專題12銳角的三角函數（5個知識點9種題型4個易錯點2種中考考法）（原卷版）

專題12銳角的三角函數（5個知識點9種題型2種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.正切的定義（重點）知識點2.坡度和坡角的定義（重點）知識點3.正弦、余弦的定義（重點）知識點4.30°，45°，60°角的三角函數值（重點）知識點5.互為余角的銳角三角函數之間的關系（難點）【方法二】實例探索法題型1.求銳角三角函數值題型2.銳角三角函數與網格、平面直角坐標系的綜合題型3.坡度的應用題型4.特殊角的三角函數值的計算題型5.三角函數間關系的運用題型6.利用銳角三角函數的增減性判斷角的取值范圍題型7利用特殊角的三角函數值判斷三角形的形狀題型8.利用銳角三角函數解決幾何問題題型9.動點問題【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.銳角三角函數的定義考法2.特殊角的三角函數值【方法四】成果評定法【學習目標】掌握正切、正弦、余弦的定義，并能根據它們的定義求一個銳角的正切、正弦和余弦的值。理解坡度、破角的定義，并能利用它們解決相關問題。能夠由所給數據求出銳角三角函數值。4.熟記三個特殊角的三角函數值，并能準確地加以運用。5.掌握互余兩角的正、余弦之間的關系，并利用這一性質進行有關計算。6.會利用計算器求銳角的三角函數值，或根據三角函數值求出相應的銳角?！局R導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.正切的定義（重點）正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對邊除以∠A的鄰邊＝．知識點2.坡度和坡角的定義（重點）（1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫成i＝1：m的形式．（2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關系為：i＝h/l＝tanα．（3）在解決坡度的有關問題中，一般通過作高構成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實質也是解直角三角形問題．應用領域：①測量領域；②航空領域③航海領域：④工程領域等．知識點3.正弦、余弦的定義（重點）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦，記作sinA．即sinA＝∠A的對邊除以斜邊＝．（2）余弦：銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦，記作cosA．即cosA＝∠A的鄰邊除以斜邊＝．知識點4.30°，45°，60°角的三角函數值（重點）（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝；（2）應用中要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．（3）特殊角的三角函數值應用廣泛，一是它可以當作數進行運算，二是具有三角函數的特點，在解直角三角形中應用較多．知識點5.互為余角的銳角三角函數之間的關系（難點）在直角三角形中，∠A+∠B＝90°時，正余弦之間的關系為：①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA＝cos（90°﹣∠A）；②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA＝sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B＝90°，那么sinA＝cosB或sinB＝cosA．【方法二】實例探索法題型1.求銳角三角函數值1．（2023?鏡湖區(qū)校級一模）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，則cosB的值是（）A． B． C． D．2．（2021秋?蕭縣期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，則tanA的值是（）A． B． C． D．3．（2021秋?安徽月考）如圖，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠C＝90°，則sinA的值為（）A． B． C． D．題型2.銳角三角函數與網格、平面直角坐標系的綜合4．（2023春·安徽安慶·九年級統考期末）如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網格中，若連接格點、，與交于點O，則的值為（

）

A．1 B． C． D．25．（2023·安徽亳州·統考模擬預測）如圖，已知的三個頂點均在格點上，則_____．6．（2022秋?池州期末）如圖，△ABC在邊長為1個單位的方格紙中，△ABC的頂點在小正方形頂點位置，那么∠ABC的正切值為．7．（2023?亳州模擬）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosC＝．題型3.坡度的應用8．（2023春?蕭縣月考）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度i＝1：3，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經過的路程是米．9．（2022秋?寧國市期末）如圖，在矩形ABCD中，BD是對角線，AE⊥BD，垂足為E，連接CE，若BD的坡度是1：2，則tan∠DEC的值是．題型4.特殊角的三角函數值的計算10．（2022秋?寧國市期末）計算：（﹣1）2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°．11．（2022秋?長豐縣校級期末）計算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．12．（2022秋?池州期末）計算：2sin45°﹣+．13.（2022秋?宣城期末）計算：cos230°+sin245°﹣tan60°?tan30°14．（2022秋?定遠縣期末）計算：（1）cos30°sin45°+sin30°cos45°；（2）．15．（2023?池州模擬）計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．16．（2023春?蚌埠月考）計算：sin45°?cos45°﹣tan60°÷cos30°．17．（2023?廬陽區(qū)校級一模）計算：2tan45°﹣﹣2sin260°．題型5.三角函數間關系的運用18．（2022秋?懷寧縣月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB的值為（）A． B． C． D．19．（2022秋?池州期末）在Rt△ACB中，∠C＝90°，，則sinB的值為（）A． B． C． D．20．（2023春?金安區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinB＝．21．（2021秋?金牛區(qū)校級期中）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，則sinA+cosA＝．22．（2021秋?安徽月考）若sinA＝，則tanA＝．23．（2023?懷寧縣一模）若∠A是銳角，且tanA＝2sinA，則∠A＝．24．（2021?安慶模擬）已知sina＝（a為銳角），則tana＝．25．（2022秋?宣州區(qū)期末）已知α為銳角，cosα＝，求tanα﹣的值．26．（2022秋?宿州月考）已知∠A是銳角，cosA＝，求sinA，tanA的值．題型6.利用銳角三角函數的增減性判斷角的取值范圍27．（2022秋·安徽六安·九年級統考階段練習）已知，則銳角A的取值范圍是（）A． B． C． D．28．（2023?安徽模擬）比較大?。簊in81°tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．29．（2022秋?天長市月考）比較大?。簍an40°tan50°（填“＞”“＝”或“＜”）．題型7.利用特殊角的三角函數值判斷三角形的形狀30．（2012秋?樅陽縣月考）若△ABC中，銳角A、B滿足，則△ABC是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形31．（2023春·安徽滁州·九年級?？茧A段練習）在中，都是銳角，，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形題型8.利用銳角三角函數解決幾何問題32．（2023春·陜西銅川·九年級銅川市第一中學?？茧A段練習）如圖，四邊形ABCD是矩形，以點A為圓心、AD為半徑畫弧交BC于點E．DF⊥AE于F．若E恰好為BC的中點.⑴∠BAE＝°；⑵DF平分AE嗎？證明你的結論.

33．（2022秋·四川達州·九年級統考期末）在一次課題學習中，老師讓同學們合作編題，某學習小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，編寫了下面這道題，請你來解一解：如圖，將矩形ABCD的四邊BA，CB，DC，AD分別延長至E，F，G，H，使得，，連接EF，FG，GH，HE．（1）判斷四邊形EFGH的形狀，并證明；（2）若矩形ABCD是邊長為1的正方形，且，，求AE的長．34．（2023春·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，矩形的對角線交于點O，點P在上，其中．

(1)證明：．(2)若，求的值．(3)設，和的面積分別為，求證：．35．（2023春·浙江·九年級階段練習）如圖1，已知四邊形是矩形，點E在的延長線上，相交于點G，與相交于點．(1)求證：；(2)若，求；(3)如圖2，連接，請判定三者之間的數量關系并證明．題型9.動點問題36．（2023秋·重慶巴南·九年級?？奸_學考試）如圖，在等腰中，，，點D為中點，點P從點D出發(fā)，沿方向以每秒的速度勻速運動到點A．設點P的運動時間為x秒，的面積為．根據學習函數的經驗，對函數y隨自變量x的變化規(guī)律進行探究．

(1)直接寫出y與x的函數關系式，注明x的取值范圍，并畫出y的函數圖像；(2)觀察y的函數圖像，寫出一條該函數的性質；(3)觀察圖像，直接寫出當時，x的值______．（保留1位小數，誤差不超過）37．（2023秋·浙江金華·九年級統考期末）如圖1，在菱形中，，，點E從點A出發(fā)以每秒1個單位長度沿運動到點B，然后以同樣速度沿運動到點C停止．設當點E的運動時間為x秒時，長為y．下面是小聰的探究過程，請補充完整．(1)根據三角函數值小聰想到連接交于點O（如圖2），請同學們幫忙求的長．(2)小聰學習了函數知識后，運用函數的研究經驗，對y與x的變化規(guī)律進行了下列探究，根據點E在上運動到不同位置進行畫圖、測量，分別得到了y與x的幾組對應值，并畫出了函數圖象（如圖3）：x012345y54．824．845．065．466請同學們繼續(xù)探究點E在上的運動情況，在同一坐標系中補全圖象，并寫出這個函數的兩條性質．(3)結合圖象探究發(fā)現時，x有四個不同的值．求y取何值時，x有且僅有兩個不同的值．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.銳角三角函數的定義1．（2022?荊州）如圖，在平面直角坐標系中，點A，B分別在x軸負半軸和y軸正半軸上，點C在OB上，OC：BC＝1：2，連接AC，過點O作OP∥AB交AC的延長線于P．若P（1，1），則tan∠OAP的值是（）A． B． C． D．32．（2022?濱州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為．3．（2022?揚州）在△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，若b2＝ac，則sinA的值為．．考法2.特殊角的三角函數值4．（2022?天津）tan45°的值等于（）A．2 B．1 C． D．5．（2022?綏化）定義一種運算：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ．例如：當α＝45°，β＝30°時，sin（45°+30°）＝×+×＝，則sin15°的值為．6．（2022?廣東）sin30°＝．7．（2022?荊門）計算：+cos60°﹣（﹣2022）0＝．8．（2022?金華）計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．9．（2022?樂山）sin30°+﹣2﹣1．【方法四】成果評定法一、單選題1．（2022秋·安徽亳州·九年級校聯考階段練習）已知sin42°≈，則cos48°的值約為（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）當時下列不等式成立的是（）A． B．C． D．3．（2022秋·安徽安慶·九年級統考階段練習）在中，，則的值為（

）A． B． C． D．4．（2020秋·安徽淮北·九年級統考期末）已知，則銳角的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023春·安徽合肥·九年級?？奸_學考試）在中，，，，那么的值是：（

）A． B． C． D．6．（2023秋·安徽滁州·九年級?？计谀┰谥校?，則是（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．一般銳角三角形7．（2023·安徽合肥·一模）一個鋼球沿坡角的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（單位：米）（

）A． B． C． D．8．（2022秋·安徽宣城·九年級校聯考階段練習）如圖，在矩形中，于點E，設，且，，則的長為（

）A． B． C． D．9．（2022秋·安徽滁州·九年級?？茧A段練習）如圖，點A在x軸上，點B，C在y軸上，則下列結論正確的是（

）A． B．C． D．10．（2021·安徽淮南·校聯考模擬預測）如果等腰三角形的底角為30°，腰長為6cm，那么這個三角形的面積為（）A．4.5cm2 B．9cm2 C．18cm2 D．36cm2二、填空題11．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，已知的三個頂點均在格點上，則．12．（2023春·安徽·九年級專題練習）比較大?。海ㄌ睢啊薄ⅰ啊被颉啊保?3．（2023秋·安徽滁州·九年級校聯考期末）在中，，，，則．14．（2023·安徽合肥·統考三模）在中，，，，是邊的中點，點在邊上，將沿直線翻折，使得點落在同一平面內的點處．請完成下列問題：（1）；（2）當時，的長為．三、解答題15．（2023·安徽亳州·統考三模）計算：．16．（2023秋·安徽宣城·九年級統考期末）已知為銳角，，求的值．17．（2022·安徽·九年級專題練習）如圖，，點E在邊上，，連接．(1)求證：四邊形是菱形．(2)已知點F為中點，過點F作交于點G，，，請直接寫出的長度．18．（2023·安徽安慶·安慶市第四中學?？级＃┤鐖D，四