拋物線-高考數學知識點總結-高考數學真題復習

§9.7拋物線2014高考會這樣考1.考查拋物線的定義、標準方程；2.考查拋物線的幾何性質、焦點弦問題；3.考查直線與拋物線的位置關系．復習備考要這樣做1.熟練掌握拋物線的定義和四種形式的標準方程；2.能根據拋物線的方程研究拋物線的幾何性質；3.掌握直線與拋物線位置關系問題的一般解法．1．拋物線的概念平面內與一個定點F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．2．拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下[難點正本疑點清源]1．拋物線的定義拋物線的定義實質上給出了一個重要的內容：可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到 準線的距離，可以使運算化繁為簡．2．拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，eq\f(p,2)等于焦點到拋物線頂點的距離．牢記它對解題非常有益．3．求拋物線方程時，要依據題設條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線的標準方程．1．動圓過點(1,0)，且與直線x＝－1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為__________．答案y2＝4x解析設動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y2＝4x.2．若拋物線y2＝2px的焦點與橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點重合，則p的值為________．答案4解析因為橢圓eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,2)＝1的右焦點為(2,0)，所以拋物線y2＝2px的焦點為(2,0)，則p＝4.3．(2012·重慶)過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|＝eq\f(25,12)，|AF|<|BF|，則|AF|＝________.答案eq\f(5,6)解析由于y2＝2x的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，設AB所在直線的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1<x2，將y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))代入y2＝2x，得k2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＝2x，∴k2x2－(k2＋2)x＋eq\f(k2,4)＝0.∴x1x2＝eq\f(1,4).而x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝eq\f(25,12)，∴x1＋x2＝eq\f(13,12).∴x1＝eq\f(1,3)，x2＝eq\f(3,4).∴|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).4．(2012·四川)已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點O，并且經過點M(2，y0)．若點M到該拋物線焦點的距離為3，則|OM|＝ ()A．2eq\r(2) B．2eq\r(3) C．4 D．2eq\r(5)答案B解析由題意設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則M到焦點的距離為xM＋eq\f(p,2)＝2＋eq\f(p,2)＝3，∴p＝2，∴y2＝4x.∴yeq\o\al(2,0)＝4×2＝8，∴|OM|＝eq\r(4＋y\o\al(2,0))＝eq\r(4＋8)＝2eq\r(3).5．設拋物線y2＝8x的準線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是 ()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]答案C解析Q(－2,0)，設直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.題型一拋物線的定義及應用例1已知拋物線y2＝2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值時點P的坐標．思維啟迪：由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，求|PA|＋|PF|的問題可轉化為求|PA|＋d的問題．解將x＝3代入拋物線方程y2＝2x，得y＝±eq\r(6).∵eq\r(6)>2，∴A在拋物線內部，如圖．設拋物線上點P到準線l：x＝－eq\f(1,2)的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，當PA⊥l時，|PA|＋d最小，最小值為eq\f(7,2)，即|PA|＋|PF|的最小值為eq\f(7,2)，此時P點縱坐標為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點P的坐標為(2,2)．探究提高與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關．由于拋物線的定義在運用上有較大的靈活性，因此此類問題也有一定的難度．“看到準線想焦點，看到焦點想準線”，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑．(2011·遼寧)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為 ()A.eq\f(3,4) B．1 C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)答案C解析∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋eq\f(1,2)＝3，∴xA＋xB＝eq\f(5,2).∴線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為eq\f(xA＋xB,2)＝eq\f(5,4).題型二拋物線的標準方程和幾何性質例2拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，它與圓x2＋y2＝9相交，公共弦MN的長為2eq\r(5)，求該拋物線的方程，并寫出它的焦點坐標與準線方程．思維啟迪：首先確定方程的形式，根據條件列方程確定方程中的系數．解由題意，拋物線方程為x2＝2ay(a≠0)．設公共弦MN交y軸于A，N在y軸右側，則|MA|＝|AN|，而|AN|＝eq\r(5).∵|ON|＝3，∴|OA|＝eq\r(32－\r(5)2)＝2，∴N(eq\r(5)，±2)．∵N點在拋物線上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±eq\f(5,2)，故拋物線的方程為x2＝eq\f(5,2)y或x2＝－eq\f(5,2)y.拋物線x2＝eq\f(5,2)y的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,8)))，準線方程為y＝－eq\f(5,8).拋物線x2＝－eq\f(5,2)y的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,8)))，準線方程為y＝eq\f(5,8).探究提高(1)由拋物線的標準方程，可以首先確定拋物線的開口方向、焦點的位置及p的值，再進一步確定拋物線的焦點坐標和準線方程．(2)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程．如圖，已知拋物線y2＝2px(p>0)有一個內接直角三角形，直角頂點在原點，兩直角邊OA與OB的長分別為1和8，求拋物線的方程．解設直線OA的方程為y＝kx，k≠0，則直線OB的方程為y＝－eq\f(1,k)x，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝2px，))得x＝0或x＝eq\f(2p,k2).∴A點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2p,k2)，\f(2p,k)))，B點坐標為(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4p2\f(k2＋1,k4)＝1，①,4p2k2k2＋1＝64，②))②÷①解方程組得k6＝64，即k2＝4.則p2＝eq\f(16,k2k2＋1)＝eq\f(4,5).又p>0，則p＝eq\f(2\r(5),5)，故所求拋物線方程為y2＝eq\f(4\r(5),5)x.題型三直線與拋物線的位置關系例3(2011·江西)已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程．(2)O為坐標原點，C為拋物線上一點，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．思維啟迪：(1)聯立方程，利用焦點弦公式求解；(2)先求出A、B坐標，利用關系式表示出點C坐標，再利用點C在拋物線上求解．解(1)直線AB的方程是y＝2eq\r(2)(x－eq\f(p,2))，與y2＝2px聯立，從而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝eq\f(5p,4).由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化為x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而A(1，－2eq\r(2))，B(4,4eq\r(2))．設eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1，4eq\r(2)λ－2eq\r(2))，又yeq\o\al(2,3)＝8x3，所以[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.探究提高(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．設拋物線C：y2＝4x，F為C的焦點，過F的直線l與C相交于A、B兩點．(1)設l的斜率為1，求|AB|的大小；(2)求證：eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))是一個定值．(1)解∵F(1,0)，∴直線l的方程為y＝x－1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－1，,y2＝4x))得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，x1x2＝1.∴|AB|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(36－4)＝8.(2)證明設直線l的方程為x＝ky＋1，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ky＋1，,y2＝4x))得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x1，y1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x2，y2)．∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))是一個定值．直線與拋物線的位置關系問題典例：(14分)(2011·湖南)已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))的最小值．審題視角(1)依題設可知，利用直接法求軌跡方程；(2)先設直線l1的斜率為k，依題設條件可求出eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))關于k的解析式，利用基本不等式求最值．規(guī)范解答解(1)設動點P的坐標為(x，y)，由題意有eq\r(x－12＋y2)－|x|＝1.化簡得y2＝2x＋2|x|.當x≥0時，y2＝4x；當x<0時，y＝0.所以，動點P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)．[6分](2)由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設為k，則l1的方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.[8分]設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是x1＋x2＝2＋eq\f(4,k2)，x1x2＝1.因為l1⊥l2，所以l2的斜率為－eq\f(1,k).設D(x3，y3)，E(x4，y4)，則同理可得x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.[10分]故eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝(eq\o(AF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→)))·(eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→)))＝eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|·|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FD,\s\up6(→))|·|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(4,k2)))＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋\f(1,k2)))≥8＋4×2eq\r(k2·\f(1,k2))＝16.[12分]當且僅當k2＝eq\f(1,k2)，即k＝±1時，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))取最小值16.[14分]答題模板第一步：聯立方程，得關于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數的關系，并求出Δ>0時參數范圍(或指出直線過曲線內一點)第三步：建立關于所求問題的目標函數；第四步：最值問題常結合函數單調性或基本不等式求出；定值問題只證明函數為常數函數，與變量無關；第五步：反思回顧，有無忽略特殊情況．溫馨提醒解決直線與圓錐曲線位置關系問題，要注意以下幾點：(1)理解數形結合思想，掌握解決此類問題的一般方法；(2)不要忽略對Δ>0的限制或驗證；(3)涉及平面向量運算時，要注意垂直、中點等幾何性質的應用；(4)最值范圍問題，要確定目標函數；探索性問題要先假設存在，然后推理求解．方法與技巧1．認真區(qū)分四種形式的標準方程(1)區(qū)分y＝ax2與y2＝2px(p>0)，前者不是拋物線的標準方程．(2)求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設為y2＝mx或x2＝my(m≠0)．2．拋物線的焦點弦：設過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)若直線AB的傾斜角為θ，則|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)；(3)若F為拋物線焦點，則有eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p).失誤與防范1．求拋物線的標準方程時一般要用待定系數法求p值，但首先要判斷拋物線是否為標準方程，以及是哪一種標準方程．2．注意應用拋物線的定義解決問題．A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．拋物線的頂點在坐標原點，焦點與雙曲線eq\f(y2,5)－eq\f(x2,4)＝1的一個焦點重合，則該拋物線的標準方程可能是 ()A．x2＝4y B．x2＝－4yC．y2＝－12x D．x2＝－12y答案D解析由題意得c＝eq\r(5＋4)＝3，∴拋物線的焦點坐標為(0,3)或(0，－3)，∴該拋物線的標準方程為x2＝12y或x2＝－12y.2．已知直線l過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，l與C交于A，B兩點，|AB|＝12，P為C的準線上一點，則△ABP的面積為 ()A．18 B．24 C．36 D．48答案C解析不妨設拋物線的標準方程為y2＝2px(p>0)，由于l垂直于對稱軸且過焦點，故直線l的方程為x＝eq\f(p,2).代入y2＝2px得y＝±p，即|AB|＝2p，又|AB|＝12，故p＝6，所以拋物線的準線方程為x＝－3，故S△ABP＝eq\f(1,2)×6×12＝36.3．設拋物線y2＝8x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|等于 ()A．4eq\r(3) B．8 C．8eq\r(3) D．16答案B解析設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y2,8)，y))，則A(－2，y)，由kAF＝－eq\r(3)，即eq\f(y－0,－2－2)＝－eq\r(3)，得y＝4eq\r(3)，|PF|＝|PA|＝eq\f(y2,8)＋2＝8.4．從拋物線y2＝4x上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為 ()A．5 B．10 C．20 D.eq\r(15)答案B解析由拋物線方程y2＝4x易得拋物線的準線l的方程為x＝－1，又由|PM|＝5可得點P的橫坐標為4，代入y2＝4x，可求得其縱坐標為±4，故S△MPF＝eq\f(1,2)×5×4＝10，選B.二、填空題(每小題5分，共15分)5．若點P到直線y＝－1的距離比它到點(0，3)的距離小2，則點P的軌跡方程是_______．答案x2＝12y解析由題意可知點P到直線y＝－3的距離等于它到點(0，3)的距離，故點P的軌跡是以點(0,3)為焦點，以y＝－3為準線的拋物線，且p＝6，所以其標準方程為x2＝12y.6．已知拋物線y2＝4x上一點M與該拋物線的焦點F的距離|MF|＝4，則點M的橫坐標x＝________.答案3解析拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，準線為x＝－1.根據拋物線的定義，點M到準線的距離為4，則M的橫坐標為3.7．設P是曲線y2＝4x上的一個動點，則點P到點B(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值為______．答案eq\r(5)解析∵拋物線的頂點為O(0,0)，p＝2，∴準線方程為x＝－1，焦點F坐標為(1,0)，∴點P到點B(－1,1)的距離與點P到準線x＝－1的距離之和等于|PB|＋|PF|.如圖，|PB|＋|PF|≥|BF|，當B、P、F三點共線時取得最小值，此時|BF|＝eq\r(－1－12＋1－02)＝eq\r(5).三、解答題(共22分)8．(10分)拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經過焦點且傾斜角為135°的直線，被拋物線所截得的弦長為8，試求拋物線方程．解如圖，依題意設拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則直線方程為y＝－x＋eq\f(1,2)p.設直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則由拋物線定義得|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)，即x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝8.①又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋\f(1,2)p，,y2＝2px，))消去y得x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0.∴x1＋x2＝3p.將其代入①得p＝2，∴所求拋物線方程為y2＝4x.當拋物線方程設為y2＝－2px時，同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.綜上，拋物線的方程為y2＝±4x.9．(12分)已知定點A(1,0)和直線x＝－1上的兩個動點E，F，且eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(AF,\s\up6(→))，動點P滿足eq\o(EP,\s\up6(→))∥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(FO,\s\up6(→))∥eq\o(OP,\s\up6(→))(其中O為坐標原點)．(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過點B(0,2)的直線l與(1)中的軌跡C相交于兩個不同的點M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))<0，求直線l的斜率的取值范圍．解(1)設P(x，y)，E(－1，yE)，F(－1，yF)．∵eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－2，yE)·(－2，yF)＝y(tǒng)E·yF＋4＝0，∴yE·yF＝－4，①又eq\o(EP,\s\up6(→))＝(x＋1，y－yE)，eq\o(FO,\s\up6(→))＝(1，－yF)，且eq\o(EP,\s\up6(→))∥eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(FO,\s\up6(→))∥eq\o(OP,\s\up6(→))，∴y－yE＝0且x(－yF)－y＝0，∴yE＝y(tǒng)，yF＝－eq\f(y,x)，代入①得y2＝4x(x≠0)，∴動點P的軌跡C的方程為y2＝4x(x≠0)．(2)設l：y－2＝kx(易知k存在)，聯立y2＝4x消去x，得ky2－4y＋8＝0，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝eq\f(4,k)，y1·y2＝eq\f(8,k)，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＝eq\f(y\o\al(2,1)·y\o\al(2,2),16)－eq\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),4)＋1＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1y2,4)))2－eq\f(y1＋y22,4)＋eq\f(3,2)y1y2＋1＝eq\f(12,k)＋1<0，∴－12<k<0，則實數k的取值范圍為(－12,0)．B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)一、選擇題(每小題5分，共15分)1．已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點為F(1,0)，過焦點F的直線l與拋物線C相交于A、B兩點，若直線l的傾斜角為45°，則弦AB的中點坐標為 ()A．(1,0) B．(2,2)C．(3,2) D．(2,4)答案C解析依題意得，拋物線C的方程是y2＝4x，直線l的方程是y＝x－1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x,y＝x－1))消去y得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，因此線段AB的中點的橫坐標是eq\f(6,2)＝3，縱坐標是y＝3－1＝2，所以線段AB的中點坐標是(3,2)，因此選C.2．設F為拋物線y2＝4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|等于 ()A．9 B．6 C．4 D．3答案B解析設A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)．由eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(FB,\s\up6(→))＋eq\o(FC,\s\up6(→))＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，|eq\o(FA,\s\up6(→))|＋|eq\o(FB,\s\up6(→))|＋|eq\o(FC,\s\up6(→))|＝x1＋x2＋x3＋eq\f(3,2)p＝6.3．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準線為l，過拋物線C上的點A作準線l的垂線，垂足為M，若△AMF與△AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為3∶1，則點A的坐標為()A．(2,2eq\r(2)) B．(2，－2eq\r(2))C．(2，±eq\r(2)) D．(2，±2eq\r(2))答案D解析如圖所示，由題意，可得|OF|＝1，由拋物線的定義，得|AF|＝|AM|，∵△AMF與△AOF(其中O為坐標原點)的面積之比為3∶1，∴eq\f(S△AMF,S△AOF)＝eq\f(\f(1,2)×|AF|×|AM|×sin∠MAF,\f(1,2)×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF)＝3，∴|AF|＝|AM|＝3，設Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝3，解得y0＝±2eq\r(2).∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＝2，∴點A的坐標是(2，±2eq\r(2))．二、填空題(每小題5分，共15分)4．已知點P是拋物線y2＝2x上的動點，點P到準線的距離為d，且點P在y軸上的射影是M，點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))，則|PA|＋|PM|的最小值是________．答案eq\f(9,2)解析設拋物線y2＝2x的焦點為F，則Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，又點Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，4))在拋物線的外側，拋物線的準線方程為x＝－eq\f(1,2)，則|PM|＝d－eq\f(1,2)，又|PA|＋d＝|PA|＋|PF|≥|AF|＝5，所以|PA|＋|PM|≥eq\f(9,2).5．設拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，準線為l，點A(0,2)，連接FA交拋物線于點B，過B作l的垂線，垂足為M，若AM⊥MF，則p的值為________．答案eq\r(2)解析由拋物線定義可知|BM|＝|BF|，又由平面幾何知識得|BM|＝|BA|，所以點B為AF的中點，又Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,4)，1))在拋物線上，所以12＝2p×eq\f(p,4)，即p2＝2，又p>0，故p＝eq\r(2).6．設O是坐標原點，F是拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，A是拋物線上的一點，eq\o(FA,\s\up6(→))與x軸正向的夾角為60°，則|eq\o(OA