專題01 相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型（解析版）

專題01相似三角形重要模型-（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點(diǎn)講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點(diǎn)在于過(guò)分割點(diǎn)(將線段分割的點(diǎn))作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長(zhǎng)中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點(diǎn)在?？贾袩o(wú)論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2022·浙江杭州·中考真題）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，．(1)若，求線段AD的長(zhǎng)．(2)若的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四邊形對(duì)邊平行證明，得到即可求出；（2）利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過(guò)相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過(guò)求出．(1)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；(2)∵四邊形BFED是平行四邊形，∴，，DE=BF，∴，∴∴，∵，DE=BF，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運(yùn)用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵．例2．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，、分別是、邊上的高．求證：．【答案】見詳解【分析】先證明，即有，再結(jié)合，即可證明．【詳解】∵、分別是、邊上的高，∴，∵，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．例3．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)F、G在上，點(diǎn)E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長(zhǎng)為____________．【答案】##4.8【分析】通過(guò)四邊形EFGH為矩形推出，因此△AEH與△ABC兩個(gè)三角形相似，將AM視為△AEH的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．【詳解】∵四邊形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分別是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．例4．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點(diǎn)，交于點(diǎn)G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．若平分，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）利用，證明，利用相似比即可證明此問(wèn)；（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出的值；（3）遵循第（1）、（2）小問(wèn)的思路，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，作，垂足為N．構(gòu)造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長(zhǎng)．(1)解：∵，∴，∴，∴．∵，∴．(2)解：由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．(3)解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接，作，垂足為N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識(shí)，遵循構(gòu)第（1）、（2）小問(wèn)的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．例5.（2022?安慶一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)和平行兩個(gè)條件可得中點(diǎn)，從而可得DE是△ABC的中位線，進(jìn)而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠EDA＝∠CAD，從而可得∠BAD＝∠EDA，進(jìn)而可得EA＝ED，即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，從而可得＝，＝，然后把兩個(gè)式子相加進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】（1）證明：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DE∥CA，∴點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，DF∥AB，∴點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）證明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，分式的化簡(jiǎn)求值，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及A字模型相似三角形的關(guān)鍵．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·河北·中考真題）如圖是釘板示意圖，每相鄰4個(gè)釘點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)的小正方形頂點(diǎn)，釘點(diǎn)A，B的連線與釘點(diǎn)C，D的連線交于點(diǎn)E，則（1）AB與CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．【答案】

是

##【分析】（1）證明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，證明∠CEA=90°，即可得到結(jié)論；（2）利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，證明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1）如圖：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，

∴△ACG≌△CFD，∴∠CAG=∠FCD，∵∠ACE+∠FCD=90°，∴∠ACE+∠CAG=90°，∴∠CEA=90°，∴AB與CD是垂直的，故答案為：是；（2）AB=2，∵AC∥BD，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴，∴AE=BE=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．例2.（2022·廣西·中考模擬）如圖，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，點(diǎn)D在BE延長(zhǎng)線上，且BA?BC＝BD?BE．（1）求證：△ABD∽△EBC；（2）求證：AD2＝BD?DE．【答案】見解析【解答】證明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，∵BA?BC＝BD?BE．即ABBC=BDBE，∴△（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝例3.（2023·浙江九年級(jí)期中）如圖，AD與BC交于點(diǎn)O，EF過(guò)點(diǎn)O，交AB與點(diǎn)E，交CD與點(diǎn)F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．（1）求證：∠A＝∠D．（2）若AE＝BE，求證：【答案】【解析】證明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=9∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，∵AE＝BE，∴CF＝DF．例4．（2022·廣西貴港·中考真題）已知：點(diǎn)C，D均在直線l的上方，與都是直線l的垂線段，且在的右側(cè)，，與相交于點(diǎn)O．(1)如圖1，若連接，則的形狀為______，的值為______；(2)若將沿直線l平移，并以為一邊在直線l的上方作等邊．①如圖2，當(dāng)與重合時(shí)，連接，若，求的長(zhǎng)；②如圖3，當(dāng)時(shí)，連接并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)F，連接．求證：．【答案】(1)等腰三角形，(2)①；②見解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于H，可得四邊形ABHC是矩形，即可求得AC=BH，進(jìn)而可判斷△BCD的形狀，AC、BD都垂直于l，可得△AOC∽△BOD，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．（2）①過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，AC，BD均是直線l的垂線段，可得，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理即可求解．②連接，根據(jù)，得，即是等邊三角形，把旋轉(zhuǎn)得，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般得到，則可得，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求證結(jié)論．(1)解：過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BD于H，如圖所示：∵AC⊥l，DB⊥l，CH⊥BD，∴∠CAB=∠ABD=∠CHB=90°，∴四邊形ABHC是矩形，∴AC=BH，又∵BD=2AC，∴AC=BH=DH，且CH⊥BD，∴的形狀為等腰三角形，∵AC、BD都垂直于l，∴△AOC∽△BOD，，即，，故答案為：等腰三角形，．(2)①過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，如圖所示：∵AC，BD均是直線l的垂線段，∴，∵是等邊三角形，且與重合，∴∠EAD=60°，∴，∴，∴在中，，，又∵，，∴，∴，又，∴，又由（1）知，∴，則，∴在中，由勾股定理得：．②連接，如圖3所示：∵，∴，∵是等腰三角形，∴是等邊三角形，又∵是等邊三角形，∴繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與重合，∴，又∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定及性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定及性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，巧妙借助輔助線是解題的關(guān)鍵．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1．（2022·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，點(diǎn)D為邊上任一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，連接相交于點(diǎn)F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·浙江·杭州九年級(jí)期中）如圖，中，中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求的值．（2）如果，，請(qǐng)找出與相似的三角形，并挑出一個(gè)進(jìn)行證明．【答案】（1）3；（2），證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，得到，則問(wèn)題可解；（2）根據(jù)題意分別證明，問(wèn)題可證．【詳解】解：（1）是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，．（2）當(dāng)，時(shí)，由（1）可得，，，，，，，又，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解答關(guān)鍵是根據(jù)題意選擇適當(dāng)方法證明三角形相似．例2.（2023·廣東九年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點(diǎn)E、F，DF交對(duì)角線AC于點(diǎn)M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若＝，AF＝2，求的長(zhǎng)．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設(shè)BE＝BF＝x，∵＝，AF＝2，∴，解得x＝，∴BE＝BF＝，∵＝，且CE＝AF，∴＝＝，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴，∴，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．例3.（2022·浙江九年級(jí)期中）如圖，已知AB∥CD，AC與BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在線段BC上，ABCD=12，BFCF=12．（1）求證：AB∥EF；（2）求S△ABE：【答案】見解析【解析】（1）證明：∵AB∥CD，∴ABCD∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF（2）設(shè)△ABE的面積為m．∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，∴∵AECE=ABCD=12，∴∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過(guò)點(diǎn)O作EF∥AB分別交BC、AD于點(diǎn)E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點(diǎn)，DE交OC于點(diǎn)M，作MN∥OB交OA于一點(diǎn)N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長(zhǎng)度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結(jié)論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質(zhì)將比例式相加，從而得出結(jié)論；（3）作DF∥OB交OC于點(diǎn)F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點(diǎn)，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點(diǎn)，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點(diǎn)F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵M(jìn)N∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，對(duì)比例式進(jìn)行恒等變形是解題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1.（2021·山東淄博·中考真題）如圖，相交于點(diǎn)，且，點(diǎn)在同一條直線上．已知，則之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得，，則有，，然后可得，進(jìn)而問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，即；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2.（2023春·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，中，是它的角平分線，是上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)可知是等腰三角形，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可知，進(jìn)而解答即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵是的角平分線，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴設(shè)，，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，過(guò)作，垂足為，∴，，∴，故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，中點(diǎn)的定義，等腰三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊AD的中點(diǎn)，連接AC，BE交于點(diǎn)F．若△AEF的面積為2，則△ABC的面積為()A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】先利用平行四邊形的性質(zhì)得，AD=BC，由可判斷△AEF∽△CBF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，然后根據(jù)三角形面積公式得，則．【詳解】∵平行四邊形ABCD∴，AD=BC∵E為邊AD的中點(diǎn)∴BC=2AE∵∴∠EAC=∠BCA又∵∠EFA=∠BFC∴△AEF∽△CBF如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，則，∴，∵△AEF的面積為2∴故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，屬于同步基礎(chǔ)題．4．（2023秋·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)E，，，，，則對(duì)角線與的長(zhǎng)分別是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)O，證明，可求得，，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．【詳解】過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)O，如圖所示：

∵，，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∵，∴，∴．在中，，即，解得：，∴．∵，，∴，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)度．5．（2022秋·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)F在平行四邊形的邊上，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交于點(diǎn)O，若，則的值為（

）

A． B． C．2 D．【答案】C【分析】先由平行四邊形性質(zhì)得到，，證明得到，進(jìn)而得到，再證明求解即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴，∴，∴，則，∵，，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．6．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，某學(xué)習(xí)小組計(jì)劃制作一個(gè)款式如圖所示的風(fēng)箏．在骨架設(shè)計(jì)中，兩條側(cè)翼的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)，風(fēng)箏頂角的度數(shù)為，在上取D，E兩處，使得，并作一條骨架．在制作風(fēng)箏面時(shí)，需覆蓋整個(gè)骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點(diǎn)間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．41 B．57 C．82 D．143【答案】C【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，根據(jù)已知易證，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，即可解答．【詳解】解：設(shè)與交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，

，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，兩點(diǎn)間的距離大約是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，連接交于點(diǎn)F，若，則＝．【答案】2【分析】過(guò)D作垂直于H點(diǎn)，過(guò)D作交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出的長(zhǎng)，其次利用，求出的長(zhǎng)，得出的長(zhǎng)，最后利用求出的長(zhǎng)，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過(guò)D作垂直于H點(diǎn)，過(guò)D作交于G點(diǎn)，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案．8．（2023春·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是，，上的點(diǎn)，且，，，，則cm．

【答案】8【分析】首先根據(jù)平行四邊形的判定證明四邊形是平行四邊形，則，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴．∵，∴．∵，∴，∴，即，∴，∴．故的長(zhǎng)為．故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查平行四邊形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)及判定是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·山西呂梁·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，的垂直平分線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】如圖所示，取中點(diǎn)H，連接，先求出，再由線段垂直平分線的性質(zhì)得到，點(diǎn)D為中點(diǎn)，證明得到，則，再由三角形中位線定理得到，進(jìn)而證明，得到，利用勾股定理可得．【詳解】解：如圖所示，取中點(diǎn)H，連接，∵，∴，∴，∵垂直平分線段，∴，點(diǎn)D為中點(diǎn)，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)H為中點(diǎn)，點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴為中位線，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小的四邊形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格點(diǎn)處，與相交于O，則．

【答案】【分析】如圖所示，延長(zhǎng)交各格線于點(diǎn)D，證明，即可得到．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交網(wǎng)格線于點(diǎn)D，由網(wǎng)格的特點(diǎn)可知點(diǎn)E在格點(diǎn)處，∵，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．11.已知：如圖，點(diǎn)D，F(xiàn)在△ABC邊AC上，點(diǎn)E在邊BC上，且DE∥AB，CD2＝CF?CA．（1）求證：EF∥BD；（2）如果AC?CF＝BC?CE，求證：BD2＝DE?BA．【答案】見解析【解析】證明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC∵CD2＝CF?CA．∴CDAC=CFCD，∴CFCD（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∵AC?CF＝BC?CE，∴ACBC=CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD=BDDE∴BD212．[閱讀理解]構(gòu)造“平行八字型”全等三角形模型是證明線段相等的一種方法，我們常用這種方法證明線段的中點(diǎn)問(wèn)題．例如：如圖，D是△ABC邊AB上一點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則易證E是線段DF的中點(diǎn)．[經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用]請(qǐng)運(yùn)用上述閱讀材料中所積累的經(jīng)驗(yàn)和方法解決下列問(wèn)題．（1）如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．求證：①G是EF的中點(diǎn)；②CG＝BE；[拓展延伸]（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且滿足AE＝2CF，連接EF交AC于點(diǎn)G．探究BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在線段BC上，DF交AC于點(diǎn)H，BF＝2，CF＝1，（2）中的其它條件不變，請(qǐng)直接寫出GH的長(zhǎng)．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）BE＝CG，理由詳見解析；（3）．【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，證明△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG即可；②由等腰直角三角形的性質(zhì)得出AI＝AE，由平行線得出＝＝，證出IC＝BE，由全等三角形的性質(zhì)得出IG＝CG＝IC，即可得出結(jié)論；（2）作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，由三角函數(shù)證出AE＝2IE，得出IE＝CF，證△EIG≌△FCG（ASA），得出EG＝FG，IG＝CG，設(shè)IE＝a，則AE＝2a，求出＝，則＝＝，得出IC＝EB，即可得出結(jié)果；（3）作FP∥AB交AC于P，則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，則tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，求出AE＝PF＝2，BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，AC＝3，證明△CPF∽△CAB，得出＝＝，求出PC＝AC＝，PA＝2，AG＝PG＝，再證明△PFH∽△CDH，得出＝＝，得出PH＝PC＝，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：①過(guò)點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，如圖1所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠AEI＝∠ABC＝90°，∴∠BAC＝45°，∴∠AIE＝∠BAC＝45°，∴AE＝EI，∵AE＝CF，∴CF＝EI，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，∴G是EF的中點(diǎn)；②在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，AE＝EI，∴△AEI是等腰直角三角形，∴AI＝AE，∴＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝BE，∵△EIG≌△FCG，∴IG＝CG＝IC，∴CG＝×BE＝BE；（2）解：BE和CG之間的數(shù)量關(guān)系為：BE＝CG；理由如下：過(guò)點(diǎn)E作EI∥BC交AC于點(diǎn)I，如圖2所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠AEI＝∠ABC＝90°，AB∥CD，AB＝CD，在Rt△AEI和Rt△ABC中，∠ABC＝∠AEI＝90°，AB＝2BC，∴tan∠IAE＝＝＝，∴AE＝2IE，∵AE＝2CF，∴IE＝CF，∵EI∥BC，∴∠EIG＝∠FCG，∠IEG＝∠CFG，在△EIG和△FCG中，，∴△EIG≌△FCG（ASA），∴EG＝FG，IG＝CG，設(shè)IE＝a，則AE＝2a，在Rt△AEI中，∠AEI＝90°，∴AI＝＝＝a，cos∠IAE＝，即＝＝，∵EI∥BC，∴＝＝，∴IC＝EB，∵IG＝CG＝IC，∴CG＝BE，∴BE＝CG；（3）解：作FP∥AB交AC于P，如圖3所示：則FP∥CD，∠CFP＝∠ABC＝90°，∠CPF＝∠CAB，在Rt△CFP和Rt△ABC中，AB＝2BC，∴tan∠CPF＝＝tan∠CAB＝＝，∴PF＝2CF，∵AE＝2CF，∴AE＝PF＝2，同（2）得：△AEG≌△PFG（AAS），∴AG＝PG，∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝3，CD＝AB＝2BC＝6，∴AC＝＝＝3，∵FP∥AB，∴△CPF∽△CAB，∴＝＝，∴PC＝AC＝，PA＝AC﹣PC＝2，∴AG＝PG＝PA＝，∵FP∥CD，∴△PFH∽△CDH，∴＝＝＝，∴PH＝PC＝，∴GH＝PG+PH＝＝．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；作輔助線構(gòu)建全等三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2022·湖南常德·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上，DE=DC，點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)．（1）求證：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，過(guò)點(diǎn)E作EG//AC交AB于點(diǎn)G，求證：AB=2AG；（3）將“點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BC上”改為“點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上”，“點(diǎn)F是DE與AC的交點(diǎn)”改為“點(diǎn)F是ED的延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)”，其它條件不變，如圖2．①求證：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，請(qǐng)直接寫出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②．【分析】（1）運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)就可解決問(wèn)題．（2）如圖1，證明△DCA≌△EDG（AAS），得AD=EG，根據(jù)等腰三角形的判定得：DG=AB，由平行線分線段成比例定理得：，由此可得結(jié)論；（3）①如圖2，作輔助線，構(gòu)建三角形全等，證明△DCA≌△EDG（AAS），得DA=EG，再證明△ACB∽△GEB，列比例式可得結(jié)論；②如圖3，作輔助線，構(gòu)建△ABC和△DCE的高線，先得，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，根據(jù)AH∥PD，得，設(shè)PD=3h，AH=4h，根據(jù)EG∥AC，同理得，設(shè)BE=y，BC=4y，利用三角形面積公式代入可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）證明：如圖1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EG∥AC，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB?BE=AD?BC；②如圖3，過(guò)A作AH⊥BC于H，過(guò)D作DP⊥BC于P，則AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，設(shè)AF=a，則EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，設(shè)PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，設(shè)BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC?AH===8yh，S△DCE=CE?PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，第三問(wèn)有難度，利用參數(shù)表示各線段的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．14．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)E，將沿直線折疊得到，直線交直線于F．

(1)求證：．(2)若四邊形為菱形，且．求的值．(3)若點(diǎn)P為的中點(diǎn)，在改變長(zhǎng)度的過(guò)程中，當(dāng)成為以為腰的等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)或(3)13或3或或或【分析】（1）由四邊形是平行四邊形得到，則，由折疊可知，，則，即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，分點(diǎn)F在點(diǎn)D的右側(cè)和點(diǎn)F在點(diǎn)D的左側(cè)兩種情況進(jìn)行求解即可；（3）分五種情況，分別畫出圖形，分別進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，由折疊可知，，∴，∴；（2）過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，

則，設(shè)，且，∵，四邊形為菱形，∴，在中，，即，解得，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖，

∵，∴，在中，，由（1）可知，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，如圖，點(diǎn)F與點(diǎn)M重合，

則，∴，同理可得，綜上所述，的值為或；（3）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)，如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，

由（1）（2）可知，，∵，∴，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴,∵，∴，∴，∴，∵，∴；②當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，如圖，

則，同理可得，，∵，∴，∴；③當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)F在線段上，如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，

由（1）（2）可知，，