“級變換點”．(1)函數的圖象上是否存在點的“級變換點”?若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)點與其“級變換點”分別在直線，上，在，上分別取點，．若，求證：；(3)關于x的二次函數的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線上，求n的取值范圍．6．（2023·連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．(1)當時，求點的坐標；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應的函數表達式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．7．（2023·連云港·中考真題）【問題情境

建構函數】（1）如圖1，在矩形中，是的中點，，垂足為．設，試用含的代數式表示．【由數想形

新知初探】（2）在上述表達式中，與成函數關系，其圖像如圖2所示．若取任意實數，此時的函數圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補全函數圖像．【數形結合

深度探究】（3）在“取任意實數”的條件下，對上述函數繼續(xù)探究，得出以下結論：①函數值隨的增大而增大；②函數值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數圖像有四個交點；④在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結論的序號）【抽象回歸

拓展總結】（4）若將（1）中的“”改成“”，此時關于的函數表達式是__________；一般地，當取任意實數時，類比一次函數、反比例函數、二次函數的研究過程，探究此類函數的相關性質（直接寫出3條即可）．8．（2023·江蘇·中考真題）已知二次函數（為常數）．(1)該函數圖像與軸交于兩點，若點坐標為，①則的值是_________，點的坐標是_________；②當時，借助圖像，求自變量的取值范圍；(2)對于一切實數，若函數值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；(3)當時（其中為實數，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．9．（2023·鹽城·中考真題）定義：若一次函數的圖象與二次函數的圖象有兩個交點，并且都在坐標軸上，則稱二次函數為一次函數的軸點函數．【初步理解】（1）現有以下兩個函數：①；②，其中，_________為函數的軸點函數．（填序號）【嘗試應用】（2）函數（為常數，）的圖象與軸交于點，其軸點函數與軸的另一交點為點.若，求的值．【拓展延伸】（3）如圖，函數（為常數，）的圖象與軸、軸分別交于，兩點，在軸的正半軸上取一點，使得.以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形.若函數（為常數，）的軸點函數的頂點在矩形的邊上，求的值．

10．（2023·揚州·中考真題）在平面直角坐標系中，已知點A在y軸正半軸上．(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數（a為常數，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數的圖象上，點B、D在y軸的同側，且點B在點D的左側，設點B、D的橫坐標分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數（a為常數，且）的圖象上，點B在點D的左側，設點B、D的橫坐標分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關系式．11．（2023·鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標系中，點A的坐標為，點B的坐標為，點C與點B關于原點對稱，直線分別與y軸交于點E，F，點F在點E的上方，．(1)分別求點E，F的縱坐標（用含m，n的代數式表示），并寫出m的取值范圍．(2)求點B的橫坐標m，縱坐標n之間的數量關系．（用含m的代數式表示n）(3)將線段繞點順時針旋轉，E，F的對應點分別是，．當線段與點B所在的某個函數圖象有公共點時，求m的取值范圍．12．（2023·宿遷·中考真題）規(guī)定：若函數的圖像與函數的圖像有三個不同的公共點，則稱這兩個函數互為“兄弟函數”，其公共點稱為“兄弟點”．(1)下列三個函數①；②；③，其中與二次函數互為“兄弟函數”的是________（填寫序號）；(2)若函數與互為“兄弟函數”，是其中一個“兄弟點”的橫坐標．①求實數a的值；②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標是________、________；(3)若函數（m為常數）與互為“兄弟函數”，三個“兄弟點”的橫坐標分別為、、，且，求的取值范圍．13．（2022下·無錫·中考真題）已知二次函數圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數圖像上的兩個動點（點C在點D的左側），且．(1)求該二次函數的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．14．（2022下·常州·中考真題）已知二次函數的自變量的部分取值和對應函數值如下表：…0123……430…(1)求二次函數的表達式；(2)將二次函數的圖像向右平移個單位，得到二次函數的圖像，使得當時，隨增大而增大；當時，隨增大而減小，請寫出一個符合條件的二次函數的表達式______，實數的取值范圍是_______；(3)、、是二次函數的圖像上互不重合的三點．已知點、的橫坐標分別是、，點與點關于該函數圖像的對稱軸對稱，求的度數．15．（2022下·蘇州·中考真題）如圖，在二次函數（m是常數，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標（用數字或含m的式子表示），并求的度數；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內二次函數（m是常數，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結合函數的圖像，直接寫出m的取值范圍．16．（2022下·南通·中考真題）定義：函數圖像上到兩坐標軸的距離都不大于的點叫做這個函數圖像的“n階方點”．例如，點是函數圖像的“階方點”；點是函數圖像的“2階方點”．(1)在①；②；③三點中，是反比例函數圖像的“1階方點”的有___________（填序號）；(2)若y關于x的一次函數圖像的“2階方點”有且只有一個，求a的值；(3)若y關于x的二次函數圖像的“n階方點”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．17．（2022·連云港·中考真題）已知二次函數，其中．(1)當該函數的圖像經過原點，求此時函數圖像的頂點的坐標；(2)求證：二次函數的頂點在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數的圖像與軸的負半軸的交點為，求面積的最大值．18．（2022·淮安·中考真題）如圖（1），二次函數的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標為，點的坐標為，直線經過、兩點．(1)求該二次函數的表達式及其圖像的頂點坐標；(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數的圖像相交于另一點，當時，求點的橫坐標；(3)如圖（2），點關于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當的值最小時，直接寫出的長．19．（2022·鹽城·中考真題）【發(fā)現問題】小明在練習簿的橫線上取點為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現這些點的位置有一定的規(guī)律．【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數圖像上．(1)【分析問題】小明利用已學知識和經驗，以圓心為原點，過點的橫線所在直線為軸，過點且垂直于橫線的直線為軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示．當所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標為___________．(2)【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明繼續(xù)思考：設點，為正整數，以為直徑畫，是否存在所描的點在上．若存在，求的值；若不存在，說明理由．20．（2022·揚州·中考真題）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣在軸上，且dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為軸，高度dm．現計劃將此余料進行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長最大，求此矩形的周長；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為dm的圓，請說明理由．21．（2022·鎮(zhèn)江·中考真題）一次函數的圖像與軸交于點，二次函數的圖像經過點、原點和一次函數圖像上的點．(1)求這個二次函數的表達式；(2)如圖1，一次函數與二次函數的圖像交于點、（），過點作直線軸于點，過點作直線軸，過點作于點．①_________，_________（分別用含的代數式表示）；②證明：；(3)如圖2，二次函數的圖像是由二次函數的圖像平移后得到的，且與一次函數的圖像交于點、（點在點的左側），過點作直線軸，過點作直線軸，設平移后點、的對應點分別為、，過點作于點，過點作于點．①與相等嗎？請說明你的理由；②若，求的值．22．（2022·宿遷·中考真題）如圖，二次函數與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，頂點為，連接、，若點是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，且點與、點不重合．(1)求二次函數的表達式；(2)①求證：；②求；(3)當時，求直線與二次函數的交點橫坐標．23．（2021·南京·中考真題）已知二次函數的圖像經過兩點．（1）求b的值．（2）當時，該函數的圖像的頂點的縱坐標的最小值是________．（3）設是該函數的圖像與x軸的一個公共點，當時，結合函數的圖像，直接寫出a的取值范圍．24．（2021下·無錫·中考真題）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交于點F，交二次函數的圖象于點E．（1）求二次函數的表達式；（2）當以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段的長度；（3）已知點N是y軸上的點，若點N、F關于直線對稱，求點N的坐標．25．（2021下·徐州·中考真題）如圖，點在函數的圖像上．已知的橫坐標分別為－2、4，直線與軸交于點，連接．（1）求直線的函數表達式；（2）求的面積；（3）若函數的圖像上存在點，使得的面積等于的面積的一半，則這樣的點共有___________個．26．（2021·常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數和二次函數的圖像都經過點和點B，過點A作的垂線交x軸于點C．D是線段上一點（點D與點A、O、B不重合），E是射線上一點，且，連接，過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，以、為鄰邊作．（1）填空：________，________；（2）設點D的橫坐標是，連接．若，求t的值；（3）過點F作的垂線交線段于點P．若，求的長．27．（2021·蘇州·中考真題）如圖，二次函數（是實數，且）的圖像與軸交于、兩點（點在點的左側），其對稱軸與軸交于點，已知點位于第一象限，且在對稱軸上，，點在軸的正半軸上，．連接并延長交軸于點，連接．（1）求、、三點的坐標（用數字或含的式子表示）；（2）已知點在拋物線的對稱軸上，當的周長的最小值等于，求的值．28．（2021·南通·中考真題）定義：若一個函數圖象上存在橫、縱坐標相等的點，則稱該點為這個函數圖象的“等值點”．例如，點是函數的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標；如果不存在，說明理由；（2）設函數的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作軸，垂足為C．當的面積為3時，求b的值；（3）若函數的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍．29．（2021·連云港·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知．（1）求m的值和直線對應的函數表達式；（2）P為拋物線上一點，若，請直接寫出點P的坐標；（3）Q為拋物線上一點，若，求點Q的坐標．30．（2021·淮安·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（5，0），頂點為點D，動點M、Q在x軸上（點M在點Q的左側），在x軸下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右勻速運動，運動開始時，點M的坐標為（﹣6，0），當點M與點B重合時停止運動，設運動的時間為t秒（t＞0）．（1）b＝，c＝．（2）連接BD，求直線BD的函數表達式．（3）在矩形MNPQ運動的過程中，MN所在直線與該二次函數的圖象交于點G，PQ所在直線與直線BD交于點H，是否存在某一時刻，使得以G、M、H、Q為頂點的四邊形是面積小于10的平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（4）連接PD，過點P作PD的垂線交y軸于點R，直接寫出在矩形MNPQ整個運動過程中點R運動的路徑長．

31．（2021·鹽城·中考真題）學習了圖形的旋轉之后，小明知道，將點繞著某定點順時針旋轉一定的角度，能得到一個新的點．經過進一步探究，小明發(fā)現，當上述點在某函數圖像上運動時，點也隨之運動，并且點的運動軌跡能形成一個新的圖形．試根據下列各題中所給的定點的坐標和角度的大小來解決相關問題．

【初步感知】如圖1，設，，點是一次函數圖像上的動點，已知該一次函數的圖像經過點．（1）點旋轉后，得到的點的坐標為________；（2）若點的