人教A版高中數學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題5.1 任意角和弧度制-重難點題型精講（原卷版）

專題5.1任意角和弧度制-重難點題型精講1．任意角(1)角的概念角可以看成一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形.(2)角的表示如圖：

①始邊：射線的起始位置OA；

②終邊：射線的終止位置OB；

③頂點：射線的端點O；

④記法：圖中的角可記為“角SKIPIF1<0”或“SKIPIF1<0”或“AOB”.(3)角的表示在平面內，一條射線繞著它的端點旋轉有兩個相反的方向一順時針方向和逆時針方向.習慣上規(guī)定：這樣，我們就把角的概念推廣到了任意角，包括正角、負角和零角.(4)角的相等設角SKIPIF1<0由射線OA繞端點O旋轉而成，角SKIPIF1<0由射線O'A'繞端點O'旋轉而成.如果它們的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.(5)角的加、減法①角的加法

設SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是任意兩個角.我們規(guī)定，把角SKIPIF1<0的終邊旋轉角SKIPIF1<0，這時終邊所對應的角是SKIPIF1<0+SKIPIF1<0.

②相反角的概念

我們把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角.角SKIPIF1<0的相反角記為-SKIPIF1<0.

③角的減法

像實數減法的“減去一個數等于加上這個數的相反數”一樣，我們有SKIPIF1<0-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0+(-SKIPIF1<0).這樣，角的減法可以轉化為角的加法.2．象限角與終邊相同的角(1)終邊相同的角若角SKIPIF1<0,SKIPIF1<0終邊相同，則它們的關系為：將角SKIPIF1<0的終邊旋轉(逆時針或順時針)k(k∈Z)周即得角SKIPIF1<0.

一般地，我們有：所有與角SKIPIF1<0終邊相同的角，連同角SKIPIF1<0在內，可構成一個集合SKIPIF1<0，即任一與角SKIPIF1<0終邊相同的角，都可以表示成角SKIPIF1<0與整數個周角的和.(2)象限角、軸線角①象限角、軸線角的概念在平面直角坐標系中，如果角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合.那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標軸上，那么就認為這個角不屬于任何一個象限，稱這個角為軸線角.

②象限角的集合表示

③軸線角的集合表示

(3)區(qū)間角、區(qū)域角

區(qū)間角、區(qū)域角的定義：介于兩個角之間的角的集合叫做區(qū)間角，如SKIPIF1<0.終邊介于某兩角終邊之間的角的集合叫做區(qū)域角，顯然區(qū)域角包含無數個區(qū)間角.(4)角的終邊的對稱問題與垂直問題

角的終邊是一條射線，在平面直角坐標系中，當兩個角的終邊具有對稱關系或垂直關系時，對于的角就有一定的關系.一般地，我們有如下結論：3．角度制、弧度制的概念(1)角度制角可以用度為單位來進行度量，1度的角等于周角的SKIPIF1<0.這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.(2)弧度制的相關概念①1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角.②弧度制：定義：以弧度作為單位來度量角的單位制.記法：弧度單位用符號rad表示，讀作弧度.(3)弧度數在半徑為r的圓中，弧長為l的弧所對的圓心角為SKIPIF1<0rad，那么SKIPIF1<0.其中，SKIPIF1<0的正負由角SKIPIF1<0的終邊的旋轉方向決定，即逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負.一般地，正角的弧度數是一個正數，負角的弧度數是一個負數，零角的弧度數是0.4．角度與弧度的換算(1)弧度與角度的換算公式(2)特殊角的度數與弧度數的對應表(3)用弧度表示終邊相同的角用弧度表示與角SKIPIF1<0終邊相同的角的一般形式為SKIPIF1<0，這些角所組成的集合為SKIPIF1<0.5．弧長公式、扇形面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，圓心角為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(1)弧長公式由公式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.(2)扇形面積公式SKIPIF1<0.(3)弧長公式及扇形面積公式的兩種表示6．弧度制下角的終邊的對稱與垂直角的終邊是一條射線，在平面直角坐標系中，若兩個角的終邊關于某條直線（或點）對稱，則這兩個角就有一定的關系.一般地，我們有如下結論：【題型1終邊相同的角的表示】【方法點撥】根據與角SKIPIF1<0終邊相同的角的集合為SKIPIF1<0，進行求解即可．【例1】（2022·山東·高二階段練習）下列與角2π3的終邊一定相同的角是（

A．5π3 B．k·360°C．2kπ+2π3(k∈Z) D．(2k+1)π+【變式1-1】（2022·浙江高一期末）下列選項中與角α=?30°終邊相同的角是（A．30° B．240° C．390【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）終邊落在直線y=3x上的角α的集合為（A．αα=k?180°+30°,k∈ZC．αα=k?360°+30°,k∈Z D．【變式1-3】（2022·全國·高一課時練習）如果角α與角x＋45°具有相同的終邊，角β與角x－45°具有相同的終邊，那么α與β之間的關系是（

）A．α+β=0° B．α?β=90°C．α+β=k?360°k∈Z D．【題型2象限角的判定】【方法點撥】判斷角SKIPIF1<0是第幾象限角的常用方法為將SKIPIF1<0寫成SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0范圍內）的形式，觀察角SKIPIF1<0的終邊所在的象限即可.【例2】（2021·福建省高三開學考試）已知點α=130°，則角α的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【變式2-1】（2022·全國·高三專題練習）平面直角坐標系中，取角的頂點為坐標原點，角的始邊為x軸的非負半軸，下列說法正確的是（

）A．第一象限角一定不是負角B．三角形的內角是第一象限角或第二象限角C．第二象限角必大于第一象限角D．鈍角的終邊在第二象限【變式2-2】（2022·全國·高三專題練習）下列說法中正確的是（

）A．第二象限角大于第一象限角B．若k?360°<α<k?360°+180°k∈Z，則αC．鈍角一定是第二象限角D．三角形的內角是第一或第二象限角【變式2-3】（2022·全國·高一課時練習）設α是第三象限角，且sinα2=?sinαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【題型3角度與弧度的換算】【方法點撥】根據角度與弧度的換算公式進行換算，再進行求解即可.【例3】（2022·安徽省高一開學考試）315°角的弧度數為（

）A．3π4 B．7π4 C．?【變式3-1】（2022·全國·高一課時練習）下列結論錯誤的是（

）A．－150°化成弧度是?7π6radC．67°30'化成弧度是3π8【變式3-2】（2022·全國·高三專題練習）210°化成弧度是（

）A．5π6 B．7π6 C．5π【變式3-3】（2021·四川成都·高一期末）75°用弧度制表示為（

）A．π75 B．π3 C．5π【題型4角的終邊的對稱問題與垂直問題】【方法點撥】根據角SKIPIF1<0終邊的位置關系，進行求解即可.【例4】（2022·全國·高一課時練習）若α=k?360°+θ，β=m?360°?θk,m∈Z，則角α與角β的終邊一定（

A．重合 B．關于原點對稱C．關于x軸對稱 D．關于y軸對稱【變式4-1】（2020·河南洛陽·高一期中）若α=2kπ+θ,β=2k+1π?θ,其中k∈Z,則角αA．關于原點對稱 B．關于x軸對稱C．關于y軸對稱 D．關于y=x對稱【變式4-2】（2022·全國·高三專題練習）在直角坐標系中，若α與β的終邊互相垂直，那么α與β的關系式為（）A．β＝α+90° B．β＝α±90°C．β＝α+90°+k?360°（k∈Z） D．β＝α±90°+k?360°（k∈Z）【變式4-3】（2022·全國·高一課時練習）若2π<α<4π，且角α的終邊與角?7π6的終邊垂直，則α=A．7π3 B．10π3 C．4π【題型5弧長公式與扇形面積公式的應用】【方法點撥】結合具體條件，利用弧長公式與扇形面積公式進行轉化求解即可.【例5】（2023·廣東·高三學業(yè)考試）一個扇形的弧長與面積的數值都是3，則該扇形圓心角的弧度數為（）A．12 B．23 C．【變式5-1】（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB的面積為8，且圓心角弧度數為2，則扇形AOB的周長為（

）A．32 B．24 C．62 D．【變式5-2】（2022·河南·高三階段練習（文））古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為60cm，內弧線的長為20cm，連接外弧與內弧的兩端的線段均為16cm，則該扇形的中心角的弧度數為（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.6【變式5-3】（2022·廣東·高二期中）如圖是一個近似扇形的湖面，其中OA=OB=r，弧AB的長為l(l<r).為了方便觀光，欲在A,B兩點之間修建一條筆直的走廊AB.若當0<x<12時，sinx≈x?x36，扇形OAB的面積記為A．2l?C．1l?【題型6與弧度有關的實際應用問題】【方法點撥】先讀懂題意，明確題干的敘述，然后將所求問題轉化為弧度的問題，如角度的表示、弧度制下的弧長及扇形面積等，最后回歸到實際問題，得到答案.【例6】（2022·湖南·高一課時練習）時鐘的分針長6cm，從10:30到10:55，求：(1)分針轉過的角的弧度數；(2)分針掃過的扇形的面積；(3)分針尖端所走過的弧長．【變式6-1】（2022·湖南·高一課時練習）半徑為12cm的輪子，以400r/min的速度按順時針方向旋轉．(1