大學物理學基本教程課件

(習題1-7)離水平面高為h

的岸邊,有人用繩以恒定速率v0拉船靠岸.試求船靠岸的速度,加速度隨船至岸邊距離變化的關系式.對時間求導得到速度和加速度：(1)(2)由題意知：(3)解：在如圖所示的坐標系中,以船為研究對象視為質點,其位矢為(4)負號表明船的速度、加速度均沿水面指向岸邊.

第二章牛頓運動定律引言：前一章從幾何觀點研究物體的運動，本章將運動與改變運動狀態(tài)的原因聯(lián)系起來研究。

1687年，牛頓出版的名著《自然哲學的數(shù)學原理》總結了前人（伽利略）的成果并加以發(fā)展，給出了牛頓三定律的完整描述。牛頓運動定律是整個經(jīng)典力學的基礎，整個經(jīng)典力學都是以牛頓運動定律為基礎建立起來的。牛頓的三條定律敘述如下：§2—1牛頓運動定律一、牛頓第一定律1、陳述：任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀態(tài),直到合力迫使它改變這種狀態(tài)為止。2、意義：

a.慣性大小的量度(m)(保持原有的屬性)b.力不是維持原有狀態(tài)的原因，而是改變狀態(tài)的原因。

c.則保持原有的狀態(tài)（受力為0，與合外力為0等價，不受力的物體沒有。）３、注意：a.速度大力就大（）

b.物體作曲線運動（變速運動，有）或二、牛頓第二定律１、陳述：物體運動的加速度大小與合外力成正比，與m成反比，方向與方向一致。當<<C時：m=const2、意義：定量地描述了與力的關系：大小成正比方向一致3、注意：a.只適用于質點、慣性系b.是一矢量式對矢量式可取分量形式，取坐標：法向力----法向加速度切向力----切向加速度c.牛頓第二定律是瞬時關系；(某時刻)d.不是力，而是力的效果；（力使質量為m的物體產(chǎn)生了的加速度）e.力的獨立性原理（力的疊加原理）m受諸多力的作用：

幾個力同時作用于物體所產(chǎn)生的加速度，等于各個分力分別作用于該物體時產(chǎn)生的加速度的迭加。4、問題：某瞬間三、牛頓第三定律１、陳述：作用力與反作用力大小相等，方向相反，作用于同一直線上。2、意義：

a.力是相互的，成對出現(xiàn)的；

b.作用力與反作用力具有瞬時性；

c.作用力與反作用力性質相同；

d.作用力與反作用力不是平衡力，不能抵消。-mg地心mg四、慣性系當車靜止或作勻速直線運動時，小球相對于車靜止；b.當車以加速運動時地：小球偏向后方，受力不為0，以隨車運動車：小球偏向后方，受力不為0，為0。2、慣性系原因：以運動的車子不是慣性系a.陳述：對牛頓定律適用的參考系。如大地（書P43）發(fā)現(xiàn)：對大地作勻速直線運動的參考系都是慣性系。1、例子：?b.力學的相對性原理：（速度合成定理）（加速度合成定理）若運動參考系對大地作勻速直線運動則有即則力學相對性原理：牛頓定律在一切慣性系中的表現(xiàn)形式是相同的。§2—2牛頓定律的應用牛頓定律的核心-------力一、力

1、定義：物體間的相互作用，是改變物體運動狀態(tài)（即產(chǎn)生加速度）的原因。2、表示：箭頭力的三要素：大小、方向、作用點3、分類：自然力：萬有引力、電磁力、強力弱力（場力）接觸力：相互間的推、拉、擠、壓引起。如：彈性力、摩擦力等力自然力：四種：萬有引力，電磁力，強力和弱力。力學中常見的力:a、萬有引力存在于任何兩個物體間的相互吸引力。其數(shù)學表達式為地面附近其中

上述結果忽略了地球自轉的影響。地球b、彈性力

當物體發(fā)生形變時，有一恢復原狀的企圖，此時該物體對周圍物體的作用力為彈性力。彈簧彈性力——胡克定律繩的張力對輕繩，m=0，繩中張力處處相等。壓力、支撐力存在兩個接觸的物體的界面上,是一對作用力和反作用力。壓力支持力c、摩擦力

兩個相互接觸的物體沿接觸面發(fā)生相對運動或有相對運動趨勢時，在接觸面之間所產(chǎn)生的一對阻力。注意：(1)、摩擦力的方向總是阻礙相對運動的，即與運動或相對運動方向相反。(2)、靜摩擦力的大小，隨相對運動的趨勢自動調節(jié)。(3)、靜摩擦力有一上限，稱為最大靜摩擦力，大小為——N為正壓力(4)、物體相互滑動時，為滑動摩擦力

同一接觸面，有二、牛頓定律的應用舉例1、受力分析：隔離體法：

在相互作用的物體中，將所要研究的物體取出來，然后將其它物體對它的作用力一個不漏地畫出來，并在圖上標清作用力的大小和方向?；痉椒ǎ焊綦x物體，作受力圖（矢量）2、步驟：

a.弄清題意，認準研究對象；b.明確所選的參照系是否為慣性系；c.畫出研究對象的隔離體圖(即示力圖)，分析受力情況；d.選定適當?shù)淖鴺讼?，根?jù)牛頓運動定律建立方程；e.求解方程，并對解題的結果進行必要的討論。例1.問A受哪些力？A對B的正壓力的大小、方向？A：重力，擋板壓力，

B對A的支持力B受A的正壓力方向與相反光滑斜面擋板XY例2.圓錐擺作水平面內(nèi)的勻速率圓運動，擺受哪些力？它的切向與法向力是如何提供的？勻速率圓周運動：豎直：指圓心：注：切向力為０；法向力由繩子張力提供。而向心力不是專門力，它由力在法向的分量提供。例3：如圖，物體A和物體B的質量分別為10kg和5kg，A與桌面間的摩擦系數(shù)為0.20，為防止A移動，（1）問C的最小質量是多少？（2）如果撤去C，試求此時系統(tǒng)的加速度?；喌馁|量及摩擦不計，繩的質量不計。解：1、研究對象：A、C和B2、受力分析3、取坐標，列方程A+C：B物：找關系：解得(2)受力分析如圖取坐標，列方程解方程得A物B物找關系：BA例4書上例2-1已知：求：a=?T=?[解]：1、研究對象：

A、B兩物體2、對物體分別進行受力分析，并假設a的方向。BaXY3、取坐標，列方程：A物B物N4、解以上方程：找關系：例5：潛水艇質量為m，在水中下潛時所受浮力恒為，水的阻力與下潛速度的大小成正比，比例系數(shù)為，開始時，潛水艇剛好隱蔽在水面下。設潛水艇從靜止開始下潛，試求下潛速度隨時間變化的關系。解：1、研究對象：潛水艇2、受力分析3、取坐標，列方程整理得積分得極限速率（收尾速率）類似處理：跳傘運動員下落，有阻力的拋體運動小球在粘滯流體中下落…...練習：一物體作有阻力的拋體運動已知：求：軌道方程解：受力情況如圖，取坐標，列方程；用積分法求解：消去t

，得軌道方程B不是慣性系例6

所示滑輪組成略去滑輪和繩的質量以及摩擦力，求各物體的加速度和繩子的拉力。解：1、研究對象：2、受力分析：3、取坐標，列方程：找關系：力方面此處均為對地加速度加速度方面：滑輪B相對于地為變速運動相牽4、解方程：物B地例7

在一個半徑為R的半球形碗內(nèi)有一質量為m的小鋼球,當小鋼球以角速度在光滑內(nèi)壁的水平面內(nèi)作勻速圓周運動時,它距碗底有多高?解：1、研究對象：2、受力分析：3、取坐標，列方程：Rhyxr4、解方程例8(書p.60習題2--17)光滑平面上一半徑為R的圓環(huán)形圍屏.m滑塊沿內(nèi)壁轉動.滑塊與壁間的摩擦系數(shù)為,求(1)滑塊速率為時,及.(2)t:/3A

解：1.研究對象:滑塊m

2.受力分析:重,支,壓,摩3.取坐標,列方程

取自然坐標.

與在豎直方向抵消.環(huán)形內(nèi)壁對滑塊的正壓力提供滑塊作圓周運動的向心力.

(1)

切向:

法向:RvaRvmftr22,mm-==\

dvdtat=dd2tvRv=-m

(2)2Rvat-=m13mtRvv=-dd02mvvtRtv/3v-=òò2mvRt=解題的關鍵:法向加速度切向加速度數(shù)學工具------微分方程例９：設一繩長

，一端固定，另一端栓一質量為m的小球，求小球從水平位置放手下落到角時，球的速率和繩的張力。解：1、研究對象：小球２、受力分析３、取坐標，列方程（取自然坐標系）(2)乘得積分得代入(1)得例10外力為F，物體質量為M，摩擦系數(shù)均為已知，試求可能得到的向右運動的最大加速度，并說明在什么條件下得到？解：1、研究對象：物體M２、受力分析３、取坐標，列方程找關系XY極大？極??？二階導為負，則為極大值。例11：一塊水平木板上，放有一砝碼，砝碼質量為m=0.2kg，手持木板運動，使砝碼m在豎直平面內(nèi)沿半徑R=0.5的圓周作勻速率的圓周運動，速率。求砝碼在圖中(1)、(2)、(3)、(4)位置時，砝碼對木板的作用力。已知砝碼與木板間的靜摩擦系數(shù)，滑動摩擦系數(shù)。解：1、研究對象：砝碼２、受力分析３、取坐標，列方程（自然坐標）在(1)位置，

=0，得在(3)位置，

=1500，得在(4)位置，

=2400，得負號表示摩擦力方向向右問題：取直角坐標如何解題？摩擦力在何位置再次為零？摩擦力在何位置為最大？小結：１、基本定律：牛頓三定律２、基本概念：力正壓力：當物體分離時（N=0）張力：當繩子彎曲時（T=0）彈簧力：彈簧無形變時（F=0）重力：彈力：摩擦力：３、兩類基本的力學問題：

恒力作用于物體上：

變力作用于物體上：當接觸面光滑時（ｆ=0）（大小改變）第三章

功和能牛頓定律——力和狀態(tài)的瞬時關系功和能——力在空間的積累動量、沖量——力對時間的積累§3-1功功率一、恒力的功１、定義：力在位移方向上的分量與位移的大小的乘積。２、注意：功是標量，無方向但有正負零之分問題：何時作正功？作負功？為零？答：問題：在什么情況下W=0?時當答：二、變力的功元位移力所作的元功為求和總功為對直角坐標系，有三、合力的功合力對物體所做的功為：功的疊加原理合力的功等于各個分力的功的代數(shù)和。問題：功是過程量還是狀態(tài)量？答：功是過程量。因為位移是和過程對應。問題：功與參照系的選擇有關嗎？答：功與參照系的選擇有關。因位移有相對性。？？四、功率——瞬時功率——平均功率單位：瓦特(W)——恒力瞬時功率功率：描述作功快慢的物理量。定義：力在單位時間內(nèi)所作的功為功率。用P表示。例１一水平放置的彈簧，其一端固定，另一端系一小球，求小球的位置由A到B的過程中彈力對它所做的功。（在O處彈簧無形變）O

A

B解：根據(jù)胡克定律討論：當說明：彈力做功只與始末位置有關，而與中間過程無關。例２水平桌面上有一小球，質量為ｍ，在外力作用下，沿半徑為R的圓從A至B移動了半圓周，如物體與桌面的摩擦系為，求此過程中摩擦力對物體所做的功？ＡＢ解：據(jù)功的定義式說明：摩擦力做功除與始末位置有關，還與中間過程有關。若物體直接從A至B，O

A

BＡＢ若物體從A出發(fā)，運動一周再回到A點時，W＝０若物體從A出發(fā)，運動一周再回到A點時，說明：兩例中的力不是同一類型的力。例：一方向不變，大小按F=4t2(N)變化的力，作用在原先靜止、質量為4kg的物體上，求：(1)前3s內(nèi)力作的功；(2)t=3s時力的功率。解：(1)沿運動方向建立坐標系(一維)，則力F的元功為（2）t=3s時的功率為兩邊積分得§3-2動能動能定理一、動能：物體因運動而具有的能量，稱為動能。二、動能定理：討論做功與物體動能的變化量之間的關系。W下面從牛頓定律出發(fā)進行推導：１、推導：物體從A

B受合外力A合外力對物體所做的功＝物體的動能的增量－－－－動能定理A２、使用時應注意：動能是狀態(tài)量，功是過程量，兩者由動能定理相聯(lián)系。其實質是：力作用一段距離的累積效果，使物體的運動狀態(tài)發(fā)生變化；b.考慮動能的增量時，只與始末狀態(tài)有關；c.是標量式，使用方便；是合外力的功

合外力作正功，物體動能增加；合外力作負功，物體動能減少；合外力不作功，物體動能不變。d.速度是相對量，是相對量，應考慮參考系；例４一個做直線運動的物體，若如圖，則：０t1

t2t3

t4例５質點的運動方程為，則在外力作用下，從時間內(nèi)，外力做功為：解：

§3-3勢能本節(jié)討論在由若干個物體組成的系統(tǒng)中，由于系統(tǒng)中各物體有相互作用而存在的由物體間相對位置決定的能量

-----勢能。一、保守力的功1、重力的功

質點m，在重力作用下，從a點移到b點，求重力的功。ｈ討論：1、變換路徑，結果相同。2、當ya>yb,Ｗ>0,重力作正功。3、當ya<yb，Ｗ<0,重力作負功。2、彈力的功O

A

BA

B彈力作功僅決定于物體的始末位置，與路徑無關。結論：重力作功僅決定于物體的始末位置，與路徑無關。結論：3、萬有引力的功設物體m在物體M的引力場中，從a點運動到b點，求引力作的功。－ｄｒ引力作功僅決定于物體的始末位置，與路徑無關。結論：二、保守力和非保守力保守力：凡作功與路徑無關，只與物體的始末位置有關的力。如重力、彈簧彈性力、萬有引力、靜電力等。保守力存在的空間，稱為保守力場。——判別式；充要條件或非保守力：凡作功與路徑有關的力?；虻牧ΑＨ缒Σ亮?、磁力等。三、勢能保守力的功是質點始末位置的函數(shù)。這種位置函數(shù)即勢能。定義：保守力所作的功等于勢能增量的負值，即——始位置勢能——末位置勢能例如注意：1、保守力作功才具有相應的勢能，如重力。若保守力作正功，則勢能減少；作負功則勢能增加。2、定義是對勢能的增量而言，對特定位置，其勢能值與勢能零點的選擇有關。如重力勢能零點：地面。則彈力勢能零點：平衡位置。則引力勢能零點：無窮遠。則

所以，勢能是質點間相對位置的單值函數(shù)，其值與勢能零點的選擇有關，因此勢能只有相對意義。

任一點的勢能值，等于將物體從該點移動到勢能零點保守力作的功。強調：1、勢能是與保守力密切相關的，無保守力則無勢能可言。2、勢能屬于以保守力相互作用的物體組成的系統(tǒng)，而不能單屬于某個物體。如重力勢能屬于：物體和地球彈力勢能屬于：物體和彈簧引力勢能屬于：兩相互作用的物體系統(tǒng)3、勢能是物體相對位置的函數(shù)。其量值是相對的，因為勢能零點是人為規(guī)定的。但勢能差或增量是唯一的，與勢能零點的選擇無關。4、一系統(tǒng)如同時存在幾種保守力，則系統(tǒng)的總勢能等于與各保守力相關的勢能的代數(shù)和?！?-４功能原理機械能守恒定律一、機械能：做機械運動的物體所具有的能量，稱為機械能，用E表示。？二、功能原理：關于機械能的變化量與做功的關系。有機械能而無勢能有機械能而無動能都是可能的系統(tǒng)：m1+m2外力：系統(tǒng)外物體對系統(tǒng)內(nèi)各質點的作用力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)各質點間的相互作用力。１、物體系的動能定理分別對系統(tǒng)中物體用動能定理兩式相加：不一定等于０因為內(nèi)力做的功不僅與力的大小有關，還與路徑有關。物理意義：合外力和合內(nèi)力對系統(tǒng)所作功的代數(shù)和等于系統(tǒng)動能的增量。——質點系的動能定理問題：合內(nèi)力所作的功為零嗎？？答：一般情況不為零！位移不同，摩擦。內(nèi)力做功，可以改變系統(tǒng)動能２、功能原理由系統(tǒng)的動能定理對系統(tǒng)而言，力做功，外力內(nèi)力力保守內(nèi)力非保守內(nèi)力則系統(tǒng)的動能定理為——功能原理意義：外力的功與非保守內(nèi)力的功之和等于物體系的機械能的增量。迄今為止單質點（某物體）系統(tǒng)系統(tǒng)功和能量既有密切聯(lián)系又有本質區(qū)別。功總是與能量變化的過程相聯(lián)系，是能量變化的一種量度。而能量表示系統(tǒng)在一定狀態(tài)下所具有的作功的本領，它和系統(tǒng)的狀態(tài)有關。注意：系統(tǒng)功能原理與動能定理并無本質區(qū)別，只是引入了勢能。因此，就不需要考慮保守內(nèi)力的功。這正是功能原理的優(yōu)點，因為勢能的計算往往比功的計算更方便。只有外力和非保守內(nèi)力作功，才會引起系統(tǒng)機械能的改變。３、機械能守恒定律Ａ．守恒律：Ｂ．條件分析：當且僅當系統(tǒng)只有保守力做功時，機械能守恒。（不為作用）非保守力作用，但不做功，也滿足條件。N光滑Ｃ．物體受力做功的三種情況：（機械能守恒？）ａ．有保守力做的功，非保守力做的功：不守恒例：雨滴下落受阻力ｂ．有保守力做的功，非保守力做的功為０：守恒N光滑ｃ．只有保守力做的功，：守恒例：物體下落，略去阻力不計Ｄ．使用機械能守恒律時注意：ａ．條件分析：受力，是否為保守力做功只有保守力做功，機械能才守恒ｂ．始末狀態(tài)分析：ｃ．因涉及，一定要有參考零點選取例６設地球質量為M，萬有引力恒量為G，一質量為ｍ的宇宙飛船返回地球，認為其在引力場中運動，（關閉發(fā)動機），當空從距地心R１處降至R2處時，其動能增量為何？解：Ｍｒｍ例７質量為ｍ的物體從高出彈簧ｈ處由靜止自由下落到豎直放置的輕彈簧上，彈簧的勁度系數(shù)為，則彈簧被壓縮的最大距離為何？解：整個過程物體受重力，彈性力的作用ｈｘ取（ｍ＋ｋ＋地）系統(tǒng)12

例８如圖,質量為m=2kg的物體從靜止開始沿1/4圓弧從A滑到B，在B處速度的大小是v=6m/s.已知圓的半徑R=4m.求物體從A到B摩擦力所作的功.RoAB解：物體受力如圖

?。頌檠芯繉ο?/p>

是變力解一：從功的定義

RoAB取自然坐標如圖切向解二質點動能定理取m為研究對象,

.RoAB

解三功能原理

以m+圓弧+地為系統(tǒng)

取B點為勢能零點,RoAB根據(jù)功能原理：問題：能否用機械能守恒律？例９：如圖，擺長為，擺錘質量為m，開始時擺與鉛直線間夾角為，在鉛直線上距懸點x處有一小釘，擺可繞此小釘運動。問x至少為何值時才能使擺以釘子為中心繞一完整的圓周。解：研究系統(tǒng)：ｍ＋地球受力分析：繩的張力——外力（不作功）重力——內(nèi)力（保守內(nèi)力）只有保守力做功，所以系統(tǒng)機械能守恒。12始態(tài)：起始位置1末態(tài)：最高位置２勢能零點：３（最低點）３由由牛頓運動定律，有小球剛過頂點的條件：T=0解得12３補充例題例：如圖，再求小球下落到角時的速度及繩中的張力。解：下落過程，只有重力和張力作功，但張力與運動方向垂直，作功為零。因此，系統(tǒng)(小球和地球)

機械能守恒。勢能零點：小球最低點位置始態(tài)機械能：由牛頓運動定律過程：小球從水平位置下落到角位置。兩個狀態(tài)：水平位置，角位置。末態(tài)機械能：由機械能守恒定律得例：一質量為2kg的物體，在豎直平面內(nèi)由A點沿一半徑為1m的1/4圓弧軌道滑到B點，又經(jīng)過一段水平距離后停止。設物體滑至B點時的速率為，摩擦系數(shù)處處相同。（1）物體從A到B點和從B點滑到C點過程中，摩擦力各作多少功？（2）求摩擦系數(shù)；（3）如圓弧軌道光滑，求物體在D點處的速度、加速度和物體對軌道的正壓力（已知）。解：(1)選物體為研究對象物體受力其中始終不作功由動能定理，從A到B有從B到C，重力不作功，由動能定理有(2)求摩擦系數(shù)由牛頓運動定律，從B到C有（3）選系統(tǒng)為物體、地球，則系統(tǒng)機械能守恒。選地面為勢能零點，則始態(tài)機械能：末態(tài)機械能：由機械能守恒定律，有由牛頓運動定律，有取自然坐標，有其中問題：在D點，N=mg嗎？

例(書P.28例3-7)

證明例2-3中物m與物M的相互作用力所作之功之和為0.Mm解:M與m

的接觸面光滑受力分析如圖

m對M的壓力

M對m的支持力與斜面垂直符號規(guī)定如下:則木塊對地的速度為

在dt時間內(nèi)一對力對慣性系(地)所作功之和為

在有限的時間內(nèi)一對力對地所作功之和為Mm而,有,即一對力對慣性系(地)所作之功的和為零.張三慧《力學》證明，兩質點間的“一對力”所作之功的和等于視其中一個質點受力且沿著它相對于另一個質點的路徑移動所作的功。在上面的例子中，我們?nèi)∨鼮樽鴺嗽c，木塊所受劈對它的支承力與木塊對劈的相對位移垂直，支承力所作之功為0，所以一對力所作之功為0.特殊情形S即為運動的軌跡ａｂ如：重力作功第四章

動量物體狀態(tài)的改變不僅與速度有關，還與物體的質量ｍ有關（例：木、鐵錘敲釘子）物體狀態(tài)的改變不僅與所受到的力有關，還與力作用的延續(xù)時間有關（例：推車）

上一章我們討論了力對空間的積累效應，本章討論力對時間的積累效應，沖量與質點運動狀態(tài)的變化(即質點動量增量）之間的關系。動量（沖量）－－力對時間的積累沖量動量§４－１動量沖量動量定理一、動量1．定義：物體的質量和它的運動速度的乘積，稱為動量。2．矢量：大?。悍较颍号c物體的速度方向相同單位：直角分量式：二、沖量1．定義：力的作用與作用時間的乘積，稱為沖量。的方向決定于沖力的方向。若為恒力在t1到t2時間間隔內(nèi)，力對物體的沖量2．矢量：方向：單位：——描述作用在物體上的力對時間的累積效應直角坐標系的分量式為三、質點的動量定理１．牛頓第二定律的動量形式２．動量定理物理意義：物體所受合外力的沖量等于物體動量的增量?！|點的動量定理直角坐標分量式為注意：１．為矢量式，使用中常伴以矢圖，再用解析式計算。２．的方向即不是的方向，也不是的方向，而是差矢的方向。３．常用圖解法求平均力例１：一質量m=2.3kg的球以從水平方向飛來，以棒擊球，擊球后，球飛到豎直上方10m處下落，求棒給予球的沖量的大小和方向，如棒和球接觸時間為0.02s，求壘球受到的平均沖力。解：１．狀態(tài)分析球與棒脫離到飛至最高點過程機械能守恒２．據(jù)動量原理作矢量圖：３．解析式:問題：還有其它的計算方法嗎？？法２：用分量式求解其分量式為例２一擺長為L的單擺，一端固定于懸點O，另一端系有一質量為ｍ的小球，當其從擺線與豎直方向成最大擺角靜止釋放至豎直位置的過程中，重力的沖量如何？合外力的沖量如何？１２動量定理中，是指合外力的沖量，本題中重力只是外力中的一個，故解重力的沖量時，不能用，解：１．重力沖量周期只能用定義式：２．合外力沖量１２§４－２動量守恒定理一、系統(tǒng)的動量定理單個質點的動量定理：系統(tǒng)：m1+m2兩式相加，對整個系統(tǒng)有：等于０得：據(jù)牛頓第三定律：系統(tǒng)所受合外力的沖量，等于系統(tǒng)總動量的增量。說明：內(nèi)力的作用不會改變系統(tǒng)的動量，只有外力的作用才會改變系統(tǒng)的動量。說明：由于內(nèi)力做功不一定為０，故其可改變系統(tǒng)的動能?！到y(tǒng)的動量定理二、動量守恒定律１．動量守恒定律：（由牛頓第二定律出發(fā)推出）如果系統(tǒng)所受的合外力為０，即則有為恒矢PPrr,0=D（注意：并不意味著）物理意義：若系統(tǒng)不受外力或所受的合外力為零時，系統(tǒng)內(nèi)各物體的動量的矢量和保持不變，即系統(tǒng)總動量守恒。——動量守恒定律２．動量守恒律的使用注意：ａ．條件分析：只有，才有ｂ．動量守恒定律表達式為一矢量式，其直角分量式為當時，有當時，有哪個方向合外力為零，則該方向動量守恒。ｃ．合外力為零有三種情況：不受力；合外力為零；內(nèi)力遠遠大于外力(爆炸)。前兩者嚴格守恒，后者近似守恒。ｄ．所有的動量與有關，對同一參考系而言，關鍵指速度對同一參考系。例3.(書p.102例4-2)如圖,總質量為M的載物小船以速度v在靜水中航行.然后分別同時在船頭和船尾以相對于船的速度u向前和向后拋出質量為m和2m的兩物體.設u、v在同一直線上,問拋出兩物體后,小船的速度變?yōu)槎嗌?設水平方向船受的阻力可以忽略.2mmM-2m-m

解:一個整體分為三個運動物體,三物體速度重新分配.

以船+兩物為系統(tǒng),水平方向阻力略去,因而水平方向動量守恒.

選兩物拋出前為初態(tài),兩物拋出后為末態(tài).以岸為慣性系,取向右為正.末態(tài):船的質量M-2m-m

此時船對岸速度設為末態(tài)XM-2m-mmM-2m-m初態(tài)2m重點是確定始末態(tài)船、物對慣性系的速度。初態(tài):系統(tǒng)質量M

系統(tǒng)對岸速度,且§４－３碰撞兩個或兩個以上的物體相遇，相遇時物體間的相互作用僅持續(xù)極短的時間，這種相遇稱為碰撞。（如打擊球間的碰撞、子彈射入墻內(nèi)等）由于碰撞時物體間的相互作用力很大，其它的作用力可以略去，因此把相互作用的物體取為系統(tǒng)時，系統(tǒng)的動量（或其動量在某一坐標方向的分量）守恒。機械能不一定守恒。碰撞完全彈性碰撞非彈性碰撞完全非彈性碰撞（粘在一塊以同一速度運動）例4P1164-15

M=1000m,

L=1米,求ｖ？解：以子彈和砂袋組成的系統(tǒng)為研究對象，它們發(fā)生的是完全非彈性碰撞。水平方向動量守恒狀態(tài)分析：碰前碰后子彈砂袋據(jù)動量守恒，有雖然碰撞時，機械能不守恒，但從子彈射入砂袋到一起升高到最高點的過程中，只有保守力（重力）做功，故機械能守恒。２１解之，得：１狀態(tài)：２例5P1164-11分析：以人＋球為研究系統(tǒng)拋球前后水平方向不受外力，故動量守恒。解:條件分析：狀態(tài)分析：拋前拋后人球對地速度據(jù)動量守恒，有0ＯＸ解之，得：0ＯＸ因平拋與自由落體均對應于同一時間ｔ，從最高點到地面與從地面到最高點時間相同。則求到最高點所用時間ｔ？則有例：飛機以的速率飛行，撞到一只相對于地可以看作靜止的鳥，假定鳥的質量為0.5kg，大小尺寸約為20cm，試估計鳥作用在飛機上的平均沖力。解：研究對象：鳥(為什么?)參照系：地面研究過程：從鳥與飛機相撞到鳥隨飛機一起運動兩個狀態(tài)：鳥撞飛機；隨飛機運動初態(tài)動量：末態(tài)動量：持續(xù)時間：由動量定理鳥作用在飛機上的平均沖力

相當于20T的力，破壞性不言而喻。例：質量的重錘，從高度h=1.5m處自由下落，打在鍛件上。如果作用時間；，試求錘對鍛件的平均沖力。解：研究對象：重錘兩個過程：(1)錘下落到接觸鍛件。(2)錘撞擊鍛件到停止運動。(1)過程中，只有重力作用，錘與地球系統(tǒng)機械能守恒，有——撞擊鍛件速度(2)過程中，受重力、沖擊力作用，由動量定理有始狀態(tài)：末狀態(tài)：方向向下錘對鍛件的平均沖力討論：1、在受沖力情況下，重力等常力可忽略不計，不影響結果。

2、注意動量定理的矢量性。例：一半自動步槍的質量為3.87kg，子彈的質量為，戰(zhàn)士以肩窩抵槍，水平射擊。子彈射出的速率為，自開始擊發(fā)至子彈離開槍管經(jīng)過0.0015s，設子彈在槍膛內(nèi)相對于地球作勻加速運動。求直到子彈離開槍管為止，槍身后坐的距離。解：(1)求槍身后坐速度研究系統(tǒng)：子彈、槍身受外力：重力、托力、抵槍力內(nèi)力：槍膛內(nèi)的平均爆發(fā)推力

(遠大于抵槍力)所以，系統(tǒng)動量守恒研究過程：擊發(fā)子彈到子彈出膛始狀態(tài)：末狀態(tài)：取坐標如圖，有(2)求槍身后坐距離子彈離開槍管前，仍有

V1、V2為子彈離開槍管前任一時刻子彈及槍管的速度對上式求導，得所以，槍管作勻加速運動，有由勻變速直線運動公式，槍身后坐距離為例：在光滑水平面上有一質量為1.0kg的物體A，以的速度和一質量為3.0kg的靜止物體B發(fā)生撞擊，撞擊后物體A沿著與它碰撞前運動方向成500角的方向運動，速度大小為，如圖，求撞擊后物體B的速度大小和方向。解：研究對象：物體A、B受力：水平面內(nèi)無外力作用研究過程：從接觸到分離始狀態(tài)：始狀態(tài)：由動量守恒定律，有取坐標如圖，有解得例：向北發(fā)射的一枚質量m=50kg的炮彈，達到最高點時速率為，爆炸成三塊彈片。第一塊質量m1=25kg，以水平速度向北飛行，第二塊質量m2=15kg，以的水平速率向東飛行。求第三塊的速度。解：研究對象：炮彈受力分析：水平面內(nèi)無外力作用東北西南？由動量守恒定律，有始狀態(tài)：末狀態(tài)：由題設知得例：如圖，利用落錘打樁。設錘和樁的質量分別為M和m，錘離樁高h處落下。假定地基的阻力恒定不變，錘落一次，樁打進土中的深度為d，求地基阻力R的大小。解：打樁過程可分為三個過程來考慮。第一過程：M只受重力落到樁處。過程中機械能守恒，有第二過程：錘與樁碰撞，重力可忽略。動量守恒第三過程：錘與樁一起運動，樁進入土中。由功能原理，有解得例：一質量為m的子彈，穿過如圖所示的擺錘后，速率由v減少到v/2。若擺錘質量為M，擺線長為。若擺錘能在鉛直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動，則子彈速度的最小值應為多少？解：全過程可分為兩個分過程(1)子彈與擺錘的碰撞過程，動量守恒(2)碰后擺錘作圓周運動。從最低點運動到最高點，機械能守恒最高點，由牛頓運動定律能完成圓周運動的條件是由(2)、(4)兩式得代入(1)式得剛能完成圓周運動七、火箭飛行原理變質量運動的兩種情況（不考慮速度變化引起的質量變化）(1)某物體在運動中不斷地俘獲另一些物體而共同運動。（對接）(2)物體在運動中不斷地釋放某些物體t時刻t+dt時刻設t時刻dt時間內(nèi)t+dt時刻(相對火箭)研究系統(tǒng)：火箭、噴出氣體研究過程：始狀態(tài)：末狀態(tài)：由動量定理整理并略去高階無窮小，得或——火箭的推力——單位時間內(nèi)的排氣量討論：1、重力場中，有設初始條件為則積分得2、火箭在外空間運動，動量守恒，有（設初始條件不變）對n級火箭，有各級質量比相同或排氣速度相同第五章

剛體的轉動BA回憶:質點質點的運動代表物體的平動,用、、、來描述。（物體上任一點的均相同）、、、AB滑輪，不忽略其質量時為一剛體剛體代表物體定點或定軸的轉動。觀察A、B兩物體的運動§5-1剛體的平動、轉動和定軸轉動一、剛體（理想模型）質點：物體的大小和形狀可忽略的理想模型。剛體：在外力的作用下，形狀和大小都不變的物體?；蛘哒f物體在受到外力時，其各部分的相對位置保持不變。（彈簧不能視為剛體）二、運動及其模型平動：在運動過程中，物體內(nèi)任一條直線始終與初始位置保持平行。1.質點與平動因為在平動時物體上所有點的位移、速度、加速度都相同，所以可當作質點來處理。下面再看一個平動演示。平動2、剛體與定軸(或定點)轉動轉動：物體在運動中，其上的各點都圍繞軸（或點）作半徑大小不同的圓運動，這種運動稱為繞軸（或點）轉動。AOB(例：扭瓶蓋)3、平動＋轉動

剛體的一般運動是平動和轉動的迭加。只討論定軸轉動！輪上各點運動＝隨軸平動＋繞軸轉動若轉軸固定，則為定軸轉動。(例：車輪的運動)BOAAOB轉軸1、剛體作定軸轉動的特點：（1）剛體上任一點都繞轉軸作圓周運動，該圓周的圓心在轉軸上，圓平面與轉軸垂直。（2）對任意一條和轉軸平行的直線，直線上所有點，運動軌跡相同。因此，直線上一點的運動，可代表直線上所有點的運動。（3）剛體定軸轉動時，各點都有相同的角位移、角速度和角加速度。三、定軸轉動結論：可以用角量來描述剛體的定軸轉動。２、剛體定軸轉動的角量描述（1）角量角位置

：位矢與ox

軸夾角。角位移△

：△t

時間內(nèi)角位置增量。以逆時針方向為正。剛體繞Y軸轉動，取垂直于轉軸的截面，面與軸交于O點，P為截面上一點。角位置：yx0P(t)P(t+dt)

角速度角加速度用以上角量描述剛體上各點運動的狀態(tài)是相同的。（2）線量與角量的關系問：為什么質點用線量描述，而剛體用角量描述？剛體上各點的角量相同,而線量卻不一定相同。Ｒ0１２若是定值，剛體的運動稱為：勻角速轉動勻變速轉動（或勻加速轉動)若是定值，剛體的運動稱作：剛體的定軸轉動的公式與一維直線運動的公式相似：為恒矢為恒值例1、一飛輪作減速運動，其角加速度與角速度關系為

，k為比例系數(shù)，設初始角速度為。求：

⑴飛輪角速度與時間的關系；

⑵當角速度由時，在此時間內(nèi)飛輪轉過的圈數(shù)。解：⑴⑵在此時間內(nèi)車輪轉過的圈數(shù)=大?。悍较颍毫厥鞘噶俊?-2力矩、轉動定律、轉動慣量轉動定律是剛體動力學的核心，其地位相當于質點動力學中的牛頓第二定律，其關鍵是力矩的分析。一、力對轉軸的力矩1、定義：轉軸到力的作用點的徑矢與作用力的叉積。d為力臂d2、注意：①合力矩≠合力的力矩合力矩=力矩的和(代數(shù)和）力矩正負：（俯視）力使剛體逆轉為正力使剛體順轉為負轉軸F1F2（F1=F2）②合力為零，合力矩不一定為零合力矩為零，合力不一定為零F1F2力矩合力③中心力（過轉軸的力）的力矩≡0，如推門。轉軸F1F2（F1=F2）剛體不轉動，平動④力不在垂直于轉軸的平面內(nèi)，則力對O點的力矩為只有對轉軸力矩有貢獻。對轉動無貢獻o總結：

與轉軸垂直但通過轉軸的力對轉動不產(chǎn)生力矩；

與轉軸平行的力對轉軸不產(chǎn)生力矩；若力不在垂直于轉軸的平面內(nèi)，則力對轉軸的力矩等效于其在垂直于轉軸平面內(nèi)的分量對轉軸的力矩。二、轉動定律力矩是改變轉動狀態(tài)的原因，是產(chǎn)生角加速度的原因。轉動定律描述了物體的角加速度與所受合外力矩的關系。轉動定律可由牛頓第二定律推求：1、導出：

設一剛體繞定軸轉動，把剛體看作質元的集合，某質元受內(nèi)力和外力作用，將所受力分解到法向上和切向上，對其用牛頓第二定律，矢量式為：切向式：矢量式：法向式：法向力矩是中心力矩=0一個質元對整個剛體，即所有質元有：以遍乘切向式：剛體所受的合外力矩合內(nèi)力矩質元間作用力同一直線上，大小相等，方向相反。=0轉動慣量-------轉動慣性大小的量度———剛體的轉動定律物理意義：

剛體所受的合外力矩等于角加速度與轉動慣量的乘積。定義轉動慣量它說明了力矩的瞬時作用規(guī)律。什么時刻有力矩作用于物體，物體什么時刻就有角加速度。轉動定律相當重要，其在轉動中的地位就相當于平動中的牛頓第二定律。

2、牛頓第二定律與轉動定律的對應關系物理量：質點m

剛體JM規(guī)律：質點牛頓第二定律

剛體轉動定律不一定例：問：M大，是否

大？(1)式中各量M,J,

是對于同一軸而言，且

與M的符號（轉向）相同。不一定

大，是否M大？對轉動定律M=J

應注意：（M大，

大，

的變化大。

可為0）（

大，并不代表它的變化大，有可能它的M=0，勻角速轉動。）(3)對剛體和質點組成的系統(tǒng)，應用時注意，對轉動剛體，其運動服從轉動定律，質點的運動仍服從牛頓定律。方法仍然是隔離體法。(2)該定律是力矩的瞬時作用規(guī)律。對分離的質點組：對質量連續(xù)分布的剛體對轉軸的轉動慣量：2、轉動慣量的物理意義：J是描述剛體轉動慣性大小的量度。(對比平動m是物體平動慣性大小的量度）三、轉動慣量m1r1m2r2m3r3轉軸1、轉動慣量的定義：

對質點：J=mr2

其中

r為到轉軸的距離。

①與剛體的總質量有關；

②與質量的分布有關；（如：相同半徑、質量的圓盤和圓環(huán)）

③與轉軸的位置有關；（如同一棒的不同轉軸）4、轉動慣量J的計算方法：（可將質量元變?yōu)榫€元、面元、體元積分求得）3、J與下列因素有關：例1、有一均勻細桿，桿長為

l

，質量為m，c為桿的中點。設轉軸o`o``通過c點且與桿垂直，桿繞軸轉動，求Jc=？解：取x軸方向如圖，桿的線密度為

=m/l

，取小質元dm=dx，則0x0`0``xdxC可見轉軸不同，轉動慣量是不同的。那么將轉軸從C點平行移到A點轉動慣量改變了多少？若將轉軸移到A點，求JA=？仍有小質元dm=dx，（

=m/l）0x0’xdxA0``C移項得：JA=JC+md2轉動慣量的平行軸定理0x0`0``xdxC剛體對某軸的轉動慣量J，等于剛體對通過質心的平行軸的轉動慣量Jc

，加上剛體質量m

乘以兩平行軸之間的距離d的平方。即：dCB過質心平行軸平行軸定理：解：取OX軸如圖所示，XO取一段元dx其質量dxX至轉軸的距離r

例2、質量為m、長度為l的均質細直棍，對通過其中心O且與棍斜交成角的軸的轉動慣量。

轉動慣量：②過棒一端O’、仍與棍斜交成角

的軸的轉動慣量J。討論：

①當時，即為棍對于過它的中心且與棍垂直的轉軸的轉動慣量。dO’為棍對過棍一端、且與棍垂直的軸的轉動慣量。由平行軸定理：XOdxXr

dO’②過棒一端O’、仍與棍斜交成角

的軸的轉動慣量J。例3：求質量為m，半徑為R的均勻細圓環(huán)和圓盤通過中心并與圓面垂直的轉軸的轉動慣量和平行于此軸通過它的邊緣一點的轉動慣量。解：(1)求圓環(huán)對中心轉軸的轉動慣量分割圓環(huán)，有(2)對通過邊緣一點軸的轉動慣量由平行軸定理，有例4、求圓盤對中心軸的轉動慣量將圓盤分割成小圓環(huán)，有由(1)之結論，有(4)對通過邊緣一點軸的轉動慣量，由平行軸定理，有例5、如圖所示，求大圓盤的實心部分對O軸（垂直于盤面）的轉動慣量。（已知R=2r，大盤質量為M，小盤質量為m）大盤對O軸的轉動慣量：J1=MR2/2小盤對O軸的轉動慣量：J2=mr2/2+mr2=3mr2/2所以實心部分對O軸的轉動慣量為：0RrMm解：由于轉動慣量有可加性，所以先分別求出大盤和小盤對O軸的轉動慣量，再把小盤的除去即得大盤實心部分對O軸的轉動慣量。=例6、P1365-5Or解：取弧元ds,其到轉軸距離為ｒ，對圓心張角為，與豎直方向夾角為，轉軸在圓環(huán)平面內(nèi)統(tǒng)一變元：例7、一質量為M、半徑為R的定滑輪上面繞有細繩，繩的一端固定在滑輪上（略去輪軸處的摩檫，繩不可伸長不計質量），另一端掛有一質量為m的物體而下垂。求物體m由靜止下落h高度時的速度和此時輪的角速度。解：①對象：M剛體m質點②受力（矩）分析：如圖所示③依牛頓第二定律列方程轉動定律hT1T1mgmmM對物體有：mg-T=ma對滑輪有：TR=J=MR2/2角量和線量的關系：a=R

運動學關系：v2=v02+2ah=2ah

④解方程得：在該題中如果在滑輪上加一恒力矩，使物體以v0的速度勻速上升，撤去力矩后，問過多少時間后滑輪開始反向運動？解：分析：撤去力矩后，滑輪和物體受力和前面完全一樣。因此對物體應用牛頓第二定律和對滑輪應用轉動定律的形式完全一樣。hT1T1mgmmMv0

對物體有：mg-T=ma對滑輪有：TR=J=MR2/2角量和線量的關系：a=R

運動學關系：v

=v0+at=0由第1、2、3個方程可解得：由第4個方程可解得：hT1T1mgmmMv0

考試中常涉及剛體加質點（圓盤＋物體）的運動。解：（1）選細桿、剛體為研究對象受力與受力矩分析如圖由轉動定律有方程：（2）由于力矩M=mg（l/2）cos

屬變力矩，故由

求角速度

時用積分法。得lr

mgO例8、質量m、長為l的均質細桿，可繞過固定端O的水平軸轉動，將桿從水平位置由靜止釋放，如圖。試求：⑴轉到任一角

時，桿的角加速度

等于多少？⑵此時的角速度

等于多少？②當

=/2

（桿轉到豎直位置）時，討論：①

越小，

值越?。?/p>

越大，

值越大。分離變量，再積分：所以剛體的轉動動能一、轉動動能剛體轉動時，各質點都繞定軸作圓運動，都具有動能。剛體的轉動動能就等于剛體中所有質點的動能之和。質點的動能為（1/2）

mivi2=（1/2）

miri2

2

則剛體總動能為

與平動動能形式相同，量綱也相同，單位也相同。[Ek]=[m][r2][

2]=ML2T-2§5-3轉動動能、力矩的功J二、轉動動能定理：1、力矩的功（由力作功來推）M：Xd

Frds

0剛體轉過d

角，合外力F作的元功為：力矩M在微小角位移中作的元功２、轉動動能定理———轉動動能定理當剛體在F力作用下，從

1轉到2時所作的功為：物理意義：合外力矩對剛體所作的功，等于剛體轉動動能的增量。使用中應注意：①Ek轉是相對量；

②轉動動能定理的表達式為標量式。

③應用該定理時只需分析始態(tài)與末態(tài)。凡是涉及桿的轉動問題，要應用轉動動能定理下面用轉動動能定理求解例8解：對象：桿由轉動動能定理有：可見：求解桿的角速度時，用轉動動能定理比用轉動定律簡單。求角加速度又是用轉動定律為簡單。lr

mgO機械能守恒定律只有保守力作功時，機械能守恒，即用機械能守恒定律求解例6中的解：在桿轉動的過程中，由于只有重力作功，故機械能守恒。取桿的水平位置為勢能零點，有一、質點的角動量（動量矩）和角動量守恒定律定義為：方向：從至的右旋前進方向（右手螺旋法則）。當質點繞O點作圓運動時則有L=Pr=mvr§5-4角動量定理角動量守恒定律質點角動量原理：質點所受沖量矩=質點角動量的增量當質點所受合外力矩M=0時，質點角動量守恒L=恒量。此即質點角動量守恒定律。例1、一小球在光滑平面上作圓運動，小球被穿過中心的線拉住。開始時繩半徑為r1