第3講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

12010屆高中總復(fù)習(xí)·第2輪湖南學(xué)海文化傳播有限責(zé)任公司本課件主要使用工具為office2003，Mathtype5.0,幾何畫板4.0,flashplayer10.0

?數(shù)學(xué)

（理科·湖南）2集合、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題一導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3講3

以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)極值理論，單調(diào)性及其應(yīng)用為目標(biāo)，是最近幾年在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)交匯處命題的顯著特點(diǎn)和趨向，高考中導(dǎo)數(shù)問題命題有五大熱點(diǎn)：

熱點(diǎn)一、在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的交匯點(diǎn)命題：主要考查導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明函數(shù)的單調(diào)性等.命題的特點(diǎn)：三次函數(shù)求導(dǎo)后為二次函數(shù)，結(jié)合一元二次方程根的分布，考查代數(shù)推理能力、語言轉(zhuǎn)化能力和待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想.

熱點(diǎn)二、在導(dǎo)數(shù)與含參數(shù)函數(shù)的交匯點(diǎn)命題：主要考查含參數(shù)函數(shù)的極值問題，分類討論思想及解不等式的能力，利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍等問題.

熱點(diǎn)三、在導(dǎo)數(shù)與解析幾何交匯點(diǎn)命題：主要考查對導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線的斜率,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性,最（極）值等綜合運(yùn)用知識的能力.熱點(diǎn)四、在導(dǎo)數(shù)與向量問題交匯點(diǎn)命題：依托向量把函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，解不等式等知識融合在一起，既考查了向量的有關(guān)知識，又考查了函數(shù)性質(zhì)及解不等式等內(nèi)容.熱點(diǎn)五、在導(dǎo)數(shù)與函數(shù)模型構(gòu)建交匯點(diǎn)命題：主要考查考生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具和不等式知識去解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和實(shí)踐能力.451.(2009·江西卷)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2，曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線的斜率為()A.4B.C.2D.解析感悟

理解和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考中的常見的題型.由已知g′(1)=2，而f(x)=g′(x)+2x，所以f′(1)=g′(1)+2×1=4，故選A.6

2.(2009·湖南卷)若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是()7因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，即在區(qū)間[a,b]上各點(diǎn)處的斜率k是遞增的，由圖易知選A.注意C中y′=k為常數(shù)噢.解析感悟理解和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)函數(shù)的圖象特征.83.(2009·湖南卷)設(shè)函數(shù)y=f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義.對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)：取函數(shù)f(x)=2-x-e-x.若對任意的x∈(-∞,+∞)，恒有fK(x)=f(x)，則()A.K的最大值為2B.K的最小值為2C.K的最大值為1D.K的最小值為19解析

由f′(x)=-1+e-x=0，知x=0，所以當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)<0，所以f(x)max=f(0)=1，即f(x)的值域是(-∞,1]，而要使fK(x)=f(x)在R上恒成立,結(jié)合條件分別取不同的K值，可得D符合，此時(shí)fK(x)=f(x)，故選D.感悟利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值.10

(2009·濱洲一模)設(shè)函數(shù)（1）若直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象相切，且與函數(shù)f(x)的圖象相切于點(diǎn)（1，0），求實(shí)數(shù)p的值；（2）若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍.考點(diǎn)一

例1

導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值問題11思路切線的斜率即為函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間即為解不等式f′(x)>0(或<0)；已知函數(shù)在區(qū)間D上遞增（減），則f′(x)≥0（或≤0）在區(qū)間D恒成立.解析（1）解法1：因?yàn)?所以f′(1)=2(p-1).直線l：y=2(p-1)(x-1).設(shè)l與g(x)=x2相切于點(diǎn)M（x0,y0).因?yàn)間′（x)=2x，所以2x0=2(p-1)，所以x0=p-1，y0=(p-1)2,代入直線l的方程，解得p=1或p=3.解法2：因?yàn)?，，所以l：y=2(p-1)(x-1).將直線方程l代入y=x2，得2(p-1)(x-1)=x2,整理得x2-2(p-1)x+2(p-1)=0，所以Δ=4(p-1)2-8(p-1)=0，解得p=1或p=3.12（2）因?yàn)?，①要使f(x)為單調(diào)增函數(shù)，須f

′(x)≥0在(0，+∞)恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞)上恒成立.又，所以當(dāng)p≥1時(shí)，f(x)在(0,+∞）上單調(diào)遞增.②要使f(x)為單調(diào)減函數(shù)，須f′(x)≤0在（0，+∞）上恒成立.即在(0,+∞)上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立.又，所以當(dāng)p≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)為單調(diào)減函數(shù).綜上，若f(x)在（0，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，則p的取值范圍為{p|p≥1或p≤0}.13點(diǎn)評求曲線的切線，關(guān)鍵是由切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率;求函數(shù)的極值、最值首要是研究函數(shù)的單調(diào)性.14已知函數(shù)f(x)=1-ax2(a>0,x>0)，該函數(shù)圖象在點(diǎn)P（x0,f(x0))處的切線為l，設(shè)切線l交x軸、y軸分別為M（x1,0)和N(0,y2)兩點(diǎn).（1）將△MON(O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積S表示為x0的函數(shù)S(x0)；（2）若函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交于點(diǎn)T（t，0），則x1與t的大小關(guān)系如何？請證明你的結(jié)論；（3）若在處，S(x0)取得最小值，求此時(shí)a的值及S(x0)的最小值.變式訓(xùn)練1思路第(1)問首先得求出切線方程，再得截距，求出面積；第(3)問利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.（1）f′(x)=-2ax.切線l的方程為即令y=0，得，令x=0，得所以，15解析（2）由f(x)=1-ax2=0及x>0，得，即.于是,所以,x1≥t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號..由S′(x0)=0，a>0，x0>0，得.當(dāng)3ax20-1>0，即時(shí)，S′(x0)>0；當(dāng)3ax20-1<0，即時(shí)，S′(x0)<0.所以時(shí)，S(x0)取得最小值，為.由，得，此時(shí).16研究函數(shù)的單調(diào)性就可得函數(shù)圖象的大致情況，由圖看到函數(shù)的極大、小值的位置，所以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)主要是弄清其單調(diào)區(qū)間.點(diǎn)評17

(2008·四川改編)已知x=3是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)-b有3個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.考點(diǎn)二結(jié)合函數(shù)的圖象、零點(diǎn)與性質(zhì)求參數(shù)的取值范圍問題

已知x=3是一個(gè)極值點(diǎn),必有f′(3)=0,函數(shù)y=f(x)-b的零點(diǎn)就是方程f(x)=b的根,就是函數(shù)y=f(x)-b的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而研究其單調(diào)性.思路

例2

18解析因?yàn)椋?，因此a=16.當(dāng)a=16時(shí)，由此可知，當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.當(dāng)x∈(3,+∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.所以，當(dāng)a=16時(shí)，x=3是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).于是，a=16.由，得x∈(1,3).所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,1),(3,+∞)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).y=f(x)-b有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于f(x)=b有3個(gè)實(shí)數(shù)根，此時(shí)，函數(shù)f(x)=b的圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn).令,則令，解得1<x<3.所以的單調(diào)增區(qū)間是(-1,1),(3,+∞)，單調(diào)減區(qū)間是(1,3),

(1)為極大值，(3)為極小值，可得y=(x)的示意圖.為使y=(x)圖象與x軸有3個(gè)不同的交點(diǎn)，必須y=(x)的極大值大于零，極小值小于零，即

，可化為解得，所以32ln2-21<b<16ln2-9.1920點(diǎn)評

曲線與曲線的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)等相互轉(zhuǎn)化就可把困難的問題變得容易.21曲線的交點(diǎn)和函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)常常與函數(shù)的單調(diào)性與極值有關(guān)，解題時(shí)，還需要用圖象幫助思考，而求函數(shù)的單調(diào)性與極值以及畫函數(shù)的圖象的有力工具就是導(dǎo)數(shù).變式訓(xùn)練2思路

已知函數(shù)f(x)=-x2+8x，g(x)=6lnx+m，是否存在實(shí)數(shù)m，使得y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由.22解析

函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).因?yàn)橛?，所以是減函數(shù).當(dāng)x∈（0,1)，x∈(3,+∞)時(shí)，是增函數(shù).所以，因?yàn)楫?dāng)x充分接近0時(shí)，；當(dāng)x充分大時(shí)，.

所以要使的圖象與x軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必須且只須

解得7<m<15-6ln3.所以存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m的取值范圍為(7,15-6ln3).23研究函數(shù)的圖象、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)等問題時(shí)，常將這些問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等問題，根據(jù)函數(shù)的這些性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合，使問題得以求解．這些是高考的出題熱點(diǎn).點(diǎn)評24考點(diǎn)三

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列的綜合問題設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-px+1.（1）求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)；（2）當(dāng)p>0時(shí)，若對任意的x>0，恒有f(x)≤0，求p的取值范圍；（3）證明：

例3思路

導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值必為0.恒成立的問題一般變?yōu)榍竽澈瘮?shù)的最值.25解析（1）因?yàn)?所以f(x)的定義域?yàn)楫?dāng)p≤0時(shí)，f′(x)>0,f(x)在（0,+∞）上無極值點(diǎn).當(dāng)p>0時(shí)，令f′(x)<0，所以,即函數(shù)在上遞增，在上遞減,所以,當(dāng)p>0時(shí),f(x)有惟一的極大值點(diǎn)（2）由（1）知，當(dāng)p>0時(shí)，f(x)在處取得極大值，此極大值也是最大值，要使f(x)≤0恒成立，只須所以p≥1.所以p的取值范圍為[1,+∞).（3）證明：令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，所以lnx≤x-1.因?yàn)閚∈N，n≥2，所以lnn2≤n2-1,所以所以所以結(jié)論成立.2627函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程、不等式、數(shù)列綜合在一起,解決極值，最值等問題,這類問題涉及到求極值、極值點(diǎn)、最值.證明不等式f(x)≥g(x)在區(qū)間D上成立，等價(jià)于函數(shù)f(x)-g(x)在區(qū)間D上的最小值大于等于零；而證明不等式f(x)>g(x)在區(qū)間D上成立，等價(jià)于函數(shù)f(x)-g(x)在區(qū)間D上的最小值大于零，因此不等式的證明問題可以轉(zhuǎn)化為用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值或最大（?。┲祮栴}.點(diǎn)評28已知函數(shù)在x=0處取得極值，曲線y=f(x)過原點(diǎn)O(0,0)和點(diǎn)P(-1,2)，若曲線y=f(x)在P處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，且l的傾斜角為鈍角.(1)求f(x)的解析式；(2)若y=f(x)在區(qū)間［2m-1,m+1］上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)若x1、x2∈［-1,1］，求證：|f(x1)-f(x2)|≤4.

第（1）問由曲線y=f(x)在P處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，可由切線的斜率得a、b；第（3）問求函數(shù)的最值即可.變式訓(xùn)練3思路29解析

令f′(x)>0,即x(x+2)>0,所以x>0或x<-2,所以f(x)的增區(qū)間為(-∞,-2］和［0,+∞),又因?yàn)閒(x)在區(qū)間［2m-1,m+1］上是增函數(shù)，所以或所以或

解得m≤-3或