復(fù)數(shù)與平面幾何題(潘成華、周文化)

用復(fù)數(shù)解平面幾何題的嘗試宿遷市泗洪縣育才實驗學校周文化文武光華數(shù)學工作室潘成華【摘要】用復(fù)數(shù)法解決某些平面幾何題往往顯得簡潔而特別，尤其是那些規(guī)那么的，容易得出較簡潔表達式的問題。本文通過具體的問題談?wù)剬?fù)數(shù)解平面幾何題的假設(shè)干嘗試。關(guān)鍵詞復(fù)數(shù)，共軛復(fù)數(shù)，平面幾何為使符號表示簡明，文中約定使用復(fù)數(shù)時，①用表示“〞，代替通常的寫法，②表示復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，③引入符號“〞與“〞：表示Re(x)=Re(y),即復(fù)數(shù)x,y的實部相等；表示Im(x)=Im(y),即復(fù)數(shù)x,y的虛部部相等.由此約定不難得出，“p是實數(shù)〞等價于“p0〞，“p是純虛數(shù)〞等價于“p0〞.命題1.設(shè)，，其中，；(1)；(2).證明：只證充分性〔1〕當時，易知；由可得，故，于是Re()==0，即，再由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可得.(2)由(1)可知，當時，易知，∴Im()==0，即，再由共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)可得.注：實際上的實部、虛局部別對應(yīng)于向量與的內(nèi)積、外積.命題2.△與△順向相似(對應(yīng)點的排列順序相同)的充分必要條件可以是以下條件中的任一個：①，②，③，④且.證明：只證充分性，設(shè)即證.注：對順向相似中任意兩組對應(yīng)的有向線段，都顯然有,,，，成立.△與△反向相似(對應(yīng)點的排列順序相反)的充分必要條件可以是以下條件中的任一個：①，②，③，④且.證明：只證充分性，設(shè)即證.注：對反向相似中任意兩組對應(yīng)的有向線段，都顯然有,,，，成立.命題3.假設(shè)AB∥CD，Q是直線CD上的任一點，那么Im〔〕=Im〔﹣〕為定值.證明：只需證Im〔〕為定值.，由可得，∴,即Im〔〕為定值.特別的，當Q在直線AB上時，Im〔〕=Im〔﹣〕=Im〔〕=Im〔〕。命題4.假設(shè)AB⊥CD，Q是直線CD上的任一點，那么Re〔〕=Re〔〕為定值.證明：只需證Re〔〕為定值.，由可得，∴,即Re〔〕為定值.借助上述命題和復(fù)數(shù)的其他知識解決一些問題時思路往往顯得很新穎直接.問題1.：△ABC與△ADE反向相似，M、N分別是BD、CE的中點，BE、CD交于點X.求證：〔1〕AX//MN.〔2〕假設(shè)∠ABC=∠ADE=90O，那么AX⊥BD證明：〔1〕因此，AX//MN。〔2〕∴,進而.問題2.：Ｏ、Ｈ分別是△ABC的外心、垂心，D、E是AB、AC的中點，CF⊥AB于F，BG⊥AC于G，DE、FG相交于P；求證：AP⊥OH證明：由外心、垂心的性質(zhì)易得；由D、E是AB、AC的中點，CF⊥AB于F，BG⊥AC于G可得△ADE∽△AGF∽△ABC，DE∥BC，于是又有AH⊥DE.∴，可得；∴，可得.問題3.〔田開斌老師題〕：□ABCD中，CE、DF分別垂直BD、AC于E、F，F(xiàn)E與BA相交于G；求證：OG⊥AD.證明：分別過C、D作CM、DN垂直于OC、OD，且交OD、OC于M、N，易知CE∥DN，DF∥CM，MN∥EF，Rt△EOC∽Rt△DON,Rt△FOD∽Rt△COM，可得，；∴而，∴OG⊥AD。問題4.〔葉中豪老師題〕:矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，E、F分別是BC、CD上的點，BF、DE相交于P，AP交⊙O于G；求證：EG⊥FG證明：連接CG，易知CG⊥AG，那么由AP⊥CG可知；而，所以原命題得證.問題5.〔葉中豪老師題〕：AB=AC，M是BC上一點，過點M作MD、ME分別交AB、AC于D、E，且使得∠BMD=∠CME，O、P、Q分別是BC、DE、AM的中點；求證：O、P、Q在同一直線上.證明：易知△BMD∽△CME，，∴O、P、Q在同一直線上.問題6.：如圖，△ABC∽△ADE，G、H分別是它門的垂心，直線CD、EB交于點M；求證：AM⊥GH.證明：由相似三角形及垂心的性質(zhì)易知，其中k為實數(shù)，因此，；.當MCD、MEB共線時，，可得，原命題得證.另一種表達方式：以A為原點，B=1建立復(fù)平面，可設(shè)C、D、E對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為；因此，為純虛數(shù)為實數(shù)；顯然為實數(shù)，原命題得證。以上6個問題的解決根本上是借助命題3或命題4將問題歸結(jié)至相似三角形中，再由命題2作出判斷.比擬多的依賴于幾何圖形的形式，而更多的時候我們會充分借助其“數(shù)〞的特征，用“數(shù)〞來反映幾何圖形中的關(guān)系,再通過“數(shù)〞的“運算〞達成目的。問題7.〔潘成華老師題〕正方形ABCD、AEFG，P、Q、R分別是BF、AE、CG的中點，求證：PQ=PR且PQ⊥PR證明：∵∴,且.問題8.〔潘成華老師題〕：M、N分別是正方形ABCD、AEFG的中心，P、Q分別是CG、BF的中點，PQ、MN交于點O,求證：∠POM=45°，且PQ=MN.設(shè),那么，原命題得證.問題9..〔潘成華老師題〕以任意△ABC三邊為邊向外作等邊三角形ABD、BCE、CAF，M、Q、N分別是△ABD△BCE△CAF的外心，U、V、P分別是DF、MN、BC的中點；求證：UV∥PQ且UV=PQ.證明：取AB、AC中點G、H，設(shè)AB、BC、CA、GD、PE、HF對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c、x、y、z，k=,易知，；由三角形外心的性質(zhì)可知，原命題得證.注：由以上證明可以看出結(jié)論對向外作順相似的三角形都成立.問題10.〔潘成華老師題〕.以任意△ABC兩邊AB、AC為邊向內(nèi)作等邊三角形ABD、CAF，L、M分別是△ABD、△CAF的外心，以兩邊BC為邊向外作等邊三角形BCE，K是△BCE的外心；求證：ML、AK相互平分.證明：設(shè)，∵=0,∴四邊形AMKL是平行四邊形，ML、AK相互平分.問題11.〔潘成華老師題〕.以任意△ABC三邊為邊向外作等邊三角形CAD、BCE、ABF，U、V、X、Y分別是CB、CA、EF、DF的中點，直線UX、VY相交于P；求證：∠P+∠ACB=120°.證明：設(shè),，，∴，∠P+∠ACB=120°.問題11.〔潘成華老師題〕以任意△ABC三邊為邊相外作等邊三角形ABD、BCE、CAF，M、N分別是DE、EF的中點；求證：△AMN是等邊三角形.證明：設(shè)AB、BC、CA對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c，,那么于是，可得∠MAN=60O，且AM=AN，△AMN是等邊三角形.問題12.〔潘成華老師題〕.以任意△ABC三邊為邊向外作等邊三角形ABD、BCE、CAF，G、H、I、J、K、L分別是AD、DB、BE、EC、CF、FA的中點，GJ、HK、IL兩兩相交于X、Y、Z；求證：△XYZ是等邊三角形.證明：設(shè),；同理，原命題得證.問題13..〔潘成華老師題〕以任意△ABC兩邊AB、AC為邊向內(nèi)作等邊三角形ABD、CAF，L、M分別是△ABD、△CAF的外心，以兩邊BC為邊向外作等邊三角形BCE，K是△BCE的外心；求證：△AFB∽△KLM.證明：設(shè)AB、BC、CA對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c，,,,故△AFB∽△KLM.問題14.〔潘成華老師題〕：△ABD、△ACE均為等邊三角形，M、N是它們的中心，DN、EM相交于點F，G、H分別是BC、EM的中點；求證：F、G、N、H四點共圓證明：作等邊△PAE，Q是其外心，設(shè)，∴，于是F、G、N、H四點共圓.問題15.〔潘成華老師題〕：△ABD、△ACE均為等邊三角形，G、H、I分別是AE、BC、AD的中點，XYZ分別是△ABD、△ACE的外心；求證：線段XY中點Z是△GHI的外心.證明：設(shè)，△GHI為等邊三角形；∴,，即Z是△GHI的外心.問題16.〔潘成華老師題〕：正方形ABED、BCGF、CAHI、EFJK，且KI、JH交于點P；求證：(1)DG通過點P，(2)∠DPK=45°.證明：設(shè)AB、BC、CA、EK對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c、d,易知a+b+c=0,d=b-a.(1)，，；∴；于是當PHJ、PKI分別共線時，均為實數(shù)，那么也是實數(shù)，PGD共線，即DG通過D點；(2)由(1+i)KI=DG可得∠DPK=45°.問題17.〔潘成華老師題〕矩形ACHI、BADE、CBFG兩兩相似，P、Q、R、P'、Q'、R'皆為中點,求證：PP'、QQ'、RR'共點.證明：設(shè)AB、BC、CA、AD、BF、CH對應(yīng)的復(fù)數(shù)為a、b、c、x、y、z,且,,其中k為實數(shù)；由P、Q、R是中點易知；對任一點O都有；當O是PP'、QQ'的交點時，，于是，即O在RR'上，原命題得證.問題18.〔潘成華老師題〕.以任意△ABC兩邊AB、AC為邊向內(nèi)作等邊三角形ABD、CAF，L、M分別是△ABD、△CAF的外心；求證：證明：以A為原點，設(shè)F、B對應(yīng)的復(fù)數(shù)為x、y,，.PFD、PBC共線?與均為實數(shù)，兩式相加得為實數(shù),從而；于是∴PML也共線，原命題得證.問題19.〔潘成華老師題〕△ABD、△BCE、△CAF均為等邊三角形，X、Y、Z分別是FD、DE、EF的中點，求證：(1)AX、BY、CZ共點；〔2〕設(shè)〔1〕中交點為J，那么∠AJY=∠BJZ=∠CJX=60°.證明〔一〕：設(shè)CA，CB對應(yīng)的復(fù)數(shù)為a、b，e=cos60°+i?sin60°，可得，，設(shè)AX交BY于J，CJ=j，2AX與AJ共線；2BY與BJ共線；兩式相加得，又，可得，∴CZ、CJ共線，從而AX、BY、CZ共點.由可得∠AJY=∠BJZ=∠CJX=60°.證明二:只證〔1〕設(shè)AB、BC、CA對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為a、b、c，,顯然a+b+c=0,可得,(利用a+b+c=0,簡單整理即得)當時，，∴AX、BY、CZ共點.問題20.：OA=OD，OB=OE，∠AOD=∠BOE，AE、BD交于C，M是△ABC的外心.求證：OM⊥DE證明〔一〕設(shè)OA=,OB=,OC=,2OM=,||=1，取AD、BE中點X、Y，易知OX⊥AD，OY⊥BE，Rt△AOX∽Rt△BOY；由問題〔1〕可知OC⊥XY，可得；由M是△ABC外接圓的圓心可知均為純虛數(shù)三式相加得是純虛數(shù),∴也是純虛數(shù),OM⊥DE.證明〔二〕取△ABC三邊中點P、Q、R與AD、BE中點X、Y，易知MP、MQ、MR分別垂直于AC、BC、AB,OX、OY分別垂直于AD、BE，OC⊥XY；∵，∴∴當時，，原命題得證.注：證法二實質(zhì)上是將原問題轉(zhuǎn)化為四線共點問題21.：△AOB與△COD反相似，G、H是它們的垂心；求證：AC、BD、GH共點.證明：以O(shè)為原點建立復(fù)平面，設(shè)A、C、B、D、G、H對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為；MAC共線?為實數(shù)?------①；MBD共線?為實數(shù)?-----②；設(shè),其中為實數(shù),那么?①+?②得，而MGH共線等價于,因此只要對e、f證明存在實數(shù)同時滿足便可推出原命題，解此方程組得，由G是垂心易知為實數(shù)，故原命題得證.問題22.：等腰△ABC中，AC=BC，D是它的垂心，Ｏ是AB的中點，P是以AB為直徑的圓Ｏ上的一個動點，求證：當P在AB上方時，∠APC=∠BPD；而當P在AB下方時，∠APC+∠BPD=180°.證明：由題易知Rt△AOD∽Rt△COB,OA2=OD·OC；以Ｏ為原點，⊙Ｏ為單位圓建立復(fù)平面，設(shè)Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、P對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為-1、1、、、p=，其中k為負實數(shù).為實數(shù)；當P在AB上方時，，，可得∠APC=∠BPD；當P在AB下方時，，，可得∠APC+∠BPD=180°.問題23.：圓O是△ABC的內(nèi)切圓，D、E、F是切點，M、N分別是AD、BC的中點；求證：M、O、N三點共線.證明：以Ｏ為原點，⊙Ｏ為單位圓建立復(fù)平面，設(shè)D、E、F對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1、x、y，其中|x|=|y|=1.連接OA、EF交于P，易知P為EF的中點，Rt△OPF∽Rt△OFA,OF2=OP·OA；所以，而,從而，同理，、，進而，，∴為實數(shù)，M、O、N三點