(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義（基礎(chǔ)班）2.4《指數(shù)與指數(shù)函數(shù)》 (原卷版)

頁(yè)第四節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.將根式與指數(shù)冪相結(jié)合考查它們之間的互化，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．與方程、不等式等相結(jié)合考查指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．3．與二次函數(shù)、不等式等問(wèn)題綜合考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．根式(1)根式的概念若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)a的n次方根的表示xn＝a?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)當(dāng)n為奇數(shù)且n>1時(shí)，,x＝±\r(n,a)當(dāng)n為偶數(shù)且n>1時(shí).))2．有理數(shù)指數(shù)冪冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：a＝eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于_0_，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)3．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)閑q\a\vs4\al(R)；值域?yàn)?0，＋∞)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即當(dāng)x＝eq\a\vs4\al(0)時(shí)，y＝eq\a\vs4\al(1)當(dāng)x>0時(shí)，恒有y>1；當(dāng)x>0時(shí)，恒有0<y<1；當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，恒有y>1函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)4．指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．函數(shù)y＝2x＋1的圖象是()2．計(jì)算：π0＋2﹣2×(2eq\f(1,4))0.5＝________.3．若eq\r(2a－12)＝eq\r(3,1－2a3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．4．函數(shù)f(x)＝ax﹣2＋1(a>0且a≠1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)________．5．函數(shù)y＝3x2﹣2x的值域?yàn)開_______．二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．計(jì)算eq\r(3,1＋\r(2)3)＋eq\r(4,1－\r(2)4)＝________.2．若函數(shù)f(x)＝(a2﹣3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則a＝________.3．若函數(shù)f(x)＝ax在[﹣1，1]上的最大值為2，則a＝________.考點(diǎn)一指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值[典例]eq\f(a3,\r(a)·\r(5,a4))(a>0)的值是()A．1B．a(chǎn)C．a(chǎn)D．a(chǎn)[方法技巧]1．指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答．2．化簡(jiǎn)指數(shù)冪常用的技巧(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))﹣p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))p(ab≠0)；(2)a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))m，aeq\f(n,m)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a))n(式子有意義)；(3)1的代換，如1＝a﹣1a，1＝aa等；(4)乘法公式的常見變形，如(a＋b)(a﹣b)＝a﹣b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a?ab＋b)＝a±b.[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知14a＝7b＝4c＝2，則eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝________.2．若x>0，則(2x＋3)(2x﹣3)﹣4x(x﹣x)＝________.考點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[典題例析](1)已知函數(shù)f(x)＝(x﹣a)(x﹣b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()(2)(多選)已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式2020a＝2021b，下列四個(gè)關(guān)系式中成立的關(guān)系式是()A．0<b<aB．0<a<bC．a(chǎn)＝bD．a(chǎn)<b<0(3)函數(shù)y＝|3x﹣2|＋m的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．[答案](1)A(2)ACD(3)(﹣∞，﹣2][方法技巧]有關(guān)指數(shù)函數(shù)圖象問(wèn)題的解題思路(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖象，一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除．(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到．特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論．(3)有關(guān)參數(shù)取值范圍問(wèn)題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解．[針對(duì)訓(xùn)練]1．函數(shù)f(x)＝1﹣e|x|的圖象大致是()2.函數(shù)f(x)＝ax﹣b的圖象如圖，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>1，b<0B．a(chǎn)>1，b>0C．0<a<1，b>0D．0<a<1，b<03．若函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,2))|1﹣x|＋m的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是________．考點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法(一)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題[例1]若函數(shù)f(x)＝a|2x﹣4|(a>0，且a≠1)，滿足f(1)＝eq\f(1,9)，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(﹣∞，2]B．[2，＋∞)C．[﹣2，＋∞)D．(﹣∞，﹣2][方法技巧]與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復(fù)合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．考法(二)比較指數(shù)式大小[例2]已知f(x)＝2x﹣2﹣x，a＝(eq\f(7,9))﹣0.25，b＝()0.2，c＝log2eq\f(7,9)，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為()A．f(b)<f(a)<f(c)B．f(c)<f(b)<f(a)C．f(c)<f(a)<f(b)D．f(b)<f(c)<f(a)[方法技巧]比較指數(shù)冪大小的常用方法單調(diào)性法取中間不同底的指數(shù)函數(shù)化同底后就可以應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，所以能夠化同底的盡可能化同底值法不同底、不同指數(shù)的指數(shù)函數(shù)比較大小時(shí)，先與中間值(特別是0，1)比較大小，然后得出大小關(guān)系圖解法根據(jù)指數(shù)函數(shù)的特征，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，借助圖象比較大小考法(三)解指數(shù)方程或不等式[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(﹣∞，﹣3)B．(1，＋∞)C．(﹣3，1)D．(﹣∞，﹣3)∪(1，＋∞)[方法技巧]簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式的求解問(wèn)題解決此類問(wèn)題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類討論．考法(四)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)最值問(wèn)題[例4](1)已知集合A＝{x|(2﹣x)·(2＋x)>0}，則函數(shù)f(x)＝4x﹣2x＋1﹣3(x∈A)的最小值為()A．4B．2C．﹣2D．﹣4(2)若函數(shù)f(x)＝(eq\f(1,3))有最大值3，則a＝________.[方法技巧]解決形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函數(shù)最值問(wèn)題，多利用換元法，即令t＝ax，轉(zhuǎn)化為y＝t2＋bt＋c的最值問(wèn)題，注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)求t的范圍．[針對(duì)訓(xùn)練]1．設(shè)a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<a<cD．b<c<a2．(多選)對(duì)于給定的函數(shù)f(x)＝ax﹣a﹣x(x∈R，a>0，且a≠1)，下面給出四個(gè)命題，其中真命題是()A．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．函數(shù)f(x)在R上不具有單調(diào)性C．函數(shù)f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱D．當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(|x|)的最大值是03．函數(shù)f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(﹣∞，eq\f(1,2)]B．[0，eq\f(1,2)]C.[eq\f(1,2)，+∞)D．[eq\f(1,2)，1]4．若不等式1＋2x＋4x·a>0在x∈(﹣∞，1]時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．一、創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移1．能說(shuō)明“已知f(x)＝2|x﹣1|，若f(x)≥g(x)對(duì)任意的x∈[0，2]恒成立，則在[0，2]上，f(x)min≥g(x)max”為假命題的一個(gè)函數(shù)g(x)＝________.(填出一個(gè)函數(shù)即可)2．已知a，b，c，m都是正數(shù)，am＝bm＋cm，當(dāng)m取何值時(shí)，長(zhǎng)分別為a，b，c的三條線段能構(gòu)成三角形？二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．對(duì)于函數(shù)f(x)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0滿足f(﹣x0)＝﹣f(x0)，則稱函數(shù)f(x)為“倒戈函數(shù)”．設(shè)f(x)＝3x＋2m﹣1(m∈R，且m≠0)是定義在[﹣1，1]上的“倒戈函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.[﹣eq\f(1,3)，0]B.[﹣eq\f(1,3)，0)C.[eq\f(1,3)，+∞]D．(﹣∞，0)2．已知函數(shù)y＝f(x)和函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)函數(shù)y＝f(x)和y＝g(x)在[a，b]上同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí)，[a，b]叫做函數(shù)y＝f(x)的“不動(dòng)區(qū)間”．若[1，2]為函數(shù)y＝|2x＋t|的“不動(dòng)區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為________．3．對(duì)于某種類型的口服藥，口服x小時(shí)后，由消化系統(tǒng)進(jìn)入血液中的藥物濃度y(單位)與時(shí)間t(時(shí))的關(guān)系為y＝k(e﹣at﹣e﹣bt)，其中k>0，b>a>0，k，a，b為常數(shù)，對(duì)于某一種藥物k＝4，a＝1，b＝2.(1)口服藥物后________小時(shí)血液中藥物濃度最高；(2)這種藥物服藥n(n∈N*)小時(shí)后血液中藥物濃度f(wàn)(n)如下表：n1234f(n)0.95450.93040.69320.4680n5678f(n)0.30100.18920.11630.0720一個(gè)病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個(gè)單位以上，第三次服藥的時(shí)間是________．(時(shí)間以整點(diǎn)為準(zhǔn))4．已知函數(shù)f(x)＝2﹣x，給出下列結(jié)論：①若x>0，則f(x)>1；②對(duì)于任意的x1，x2∈R，x1﹣x2≠0，必有(x1﹣x2)·[f(x1)﹣f(x2)]<0；③若0<x1<x2，則x2f(x1)<x1f(x2)；④對(duì)于任意的x1，x2∈R，x1﹣x2≠0，必有eq\f(fx1＋fx2,2)>f(eq\f(x1＋x2,2)).其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．函數(shù)y＝ln(2x﹣1)的定義域是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)2．函數(shù)y＝(eq\f(1,2))2x﹣x2的值域?yàn)?)A.[eq\f(1,2)，+∞)B．(-∞，eq\f(1,2)]C.(0，eq\f(1,2)]D．(0，2]3．已知函數(shù)f(x)＝4＋2ax﹣1的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是()A．(1，6)B．(1，5)C．(0，5)D．(5，0)4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞bC．c＞a＞bD．b＞c＞a二、綜合練——練思維敏銳度1．已知ab＝﹣5，則aeq\r(－\f(b,a))＋beq\r(－\f(a,b))的值是()A．2eq\r(5)B．0C．﹣2eq\r(5)D．±2eq\r(5)2．已知0<b<a<1，則在ab，ba，aa，bb中最大的是()A．baB．AaC．a(chǎn)bD．bb3．函數(shù)y＝(eq\f(1,3))的值域?yàn)?)A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(2，＋∞)D．(0，1)∪(1，＋∞)4．函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與函數(shù)y＝(a﹣1)x2﹣2x﹣1在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可能是()5．已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x﹣m|﹣1為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．c<a<bD．c<b<a6．若ea＋πb≥e﹣b＋π﹣a，則有()A．a(chǎn)＋b≤0B．a(chǎn)﹣b≥0C．a(chǎn)﹣b≤0D．a(chǎn)＋b≥07．(多選)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1)，下面說(shuō)法正確的有()A．f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B．f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C．f(x)的值域?yàn)?﹣1，1)D．?x1，x2∈R，且x1≠x2，eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＜08．化簡(jiǎn)：(2eq\r(3,a2)·eq\r(b))(﹣6eq\r(a)·eq\r(3,b))÷(﹣3eq\r(6,a)·eq\r(6,b5))＝_______.9．若函數(shù)f(x)＝ax﹣1(a>0且a≠1)的定義域和值域都是[0，2]，則實(shí)數(shù)a的值為________．10．當(dāng)x∈(﹣∞，﹣1]時(shí)，不等式(m2﹣m)