13.2 畫軸對(duì)稱圖形（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步配套教學(xué)講義與重難點(diǎn)突破（人教版）13.2畫軸對(duì)稱圖形1.理解和掌握軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的畫法；2.坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱性及其特征。1.軸對(duì)稱(軸對(duì)稱圖形)的性質(zhì)(1)關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等，只要是對(duì)應(yīng)的部分就全等。(2)對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。(3)對(duì)應(yīng)線段所在的直線若相交，則交點(diǎn)在對(duì)稱軸上?！纠斫馀c拓展】成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：①成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形沿對(duì)稱軸折疊能夠相互重合，所以它們一定是全等的，但全等的兩個(gè)圖形不一定是軸對(duì)稱圖形。②成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠重合，所以它們的周長(zhǎng)、面積也相等，但周長(zhǎng)或面積相等的兩圖形不一定成軸對(duì)稱。2.軸對(duì)稱(軸對(duì)稱圖形)對(duì)稱軸的畫法如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱，那么對(duì)稱軸就是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。因此，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸。同樣，對(duì)于軸對(duì)稱圖形，只要找到任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對(duì)稱軸。3.關(guān)于某直線成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形之間的關(guān)系(1)由一個(gè)平面圖形可以得到它關(guān)于一條直線l成軸對(duì)稱的圖形，所得圖形與原圖形全等。(2)新圖形上的每一點(diǎn)都是原圖形上的某一點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)。(3)連接任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段被對(duì)稱軸垂直平分。4.畫已知圖形關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱圖形(1)依據(jù)：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱。據(jù)此，我們通過(guò)作出已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的方法作出已知圖形的軸對(duì)稱圖形。(2)方法①選：在原圖上選擇一些關(guān)鍵點(diǎn)。②作：過(guò)這些點(diǎn)分別作已知直線(對(duì)稱軸)的垂線，并在垂線上找到一些點(diǎn)(截取)，使得這些點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離分別與在原圖上選擇的一些關(guān)鍵點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等，從而得到已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)。③連：順次連接這些對(duì)稱點(diǎn)，得到的圖形即為已知圖形的軸對(duì)稱圖形。5.關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(x，y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，-y)，即橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x，y)，即橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相同。技巧關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系：關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)可以簡(jiǎn)單記為“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變”，理解為關(guān)于x軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)x的值不變；關(guān)于y軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)y的值不變。6.點(diǎn)P(x，y)關(guān)于直線x=m、直線y=n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)軸對(duì)稱是關(guān)于某條直線的對(duì)稱，在平面直角坐標(biāo)系中，除了關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，圖形還能關(guān)于平行于x軸、y軸的任意一條直線對(duì)稱，并且坐標(biāo)變化規(guī)律也不盡相同。但是，不論關(guān)于任何一條直線對(duì)稱，它們都成軸對(duì)稱，都具備軸對(duì)稱的性質(zhì)，我們?nèi)匀荒芨鶕?jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，畫出軸對(duì)稱圖形，得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。規(guī)律點(diǎn)(x，y)關(guān)于直線x=m對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系是：兩對(duì)稱點(diǎn)橫坐標(biāo)之和等于2m，即所求點(diǎn)的橫坐標(biāo)x?=2m-x，縱坐標(biāo)不變；關(guān)于直線y=n對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系是：橫坐標(biāo)不變，兩對(duì)稱點(diǎn)縱坐標(biāo)之和等于2n，即所求點(diǎn)的縱坐標(biāo)y?=2n-y。7.平面直角坐標(biāo)系中的軸對(duì)稱(1)意義：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，可以作出一個(gè)圖形關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱圖形。(2)方法：先求出已知圖形中一些特殊點(diǎn)關(guān)于x軸(或y軸)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，描出這些點(diǎn)，并順次連接，就可得到這個(gè)圖形關(guān)于x軸(或y軸)的對(duì)稱圖形。題型一求對(duì)稱軸的條數(shù)下列圖形中，對(duì)稱軸最少的對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)圖形逐個(gè)判斷出對(duì)角線條數(shù)比較即可得到答案；【詳解】解：由圖像可得，A一條對(duì)稱軸，B四條對(duì)稱軸，C五條對(duì)稱軸，D三條對(duì)稱軸，故選A；1．下列圖形對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先分別找到每個(gè)選項(xiàng)中圖形的對(duì)稱軸的條數(shù)即可解答．【詳解】解：A．圖形有5條對(duì)稱軸；B．圖形有3條對(duì)稱軸；C．圖形沒有對(duì)稱軸；D．圖形有4條對(duì)稱軸；所以對(duì)稱軸條數(shù)最多的是A．故選：A．2．下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸的條數(shù)四條的有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，分別找出圖中的軸對(duì)稱的條數(shù)，即可求解．【詳解】解：軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸的條數(shù)四條的只有圖形（1），（2）；圖形（3）是無(wú)數(shù)條；圖形（4）是兩條；圖形（5）是七條．故選：B．題型二鏡面對(duì)稱問(wèn)題某公路急轉(zhuǎn)彎處設(shè)立了一面圓形大鏡子，車內(nèi)乘客從鏡子中看到汽車前車牌的部分號(hào)碼如圖所示，則該車牌的部分號(hào)碼為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，平面鏡中的成像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右顛倒，并關(guān)于鏡面對(duì)稱，由此可得題中圖形在現(xiàn)實(shí)中的樣子.【詳解】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)可得，題中圖形在現(xiàn)實(shí)中的圖形為故選：C.1．小明玩自拍，自拍照中電子鐘示數(shù)如圖所示，拍照的時(shí)刻應(yīng)是（

）A．21∶10 B．10∶21 C．10∶51 D．12∶01【答案】C【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，題中所顯示的時(shí)刻與成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為．故選：C2．小明在鏡中看到身后墻上的時(shí)鐘，實(shí)際時(shí)間最接近8時(shí)的是下圖中的（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：實(shí)際時(shí)間最接近8時(shí)的時(shí)鐘，在鏡子里看起來(lái)應(yīng)該是4點(diǎn)，所以圖C所示的時(shí)間最接近8時(shí)．故選：C．題型三畫軸對(duì)稱圖形如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：(1)在圖中作出關(guān)于軸對(duì)稱的，點(diǎn)與、與對(duì)應(yīng)，并寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)．(2)求的面積．【答案】(1)畫圖見解析，、(2)【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，畫出，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）根據(jù)正方形的面積減去三個(gè)三角形的面積即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，、；

（2）的面積為．1．如圖，在的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）．(1)在圖中作出關(guān)于直線l對(duì)稱的（要求A與，B與，C與相對(duì)應(yīng)）(2)在直線l上找一點(diǎn)P，使得的周長(zhǎng)最小【分析】（1）分別作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)，然后順次連接；（2）連接與l的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，此時(shí)的周長(zhǎng)最?。驹斀狻浚?）解：所作圖形如圖所示；

；（2）解：點(diǎn)P即為所求的點(diǎn)．由軸對(duì)稱知，又的長(zhǎng)為定值，∴的周長(zhǎng)為，∴當(dāng)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最?。?．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)直接寫出頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)在圖中作出關(guān)于x軸的對(duì)稱圖形，并寫出點(diǎn)，，的坐標(biāo)．【答案】(1)，，(2)畫圖見解析，，，【分析】（1）根據(jù)圖形直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱變換的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：，，；（2）如圖所示，即為所求，，，；

一、單選題1．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得答案．【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．故選：B．2．剪紙藝術(shù)是最古老的中國(guó)民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)的坐標(biāo)為，其關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，則的值為（

）A． B． C．1 D．0【答案】C【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，由此求出m和n，再代入求值．【詳解】解：與關(guān)于軸對(duì)稱，，解得，，故選C．3．正方形的對(duì)稱軸的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)正方形的對(duì)稱性解答．【詳解】解：正方形有4條對(duì)稱軸．故選：D．4．若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的值為（

）A．4 B． C．0 D．2【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)可得、的值，再計(jì)算即可．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，，解得，．所以．故答案選：C．5．有一些含有特殊數(shù)學(xué)規(guī)律的車牌號(hào)碼，如：皖C80808、皖C22222、皖C12321等，這些牌照中的五個(gè)數(shù)字都是關(guān)于中間的一個(gè)數(shù)字“對(duì)稱”的，給人以對(duì)稱的美的感受，我們不妨把這樣的牌照叫做“數(shù)字對(duì)稱”牌照．如果讓你負(fù)責(zé)制作只以8或9開頭且有五個(gè)數(shù)字的“數(shù)字對(duì)稱”牌照，那么最多可制作（）A．200個(gè) B．400個(gè) C．1000個(gè) D．2000個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)有5個(gè)數(shù)字的“數(shù)字對(duì)稱”牌照，第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)相同，第二個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)相同分析，分以8開頭和以9開頭兩類，只考慮第二個(gè)數(shù)和第三個(gè)數(shù)，即可求解；【詳解】解：根據(jù)題意，若以8開頭，則第五個(gè)也是8，只需考慮中間3位，又因?yàn)榈诙缓偷谒奈皇窍嗟鹊?，只需考慮第二位和第三位，共有種情況．同樣地，以9開頭只需考慮中間3位，又因?yàn)榈诙缓偷谒奈皇窍嗟鹊模恍杩紤]第二位和第三位，共有種情況，所以最多可制作200個(gè)．故選：A．6．如圖，在中，平分，E，P分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，連接，．若，，則的最小值是（

）A．3 B．6 C．10 D．12【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作，此時(shí)最小，再利用，求出的長(zhǎng)度，即為的最小值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作，

∵平分，，，，∴此時(shí)最短，最短距離為的長(zhǎng)，∵，，，，，最小值為6．故選：B．7．如圖，，為內(nèi)一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)取最小值時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，連接交于兩點(diǎn)，則，，由題意知，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，由，，可知，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，與交點(diǎn)為，與交點(diǎn)為，連接交于兩點(diǎn)，則，，

由題意知，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)最小，∵，，∴，∴，∴，∴，故選：C．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來(lái)點(diǎn)B坐標(biāo)是，則經(jīng)過(guò)第2023次變換后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，每四次變換為一個(gè)循環(huán)組循環(huán)，用2023除以4，根據(jù)余數(shù)的情況確定最后點(diǎn)B所在的象限，然后根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的變化規(guī)律解答．【詳解】點(diǎn)B第一次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第三象限，點(diǎn)B第二次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第四象限，點(diǎn)B第三次關(guān)于x軸對(duì)稱后在第一象限，點(diǎn)B第四次關(guān)于y軸對(duì)稱后在第二象限，所以，每四次對(duì)稱為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，∵余3，∴經(jīng)過(guò)第2023次變換后所得的B點(diǎn)與第三次變換的位置相同，坐標(biāo)為．故選：D二、填空題9．在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則＝．【答案】【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征是縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，據(jù)此解得a，b的值即可解題．【詳解】解：∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，解得：，則．故答案為：．10．如圖，點(diǎn)是內(nèi)部的一點(diǎn)，，，，分別是，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值．【答案】9【分析】設(shè)點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為C，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)M、N在上時(shí)，的周長(zhǎng)最?。驹斀狻糠謩e作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)C、D，連接，分別交于點(diǎn)M、N，連接．

∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為C，∴；∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為D，∴，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．∴的周長(zhǎng)的最小值=．故答案為：9．11．在平面鏡里看到背后墻上，電子鐘示數(shù)如圖所示,這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是．【答案】【分析】在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱，由此可解．【詳解】解：題中所給的“”與“”成軸對(duì)稱，這時(shí)的時(shí)間應(yīng)是．故答案為：．12．剪紙藝術(shù)是中國(guó)民間藝術(shù)之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美，如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對(duì)稱圖形，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，如果圖中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，其關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)F坐標(biāo)為，則的值為．【答案】1【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)構(gòu)建方程組，求出m，n，可得結(jié)論．【詳解】解：∵，關(guān)于y軸對(duì)稱，∴，解得，，∴，故答案為：1．三、解答題13．把點(diǎn)向上平移4個(gè)單位，所得的點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱．(1)求的值；(2)寫出線段上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)則，得到的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，得到軸，得到線段上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為3，即可．【詳解】（1）點(diǎn)向上平移4個(gè)單位，所得的點(diǎn)，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴；（2）∵，，∴軸，∴線段上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為：．14．如圖，已知網(wǎng)格上最小的正方形的邊長(zhǎng)為1．(1)作關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形（不寫作法）；(2)求的面積；(3)在y軸上找一點(diǎn)P使得最小．【答案】(1)見解析(2)；(3)見解析【分析】（1）分別作出各點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，再順次連接即可；（2）用所在的長(zhǎng)方形面積減去周圍三個(gè)三角形面積進(jìn)行求解即可；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

；（2）解：；（3）解：如圖所示，點(diǎn)即為所求．，15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)的面積為__________．(2)畫出關(guān)于軸的對(duì)稱圖形；再畫出沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后再向下平移個(gè)單位得到的；(3)若上有一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)上述三次變換后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的