人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題4.3 指數(shù)函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講（含解析）

專題4.3指數(shù)函數(shù)-重難點(diǎn)題型精講1．指數(shù)函數(shù)的定義(1)一般地，函數(shù)y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)解析式的結(jié)構(gòu)特征：

①SKIPIF1<0的系數(shù)為1;

②底數(shù)a是大于0且不等于1的常數(shù).2．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)3．底數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)圖象的影響指數(shù)函數(shù)y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)的底數(shù)對(duì)圖象的影響可以從不同角度來(lái)記憶理解.

(1)無(wú)論是a>1還是0<a<1，在第一象限內(nèi)，自下而上，圖象越高的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，即“底大圖高”.(2)左右比較：在直線y=1的上面，a>1時(shí)，a越大，圖象越靠近y軸；0<a<1時(shí)，a越小，圖象越靠近y軸.

(3)上下比較：比較圖象與直線x=1的交點(diǎn)，交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.4．比較冪值大小的方法比較冪值大小的方法：【題型1指數(shù)函數(shù)的解析式、定義域與值域】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合具體條件，進(jìn)行求解即可.【例1】（2021秋?南寧期末）函數(shù)f（x）＝2x的定義域?yàn)椋ǎ〢．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，+∞） D．R【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得其定義域．【解答過(guò)程】解：函數(shù)f（x）＝2x的定義域?yàn)镽，故選：D．【變式1-1】（2021秋?閻良區(qū)期末）函數(shù)y＝2x（x≤0）的值域是（）A．（0，1） B．（﹣∞，1） C．（0，1] D．[0，1）【解題思路】本題可利用指數(shù)函數(shù)的值域．【解答過(guò)程】解：∵y＝2x（x≤0）為增函數(shù)，且2x＞0，∴20＝1，∴0＜y≤1．∴函數(shù)的值域?yàn)椋?，1]．故選：C．【變式1-2】（2021秋?城區(qū)校級(jí)期中）指數(shù)函數(shù)y＝f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，4），則f（3）的值為（）A．4 B．8 C．16 D．1【解題思路】設(shè)出指數(shù)函數(shù)y＝f（x）的解析式，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出解析式，再計(jì)算f（3）的值．【解答過(guò)程】解：設(shè)指數(shù)函數(shù)y＝f（x）＝ax，a＞0且a≠1；由f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，4），即a2＝4，解得a＝2；所以f（x）＝2x，所以f（3）＝23＝8．故選：B．【變式1-3】（2021秋?羅湖區(qū)校級(jí)期中）若函數(shù)f（x）＝（a2﹣2a﹣2）ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值是（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．2【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義列出方程組，求出a的值．【解答過(guò)程】解：∵函數(shù)f（x）＝（a2﹣2a+2）（a+1）x是指數(shù)函數(shù)，∴a2﹣2a﹣2＝1，且a＞0，a≠1解得a＝3．故選：B．【題型2比較冪值的大小】【方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，來(lái)比較冪值的大小.【例2】（2021秋?路南區(qū)校級(jí)期中）已知a＝0.32，b＝0.31.5，c＝20.3，則（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞b＞c【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較三個(gè)數(shù)的大小，可得答案．【解答過(guò)程】解：∵y＝0.3x為減函數(shù)，2＞1.5＞0，故a＝0.32＜b＝0.31.5＜0.30＝1，∵y＝2x為增函數(shù)，0.3＞0，故c＝20.3＞20＝1，故c＞b＞a，故選：C．【變式2-1】（2021秋?廈門(mén)期末）下列選項(xiàng)正確的是（）A．0.62.5＞0.63 B．1.7?13＜C．1.11.5＜0.72.1 D．212＞【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性求解．【解答過(guò)程】解：對(duì)于選項(xiàng)A：∵指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在R上單調(diào)遞減，且2.5＜3，∴0.62.5＞0.63，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B：∵指數(shù)函數(shù)y＝1.7x在R上單調(diào)遞增，且?13＞?12對(duì)于選項(xiàng)C：∵1.11.5＞1.10＝1，0＜0.72.1＜0.70＝1，∴1.11.5＞0.72.1，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：∵(212)6=23＝8，(313)故選：A．【變式2-2】（2021秋?懷仁市校級(jí)期末）設(shè)a＝0.60.6，b＝0.60.7，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答過(guò)程】解：∵0＜0.60.7＜0.60.6＜0.60＝1，∴0＜b＜a＜1，∵1.50.6＞1.50＝1，∴c＞1，∴c＞a＞b，故選：D．【變式2-3】（2021秋?天寧區(qū)校級(jí)期中）已知a＝0.3﹣0.2，b=(13)0.3，c＝A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可．【解答過(guò)程】解：∵0.3﹣0.2＞0.30＝1，∴a＞1，∵(13)0.3＜(13∴b＜c＜a，故選：D．【題型3解指數(shù)不等式】【方法點(diǎn)撥】指數(shù)不等式的三種求解方法：(1)性質(zhì)法：解形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0的不等式，可借助函數(shù)y=SKIPIF1<0的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)隱含性質(zhì)法：解形如SKIPIF1<0>b的不等式，可先將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助函數(shù)y=的單調(diào)性求解.(3)圖象法：解形如SKIPIF1<0>SKIPIF1<0的不等式.可利用對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象求解.【例3】（2020秋?興慶區(qū)校級(jí)期中）不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范圍是（）A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣2，2）【解題思路】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式．【解答過(guò)程】解：因?yàn)?＜a＜1，所以由不等式ax﹣3＞a1﹣x可得：x﹣3＜1﹣x，解得：x＜2，所以不等式ax﹣3＞a1﹣x（0＜a＜1）中x的取值范圍是：（﹣∞，2）．故選：C．【變式3-1】（2021秋?北碚區(qū)校級(jí)月考）不等式(1A．（﹣2，4） B．（﹣∞，﹣2） C．（4，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）【解題思路】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，把(13)x2?8＞3?2x=(【解答過(guò)程】解：∵(1∴x2﹣8＜2x，解得﹣2＜x＜4．故選：A．【變式3-2】（2021秋?黃埔區(qū)校級(jí)期中）已知a＞0，且a≠1，若函數(shù)y＝xa﹣1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，則不等式a3x+1＞a﹣2x中x的取值范圍是（）A．（﹣∞，?15） B．（?15，+∞C．（﹣∞，?15）∪（?15，+∞） D【解題思路】根據(jù)函數(shù)y＝xa﹣1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，求出a的范圍，得到函數(shù)y＝ax的單調(diào)性，將a3x+1＞a﹣2x轉(zhuǎn)化為x的不等式即可．【解答過(guò)程】解：依題意，a﹣1＜0，即0＜a＜1，所以函數(shù)y＝ax為R上的減函數(shù)，由a3x+1＞a﹣2x可得，3x+1＜﹣2x，解得x＜?故選：A．【變式3-3】（2021秋?豐臺(tái)區(qū)期中）已知指數(shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，12（I）求函數(shù)y＝f（x）的解析式；（II）若不等式滿足f（2x+1）＞1，求x的取值范圍．【解題思路】（Ⅰ）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，12），構(gòu)造方程，可得函數(shù)y＝f（x（II）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可將f（2x+1）＞1化為：2x+1＜0，解得答案．【解答過(guò)程】解：（Ⅰ）因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax（a＞0，且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（1，12所以a=所以指數(shù)函數(shù)的解析式為y=(12（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（2x+1）＞1等價(jià)于(因?yàn)楹瘮?shù)y=(12)所以2x+1＜0，解得x綜上，x的取值范圍是{x|x＜【題型4指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】①指數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別：對(duì)于所給函數(shù)解析式，研究函數(shù)的單調(diào)性、特殊值等，利用排除法，得出正確的函數(shù)圖象.②指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用：對(duì)于與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的作圖問(wèn)題，一般宜用變換作圖法作圖，這樣有利于從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)，從而指數(shù)函數(shù)的圖象來(lái)比較大小、解不等式、求最值等.【例4】（2021秋?臨渭區(qū)期末）函數(shù)y＝x+a與y＝a﹣x（a＞0且a≠1）在同一坐標(biāo)系中的圖像可能是（）A． B． C． D．【解題思路】分別討論a＞1和0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝x+a與y＝a﹣x在同一坐標(biāo)系中的圖像情況，即可得出答案．【解答過(guò)程】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義知，當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝x+a與y＝a﹣x在同一坐標(biāo)系中的圖像為圖（1）所示：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝x+a與y＝a﹣x在同一坐標(biāo)系中的圖像為圖（2）所示：只有選項(xiàng)B滿足題意．故選：B．【變式4-1】（2021秋?微山縣校級(jí)月考）若指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)）的圖象如圖所示，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【解題思路】由題意，做出直線x＝1，結(jié)合圖象可得結(jié)論．【解答過(guò)程】解：對(duì)于指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx（其中a、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)）的圖象，做出直線x＝1，結(jié)合圖象可得，直線x＝1和指數(shù)函數(shù)y＝ax，y＝bx，y＝cx的圖象的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為a、b、c，且c＞a＞b，故選：B．【變式4-2】（2021秋?中寧縣校級(jí)期中）如圖是指數(shù)函數(shù)①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的圖象，則a，b，c，d與1的大小是（）A．a(chǎn)＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．a(chǎn)＜b＜1＜d＜c D．1＜a＜b＜c＜d【解題思路】作直線x＝1，根據(jù)直線x＝1與四個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可判斷出a，b，c，d的大小關(guān)系．【解答過(guò)程】解：作直線x＝1與四個(gè)指數(shù)函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），由圖象可知縱坐標(biāo)的大小關(guān)系為0＜b＜a＜1＜d＜c，故選：B．【變式4-3】（2021?長(zhǎng)春模擬）如圖，①②③④中不屬于函數(shù)y＝2x，y＝3x，y=(1A．① B．② C．③ D．④【解題思路】直接根據(jù)函數(shù)的圖象和函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答過(guò)程】解：根據(jù)函數(shù)的圖象，函數(shù)的底數(shù)決定函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)?shù)讛?shù)a＞1，滿足底數(shù)越大函數(shù)的圖象在x＞0時(shí)，越靠近y軸，則③是對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝3x的圖象，④是對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝2x的圖象，根據(jù)對(duì)稱性，①是對(duì)應(yīng)函數(shù)y=(12)故選：B．【題型5指數(shù)型復(fù)合函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】借助指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)研究指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合具體問(wèn)題，進(jìn)行求解即可.【例5】（2021秋?蚌埠月考）已知函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，19（1）求a的值；（2）求函數(shù)f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8，當(dāng)x∈[﹣2，1]時(shí)的值域．【解題思路】（1）由題意：函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，19）．代入計(jì)算即可求a（2）求函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問(wèn)題求值域即可．【解答過(guò)程】解：（1）由題意：函數(shù)f（x）＝ax﹣1（a＞0，a≠1）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，19則有：1解得：a=1（2）由（1）可知a=1那么：函數(shù)f（x）＝a2x﹣ax﹣2+8=[(13)∵x∈[﹣2，1]∴(則f（x）=[(13)x當(dāng)(13)x=9，即x＝﹣2時(shí)，f（x當(dāng)(13)x=92所以函數(shù)的值域?yàn)閇?494，【變式5-1】（2021秋?凌源市期中）設(shè)函數(shù)f（x）＝（12）10﹣ax，其中a為常數(shù)，且f（3）=（1）求a的值；（2）若f（x）≥4，求x的取值范圍．【解題思路】（1）根據(jù)f（3）=116，求出a的值即可；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出【解答過(guò)程】解：（1）函數(shù)f（x）＝（12）10﹣ax由f（3）=116，得：得：3a﹣10＝﹣4，解得：a＝2；（2）由（1）f（x）＝22x﹣10，由f（x）≥4，得：22x﹣10≥22，故2x﹣10≥2，解得：x≥6．【變式5-2】（2021秋?欽州期末）已知函數(shù)f（x）＝2x﹣1+a（a為常數(shù)，且a∈R）恒過(guò)點(diǎn)（1，2）．（1）求a的值；（2）若f（x）≥2x，求x的取值范圍．【解題思路】（1）將點(diǎn)（1，2）的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）的解析式即可求出a的值；（2）由f（x）≥2x化簡(jiǎn)得到2x﹣1≤1，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出x的范圍．【解答過(guò)程】解：（1）由已知條件可得f（1）＝20+a＝1+a＝2，解得a＝1；（2）由f(x)=2x?1+1=2x2+1≥2x，得2x2≤1，即2x﹣1≤1＝2因此，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（﹣∞，1]．【變式5-3】（2022秋?新華區(qū)校級(jí)月考）已知函數(shù)f（x）＝ax+b的圖象如圖所示．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）若不等式c?10x+6xf(x)+3＞0對(duì)任意x∈【解題思路】（Ⅰ）由圖像可知函數(shù)f（x）過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）和（2，0），利用待定系數(shù)法求出a，b的值，即可得到函數(shù)f（x）的解析式．（Ⅱ）依題意不等式c?10x+6x＞0，對(duì)任意x∈（﹣∞，2]恒成立，再利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求最值，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求出實(shí)數(shù)c的取值范圍．【解答過(guò)程】解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝ax+b的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，﹣2）和（2，0），又注意到a＞1，∴a0+b=?2a故函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=(3（Ⅱ）因?yàn)橛桑↖）知f(x)+3=(3)x＞0對(duì)任意x∈所以由題設(shè)得不等式c?10x+6x＞0，對(duì)任意x∈（﹣∞，2]恒成立，即c＞?6x10x，亦即c＞?(3又易知函數(shù)y=?(35)所以根據(jù)（*）可得c＞故所求實(shí)數(shù)c的取值范圍(?9【題型6指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，建立指數(shù)函數(shù)模型，借助指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)行解題，注意要滿足實(shí)際條件.【例6】（2022春?殷都區(qū)校級(jí)期末）某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時(shí)間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數(shù)y＝k?at（t≥1，a＞0，k，a是常數(shù)）的圖象．（1）寫(xiě)出服藥后每毫升血液中含藥量y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時(shí)治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時(shí)間服用第二次藥，則第二次服藥后再過(guò)3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）【解題思路】（1）由圖象知，0≤t＜1時(shí)函數(shù)的解析式是一個(gè)線段，再結(jié)合函數(shù)y＝k?at（t≥1，a＞0，k，a是常數(shù)）即可得到函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)（1）中所求出的解析式建立不等式y(tǒng)≥2，解此不等式計(jì)算出第二次吃藥的時(shí)間即可；（3）根據(jù)所求出的函數(shù)解析式分別計(jì)算出兩次吃藥的剩余量，兩者的和即為病人血液中的含藥量．【解答過(guò)程】解：（1）當(dāng)0≤t＜1時(shí)，y＝8t；當(dāng)t≥1時(shí)，把A（1，8）、B（7，1）代入y＝kat，得ka=8ka7故y=8t（2）設(shè)第一次服藥后最遲過(guò)t小時(shí)服第二次藥，則t≥182(22)t=2，解得t（3）第二次服藥3h后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：y1含第二次服藥量為：y2所以此時(shí)兩次服藥剩余的量為22故該病人每毫升血液中的含藥量為4.7μg.【變式6-1】牛奶保鮮時(shí)間因儲(chǔ)藏時(shí)溫度的不同而不同，假定保鮮時(shí)間與儲(chǔ)藏溫度間的關(guān)系為指數(shù)型函數(shù)，若牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約是192h，而在22℃的廚房中則約是42h（1）寫(xiě)出保鮮時(shí)間y（單位：h）關(guān)于儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）的函數(shù)解析式；（2）利用（1）中結(jié)論，指出溫度在30℃和16℃的保鮮時(shí)間（精確到1h）.【解題思路】（1）設(shè)y＝k?ax（k≠0，a＞0且a≠1），則利用牛奶放在0℃的冰箱中，保鮮時(shí)間約為192h，放在22℃的廚房中，保鮮時(shí)間約為42h，即可得出函數(shù)解析式；（2）x＝30°時(shí)，y＝192?（732）1511，x＝16°時(shí)，y＝192?（732【解答過(guò)程】解：（1）設(shè)y＝k?ax（k≠0，a＞0且a≠1），則有192=k42=k?∴k=192a=(∴y＝192?（732）x22．x≥（2）x＝30°時(shí)，y＝192?（732）15x＝16°時(shí)，y＝192?（732）12【變式6-2】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）已知某地區(qū)現(xiàn)有人口50萬(wàn)．（I）若人口的年自然增長(zhǎng)率為1.2%，試寫(xiě)出人口數(shù)y（萬(wàn)人）與年份x（年）的函數(shù)關(guān)系；（Ⅱ）若20年后該地區(qū)人口總數(shù)控制在60萬(wàn)人，則人口的年自然增長(zhǎng)率應(yīng)為多少？（201.2=【解題思路】（I）由于人口的年自然