11.1 余弦定理解析版

11.1余弦定理【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一余弦定理在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，則有余弦定理語(yǔ)言敘述三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)考點(diǎn)二余弦定理可以用于兩類解三角形問(wèn)題1.已知三角形的兩邊和它們的夾角，求三角形的第三邊和其他兩個(gè)角.2.已知三角形的三邊，求三角形的三個(gè)角.考點(diǎn)三解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.【題型歸納】題型一：余弦定理解三角形1．在中，若，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意由余弦定理直接求得答案.【詳解】在中，若，，,則,即，即，解得，舍去，故選：A2．在中，角、、對(duì)的邊分別為、、．若，，，則角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】由余弦定理可得，，故.故選：A.3．在中，角所對(duì)的邊分別是，若，則角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，因?yàn)椋?，故選：D.題型二：余弦定理邊角互化判斷三角形的形狀4．在中，（分別為角的對(duì)邊），則一定是（

）A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)二倍角公式將已知條件變形，然后利用余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化進(jìn)行判斷.【詳解】∵，∴，即，根據(jù)余弦定理可得，整理得，由勾股定理知，為直角三角形.故選：B5．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理，轉(zhuǎn)化，結(jié)合即得解【詳解】由題意，結(jié)合余弦定理又故選：B6．在中，角，，的對(duì)邊分別是，，，已知，則的形狀是（

）．A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】C【分析】已知等式左邊利用二倍角余弦公式化簡(jiǎn)，整理后利用余弦定理表示出，可得，最后利用勾股定理的逆定理即可求解．【詳解】解：，，即，又，，整理得，所以為直角三角形．故選：C.題型三：余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題7．在中，已知，，．(1)求的值；(2)若點(diǎn)在邊上，且，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)5【分析】（1）利用余弦定理求解即可.（2）首先根據(jù)余弦定理得到，再利用余弦定理求解的長(zhǎng)即可.【詳解】（1）（2）如圖所示：因?yàn)椋?，所?所以8．已知的三內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為，且(1)求角C﹔(2)若，,求的值；【答案】(1)(2)【分析】(1)角化邊化簡(jiǎn)可得即可求解;(2)利用余弦定理結(jié)合已知條件即可求解.【詳解】（1）由得,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,因?yàn)?所以.（2）由余弦定理得，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?9．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，．(1)求的值；(2)若，求b的值．【答案】(1)##0.75(2)【分析】在第1問(wèn)中，由和對(duì)原式化簡(jiǎn)即可.在第2問(wèn)中，由面積公式可求，進(jìn)而根據(jù)條件可求出.【詳解】（1）在中，由三角形的面積公式得，由余弦定理得：．因?yàn)?，所以，整理可得．又，所以，故，所以．?），且，．，，解得．因?yàn)?，所以．、【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題10．中，角的對(duì)邊分別為，且，，，那么滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【答案】C【分析】利用余弦定理求出的值即可求解.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，，由余弦定理可得：，所以，也即，解得：，所以滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)有2個(gè)，故選：.11．在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，則a＝（）A． B．C．4 D．【答案】A【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】∵A＝60°，b＝2，c＝3，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋9－2×2×3×＝7，∴a＝．故選：A12．在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼茫?，則．故選：B.13．在中，分別為角的對(duì)邊，且滿足，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角恒等變換得，再由余弦定理解決即可.【詳解】由題知，，所以，所以，得，所以，得，所以的形狀為直角三角形，故選：A14．如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D，則cos∠ADC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由格點(diǎn)構(gòu)造直角三角形，由圓周角定理以及直角三角形的邊角關(guān)系可得答案.【詳解】連接和，如圖所示：∵為直徑，，又有點(diǎn)，，，都在圓上，所以，在中，，則，故選：B.15．（1）在中，已知，求的值；（2）在中，已知，解這個(gè)三角形．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）直接利用余弦定理求解即可；（2）弦利用余弦定理求出邊，再利用余弦定理求出角，從而可得角.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，即，解得或，?dāng)時(shí)，則，所以；當(dāng)時(shí)，由余弦定理得，所以，綜上所述，或.16．在中，有.(1)求角的大?。?2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】（1）解：由題意可得，，故.（2）解：由三角形的面積公式可得.因此，的面積為.【高分突破】一、單選題17．在中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理求解即可.【詳解】在中，由余弦定理得,在中，由余弦定理得,所以，故選:C.18．△ABC中，若a2=b2+c2+bc，則∠A=（

）A．60° B．45° C．120° D．30°【答案】C【分析】根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】根據(jù)余弦定理，因?yàn)?，所?故選：C19．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B等于（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】利用余弦定理求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，又，所以．故選：B20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，結(jié)合，得到，判斷出三角形為直角三角形.【詳解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.故選：A21．在ABC中，，，a，b是方程的兩個(gè)根，且，則邊AB的長(zhǎng)為（

）A．10 B． C． D．5【答案】B【分析】由題意，，結(jié)合余弦定理和韋達(dá)定理，可得解【詳解】由題意得∵，∴，∴.故選：B二、多選題(共0分)22．已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解判斷作答.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得或，所以的值可能是1或2.故選：AD23．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．在中，若，則C是銳角B．在中，若，則C．在中，若，則一定是直角三角形D．任何三角形的三邊之比不可能是【答案】ACD【分析】根據(jù)余弦定理，通過(guò)判別角余弦的正負(fù)，可得選項(xiàng)A，B的正誤，根據(jù)三角形的內(nèi)角的取值范圍和余弦值，可得C的正誤，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，可得D的正誤.【詳解】對(duì)于A，由及余弦定理可得，又，所以，所以C是銳角，故A正確；對(duì)于B，由及余弦定理可得，又，所以，所以A是銳角，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，則，所以一定是直角三角形，故C正確；對(duì)于D，若三角形三邊之比是，不妨設(shè)三邊分別為，則兩短邊之和為，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，故任何三角形的三邊之比不可能是，故D正確．故選：ACD．24．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，結(jié)合的范圍即能得到答案【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因?yàn)?，所以或，故選：BD.25．在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求出的值，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；利用三角形面積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用余弦定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】由及正弦定理可得，即，、，則，故，所以，，由可知且，即且，，則，由余弦定理可得，故，由，解得或，顯然滿足且，所以，ACD選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ACD.26．如圖所示，中，，點(diǎn)M為線段AB中點(diǎn)，P為線段CM的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交邊BC于點(diǎn)N，則下列結(jié)論正確的有（

）．A． B．C． D．與夾角的余弦值為【答案】AC【分析】對(duì)A，根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量共線的線性表示求解即可；對(duì)B，根據(jù)三點(diǎn)共線的性質(zhì)，結(jié)合可得，進(jìn)而得到判斷即可；對(duì)C，根據(jù)余弦定理可得，再根據(jù)B中兩邊平方化簡(jiǎn)求解即可；對(duì)D，在中根據(jù)余弦定理求解即可【詳解】對(duì)A，，故A正確；對(duì)B，設(shè)，則由A，，故，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故，解得，故，故，所以，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由余弦定理，，由B有，故，即，所以，故C正確；對(duì)D，在中，，，故，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題(共0分)27．在中，角所對(duì)邊分別為．若，則______．【答案】【分析】利用余弦定理求解.【詳解】由余弦定理得，解得故答案為:.28．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，，，則______．【答案】【分析】利用余弦定理列方程求解.【詳解】由余弦定理得即，解得（舍），故答案為:.29．任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對(duì)的角分別是，則有，，．請(qǐng)利用上述知識(shí)解答下面的題：在中，若，則______．【答案】【分析】由題可得，計(jì)算即可.【詳解】由題得，，由第一余弦定理知，所以，所以，又C為三角形的內(nèi)角解得，故答案為：30．在中，角，，所對(duì)的邊為，，，且，，，則的值等于__________．【答案】【分析】利用數(shù)量積的定義和余弦定理結(jié)合已知條件可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，故答案為?31．已知是鈍角三角形，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為，，，，，則最大邊的取值范圍是_________．（結(jié)果用區(qū)間表示）【答案】（5，7）【分析】由題意可得為鈍角，由余弦定理結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)槭氢g角三角形，最大邊為，所以角為鈍角，在中，由余弦定理可得：，可得，又因?yàn)椋?，所以最大邊的取值范圍是：，故答案為?32．在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，.設(shè)，則ABC三邊a，b，c的長(zhǎng)度分別為___________.【答案】1，，2或2，，1【分析】由數(shù)量積的定義結(jié)合可得，再由余弦定理可得，分析即得解【詳解】由得∴，故.由得，將代入，得，∴，或，，∴三邊a，b，c的長(zhǎng)度分別為1，，2或2，，1.故答案為：1，，2或2，，1四、解答題(共0分)33．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)8(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義得到，即可求出、，再由余弦定理計(jì)算可得；（2）由余弦定理求出，即可求出，再由兩角差的正弦公式計(jì)算可得.【詳解】（1）解：∵，，∴，由，解得或（舍去），∴，∴.（2）解：由余弦定理可得，∴，∴.34．在中，角、、的對(duì)邊分別為、、．已知的周長(zhǎng)為，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)若的面積為，求角的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）利用三角形的周長(zhǎng)公式以及已知條件可得出關(guān)于的等式，即可解得的值；（2）利用三角形的面積公式可求得，利用余弦定理可求得的值，再結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】（1）解：由已知可得，解得.（2）解：因?yàn)?，所以，從而，因?yàn)?，因此?35．已知銳角的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求；(2)若，求AD的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理，求得邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得答案；（