第06講 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（解析版）

第06講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象。2.知道二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，掌握二次函數(shù)的圖象的開口方向、頂點坐標(biāo)、對稱軸、增減性、最值。3.知道系數(shù)a、b、c的作用，能夠運用對稱軸和頂點坐標(biāo)公式解決實際問題。知識精講知識精講知識點01二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象的畫法畫二次函數(shù)的圖象，一般用描點法，分列表、描點、連線三步，具體步驟如下：（1）列表：先取原點（0，0），然后在原點兩側(cè)對稱地取點，因為關(guān)于y軸對稱的兩個點的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，所以只計算y軸右側(cè)點的縱坐標(biāo)，對應(yīng)寫出左側(cè)點的坐標(biāo)即可，為了計算方便，橫坐標(biāo)一般取整數(shù)。（2）描點：先將y軸右側(cè)的點描出來，再按對稱關(guān)系描出y軸左側(cè)的對稱點。（3）連線：按照從左到右的順序?qū)⑦@些點用光滑的曲線連接起來，畫圖象不應(yīng)畫到“兩端”為止，而應(yīng)到畫成向兩個方向延伸的形狀。提示：（1）因為函數(shù)y=x2和y=-x2的自變量的取值范圍是全體實數(shù)。所以畫圖象時應(yīng)以原點（0，0）為對稱中心取值。（2）描點法所畫的圖象只是整個函數(shù)圖象的一部分，因為x可取一切實數(shù)，所以函數(shù)應(yīng)是向兩個方向無限延伸的。知識點02二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)y=x2y=-x2大致圖象圖象形狀拋物線拋物線開口方向向上向下對稱軸y軸（或直線x=0）頂點坐標(biāo)原點（0，0）增減性當(dāng)x<0時，y的值隨x值的增大而減??；當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而增大當(dāng)x<0時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而減小最值當(dāng)x=0時，y有最小值0當(dāng)x=0時，y有最大值0知識點03二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y=ax2的圖象是一條拋物線，可類比用描點法畫其圖象。2．二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax2（a>0）y=ax2（a<0）大致圖象開口方向向上向下對稱軸y軸（或直線x=0）頂點坐標(biāo)原點（0，0）增減性當(dāng)x<0時，y的值隨x值的增大而減?。划?dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而增大當(dāng)x<0時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而減小最值當(dāng)x=0時，y有最小值0當(dāng)x=0時，y有最大值0知識點04二次函數(shù)y=ax2+c的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)a的符號a>0a<0大致圖象c>0c<0開口方向向上向下對稱軸y軸（或直線x=0）頂點坐標(biāo)（0，c）增減性當(dāng)x<0時，y的值隨x值的增大而減??；當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而增大當(dāng)x<0時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)x>0時，y的值隨x值的增大而減小最值當(dāng)x=0時，y有最小值c當(dāng)x=0時，y有最大值c2．二次函數(shù)y=ax2+c與y=ax2的關(guān)系(1）相同點：

①圖象都是拋物線，形狀相同，開口方向相同，開口大小相同。②都是軸對稱圖形，對稱軸都是

y

軸。

③都在

x

=0處取得最值。

④當(dāng)

a

>0時，圖象開口向上，在

y

軸左側(cè)，

y

都隨

x

的增大而減?。辉?/p>

y

軸右側(cè)，

y

都隨

x

的增大而增大。當(dāng)

a

<

0時，圖象開口向下，在

y

軸左側(cè)，

y

都隨

x

的增大而增大；在

y

軸右側(cè)，

y

都隨

x

的增大而減小。

(2）不同點：

①頂點坐標(biāo)不同，分別是（0，c

)，(0，0)。②最值不同，分別是

y

=

c

和

y

=0。

(3）聯(lián)系：二次函數(shù)

y

=

ax2

的圖象與

y

=

ax2+

c

的圖象可以通過平移互相得到。具體如下：①當(dāng)

c

>0時，拋物線

y

=

ax2

拋物線y

=

ax2+

c

；②當(dāng)

c

<

0時，拋物線

y

=

ax2

拋物線y

=

ax2+

c

。知識點05二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y=a（x-h）2的圖象與性質(zhì)a的符號a>0a<0大致圖象h>0h<0開口方向向上向下對稱軸直線x=h頂點坐標(biāo)（h，0）增減性當(dāng)x<h時，y的值隨x值的增大而減?。划?dāng)x>h時，y的值隨x值的增大而增大當(dāng)x<h時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)x>h時，y的值隨x值的增大而減小最值當(dāng)x=h時，y有最小值0當(dāng)x=h時，y有最大值02．二次函數(shù)y=a（x-h）2與y=ax2的關(guān)系（1）拋物線y=a（x-h）2與y=ax2的形狀、開口方向相同，都是軸對稱圖形，只是位置不同。（2）拋物線y=a（x-h）2可由拋物線y=ax2向左或向右平移|h|個單位長度得到：①當(dāng)h>0時，拋物線

y

=

ax2

拋物線y=a（x-h）2；②當(dāng)h

<

0時，拋物線

y

=

ax2

拋物線y=a（x-h）2。知識點06二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y=a（x-h）2+k與y=ax2的關(guān)系二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象可由二次函數(shù)y=ax2的圖象平移得到，它們的形狀相同，只是位置不同，把y=ax2的圖象先向左或向右平移|h|個單位長度,得到y(tǒng)=a(x-h)2的圖象,再向上或向下平移

|k|個單位長度，即得到y(tǒng)=a(x-h)2+k的圖象。具體方法如下所示：2．二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象與性質(zhì)a的符號a>0a<0大致圖象開口方向向上向下對稱軸直線x=h頂點坐標(biāo)（h，k）增減性當(dāng)x<h時，y的值隨x值的增大而減?。划?dāng)x>h時，y的值隨x值的增大而增大當(dāng)x<h時，y的值隨x值的增大而增大；當(dāng)x>h時，y的值隨x值的增大而減小最值當(dāng)x=h時，y有最小值k當(dāng)x=h時，y有最大值k知識點07二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)1．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點坐標(biāo)和對稱軸二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以通過配方轉(zhuǎn)化為y=a(x-h)2+k的形式：所以二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線，它的頂點坐標(biāo)為，對稱軸是直線2．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的畫法畫二次函數(shù)的圖象常見方法有2種：五點法和平移法。方法1：五點法

(1)通過配方將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式；(2)確定拋物線的頂點坐標(biāo)、開口方向、對稱軸；(3)以頂點為中心，左右對稱各取兩對值；

(4)用光滑的曲線將描出的點順次連接起來。方法2：平移法

利用平移法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一般步驟如下：(1)通過配方將二次函數(shù)y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式，確定圖象頂點坐標(biāo)為(h，k)；

(2)畫出二次函數(shù)y=ax2的圖象；

(3)將二次函數(shù)y=ax2的圖象平移，使其頂點(0,0)平移到(h,k)，平移后的圖象即是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象。3．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)a的符號a>0a<0大致圖象開口方向向上向下對稱軸直線頂點坐標(biāo)增減性在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y的值隨x值的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y的值隨x值的增大而增大在對稱軸的左側(cè)，即當(dāng)x<時，y的值隨x值的增大而增大；在對稱軸的右側(cè)，即當(dāng)x>時，y的值隨x值的增大而減小最值拋物線有最低點，當(dāng)時，y有最小值拋物線有最高點，當(dāng)時，y有最大值4．拋物線的平移規(guī)律左右平移，左加右減；上下平移，上加下減。知識點08二次函數(shù)圖象特征與系數(shù)之間的關(guān)系字母字母符號圖象特征aa>0開口向上a<0開口向下bb=0對稱軸為y軸（或直線x=0）ab>0(a,b同號)對稱軸在y軸左側(cè)ab<0(a,b異號)對稱軸在y軸右側(cè)cc=0圖象經(jīng)過原點c>0與y軸正半軸相關(guān)c<0與y軸負(fù)半軸相關(guān)能力拓展能力拓展考法01二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)【典例1】已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x增大而減小，∴a-1>0，∴，故選：D．【即學(xué)即練】若二次函數(shù)的圖象過點，則必在該圖象上的點還有（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由二次函數(shù)可得該二次函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，∵二次函數(shù)圖像過點，∴點關(guān)于y軸對稱的點為，∴點必在二次函數(shù)的圖像上；故選C．【典例2】已知二次函數(shù)y=(m+2)，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大，則m的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】解：根據(jù)題意可知，，解得，，∵二次函數(shù)y=(m+2)，當(dāng)x<0時，y隨x的增大而增大，∴m+2＜0，解得m＜-2，綜上，m=，故選：A．【即學(xué)即練】已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，且有最大值，則k＝()A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【答案】A【解析】解：由二次函數(shù)的定義可知，k﹣1≠0，且k2﹣2＝2∴k≠1，k＝±2，故C錯誤；∵有最大值∴k﹣1＜0∴k＜1∴k＝﹣2．故選A．考法02二次函數(shù)y=ax2+c的圖象與性質(zhì)【典例3】二次函數(shù)y＝-2＋1的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】解：二次函數(shù)，開口向下對稱軸為，頂點坐標(biāo)為，根據(jù)圖像可得，D選項符合，故選D，【即學(xué)即練】二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說法正確的是（

）A．開口向上 B．當(dāng)時，函數(shù)的最大值是C．對稱軸是直線 D．拋物線與x軸有兩個交點【答案】B【解析】解：∵，a=-1＜0，∴拋物線開口向下，故A錯誤；∵當(dāng)時，函數(shù)的最大值是，∴故B正確；∵拋物線的對稱軸是y軸，∴故C錯誤；∵?=，∴拋物線與x軸沒有交點，∴故D錯誤．故選B．【典例4】已知點（﹣4，y1），（2，y2）均在拋物線y＝x2﹣1上，則y1，y2的大小關(guān)系為（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1≥y2【答案】B【解析】∵二次函數(shù)的解析式為y=x2-1，∴拋物線的對稱軸為直線x=0，∵（-4，y1）、B（2，y2），∴點（-4，y1）離直線x=0遠(yuǎn)，點（2，y2）離直線x=0近，而拋物線開口向上，∴y1＞y2．故選：B．【即學(xué)即練】已知點，，在函數(shù)的圖象上，則、、的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】解：∵點A（1，y1），B（﹣2，y2），C（﹣3，y3）在函數(shù)y=x2﹣的圖象上，∴點A（1，y1），B（﹣，y2），C（﹣2，y3）都滿足函數(shù)解析式y(tǒng)=x2﹣，∴y1=0，y2=×2﹣=，y3=×4﹣=，∴y1＜y2＜y3．故選A．考法03二次函數(shù)y=a（x-h）2+k的圖象與性質(zhì)【典例5】拋物線的頂點是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵拋物線∴拋物線的頂點是(0，2)，故選：D．【即學(xué)即練】拋物線y＝（x?2）2＋3的頂點坐標(biāo)是（

）A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）【答案】A【解析】解：y=（x-2）2+3是拋物線的頂點式，根據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點可知，頂點坐標(biāo)為（2，3）．故選：A．【典例6】已知拋物線，其對稱軸是（

）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線【答案】B【分析】直接根據(jù)拋物線的頂點式進(jìn)行解答即可．【解析】解：∵，∴拋物線對稱軸為直線．故選：B．【即學(xué)即練】對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（

）A．圖象與y軸交點的坐標(biāo)是 B．對稱軸是直線C．頂點坐標(biāo)為 D．當(dāng)時，y隨x的增大而增大【答案】D【解析】解：對于二次函數(shù)的圖象，A、當(dāng)x=0時，y=81，∴圖像與y軸交點坐標(biāo)為（0，81），A選項說法不正確；B、拋物線對稱軸為直線x=4，B選項說法不正確C、拋物線頂點坐標(biāo)為（4，1），C選項說法不正確D、∵a=5＜0，∴圖像開口向下，當(dāng)時，隨的增大而增大，D選項說法正確故選：D．考法04二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)【典例7】畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象時，列表如下：x……12345……y……010﹣3﹣8……關(guān)于此函數(shù)有下列說法：①函數(shù)圖象開口向上；②當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減??；③當(dāng)x＝0時，y＝﹣3；其中正確的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可知，y隨x的增大先增大后減小，∴函數(shù)圖象開口向下，故①錯誤，不符合題意；∵y=0時，x=1或x=3，∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，∵開口向下，∴當(dāng)x＞2時，y隨x的增大而減小，故②正確，符合題意；∵對稱軸為直線x=2，當(dāng)x=4時，y=?3，∴x=0時，y=?3，故③正確，符合題意；∴正確的選項有②③，故C正確．故選：C．【即學(xué)即練】如圖，對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象，得出了下面四條信息：①c＞0；②b2﹣4ac＞0；③a＋b＋c＜0；④對于圖象上的兩點（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．其中正確信息的個數(shù)有（

）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】D【解析】解：∵拋物線與y軸交點在x軸上方，∴c＞0，①正確．∵拋物線與x軸有2個交點，∴b2-4ac＞0，②正確．由圖象可得x=1時y＞0，∴a+b+c＞0，③錯誤．∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），∴n＞m，④正確．故選：D．【典例8】若二次函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法不正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，y有最大值C．圖像經(jīng)過點 D．當(dāng)時，【答案】D【解析】解：∵拋物線開口向下，經(jīng)過點，，∴拋物線對稱軸為直線，∴當(dāng)時，，A選項正確，不符合題意．當(dāng)時y有最大值，B選項正確，不符合題意．∵圖象經(jīng)過，拋物線對稱軸為直線，∴拋物線經(jīng)過點，C選項正確，不符合題意．當(dāng)或時，，選項D錯誤，符合題意．故選D．【即學(xué)即練】如圖，拋物線過點，，頂點在第四象限，記，則P的取值范圍是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】∵拋物線過點(-1,0)、(0,-1)，∴有，且顯然a≠0，∴a-b=1，c=-1，將拋物線配成頂點式：，∴頂點坐標(biāo)為：，∵拋物線頂點坐標(biāo)在第四象限，∴，∵a-b=1，∴，解得：，∵P=2a-b，a-b=1，∴P=2a-b=a+a-b=a+1，∵，∴，∴，故選：B．考法05二次函數(shù)圖象特征與系數(shù)之間的關(guān)系【典例9】二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是()A．a(chǎn)bc<0 B．b=－4a C．4a+2b≥m(am+b) D．a(chǎn)－b＋c>0【答案】D【解析】∵拋物線的開口向下，∴a＜0，∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，∴c＞0，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，即∴4a+b=0，故B正確，不符合題意；；∴，∴abc<0，故A正確，不符合題意；∵拋物線的對稱軸為直線，a＜0，∴當(dāng)時，取得最大值為對于任意實數(shù)，∴4a+2b+c≥m(am+b)+c∴4a+2b≥m(am+b)，故C正確，不符合題意；當(dāng)x=﹣1時，拋物線與y軸的交點在x軸上，即a﹣b+c=0，故D錯誤，符合題意．故選D．【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)，其中、，則該函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：對于二次函數(shù)，令，則，∴拋物線與y軸的交點坐標(biāo)為∵，∴，∴拋物線與y軸的交點應(yīng)該在y軸的負(fù)半軸上，∴可以排除A選項和D選項；B選項和C選項中，拋物線的對稱軸，∵，∴，∴拋物線開口向下，可以排除B選項，故選C．【典例10】己知二次函數(shù)的圖象如圖，則下列結(jié)論：（1）（2）方程一定有兩個不相等的實數(shù)根（3）y隨x的增大而增大（4）一次函數(shù)的圖象一定不過第二象限，其中正確的個數(shù)是(

)

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】根據(jù)圖象，x=-1時，y>0即故①正確∵二次函數(shù)的圖象與橫軸有兩個交點，∴方程一定有兩個不相等的實數(shù)根，故②正確在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，故③錯誤∵函數(shù)的對稱軸為，∴函數(shù)圖象與縱軸交點在橫軸的下方∴c<0∴bc>0∴函數(shù)的圖象一定過第二象限，故④錯誤故選：B【即學(xué)即練】一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）與二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．a(chǎn)x2+2ax﹣b＞kx﹣c時，n＜x＜mB．當(dāng)x≥0時，ax2+2ax+c≤cC．若（﹣，y1）在二次函數(shù)y＝ax2+2ax+c圖象上，則y1＜cD．﹣ac+bk＞0【答案】C【解析】解：A.對于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移項可得，ax2+2ax+c＞kx+b，對應(yīng)于圖中即是拋物線在直線上方的部分，有圖可知，兩個曲線交點的x坐標(biāo)為x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，故A正確；B.當(dāng)x≥0時，拋物線最高點（即ax2+2ax﹣b的最大值）為拋物線與y的交點，此點為（0，c），∴當(dāng)x≥0時，ax2+2ax+c≤c，故B正確；C.在拋物線中，由對稱軸公式可知，拋物線的對稱軸是x＝＝﹣1，∴在拋物線上與點（0，c）關(guān)于對稱軸x＝﹣1對稱的點是（﹣2，c），∵﹣2＜﹣＜﹣1，∴y1＞c，故C錯誤；D.∵拋物線開口向下，且與y軸交點在正半軸，∴a＜0，c＞0，∵直線經(jīng)過二、四象限，且與y軸交于負(fù)半軸，∴k＜0，b＜0，∴﹣ac+bk＞0，故D正確．故選：C．考法06二次函數(shù)圖象的平移【典例11】將拋物線y＝﹣3x2＋1向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得的拋物線解析式為（

）A．y＝﹣3（x＋2）2 B．y＝﹣3（x﹣2）2﹣1C．y＝﹣3（x＋1）2﹣1 D．y＝﹣3（x﹣1）2＋3【答案】A【解析】解：拋物線y＝﹣3x2＋1向左平移2個單位長度得y＝﹣3(x+2)2＋1，拋物線y＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1個單位長度得y＝﹣3(x＋2)2．故選：A．【即學(xué)即練】將拋物線圖像先向上平移個單位，再向左平移個單位后的解析式是(

)A． B．C． D．【答案】D【解析】解：將拋物線圖像先向上平移個單位，再向左平移個單位后的解析式是，即．故選：D．【典例12】在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線經(jīng)一次變換后得到拋物線，則這個變換可以是（

）A．向左平移2個單位 B．向右平移2個單位 C．向上平移8個單位 D．向下平移8個單位【答案】B【解析】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，頂點坐標(biāo)是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，頂點坐標(biāo)是（1，-32）．所以將拋物線y=2（x+5）（x-3）向右平移2個單位長度得到拋物線y=2（x+3）（x-5）．故選：B．【即學(xué)即練】將拋物線平移，得到拋物線，下列平移方式中，正確的是（

）A．先向左平移1個單位，再向上平移2個單位B．先向左平移1個單位，再向下平移2個單位C．先向右平移1個單位，再向上平移2個單位D．先向右平移1個單位，再向下平移2個單位【答案】D【解析】拋物線的頂點坐標(biāo)為（0，0），拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，-2）將拋物線先向右平移1個單位，再向下平移2個單位即可得到故選：D．考法07二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值【典例13】二次函數(shù)=+4+的最大值為3，則的值為（

）A．－4 B．－1 C．1 D．4【答案】B【解析】解：∵二次函數(shù)y＝ax2+4x＋a的最大值是3，∴a＜0，y最大值＝，解得a＝?1或a＝4（舍去）．故選：B．【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)y=mx+2mx-1（m＞0）的最小值為-5，則m的值為（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】D【解析】解：，，拋物線開口向上，函數(shù)最小值為，，解得．故選：D．【典例14】已知二次函數(shù)，關(guān)于該函數(shù)在的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（

）．A．有最大值－1，有最小值－2 B．有最大值0，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值7，有最小值－2【答案】D【解析】∵二次函數(shù)的對稱軸是，頂點坐標(biāo)是（2，-2），畫出草圖，如圖所示，∴當(dāng)時，y有最小值-2，當(dāng)時，y有最大值7．故選D．【即學(xué)即練】已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量x取值在范圍內(nèi)時，下列說法正確的是（

）A．有最大值14，最小值－2 B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2 D．有最大值14，最小值2【答案】A【解析】∵∴這個二次函數(shù)的開口向上，對稱軸∴在的取值范圍內(nèi)，當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最大值．故選：A．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．將二次函數(shù)y=(x?1)2+2的圖像向上平移3個單位，得到的圖像對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：將二次函數(shù)y=(x?1)2+2的圖象向上平移3個單位長度，得到：y=(x?1)2+2+3，即：y=(x?1)2+5．故選：D．2．若點A（-3，y1）,B（，y2）,C（2，y3）在二次函數(shù)的圖像上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：對稱軸為直線x＝，∵，∴x＜1時，y隨x的增大而增大，x＞1時，y隨x的增大而就減小，C（2，y3）關(guān)于直線的對稱點是（0，y3），∵，∴．故選：B．3．二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，頂點坐標(biāo)分別是（

）A．向下，直線x=－3，(－3，1) B．向上，直線x=3，(3，1)C．向下，直線x=－3，(－3，－1) D．向上，直線x=3，(－3，1)【答案】B【解析】二次函數(shù)，對稱軸為：直線x=h；頂點坐標(biāo)為：（h，k）∵a=2>0，∴開口向上，∵h(yuǎn)=3，k=1，∴對稱軸為：直線x=3；頂點坐標(biāo)為：（3，1），故選：B4．對于拋物線，下列判斷正確的是（

）A．頂點B．拋物線向左平移個單位長度后得到C．拋物線與軸的交點是D．當(dāng)時，隨的增大而增大【答案】C【解析】A、，拋物線的頂點，故錯誤，不符合題意，B、拋物線向左平移個單位長度后得到，，故錯誤，不符合題意，C、當(dāng)時，，拋物線與軸的交點是，故正確，符合題意，D、，開口向下，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨的增大而減小，故錯誤，不符合題意，故選：C．5．二次函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】解：∵＝（x-2）2+1，∴其圖象開口向上，頂點為（2，1）．∴函數(shù)的最小值為1．故選：A．6．拋物線的對稱軸是直線（

）A．x=2 B．x=0 C．y=0 D．y=2【答案】B【解析】解：由拋物線可知：對稱軸為直線；故選B．7．二次函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥．（1）以上二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=－1的是__________(只填序號)；（2）以上二次函數(shù)有最大值的是_______________(只填序號)﹔（3）以上二次函數(shù)的圖象中關(guān)于x軸對稱的是________________(只填序號)．【答案】②③

①③⑤

⑤⑥【解析】（1）二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線x=-1，也就是在頂點式中h=-1，故滿足條件的函數(shù)有②③．（2）二次函數(shù)有最大值，也就是其函數(shù)圖象是開口向下的，即a<0，故滿足條件的函數(shù)有①③⑤．（3）二次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，也就是兩個二次函數(shù)的二次項系數(shù)x互為相反數(shù)，且h，k的值相同，故滿足條件的函數(shù)為⑤和⑥．故答案為：（1）②③，（2）①③⑤，（3）⑤⑥8．拋物線y=(a?1)x2?2x+3在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，則a的取值范圍是________．【答案】a<1【解析】解：∵拋物線y=(a?1)x2?2x+3在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∴a?1<0，解得a<1，故答案為：a<1．9．在同一平面直角坐標(biāo)系中作出和的圖象．【答案】作圖見解析【解析】解：列表如下x……-3-2-10123…………4.520.500.524.5…………-4.5-2-0.50-0.5-2-4.5……描點：如圖所示，以表中各組對應(yīng)值為點的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點．連線：用光滑的曲線順次連接各點．10．說出下列拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．(1)(2)(3)【答案】（1）開口向下，對稱軸為直線x=1，頂點坐標(biāo)為(1，0)．（2）開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標(biāo)為(0，-7)．（3）開口向上，對稱軸為直線x=-3，頂點坐標(biāo)為(-3，6)題組B能力提升練1．已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）都是拋物線y＝﹣2x2﹣8x+3圖象上的點，則下列各式中正確的是（）A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y2＜y3【答案】A【解析】解：∵拋物線解析式為y＝﹣2x2﹣8x+3，∴拋物線的開口向上，對稱軸是直線x＝﹣＝﹣2，∴點（1，y1）與點（﹣5，y1）關(guān)于直線x＝﹣2對稱，∵﹣5＜﹣4＜﹣2，∴y1＜y3＜y2．故選：A．2．二次函數(shù)的圖象如圖所示，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：觀察圖象得：拋物線開口向下，∴，故A選項錯誤，不符合題意；拋物線的對稱軸，∴，故B選項錯誤，不符合題意；拋物線與y軸交于正半軸，∴，故C選項錯誤，不符合題意；∵，∴當(dāng)時，，故D選項正確，符合題意；故選：D3．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且對稱軸為直線x＝1，點B坐標(biāo)為（﹣1，0）．則下面的四個結(jié)論：①2a+b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③abc＞0；④當(dāng)y＜0時，x＜﹣1或x＞3．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②③【答案】C【解析】解：∵對稱軸為x＝1，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故選項①正確；∵點B坐標(biāo)為（﹣1，0），∴當(dāng)x＝﹣2時，4a﹣2b+c＜0，故選項②錯誤；∵圖象開口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵圖象與y軸交于正半軸上，∴c＞0，∴abc＜0，故選項③錯誤；∵對稱軸為x＝1，點B坐標(biāo)為（﹣1，0），∴A點坐標(biāo)為：（3，0），∴當(dāng)y＜0時，x＜﹣1或x＞3．故選項④正確；故選：C．4．將拋物線y＝﹣x2向右平移2個單位，再向下平移3個單位后所得新拋物線的頂點是(

)A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）【答案】A【分析】根據(jù)平移規(guī)律，可得頂點式解析式．【解析】解：將拋物線向右平移2個單位，再向下平移3個單位后，得：，∴頂點坐標(biāo)為（2，﹣3），故答案為：A．5．已知拋物線y=mx2+nx和直線y=mx+n在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像如圖，其中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A.由二次函數(shù)的圖像可知m＜0，此時直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過二、四象限，故可排除；B.由二次函數(shù)的圖像可知m＞0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可知m、n異號，n＜0，此時直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過一、三、四象限，故可排除；C.由二次函數(shù)的圖像可知m＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，可知m、n異號，n＞0，此時直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過一、二、四象限，故可排除；D.觀察二次函數(shù)的圖像可知m＞0，n＜0，直線y＝mx+n應(yīng)經(jīng)過一、三、四象限，符合題意．故選：D．6．怎么樣才能由的圖像經(jīng)過平移得到函數(shù)的圖像呢？小亮說：先向左平移6個單位長度，再向上平移7個單位長度；小麗說：先向上平移7個單位長度，再向右平移6個單位長度．對于上述兩種說法，正確的是（

）A．小亮對 B．小麗對C．小亮、小麗都對 D．小亮、小麗都不對【答案】B【解析】解：小亮：由y=2x2的圖象先向左平移6個單位長度，再向上平移7個單位長度后得到拋物線解析式為：y=2（x+6）2+7，則小亮說法錯誤；小麗：由y=2x2的圖象先向上平移7個單位長度，再向右平移6個單位長度后得到拋物線解析式為：y=2（x-6）2+7，則小麗說法正確；故選：B．7．在平面直角坐標(biāo)．若點A，B是拋物線上兩點，若點A，B的坐標(biāo)分別為則m______n（填“＞”“＜”“＝”）【答案】＞【解析】解：∵拋物線中，a=－2＜0，，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x=－1，在對稱軸右側(cè)y隨x的增大而減小，∵點A、B的坐標(biāo)分別為（3，m）、（4，n），且3＜4，∴m＞n，故答案為：＞．8．將拋物線y＝ax2＋bx﹣1向上平移3個單位長度后，經(jīng)過點（﹣2，5），則4a﹣2b﹣1的值是___．【答案】2【解析】解：將拋物線y＝ax2+bx﹣1向上平移3個單位長度后，表達(dá)式為：y＝ax2+bx+2，∵經(jīng)過點（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，則4a﹣2b﹣1＝3﹣1＝2．故答案為：2．9．已知函數(shù)是二次函數(shù)．(1)求m的值；(2)用配方法確定該函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸．【答案】(1)m＝－1(2)頂點為，對稱軸為直線x＝1【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式的性質(zhì)：最高次為2次，且二次項系數(shù)不等于0即可求出m的值；（2）用配方法將二次函數(shù)表達(dá)式改寫成頂點式即可確定函數(shù)的頂點坐標(biāo)和對稱軸．（1）由題意可知：，解得：m＝－1（2）∴頂點為，對稱軸為：直線x＝110．已知二次函數(shù).(1)將化成的形式；(2)畫出該二次函數(shù)的圖象，并寫出其對稱軸和頂點坐標(biāo)；(3)當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而減?。敬鸢浮?1)(2)對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是(3)＜2【解析】（1）解：y=x2-4x+3=（x-2）2-1，則該拋物線解析式是y=（x-2）2-1；（2）解：列表，x…01234…y…30-103…描點，連線，圖象如圖所示：∵拋物線解析式是y=（x-2）2-1，∴拋物線對稱軸是直線，頂點坐標(biāo)是；（3）解：由圖象可知當(dāng)＜2時，隨的增大而減?。}組C培優(yōu)拔尖練1．關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（

）A．開口向下 B．對稱軸是直線C．頂點縱坐標(biāo)是－3 D．當(dāng)時，函數(shù)值隨值的增大而增大【答案】C【解析】解：A、∵，∴a=2>0，∴圖象的開口向上，故本選項錯誤不符合題意；B、∵，∴圖象的對稱軸是直線x=1，故本選項錯誤不符合題意；C、∵，∴圖象的頂點縱坐標(biāo)是－3，故本選項正確符合題意；D、∵，∴a=2>0，∴圖象的開口向上，圖象的對稱軸是直線x=1，∴當(dāng)時，函數(shù)值隨值的增大而增大，故本選項錯誤不符合題意；故選：C．2．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)的圖象大致是（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由二次函數(shù)的圖象可得，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故選：D．3．已知二次函數(shù)，則關(guān)于該函數(shù)的下列說法正確的是（

）A．該函數(shù)圖象與軸的交點坐標(biāo)是B．當(dāng)時，的值隨值的增大而減小C．當(dāng)取和時，所得到的的值相同D．當(dāng)時，有最大值是【答案】C【解析】解：令，則，二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)為，故A不符合題意；二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，當(dāng)時，隨的增大而增大，故B不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，故C符合題意；二次函數(shù)的對稱軸為，開口向上，當(dāng)時，有最小值，故D不符合題意．故選：C．4．如圖，二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，與x軸交于，兩點，若，則下列四個結(jié)論：①，②，③，④．正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解析】∵對稱軸為直線x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正確，∵=1，∴b=-2а，∴3a＋2b=3a-4a=-a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②錯誤；∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2-4ac>0，根據(jù)題意可知x=-1時，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2-4ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正確；∵拋物線開口向上，與y軸的交點在x軸下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④錯誤；故選B5．已知點，均在拋物線上，若，，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】B【解析】解：將x1代入拋物線，得y1=ax12-2ax1+4，將x2代入拋物線，得y2=ax22-2ax2+4，y1-y2=a（x12-x22）-2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2）-2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2-2）∵x1+x2=1+a，∴y1-y2=a（x1-x2）（a-1），∵，∴x1-x2<0，當(dāng)a<0時，