遼寧省2023年高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷真題（答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年7月遼寧省普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷本試卷分Ⅰ、Ⅱ兩卷，滿分100分，考試時(shí)間90分鐘第Ⅰ卷（選擇題共36分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．復(fù)數(shù)的虛部是A． B． C． D．2．已知集合，，則＝（

）A． B． C． D．3．若“，”是真命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則5．函數(shù)（，且）的圖象一定過點(diǎn)（

）A． B． C． D．6．已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且正方體的棱長為3，則球的體積為（

）A． B． C． D．7．海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；缺貨后落潮時(shí)返回海洋．下面是某港口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值（單位：）記錄表．（

）時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深值5.07.55.02.55.07.55.02.55.0根據(jù)以上數(shù)據(jù)，若用函數(shù)近似地描述這個(gè)港口的水深值與時(shí)間（記時(shí)刻0：00為時(shí)間）的函數(shù)關(guān)系，則上午7：00時(shí)，水深的近似數(shù)值為（

）A．2.83 B．3.75 C．6.25 D．7.178．函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A． B． C． D．9．的值是（

）A． B． C． D．10．2022年12月20日，聯(lián)合國世界旅游組織公布2022年“最佳旅游鄉(xiāng)村”名單，中國廣西大寨村和重慶荊竹村成功入選．遼寧綠江村也以景色別致的油菜花海吸引了眾多游客．小明準(zhǔn)備利用假期從中選一個(gè)鄉(xiāng)村游玩，記事件：小明選大寨村，事件：小明選荊竹村，事件：小明選綠江村．已知，，則＝（

）A．0.12 B．0.18 C．0.7 D．0.911．在中，若，則最大角為（

）A． B． C． D．12．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱，則的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共64分）二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分．要求直接寫出答案，不必寫出計(jì)算過程或推證過程）13．在中，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為.14．某科技攻關(guān)青年團(tuán)隊(duì)共有8人，他們的年齡分別是29，35，40，36，38，30，32，41，則這8人年齡的25%分位數(shù)是．15．已知，則的最小值為．16．已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，并且兩根之積等于兩根之和，則實(shí)數(shù)的值為．三、解答題（本大題共5小題，共52分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．向量，如圖所示，求：(1)；(2)．18．某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問題，能正確回答問題者進(jìn)入下一輪考核，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為，，，且各輪問題能否回答正確互不影響．求：(1)該選手進(jìn)入第三輪考核才被淘汰的概率；(2)該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率．19．《九章算術(shù)》作為中國古代數(shù)學(xué)專著之一，在其“商功”篇內(nèi)記載：“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑.”鱉臑是我國古代數(shù)學(xué)對四個(gè)面均為直角三角形的四面體的統(tǒng)稱.如圖所示，是長方體.(1)求證：三棱錐為鱉臑；(2)若，，，求三棱錐的表面積.20．已知函數(shù)．(1)求的圖象的對稱中心和對稱軸；(2)寫出的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，求的最值．21．已知為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．求：(1)時(shí)，的解析式；(2)不等式的解集．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．A【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式a+bi(a,b∈R)，b即為虛部.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部是．2．D【分析】解分式不等式與二次不等式化簡集合，從而利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)榧希?，所以，則．故選：D．3．B【分析】利用全稱命題或特稱命題的相關(guān)性真假求解參數(shù)【詳解】由題意，，恒成立，因?yàn)?，所以，所以．故選：B．4．A【分析】選項(xiàng)A由平行的傳遞性可得；BCD由長方體中的線面、面面位置關(guān)系舉反例可知.【詳解】選項(xiàng)A，若，，則由平行的傳遞性可知，，故A正確；選項(xiàng)B，若，，則或都有可能，如圖，長方體中（以下同），設(shè)直線為，直線為，底面為，滿足，，但，與不平行，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，若，，則與不一定垂直，如圖，設(shè)上底面為，下底面為，平面為，滿足，，但，與不垂直，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若，，則或或與相交都有可能，如圖，設(shè)直線為，直線為，設(shè)上底面為，滿足，，但，與不平行，故D錯(cuò)誤．故選：A.5．C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)所過定點(diǎn)，令即可求解.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)（，且）的圖象過定點(diǎn)，所以令，解得，此時(shí)，即的圖象過定點(diǎn)．故選：C．6．C【分析】根據(jù)正方體的體對角線求得球的半徑，進(jìn)而求得球的體積.【詳解】由正方體的對角線為其外接球的直徑可得，，解得，所以外接球的體積．故選：C．7．B【分析】根據(jù)周期求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】由表中數(shù)據(jù)知，，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，．故選：B8．B【詳解】在同一直角坐標(biāo)系下，做出函數(shù)和的圖象，如圖所示.函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于的根等價(jià)于函數(shù)和的交點(diǎn).由圖可知，有一個(gè)交點(diǎn)，所以有一個(gè)零點(diǎn).故選B.9．D【分析】利用正切的和角公式，計(jì)算即可.【詳解】．故選：D10．C【分析】利用互斥事件與對立事件的概率公式即可得解.【詳解】由題意，得事件，，為互斥事件，所以，則.故選：C．11．B【分析】由正弦定理得到，從而確定最大角，利用余弦定理即可求.【詳解】由正弦定理，得，設(shè)，，，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，即這個(gè)三角形的最大角是．故選：B12．D【分析】根據(jù)對稱性可知，利用二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得值域?yàn)?【詳解】因?yàn)榕c的圖象關(guān)于對稱，所以與互為反函數(shù)，即可得．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，即可得，即的值域?yàn)椋蔬x：D．13．2【分析】利用向量的加減運(yùn)算化簡即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，?故答案為：214．31【分析】先排序，再計(jì)算，然后可得.【詳解】把這8個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：29，30，32，35，36，38，40，41，計(jì)算8×25%＝2，所以這8人年齡的25%分位數(shù)是．故答案為：3115．4【分析】利用基本不等式即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號．故答案為：4.16．【分析】利用根與系數(shù)關(guān)系列方程，從而求得的值.【詳解】設(shè)關(guān)于的方程的兩根為，，所以，．因?yàn)閮筛e等于兩根之和，所以，即，解得或，因?yàn)?，解得，所以．故答案為?7．(1)(2)16【分析】（1）先根據(jù)題圖求得，，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式，模長公式以及夾角公式即可求解；（2）結(jié)合（1）得到，，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解．【詳解】（1）由題圖知，，，所以，，，所以．（2）結(jié)合（1）可得，，所以．18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件和對立事件的概率公式計(jì)算可得.（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和對立事件的概率公式計(jì)算可得.【詳解】（1）記“該選手正確回答第輪問題”為事件，則事件，，相互獨(dú)立，且，，.因?yàn)樵撨x手進(jìn)入第三輪才被淘汰指：前兩輪均通過，第三輪淘汰，所以該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率為.（2）因?yàn)檫x手至多進(jìn)入第二輪考核意味著第一輪淘汰或者第一輪通過第二輪淘汰,且事件和互斥.所以該選手至多進(jìn)入第二輪考核的概率為.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)長方體的性質(zhì)得，，從而，為直角三角形，再根據(jù)線面垂直的判定定理得，從而，為直角三角形，根據(jù)鱉臑定義得證；（2）結(jié)合直角三角形面積公式，利用三棱錐表面積公式直接計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)槭情L方體，所以，所以，，，所以，為直角三角形.因?yàn)闉殚L方形，所以．因?yàn)椋?，，所以，所以，所以，為直角三角形，所以三棱錐為鱉臑.（2）因?yàn)樗倪呅螢殚L方形，，，所以.因?yàn)?，，，為直角三角形，所以，所以三棱錐的表面積.20．(1)對稱中心為，對稱軸方程為(2)(3)最小值為，最大值為2【分析】（1）利用三角恒等變換可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求對稱中心及對稱軸.（2）根據(jù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)解決單調(diào)遞增區(qū)間.（3）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得最大最小值.【詳解】（1）由題意，得函數(shù)．令，解得，所以函數(shù)的對稱中心為．令，解得，所以函數(shù)的