期末押題預(yù)測卷（1）（教師版）

期末押題預(yù)測卷（1）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，考試時(shí)間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022春·山東·八年級統(tǒng)考期末）2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)在杭州舉行，吉祥物為智能小伙伴“江南憶”組合，其中吉祥物“宸宸”深受網(wǎng)民喜愛，結(jié)合你所學(xué)知識(shí)，從下列四個(gè)選項(xiàng)中選出能夠和“宸宸”（如圖）的圖片成中心對稱的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解即可．【詳解】解：A、和“宸宸”不是中心對稱圖形，故此選不符合題意；B、和“宸宸”不是中心對稱圖形，故此選不符合題意；C、和“宸宸”不是中心對稱圖形，故此選不符合題意；D、和“宸宸”是中心對稱圖形，故此選符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．2．（2022春·重慶·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形不屬于因式分解的是（）A．a(chǎn)2﹣9＝（a+3）（a﹣3） B．a(chǎn)2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1C．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2） D．2mR+2mr＝2m（R+r）【答案】B【分析】利用因式分解的定義判斷即可．【詳解】解：A、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；B、右邊不是整式的積的形式，不屬于因式分解，故此選項(xiàng)符合題意；C、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意；D、符合因式分解的定義，屬于因式分解，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的定義是解本題的關(guān)鍵．分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式．3．（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）雷峰塔位于杭州市西湖風(fēng)景區(qū)南岸夕照山的雷峰上，它遠(yuǎn)借西湖，鄰借古剎，晚借夕陽，朝借鐘聲，水、光、聲、色俱全，絕妙無比，是杭州的風(fēng)景名勝建筑．雷鋒塔底呈平面八邊形，這個(gè)八邊形的內(nèi)角和是（）A．720° B．900° C．1080° D．1440°【答案】C【分析】利用多邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°(n大于等于3且n為整數(shù))求解即可．【詳解】∵多邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°，∴當(dāng)是，內(nèi)角和為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟知多邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°．4．（2022春·河北·八年級統(tǒng)考期末）溫江進(jìn)行河邊公園改造，如圖，江安河公園有三角形草坪（△ABC），現(xiàn)準(zhǔn)備在該三角形草坪內(nèi)種一棵樹，使得該樹到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，則該樹應(yīng)種在（）A．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)B．三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高的交點(diǎn)D．三角形三條中線的交點(diǎn)【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】∵線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等，∴到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)是△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．5．（2022春·上海浦東新·九年級校考期中）若am＜an，且m＜n，則a的取值應(yīng)滿足條件（

）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)＝0 D．a(chǎn)＜0【答案】A【分析】由m＜n左右兩邊同時(shí)乘以a得到：am＜an，不等號(hào)的方向沒有改變，所以，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)即可確定a的取值．【詳解】解：∵由m＜n左右兩邊同時(shí)乘以a得到：am＜an，∴不等號(hào)的方向沒有改變，∴根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2可得：a>0．故選：A【點(diǎn)睛】不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)正數(shù)，所得到的不等式仍成立；不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，必須把不等號(hào)的方向改變，所得到的不等式成立；反之，如果不等式的兩邊都乘（或都除以）同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變，則兩邊都乘（或都除以）的同一個(gè)數(shù)或式子值是正數(shù)，反之，是負(fù)數(shù)．6．（2023·廣西八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，平行四邊形中，對角線與相交于點(diǎn)，、分別是對角線BD上的兩點(diǎn)，給出下列四個(gè)條件：①；②；③；④．其中能判斷四邊形是平行四邊形的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定及全等三角形的性質(zhì)即可作出判斷．【詳解】解：A、∵在平行四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，若BE=DF，則OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形；B、∵在平行四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，若DE=BF，則OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形；C、若∠BAE=∠DAF，不能判斷四邊形是平行四邊形；D、∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC∴∠ADB=∠DBC，∵∠BCE=∠DAF，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（ASA），∴DF=BE，∵在平行四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD，∴OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形.故選C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及判定定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及判定定理.7．（2022春·北京·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，是斜邊上的中線，、分別為、的中點(diǎn)，若，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】首先根據(jù)三角形中位線定理求出CM=2EF=2，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解即可．【詳解】解：∵E、F分別是BM，BC的中點(diǎn)，∴EF是△BMC的中位線，∴CM=2EF=2∵∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，∴AB=2CM=4，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸正半軸上，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交邊于點(diǎn)E，F(xiàn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)G；③作射線，交邊于點(diǎn)H，則點(diǎn)H的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依據(jù)勾股定理即可得到Rt△AOD中，AD=，依據(jù)∠AHD=∠ADH，即可得到AH=AD=，可得H（，2）．【詳解】∵的頂點(diǎn)，∴AO=2，OD=1，∴Rt△ADD中，AD=，由題可得，DG平分∠ADB，∴∠ADH=∠FDH，又∵AH∥DF，∴∠AHD=∠FDH，∴∠AHD=∠ADH，∴AH=AD=，∴H（，2），故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的作法，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：求圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，是解題的關(guān)鍵．9．（2021秋·湖北宜昌·九年級統(tǒng)考期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在軸的正半軸上，，，將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)作軸于C，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及等角對等邊性質(zhì)，利用含30°角的直角三角形及勾股定理即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于C，如圖所示：∵，，∴，OA=OB=2，又∵是由繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等角對等邊性質(zhì)、含30°角的直角三角形和勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，借助輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校八年級期中）關(guān)于x的分式方程有整數(shù)解，且關(guān)于y的不等式組有解，則所有滿足條件的正整數(shù)a的和是（）A．6 B．12 C．14 D．20【答案】A【分析】先用a表示出分式方程的解，再根據(jù)整數(shù)解求出a的可能值，然后再通過不等式組進(jìn)一步確定a的值，最后求和即可．【詳解】解：∵∴y＜，y≥∵關(guān)于y的不等式組有解∴不等式組的解集為≤y＜，∴＜，即a-3＜5，可得a＜8由有整數(shù)解,可得：x=,即a為偶數(shù)∵x≠-1∴x≠6∵正整數(shù)a∴a=2或a=4∴4+2=6．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程、解不等式組等知識(shí)點(diǎn)，正確求解分式方程成為解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（2022秋·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）已知分式（為常數(shù)）滿足如下表格中的信息：x的取值2分式的值無意義0q則表中的q值為___________．【答案】2【分析】根據(jù)表格信息可得當(dāng)時(shí)，分式無意義，當(dāng)時(shí)，分式的值為0，可得到，再把代入，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得到：當(dāng)時(shí)，分式無意義，當(dāng)時(shí)，分式的值為0，∴且，∴，∴原分式為，∴當(dāng)時(shí)，．故答案為：2【點(diǎn)睛】題目主要考查分式有意義的條件與分式的值為0的條件，熟練掌握分式有意義的條件與分式的值為0的條件是解題關(guān)鍵．12．（2022·江蘇金壇·七年級期末）因式分解：__________．【答案】【分析】先分組，然后根據(jù)公式法因式分解．【詳解】．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分組分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2022春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）已知：．則________．【答案】3【分析】根據(jù)題意先求得，然后化簡分式，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴原式＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，完全平方公式變形求值，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．14．（2022春·重慶·八年級校考期中）某大型超市從生產(chǎn)基地購進(jìn)1000千克水果，每千克5元，運(yùn)輸過程中質(zhì)量損失了10%．不計(jì)超市其他費(fèi)用，如果超市至少要獲得400元的利潤，那么這種水果的售價(jià)最低應(yīng)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高_(dá)_____%．【答案】120【分析】設(shè)售價(jià)應(yīng)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高元，則售價(jià)為元，根據(jù)題意建立不等式求解即可．【詳解】解：設(shè)售價(jià)應(yīng)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高元，則售價(jià)為元，由題意，，解得：，即：這種水果的售價(jià)最低應(yīng)在進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上提高，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的實(shí)際應(yīng)用，審清題意，準(zhǔn)確建立不等式并求解是解題關(guān)鍵．15．（2022春·山東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，則AD＝_____．【答案】4【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后設(shè)，則，在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：，，由作圖可知，垂直平分，，，，設(shè)，則，在中，，即，解得或（不符題意，舍去），即，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、含30度角直角三角形的性質(zhì)、利用平方根解方程，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2022春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的不等式組有且只有個(gè)整數(shù)解，則常數(shù)的取值范圍是___．【答案】【分析】按照解一元一次不等式組的步驟，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，原不等式組的解集為：，不等式組有且只有個(gè)整數(shù)解，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．17．（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交BC，BD于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)C為圓心，BM長為半徑作弧，交CB于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q；③以點(diǎn)P為圓心，MN長為半徑作弧，交于點(diǎn)E，連結(jié)CE并延長交對角線BD于點(diǎn)F，若∠CBD＝45°，BC＝5，DF＝2，則對角線BD的長為________．【答案】7【分析】根據(jù)作圖可知∠FCB=∠FBC=45°，得到△BCF是等腰直角三角形，運(yùn)用勾股定理，計(jì)算BF的長，而后結(jié)合DF的長求出BD的長．【詳解】由作圖知∠FCB=∠FBC=45°，∴∠BFC=180°-（∠FCB+∠FBC）=90°，BF=CF，∴，∴，∴BF=5，∴BD=BF+DF=5+2=7．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形，勾股定理，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，用勾股定理解直角三角形．18．（2022春·浙江·八年級統(tǒng)考期末）已知，，，……，（，且n為正整數(shù)）．若，則a的值為______．【答案】13【分析】分別用a表示出再根據(jù)列出方程，求出a的值并檢驗(yàn)即可．【詳解】解：∵，∴；∵，∴∴解得，，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，故答案為：13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的運(yùn)算以及解分式方程，用a表示出是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）（1）分解因式：；（2）解分式方程：．【答案】（1）；（2）【分析】先提公因式，再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可解答；按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：；，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的根．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．20．（2022春·天津·八年級統(tǒng)考期末）（1）解不等式組：．（2）計(jì)算：．【答案】（1）-5≤x＜3；（2）【分析】（1）分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可；（2）原式利用除法法則變形，約分后兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算得到最簡結(jié)果．【詳解】解：（1），由①得：x≥-5，由②得：x＜3，∴不等式組的解集為-5≤x＜3；（2）=．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組以及分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21．（2022春·廣東·八年級統(tǒng)考期末）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為個(gè)單位的正方形，已知的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．(1)可以看作是由經(jīng)過怎樣的變換得到，寫出變換過程；(2)畫出繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后的；(3)直接寫出中陰影部分的面積．【答案】(1)向右平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度所得(2)見解析(3)【分析】(1)根據(jù)圖形的位置可得變換過程；(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形；(3)由圖形可知，陰影部分的面積為，利用割補(bǔ)法求出的面積即可．（1）解：由圖形可知，可以看作是由向右平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度所得；（2）如圖，即為所求；（3）由圖形可知，陰影部分的面積為:．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，三角形的面積等知識(shí)，熟練掌握幾何變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022春·四川成都·八年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形ABCD中，，AC與BD相交于點(diǎn)E，且滿足BE＝DE．(1)求此：四邊形ABCD是平行四邊形；(2)延長BA至點(diǎn)F，使AF＝AB，連接DF．若∠DBA＝30°，∠F＝45°，且AC＝4，求BF的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDE=∠DBA，∠DCA=∠CAB，從而可證△DEC≌△BEA，然后利用全等三角形的性質(zhì)可得DC=AB，從而利用平行四邊形的判定方法，即可解答；（2）過點(diǎn)D作DG⊥BF于G，根據(jù)已知和（1）的結(jié)論可證四邊形AFDC是平行四邊形，從而可得DF=AC=4，然后在Rt△DFG中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出DG，F(xiàn)G的長，再在Rt△DGB中，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求出BG的長，進(jìn)行計(jì)算即可解答．（1）證明：∵ABCD，∴∠CDE=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∵DE=BE，∴△DEC≌△BEA（AAS），∴DC=AB，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BF于G，∵AF=AB，AB=DC，∴AF=DC，∵AFDC，∴四邊形AFDC是平行四邊形，∴DF=AC=4，在Rt△DFG中，∠F=45°，是等腰直角三角形,，在Rt△DGB中，∠DBA=30°，，，∴BF=FG+BG,∴BF的長為．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，以及解直角三角形是解題的關(guān)鍵．23．（2022·北京市八年級期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．例如：方程的解為，不等式組的解集為，因?yàn)?，所以稱方程為不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①，②，③中，不等式組的關(guān)聯(lián)方程是；（填序號(hào)）（2）若不等式組的一個(gè)關(guān)聯(lián)方程的根是整數(shù)，則這個(gè)關(guān)聯(lián)方程可以是；（寫出一個(gè)即可）（3）若方程，都是關(guān)于的不等式組的關(guān)聯(lián)方程，求的取值范圍．【答案】(1)①；(2)；(3)【分析】(1)求出所給的3個(gè)方程的解及所給不等式組的解集,再按“關(guān)聯(lián)方程”的定義進(jìn)行判斷即可；(2)先求出所給不等式組的整數(shù)解,再結(jié)合“關(guān)聯(lián)方程”的定義進(jìn)行分析解答即可；(3)先求出所給不等式組的解集和所給的兩個(gè)方程的解,再結(jié)合“關(guān)聯(lián)方程的定義”和“已知條件”進(jìn)行分析解答即可.【詳解】(1)解方程①得：；解方程②得：；解方程③得：；解不等式組得：,∵上述3個(gè)方程的解中只有在的范圍內(nèi),∴不等式組的關(guān)聯(lián)方程是方程①；(2)解不等式組得：,∵原不等式組的關(guān)聯(lián)方程的解為整數(shù),∴解為的一元一次方程都是原不等式組的關(guān)聯(lián)方程,(3)解不等式①,得：x≥m,解不等式②,得：x＜m+2,∴原不等式組的解集為m≤x＜m+2,解方程：得：x=1,解方程：得：x=2,∵方程和方程方程都是原不等式組的關(guān)聯(lián)方程,∴和都在m≤x＜m+2的范圍內(nèi),,解得,∴.【點(diǎn)睛】本題考查不等式組的解法及應(yīng)用,讀懂題意,理解“關(guān)聯(lián)方程”的定義,熟練掌握一元一次不等式組的解法”是解答本題的關(guān)鍵.24．（2022春·湖北·八年級統(tǒng)考期末）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”，憑借憨態(tài)可掬的模樣，一躍成為冬奧會(huì)期間，風(fēng)摩全球的“頂流”，吉祥物的衍生品，如“冰墩墩”運(yùn)動(dòng)造型徽章、鑰匙扣等也熱銷．某商店打算購進(jìn)一批“冰墩墩”運(yùn)動(dòng)造型徽章和鑰匙扣，已知一個(gè)鑰匙扣和一枚徽章的進(jìn)價(jià)的和為42元，用60元購進(jìn)鑰匙扣的件數(shù)與用150元購進(jìn)徽章的件數(shù)相同．(1)求一個(gè)鑰匙扣和一枚徽章的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)該商店計(jì)劃購進(jìn)鑰匙扣和徽章共80個(gè)，其中鑰匙扣的數(shù)量不少于徽章的3倍，且鑰匙扣最多購買65個(gè)．求商店共有幾種進(jìn)貨方案？哪種方案所花費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為多少？(3)在（2）的條件下，若一個(gè)鑰匙扣的售價(jià)為25元，一枚徽章的售價(jià)是40元，商店每賣一個(gè)鑰匙扣，就捐給社區(qū)a元（1＜a＜8）作為獎(jiǎng)勵(lì)基金，當(dāng)銷售完這兩種商品后，要使利潤最大，采取哪種進(jìn)貨方案？【答案】(1)一個(gè)鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為12元，一枚徽章的進(jìn)價(jià)為30元(2)商店共有6種進(jìn)貨方案，其中購進(jìn)65個(gè)鑰匙扣，15個(gè)徽章所花費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為1230元(3)當(dāng)時(shí)，購進(jìn)鑰匙扣65個(gè)，徽章15個(gè)，利潤最大；當(dāng)時(shí)，6種方案的利潤相同（即購進(jìn)鑰匙扣60個(gè)，徽章20個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣61個(gè)，徽章19個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣62個(gè)，徽章18個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣63個(gè)，徽章17個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣64個(gè)，徽章16個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣65個(gè)，徽章15個(gè)）；當(dāng)時(shí)，購進(jìn)鑰匙扣60個(gè)，徽章20個(gè)，利潤最大【分析】（1）設(shè)一個(gè)鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為元，則一枚徽章的進(jìn)價(jià)為元，根據(jù)用60元購進(jìn)鑰匙扣的件數(shù)與用150元購進(jìn)徽章的件數(shù)相同建立方程，解方程即可得；（2）設(shè)購進(jìn)鑰匙扣個(gè)，則購進(jìn)徽章個(gè)，根據(jù)對鑰匙扣的數(shù)量要求建立不等式組，解不等式組求出的取值范圍，再根據(jù)為正整數(shù)可得進(jìn)貨方案的種數(shù)，然后設(shè)進(jìn)貨所花費(fèi)用為元，則，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得；（3）設(shè)當(dāng)銷售完這兩種商品后，利潤為元，購進(jìn)鑰匙扣個(gè)，則購進(jìn)徽章個(gè)，從而可得，且，再分①、②和③三種情況，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．（1）解：設(shè)一個(gè)鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為元，則一枚徽章的進(jìn)價(jià)為元，由題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程的解，則，答：一個(gè)鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為12元，一枚徽章的進(jìn)價(jià)為30元．（2）解：設(shè)購進(jìn)鑰匙扣個(gè)，則購進(jìn)徽章個(gè)，由題意得：，解得，為正整數(shù)，的所有可能的取值為，共有6個(gè)，設(shè)進(jìn)貨所花費(fèi)用為元，由題意得：，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在內(nèi)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)，答：商店共有6種進(jìn)貨方案，其中購進(jìn)65個(gè)鑰匙扣，15個(gè)徽章所花費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為1230元．（3）解：設(shè)購進(jìn)鑰匙扣個(gè)，則購進(jìn)徽章個(gè)，由（2）已得：，設(shè)當(dāng)銷售完這兩種商品后，利潤為元，由題意得：，整理得：，①當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)，隨的增大而增大，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)6種方案的利潤相同；③當(dāng)時(shí)，，則在內(nèi)，隨的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)；綜上，當(dāng)時(shí)，購進(jìn)鑰匙扣65個(gè)，徽章15個(gè)，利潤最大；當(dāng)時(shí)，6種方案的利潤相同（即購進(jìn)鑰匙扣60個(gè)，徽章20個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣61個(gè)，徽章19個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣62個(gè)，徽章18個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣63個(gè)，徽章17個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣64個(gè)，徽章16個(gè)或購進(jìn)鑰匙扣65個(gè)，徽章15個(gè)）；當(dāng)時(shí)，購進(jìn)鑰匙扣60個(gè)，徽章20個(gè)，利潤最大．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，較難的是題（3），熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，并分三種情況討論是解題關(guān)鍵．25．（2022春·重慶·八年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)一元一次不等式與一次函數(shù)的過程中，小新在同一個(gè)坐標(biāo)系中發(fā)現(xiàn)直線與坐標(biāo)軸相交于A，B兩點(diǎn)，直線與坐標(biāo)軸相交于C，D兩點(diǎn)，兩直線相交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2．已知，點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線和x軸分別相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N是線段PM的三等分點(diǎn)時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A，E，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)，或(3)或或，【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，分情況討論：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，分別列方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)，，分情況討論：①以，為對角線時(shí)，②以，為對角線時(shí)，③以，為對角線時(shí)，分別列二元一次方程組，求解即可．（1）解：將點(diǎn)的橫坐標(biāo)2代入直線，得，點(diǎn)，，，，將點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)代入直線，得，解得，直線；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖所示：則，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，或，當(dāng)時(shí)，，解得，，，當(dāng)時(shí)，，解得（舍，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖所示：，，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)，或，當(dāng)時(shí)，，解得（舍，當(dāng)時(shí)，，解得，，綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，或；（3）存在以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)，，，，①以，為對角線時(shí)，得，解得，點(diǎn)，②以，為對角線時(shí)，得，解得，；③以，為對角線時(shí)，得，解得，，，綜上，點(diǎn)坐標(biāo)為或或，．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，線段的三等分點(diǎn)，平行四邊形的判定等，本題綜合性較強(qiáng)，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．26．（2022春·山東·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，王老師提出了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖1-1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，PA＝5，PB＝12，PC＝13，求∠APB的度數(shù)．(1)【問題探究】針對這個(gè)問題，某學(xué)習(xí)小組進(jìn)行了如下嘗試：如圖1-2，將△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接，得到等邊．請根據(jù)該小組探究的思路求出∠APB的度數(shù)；(2)【類比延伸】在等腰Rt△ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC，其內(nèi)部有一點(diǎn)P．如圖2，連接PA，PB，PC，若∠APC＝135°，試判斷線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，連接PA，PC，以PC為直角邊作等腰Rt△PCQ，∠CPQ＝90°，連接BQ，取BQ的中點(diǎn)M，連接AM，PM，試判斷是否為定值，若為定值，請求出相應(yīng)的值