專題11 二次函數(shù)壓軸題（解析版）

專題11二次函數(shù)壓軸題1．（2023·無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進(jìn)而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進(jìn)而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標(biāo)為．ⅱ當(dāng)時，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標(biāo)為．綜上所示，點的橫坐標(biāo)為2或．2．（2023·徐州·中考真題）如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點，頂點為．連接，將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．點分別在線段上，連接與交于點．

(1)求點的坐標(biāo)；(2)隨著點在線段上運動．①的大小是否發(fā)生變化？請說明理由；②線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由；(3)當(dāng)線段的中點在該二次函數(shù)的因象的對稱軸上時，的面積為．【答案】(1)，；(2)①的大小不變，理由見解析；②線段的長度存在最大值為；(3)【分析】（1）得，解方程即可求得的坐標(biāo)，把化為頂點式即可求得點的坐標(biāo)；（2）①在上取點，使得，連接，證明是等邊三角形即可得出結(jié)論；②由，得當(dāng)最小時，的長最大，即當(dāng)時，的長最大，進(jìn)而解直角三角形即可求解；（3）設(shè)的中點為點，連接，過點作于點，證四邊形是菱形，得，進(jìn)而證明得，再證，得即，結(jié)合三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴頂點為，令，，解得或，∴；（2）解：①的大小不變，理由如下：在上取點，使得，連接，

∵，∴拋物線對稱軸為，即，∵將線段繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，∴，，，∴，

∴是等邊三角形，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，

∴，∴，又，∴是等邊三角形，∴，即的大小不變；②，∵，∴當(dāng)最小時，的長最大，即當(dāng)時，的長最大，∵是等邊三角形，∴∴，∴，

∴，∴，∴，即線段的長度存在最大值為；（3）解：設(shè)的中點為點，連接，過點作于點，

∵，∴四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴，，∵的中點為點，∴，

∴，∴，∵，∴，，∵的中點為點，是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴即，∴，

∴，∴，∴，故答案為．3．（2023·常州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點，其頂點是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點D，過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，且其頂點P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點D作DM⊥OA于點M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設(shè)出平移后頂點為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點D作DM⊥OA于點M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線上的一點，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過點作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，在的對稱軸x=的左側(cè)，y隨x的增大而減小，此時原拋物線也是y隨x的增大而減小，∴；（3）解：由，設(shè)平移后的拋物線為，則頂點為，∵頂點為在上，∴，∴平移后的拋物線為，頂點為，∵原拋物線，∴原拋物線的頂點，對稱軸為x=1，∵平移后的拋物線與原拋物線的對稱軸相交于點Q，∴，∵點Q、C在直線x=1上，平移后的拋物線頂點P在原拋物線頂點C的上方，兩拋物線的交點Q在頂點P的上方，∴∠PCQ與∠CQP都是銳角，∵是直角三角形，∴∠CPQ=90°，∴，∴化簡得，∴p=1（舍去），或p=3或p=，當(dāng)p=3時，，當(dāng)p=時，，∴點P坐標(biāo)為或．4．（2023·蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于點（點A在點的左側(cè)），直線是對稱軸．點在函數(shù)圖像上，其橫坐標(biāo)大于4，連接，過點作，垂足為，以點為圓心，作半徑為的圓，與相切，切點為．

(1)求點的坐標(biāo)；(2)若以的切線長為邊長的正方形的面積與的面積相等，且不經(jīng)過點，求長的取值范圍．【答案】(1)(2)或或【分析】（1）令求得點的橫坐標(biāo)即可解答；（2）由題意可得拋物線的對稱軸為，設(shè)，則；如圖連接，則，進(jìn)而可得切線長為邊長的正方形的面積為；過點P作軸，垂足為H，可得；由題意可得，解得；然后再分當(dāng)點M在點N的上方和下方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：令，則有：，解得：或，∴．（2）解：∵拋物線過∴拋物線的對稱軸為，設(shè)，∵，∴,如圖：連接，則，∴，∴切線為邊長的正方形的面積為，過點P作軸，垂足為H，則：，∴∵，∴，

假設(shè)過點,則有以下兩種情況：①如圖1：當(dāng)點M在點N的上方，即

∴，解得：或，∵∴；②如圖2：當(dāng)點M在點N的上方，即

∴，解得：，∵∴；綜上，或．∴當(dāng)不經(jīng)過點時，或或．5．（2023·南通·中考真題）定義：平面直角坐標(biāo)系中，點，點，若，，其中為常數(shù)，且，則稱點是點的“級變換點”．例如，點是點的“級變換點”．(1)函數(shù)的圖象上是否存在點的“級變換點”?若存在，求出的值；若不存在，說明理由；(2)點與其“級變換點”分別在直線，上，在，上分別取點，．若，求證：；(3)關(guān)于x的二次函數(shù)的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在直線上，求n的取值范圍．【答案】(1)存在，(2)見解析(3)n的取值范圍為且【分析】（1）根據(jù)“級變換點”定義求解即可；（2）求出點的坐標(biāo)為，得到直線，的解析式分別為和，根據(jù)進(jìn)行證明．（3）由題意得，二次函數(shù)的圖象上的點的“1級變換點”都在函數(shù)的圖象上，得到函數(shù)的圖象與直線必有公共點．分當(dāng)時和當(dāng)，時分類討論即可．【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象上存在點的“級變換點”根據(jù)“級變換點”定義，點的“級變換點”為，把點代入中，得，解得．（2）證明：點為點的“級變換點”，點的坐標(biāo)為．直線，的解析式分別為和．當(dāng)時，．，．，．．（3）解：由題意得，二次函數(shù)的圖象上的點的“1級變換點”都在函數(shù)的圖象上．由，整理得．，函數(shù)的圖象與直線必有公共點．由得該公共點為．①當(dāng)時，由得．又得，且．②當(dāng)，時，兩圖象僅有一個公共點，不合題意，舍去．綜上，n的取值范圍為且．6．（2023·連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點為．直線過點，且平行于軸，與拋物線交于兩點（在的右側(cè)）．將拋物線沿直線翻折得到拋物線，拋物線交軸于點，頂點為．

(1)當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(2)連接，若為直角三角形，求此時所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(3)在（2）的條件下，若的面積為兩點分別在邊上運動，且，以為一邊作正方形，連接，寫出長度的最小值，并簡要說明理由．【答案】(1)(2)或(3)，見解析【分析】（1）將拋物線解析式化為頂點式，進(jìn)而得出頂點坐標(biāo)，根據(jù)對稱性，即可求解．（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，，則拋物線．進(jìn)而得出可得，①當(dāng)時，如圖1，過作軸，垂足為．求得，代入解析式得出，求得．②當(dāng)時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得，得出，代入解析式得出代入，得；③當(dāng)時，此情況不存在．（3）由（2）知，當(dāng)時，，此時的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)時，，此時的面積為3，符合題意．由題意可求得．取的中點，在中可求得．在中可求得．易知當(dāng)三點共線時，取最小值，最小值為．【詳解】（1）∵，∴拋物線的頂點坐標(biāo)．∵，點和點關(guān)于直線對稱．∴．（2）由題意得，的頂點與的頂點關(guān)于直線對稱，∴，拋物線．∴當(dāng)時，可得．①當(dāng)時，如圖1，過作軸，垂足為．∵，∴．∵∴．∴．∵，∴．∵直線軸，∴．∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵當(dāng)時，可得，此時重合，舍去．當(dāng)時，符合題意．將代入，得．

②當(dāng)時，如圖2，過作，交的延長線于點．同理可得．∵，∴．∵，∴．∴．又∵點在圖像上，∴．解得或．∵，∴．此時符合題意．將代入，得．③當(dāng)時，此情況不存在．綜上，所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為或．（3）如圖3，由（2）知，當(dāng)時，，此時則，，則的面積為1，不合題意舍去．當(dāng)時，，則，∴，此時的面積為3，符合題意∴．依題意，四邊形是正方形，∴．取的中點，在中可求得．在中可求得．∴當(dāng)三點共線時，取最小值，最小值為．7．（2023·連云港·中考真題）【問題情境

建構(gòu)函數(shù)】（1）如圖1，在矩形中，是的中點，，垂足為．設(shè)，試用含的代數(shù)式表示．【由數(shù)想形

新知初探】（2）在上述表達(dá)式中，與成函數(shù)關(guān)系，其圖像如圖2所示．若取任意實數(shù)，此時的函數(shù)圖像是否具有對稱性？若有，請說明理由，并在圖2上補(bǔ)全函數(shù)圖像．【數(shù)形結(jié)合

深度探究】（3）在“取任意實數(shù)”的條件下，對上述函數(shù)繼續(xù)探究，得出以下結(jié)論：①函數(shù)值隨的增大而增大；②函數(shù)值的取值范圍是；③存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點；④在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形．其中正確的是__________．（寫出所有正確結(jié)論的序號）【抽象回歸

拓展總結(jié)】（4）若將（1）中的“”改成“”，此時關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式是__________；一般地，當(dāng)取任意實數(shù)時，類比一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的研究過程，探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)（直接寫出3條即可）．【答案】（1）；（2）取任意實數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱，見解析；（3）①④；（4），見解析【分析】（1）證明，得出，進(jìn)而勾股定理求得，即，整理后即可得出函數(shù)關(guān)系式；（2）若為圖像上任意一點，則．設(shè)關(guān)于原點的對稱點為，則．當(dāng)時，可求得．則也在的圖像上，即可得證，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)補(bǔ)全函數(shù)圖象即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)圖象，以及中心對稱的性質(zhì)，逐項分析判斷即可求解；（4）將（1）中的4換成，即可求解；根據(jù)（2）的圖象探究此類函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）在矩形中，，∴．∵，∴，∴．∴．∴，∴．∵，點是的中點，∴．在中，，∴．∴．∴關(guān)于的表達(dá)式為：．（2）取任意實數(shù)時，對應(yīng)的函數(shù)圖像關(guān)于原點成中心對稱．理由如下：若為圖像上任意一點，則．設(shè)關(guān)于原點的對稱點為，則．當(dāng)時，．∴也在的圖像上．∴當(dāng)取任意實數(shù)時，的圖像關(guān)于原點對稱．函數(shù)圖像如圖所示．

（3）根據(jù)函數(shù)圖象可得①函數(shù)值隨的增大而增大，故①正確，②由(1)可得函數(shù)值，故函數(shù)值的范圍為，故②錯誤；③根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，不存在一條直線與該函數(shù)圖像有四個交點，故③錯誤；④因為平行四邊形是中心對稱圖形，則在圖像上存在四點，使得四邊形是平行四邊形，故④正確；故答案為：①④．（4）關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式為；當(dāng)取任意實數(shù)時，有如下相關(guān)性質(zhì)：當(dāng)時，圖像經(jīng)過第一、三象限，函數(shù)值隨的增大而增大，的取值范圍為；當(dāng)時，圖像經(jīng)過第二、四象限，函數(shù)值隨的增大而減小，的取值范圍為；函數(shù)圖像經(jīng)過原點；函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱；8．（2023·淮安·中考真題）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）．(1)該函數(shù)圖像與軸交于兩點，若點坐標(biāo)為，①則的值是_________，點的坐標(biāo)是_________；②當(dāng)時，借助圖像，求自變量的取值范圍；(2)對于一切實數(shù)，若函數(shù)值總成立，求的取值范圍（用含的式子表示）；(3)當(dāng)時（其中為實數(shù)，），自變量的取值范圍是，求和的值以及的取值范圍．【答案】(1)①②或(2)(3)【分析】（1）①待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，令，求出點的坐標(biāo)即可；②畫出函數(shù)圖像，圖像法求出的取值范圍即可；（2）求出二次函數(shù)的最小值，即可得解；（3）根據(jù)當(dāng)時（其中為實數(shù)，），自變量的取值范圍是，得到和關(guān)于對稱軸對稱，進(jìn)而求出的值，得到為的函數(shù)值，求出，推出直線過拋物線頂點或在拋物線的下方，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①∵函數(shù)圖像與軸交于兩點，點坐標(biāo)為，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，，∴，∴點的坐標(biāo)是；故答案為：；②，列表如下：1345005畫出函數(shù)圖像如下：

由圖可知：當(dāng)時，或；（2）∵，∴當(dāng)時，有最小值為；∵對于一切實數(shù)，若函數(shù)值總成立，∴；（3）∵，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，又當(dāng)時（其中為實數(shù)，），自變量的取值范圍是，∴直線與拋物線的兩個交點為，直線在拋物線的下方，∴關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴，∴，∴，當(dāng)時，有最小值，∴．

9．（2023·鹽城·中考真題）定義：若一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象有兩個交點，并且都在坐標(biāo)軸上，則稱二次函數(shù)為一次函數(shù)的軸點函數(shù)．【初步理解】（1）現(xiàn)有以下兩個函數(shù)：①；②，其中，_________為函數(shù)的軸點函數(shù)．（填序號）【嘗試應(yīng)用】（2）函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸交于點，其軸點函數(shù)與軸的另一交點為點.若，求的值．【拓展延伸】（3）如圖，函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象與軸、軸分別交于，兩點，在軸的正半軸上取一點，使得.以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形.若函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點函數(shù)的頂點在矩形的邊上，求的值．【答案】（1）①；（2）或；（3）或或【分析】（1）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，再判斷這兩個點在不在二次函數(shù)圖象上即可；（2）求出函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，再由求出點坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式計算即可；（3）先求出，的坐標(biāo)，再根據(jù)的頂點在矩形的邊上分類討論即可．【詳解】（1）函數(shù)交軸于，交軸于，∵點、都在函數(shù)圖象上∴①為函數(shù)的軸點函數(shù)；∵點不在函數(shù)圖象上∴②不是函數(shù)的軸點函數(shù)；故答案為：①；（2）函數(shù)交軸于，交軸于，∵函數(shù)的軸點函數(shù)∴和都在上，∵∴∵，∴∴或當(dāng)時，把代入得，解得，當(dāng)時，把代入得，解得，綜上，或；（3）函數(shù)交軸于，交軸于，∵，以線段的長度為長、線段的長度為寬，在軸的上方作矩形∴，，,∵函數(shù)（為常數(shù)，）的軸點函數(shù)∴和在上∴，整理得∴∴的頂點坐標(biāo)為，∵函數(shù)的頂點在矩形的邊上∴可以分三種情況討論：當(dāng)與重合時；當(dāng)在上時；當(dāng)在上時；當(dāng)與重合時，即，解得；當(dāng)在上時，，整理得，解得此時二次函數(shù)開口向下，則∴整理得：，由整理得，∴解得，∴，當(dāng)在上時，，整理得，解得∴此時對稱軸左邊y隨x的增大而增大，∴∴整理得：∴代入、后成立∴，綜上所述，或或10．（2023·揚州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A在y軸正半軸上．

(1)如果四個點中恰有三個點在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上．①________；②如圖1，已知菱形的頂點B、C、D在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；③如圖2，已知正方形的頂點B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值．如果是，求出這個值；如果不是，請說明理由．(2)已知正方形的頂點B、D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點B在點D的左側(cè)，設(shè)點B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，直接寫出m、n滿足的等量關(guān)系式．【答案】(1)①1；②；③是，值為1(2)或【分析】（1）①當(dāng)，，可知不在二次函數(shù)圖象上，將代入，求解值即可；②由①知，二次函數(shù)解析式為，設(shè)菱形的邊長為，則，，由菱形的性質(zhì)得，，，則軸，，根據(jù)，即，計算求出滿足要求的解即可；③如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點，，，則，證明，則，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，計算求解即可1；（2）由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時，②當(dāng)在軸左側(cè)時，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，三種情況求解；①當(dāng)在軸右側(cè)時，，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，，，，，則，，即，解得；②當(dāng)在軸左側(cè)時，求解過程同（2）①；③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且不垂直于軸時，同理可求，當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且垂直于軸時，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，．【詳解】（1）①解：當(dāng)，，∴不在二次函數(shù)圖象上，將代入，解得，故答案為：1；②解：由①知，二次函數(shù)解析式為，設(shè)菱形的邊長為，則，，由菱形的性質(zhì)得，，，∴軸，∴，∵，∴，解得（舍去），（舍去），，∴菱形的邊長為；③解：如圖2，連接、交點為，過作軸于，過作于，

由正方形的性質(zhì)可知，為、的中點，，，∴，∴，∵，，，∴，∴，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，∴，，，，∴，，∴，∵點B、D在y軸的同側(cè)，且點B在點D的左側(cè)，∴，∴，∴是定值，值為1；（2）解：由題意知，分①當(dāng)在軸右側(cè)時，②當(dāng)在軸左側(cè)時，③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，三種情況求解；①當(dāng)在軸右側(cè)時，∵，同理（1）③，，，由題意知，，，，則，，設(shè)，則，，∴，，，，∴，，∴，化簡得，∵∴；②當(dāng)在軸左側(cè)時，同理可求；③當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且不垂直于軸時，同理可求，當(dāng)在軸左側(cè)，在軸右側(cè)時，且垂直于軸時，由正方形、二次函數(shù)的性質(zhì)可得，；綜上所述，或．11．（2023·鎮(zhèn)江·中考真題）已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為，點B的坐標(biāo)為，點C與點B關(guān)于原點對稱，直線分別與y軸交于點E，F(xiàn)，點F在點E的上方，．

(1)分別求點E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)（用含m，n的代數(shù)式表示），并寫出m的取值范圍．(2)求點B的橫坐標(biāo)m，縱坐標(biāo)n之間的數(shù)量關(guān)系．（用含m的代數(shù)式表示n）(3)將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)，E，F(xiàn)的對應(yīng)點分別是，．當(dāng)線段與點B所在的某個函數(shù)圖象有公共點時，求m的取值范圍．【答案】(1)，，(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)直線與y軸交于E，得到，根據(jù)點C與點B關(guān)于原點對稱，求得，得到，設(shè)直線的解析式為，將，代入得解方程即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)n與m的關(guān)系式為，得到在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當(dāng)在點B所在的函數(shù)圖象上時，解方程得到，根據(jù)線段與點B所在的函數(shù)圖象有公共點，列不等式組即可得到結(jié)論．【詳解】（1）由直線與y軸交于E，得，∵點C與點B關(guān)于原點對稱，，∴，由直線與y軸交于點F，得，即，綜上所述，，設(shè)直線對應(yīng)的一次函數(shù)解析式為，將，代入，得：，解得，∴，同理；由點F在點E上邊知:，且，∴，即；

（2）由題意得，，整理得，；（3）∵n與m的關(guān)系式為，∴在函數(shù)的圖象上，由旋轉(zhuǎn)得，，當(dāng)在點B所在的函數(shù)圖象上時，，解得，∵線段與點B所在的函數(shù)圖象有公共點，∴或，由旋轉(zhuǎn)得，且；∵或．∵，∴或．12．（2023·宿遷·中考真題）規(guī)定：若函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有三個不同的公共點，則稱這兩個函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”，其公共點稱為“兄弟點”．(1)下列三個函數(shù)①；②；③，其中與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是________（填寫序號）；(2)若函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個“兄弟點”的橫坐標(biāo)．①求實數(shù)a的值；②直接寫出另外兩個“兄弟點”的橫坐標(biāo)是________、________；(3)若函數(shù)（m為常數(shù)）與互為“兄弟函數(shù)”，三個“兄弟點”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，求的取值范圍．【答案】(1)②(2)；、(3)【分析】（1）在平面直角坐標(biāo)系中作出；；；圖像，結(jié)合“兄弟函數(shù)”定義即可得到答案；（2）①根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，當(dāng)時，求出值，列方程求解即可得到答案；②聯(lián)立方程組求解即可得到答案；（3）根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，聯(lián)立方程組，分類討論，由，按照討論結(jié)果求解，即可得到答案．【詳解】（1）解：作出；；；圖像，如圖所示：

與圖像有三個不同的公共點，根據(jù)“兄弟函數(shù)”定義，與二次函數(shù)互為“兄弟函數(shù)”的是②，故答案為：②；（2）解：①函數(shù)與互為“兄弟函數(shù)”，是其中一個“兄弟點”的橫坐標(biāo)，，則，解得；②聯(lián)立，即，是其中一個解，因式分解得，則，解得，另外兩個“兄弟點”的橫坐標(biāo)是、；（3）解：在平面直角坐標(biāo)系中作出（m為常數(shù)）與圖像，如圖所示：

聯(lián)立，即，①當(dāng)時，，即，當(dāng)時，；②當(dāng)時，，即，由①中，則，；由圖可知，兩個函數(shù)的交點只能在第二象限，從而，再根據(jù)三個“兄弟點”的橫坐標(biāo)分別為、、，且，，，，，由得到，即．13．（2022·無錫·中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)1(3)，，【分析】（1）二次函數(shù)與y軸交于點，判斷，根據(jù)，即二次函數(shù)對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）證明，得到，即，設(shè)，點D在第一象限，根據(jù)點的坐標(biāo)寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進(jìn)一步得出tan∠CDA的值；（3）根據(jù)題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對應(yīng)點C的坐標(biāo)即可?！驹斀狻浚?）解：∵二次函數(shù)與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數(shù)對稱軸為，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設(shè)：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當(dāng)時，，∴，，∴，∵在中，∴（3）解：存在，如圖，（2）圖中關(guān)于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標(biāo)為，∴此時，點C的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點C、D關(guān)于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當(dāng)點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標(biāo)為，當(dāng)點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標(biāo)為，綜上：點C的坐標(biāo)為，，．14．（2022·常州·中考真題）已知二次函數(shù)的自變量的部分取值和對應(yīng)函數(shù)值如下表：…0123……430…(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)將二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到二次函數(shù)的圖像，使得當(dāng)時，隨增大而增大；當(dāng)時，隨增大而減小，請寫出一個符合條件的二次函數(shù)的表達(dá)式______，實數(shù)的取值范圍是_______；(3)、、是二次函數(shù)的圖像上互不重合的三點．已知點、的橫坐標(biāo)分別是、，點與點關(guān)于該函數(shù)圖像的對稱軸對稱，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)（答案不唯一），(3)∠ACB=45°或135°【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出平移后的二次函數(shù)對稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出，即可得到答案；（3）先分別求出A、B、C三點的坐標(biāo)，然后求出，，然后分四種情況討論求解即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得：，解得，∴二次函數(shù)解析式為；（2）解：∵原二次函數(shù)解析式為由題意得平移后的二次函數(shù)解析式為，∴平移后的二次函數(shù)對稱軸為直線，∵二次函數(shù)的圖像，使得當(dāng)時，隨增大而增大；當(dāng)時，隨增大而減小，且二次函數(shù)的開口向下，∴，∴，∴符合題意的二次函數(shù)解析式可以為；故答案為：（答案不唯一），；（3）解：∵二次函數(shù)解析式為，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線，∵A、C關(guān)于對稱軸對稱，點A的橫坐標(biāo)為m，∴C的橫坐標(biāo)為，∴點A的坐標(biāo)為（m，），點C的坐標(biāo)為（，），∵點B的橫坐標(biāo)為m+1，∴點B的坐標(biāo)為（m+1，），∴，，如圖1所示，當(dāng)A、B同時在對稱軸左側(cè)時，過點B作BE⊥x軸于E，交AC于D，連接BC，∵A、C關(guān)于對稱軸對稱，∴軸，∴，∵，，∴，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，同理當(dāng)AB同時在對稱軸右側(cè)時，也可求得∠ACB=45°，如圖2所示，當(dāng)A在對稱軸左側(cè)，B在對稱軸右側(cè)時，過點B作直線BD垂直于直線AC交直線AC于D，同理可證△BDC為等腰直角三角形，∴∠BCD=45°，∴∠ACB=135°，同理當(dāng)A在對稱軸右側(cè)，B在對稱軸左側(cè)也可求得∠ACB=135°，綜上所述，∠ACB=45°或135°15．（2022·蘇州·中考真題）如圖，在二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，頂點為D．其對稱軸與線段BC交于點E，與x軸交于點F．連接AC，BD．(1)求A，B，C三點的坐標(biāo)（用數(shù)字或含m的式子表示），并求的度數(shù)；(2)若，求m的值；(3)若在第四象限內(nèi)二次函數(shù)（m是常數(shù)，且）的圖像上，始終存在一點P，使得，請結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)A（-1，0）；B（2m+1，0）；C（0，2m+1）；(2)(3)【分析】（1）分別令等于0，即可求得的坐標(biāo)，根據(jù)，即可求得；（2）方法一：如圖1，連接AE．由解析式分別求得，，．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，可得，由，建立方程，解方程即可求解．方法二：如圖2，過點D作交BC于點H．由方法一，得，．證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)建立方程，解方程即可求解；（3）設(shè)PC與x軸交于點Q，當(dāng)P在第四象限時，點Q總在點B的左側(cè)，此時，即．【詳解】（1）當(dāng)時，．解方程，得，．∵點A在點B的左側(cè)，且，∴，．當(dāng)時，．∴．∴．∵，∴．（2）方法一：如圖1，連接AE．∵，∴，．∴，，．∵點A，點B關(guān)于對稱軸對稱，∴．∴．∴．∵，，∴，即．∵，∴．∴．∵，∴解方程，得．方法二：如圖2，過點D作交BC于點H．由方法一，得，．∴．∵，∴，．∴．∵，，∴．∴．∴，即．∵，∴解方程，得．（3）．設(shè)PC與x軸交于點Q，當(dāng)P在第四象限時，點Q總在點B的左側(cè)，此時，即．∵，∴．，，∴．解得，又，∴．16．（2022·南通·中考真題）定義：函數(shù)圖像上到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于的點叫做這個函數(shù)圖像的“n階方點”．例如，點是函數(shù)圖像的“階方點”；點是函數(shù)圖像的“2階方點”．(1)在①；②；③三點中，是反比例函數(shù)圖像的“1階方點”的有___________（填序號）；(2)若y關(guān)于x的一次函數(shù)圖像的“2階方點”有且只有一個，求a的值；(3)若y關(guān)于x的二次函數(shù)圖像的“n階方點”一定存在，請直接寫出n的取值范圍．【答案】(1)②③(2)3或；(3)【分析】（1）根據(jù)“n階方點”的定義逐個判斷即可；（2）如圖作正方形，然后分a＞0和a＜0兩種情況，分別根據(jù)“2階方點”有且只有一個判斷出所經(jīng)過的點的坐標(biāo)，代入坐標(biāo)求出a的值，并舍去不合題意的值即可得；（3）由二次函數(shù)解析式可知其頂點坐標(biāo)在直線y＝－2x＋1上移動，作出簡圖，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)圖象過點（n，－n）和點（－n，n）時為臨界情況，求出此時n的值，由圖象可得n的取值范圍．【詳解】（1）解：∵點到x軸的距離為2，大于1，∴不是反比例函數(shù)圖象的“1階方點”，∵點和點都在反比例函數(shù)的圖象上，且到兩坐標(biāo)軸的距離都不大于1，∴和是反比例函數(shù)圖象的“1階方點”，故答案為：②③；（2）如圖作正方形，四個頂點坐標(biāo)分別為（2，2），（－2，2），（－2，－2），（2，－2），當(dāng)a＞0時，若y關(guān)于x的一次函數(shù)圖象的“2階方點”有且只有一個，則過點（－2，2）或（2，－2），把（－2，2）代入得：，解得：（舍去）；把（2，－2）代入得：，解得：；當(dāng)a＜0時，若y關(guān)于x的一次函數(shù)圖象的“2階方點”有且只有一個，則過點（2，2）或（－2，－2），把（2，2）代入得：，解得：；把（－2，－2）代入得：，解得：（舍去）；綜上，a的值為3或；（3）∵二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為（n，），∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)在直線y＝－2x＋1上移動，∵y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的“n階方點”一定存在，∴二次函數(shù)的圖象與以頂點坐標(biāo)為（n，n），（－n，n），（－n，－n），（n，－n）的正方形有交點，如圖，當(dāng)過點（n，－n）時，將（n，－n）代入得：，解得：，當(dāng)過點（－n，n）時，將（－n，n）代入得：，解得：或（舍去），由圖可知，若y關(guān)于x的二次函數(shù)圖象的“n階方點”一定存在，n的取值范圍為：．17．（2022·連云港·中考真題）已知二次函數(shù)，其中．(1)當(dāng)該函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，求此時函數(shù)圖像的頂點的坐標(biāo)；(2)求證：二次函數(shù)的頂點在第三象限；(3)如圖，在（1）的條件下，若平移該二次函數(shù)的圖像，使其頂點在直線上運動，平移后所得函數(shù)的圖像與軸的負(fù)半軸的交點為，求面積的最大值．【答案】(1)(2)見解析(3)最大值為【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，再將二次函數(shù)解析式化為頂點式即可得到答案；（2）先根據(jù)頂點坐標(biāo)公式求出頂點坐標(biāo)為，然后分別證明頂點坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)都小于0即可；（3）設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點坐標(biāo)為，然后求出點B的坐標(biāo)，根據(jù)平移后的二次函數(shù)頂點在直線上推出，過點作，垂足為，可以推出,由此即可求解．【詳解】（1）解：將代入，解得．由，則符合題意，∴，∴．（2）解：由拋物線頂點坐標(biāo)公式得頂點坐標(biāo)為．∵，∴，∴，∴．∵，∴二次函數(shù)的頂點在第三象限．（3）解：設(shè)平移后圖像對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式為，則其頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，，∴．將代入，解得．∵在軸的負(fù)半軸上，∴．∴．過點作，垂足為，∵，∴．在中，,∴當(dāng)時，此時，面積有最大值，最大值為．18．（2022·淮安·中考真題）如圖（1），二次函數(shù)的圖像與軸交于、兩點，與軸交于點，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，直線經(jīng)過、兩點．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式及其圖像的頂點坐標(biāo)；(2)點為直線上的一點，過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點，再過點作軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點，當(dāng)時，求點的橫坐標(biāo)；(3)如圖（2），點關(guān)于軸的對稱點為點，點為線段上的一個動點，連接，點為線段上一點，且，連接，當(dāng)?shù)闹底钚r，直接寫出的長．【答案】(1)，頂點坐標(biāo)(2)點橫坐標(biāo)為或或或(3)【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)，則，，則，由題意可得方程，求解方程即可；（3）由題意可知Q點在平行于的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點為G，由，求出點，作A點關(guān)于的對稱點，連接與交于點Q，則，利用對稱性和，求出，求出直線的解析式和直線的解析式，聯(lián)立方程組，可求點，再求．【詳解】（1）解：將點，代入∴解得∴∵，∴頂點坐標(biāo)；（2）解：設(shè)直線的解析式為，∴解得∴，設(shè)，則，，∴，，∵，∴，∴或，當(dāng)時，整理得，解得，，當(dāng)時，整理得，解得，，∴點橫坐標(biāo)為或或或；（3）解：∵，點與點關(guān)于軸對稱，∴，令，則，解得或，∴，∴，∵，∴點在平行于的線段上，設(shè)此線段與軸的交點為，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，作點關(guān)于的對稱點，連接與交于點，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，解得，∴，同理可求直線的解析式為，聯(lián)立方程組，解得，∴，∵，∴.19．（2022·鹽城·中考真題）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在練習(xí)簿的橫線上取點為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律．【提出問題】小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖像上．(1)【分析問題】小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗，以圓心為原點，過點的橫線所在直線為軸，過點且垂直于橫線的直線為軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示．當(dāng)所描的點在半徑為5的同心圓上時，其坐標(biāo)為___________．(2)【解決問題】請幫助小明驗證他的猜想是否成立．(3)【深度思考】小明繼續(xù)思考：設(shè)點，為正整數(shù)，以為直徑畫，是否存在所描的點在上．若存在，求的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)或(2)成立，理由見解析(3)存在，4【分析】（1）先畫出圖形，再結(jié)合實際操作可得再利用勾股定理求解AC，BC，從而可得答案；（2）解法1：設(shè)半徑為的圓與直線的交點為．利用勾股定理可得，即，可得，可得上，從而驗證猜想；解法2：設(shè)半徑為的圓與直線交點為，可得，解方程可得．則，再消去，可得，從而驗證猜想；（3）如圖，設(shè)所描的點在上，由，建立方程，整理得結(jié)合，都是正整數(shù)，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，∴∴故答案為：或（2）小明的猜想成立．解法1：如圖，設(shè)半徑為的圓與直線的交點為．因為，所以，即，所以，所以上，小明的猜想成立．解法2：設(shè)半徑為的圓與直線交點為，因為，所以，解得，所以．，消去，得，點在拋物線上，小明的猜想成立．（3）存在所描的點在上，理由：如圖，設(shè)所描的點在上，則，因為，所以，整理得，因為，都是正整數(shù)，所以只有，滿足要求．因此，存在唯一滿足要求的，其值是4．20．（2022·揚州·中考真題）如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標(biāo)系中，底部邊緣在軸上，且dm，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為軸，高度dm．現(xiàn)計劃將此余料進(jìn)行切割：(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長最大，求此矩形的周長；(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為dm的圓，請說明理由．【答案】(1)；(2)20dm；(3)能切得半徑為3dm的圓．【分析】（1）先把二次函數(shù)解析式求出來，設(shè)正方形的邊長為2m，表示在二次函數(shù)上點的坐標(biāo)，代入即可得到關(guān)于m的方程進(jìn)行求解；（2）如詳解2中圖所示，設(shè)矩形落在AB上的邊DE=2n，利用函數(shù)解析式求解F點坐標(biāo)，進(jìn)而表示出矩形的周長求最大值即可；（3）設(shè)半徑為3dm的圓與AB相切，并與拋物線小腳，設(shè)交點為N，求出交點N的坐標(biāo)，并計算點N是與拋物線在y軸右側(cè)的切點即可．【詳解】（1）由題目可知A（-4，0），B（4，0），C（0，8）設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，∵對稱軸為y軸，∴b=0，將A、C代入得，a=，c=8則二次函數(shù)解析式為，如下圖所示,正方形MNPQ即為符合題意得正方形，設(shè)其邊長為2m，則P點坐標(biāo)可以表示為（m，2m）代入二次函數(shù)解析式得，，解得（舍去），∴2m=，則正方形的面積為；（2）如下圖所示矩形DEFG，設(shè)DE=2n，則E（n，0）將x=n代入二次函數(shù)解析式，得，則EF=，矩形DEFG的周長為：2（DE+EF）=2（2n+）=，當(dāng)n=2時，矩形的周長最大，最大周長為20dm；（3）若能切成圓，能切得半徑為3dm的圓，理由如下：如圖，N為上一點，也是拋物線上一點，過點N作的切線交y軸于點Q，連接MN，過點N作NP⊥y軸于P，設(shè)，由勾股定理得：，∴解得：，（舍去），∴，∴∵∴∴設(shè)QN的解析式為：∴∴∴QN的解析式為：與拋物線聯(lián)立為：所以此時N為與拋物線在y軸右側(cè)的唯一公共點，所以若切割成圓，能夠切成半徑為3dm的圓．21．（2022·鎮(zhèn)江·中考真題）一次函數(shù)的圖像與軸交于點，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點、原點和一次函數(shù)圖像上的點．(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于點、（），過點作直線軸于點，過點作直線軸，過點作于點．①_________，_________（分別用含的代數(shù)式表示）；②證明：；(3)如圖2，二次函數(shù)的圖像是由二次函數(shù)的圖像平移后得到的，且與一次函數(shù)的圖像交于點、（點在點的左側(cè)），過點作直線軸，過點作直線軸，設(shè)平移后點、的對應(yīng)點分別為、，過點作于點，過點作于點．①與相等嗎？請說明你的理由；②若，求的值．【答案】(1)(2)①，；②見解析(3)①，理由見解析；②3【分析】（1）通過一次函數(shù)表達(dá)式可以求出A、B兩點坐標(biāo)，將A、B、C三點坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解；（2）①通過聯(lián)立關(guān)系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到的值；②通過A（-2，0），E即可求出AE的長度；通過B，F(xiàn)即可求出BF的長度；（3）①通過二次函數(shù)平移前后的表達(dá)式可以確定新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的，從而可以得到：，．通過聯(lián)立關(guān)系式可得：，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到點P、點Q的橫坐標(biāo)，通過坐標(biāo)即可表示出的長度．②由①可得，求解即可．【詳解】（1）令，則，解得，∴，將點代入中，解得，∴點的坐標(biāo)為．將，，代入可得：，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．（2）①∵一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像交于點、（），∴聯(lián)立關(guān)系式得：，整理得：，解得：，，故答案為：，；②當(dāng)時，位于的上方，∵、，∴，，∴，當(dāng)時，位于的下方，同理可證．故可得：；（3）方法一：①∵二次函數(shù)圖像的頂點為，二次函數(shù)的圖像的頂點為，∴新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的．∴的對應(yīng)點為，的對應(yīng)點為，聯(lián)立關(guān)系式可得：，整理得：，，當(dāng)時，解得：，，∴，，∴．②∵，．∴，∴，解得:．方法二：①設(shè)、平移前的對應(yīng)點分別為、，則．則，∵、平移前的對應(yīng)點分別為、，由（2）②及平移的性質(zhì)可知，．②∵，∴，∵到軸的距離為，點是軸與二次函數(shù)的圖像的交點，∴平移后點的對應(yīng)點即為點．∵二次函數(shù)圖像的頂點為，二次函數(shù)的圖像的頂點為，∴新二次函數(shù)的圖像是由原二次函數(shù)的圖像向右平移個單位，向上平移3個單位得到的．∴，將點的坐標(biāo)代入中，解得．另解：∵，∴，的對應(yīng)點為．∵，∴點的橫坐標(biāo)為，代入，得．∴．將點的坐標(biāo)代入中，解得．22．（2022·宿遷·中考真題）如圖，二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，頂點為，連接、，若點是線段上一動點，連接，將沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，且點與、點不重合．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)①求證：；②求；(3)當(dāng)時，求直線與二次函數(shù)的交點橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①證明見解析，②(3)或．【分析】（1）二次函數(shù)與軸交于(0，0)，A(4，0)兩點，代入求得b，c的值，即可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①由＝，得到頂點C的坐標(biāo)是（2，﹣2），拋物線和對稱軸為直線x＝2，由拋物線的對稱性可知OC＝AC，得到∠CAB＝∠COD，由折疊的性質(zhì)得到△ABC≌△BC，得∠CAB＝∠，AB＝B，進(jìn)一步得到∠COD＝∠，由對頂角相等得∠ODC＝∠BD，證得結(jié)論；②由，得到，設(shè)點D的坐標(biāo)為（d，0），DC＝，在0＜d＜4的范圍內(nèi)，當(dāng)d＝2時，DC有最小值為，得到的最小值，進(jìn)一步得到的最小值；（3）由和得到，求得B＝AB＝1，進(jìn)一步得到點B的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，把點B（3，0），C（2，﹣2）代入求出直線BC的解析式為y＝2x－6，設(shè)點的坐標(biāo)是（p，q），則線段A的中點為（，），由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，求得q＝2p－4，由兩點間距離公式得B＝，解得p＝2或p＝，求得點的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為y＝x＋，由待定系數(shù)法求得直線的解析式為y＝x＋4，聯(lián)立直線和拋物線，解方程組即可得到答案．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，∴代入(0，0)，(4，0)得，，解得：，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）①證明：∵＝，∴頂點C的坐標(biāo)是（2，﹣2），拋物線的對稱軸為直線x＝2，∵二次函數(shù)與軸交于(0，0)，(4，0)兩點，∴由拋物線的對稱性可知OC＝AC，∴∠CAB＝∠COD，∵沿折疊后，點落在點的位置，線段與軸交于點，∴△ABC≌△BC，∴∠CAB＝∠，AB＝B，∴∠COD＝∠，∵∠ODC＝∠BD，∴；②∵，∴，設(shè)點D的坐標(biāo)為（d，0），DC＝，∵點與、點不重合，∴0＜d＜4，對于＝來說，∵a＝1＞0，∴拋物線開口向上，在頂點處取最小值，當(dāng)d＝2時，的最小值是4，∴當(dāng)d＝2時，DC有最小值為，OC＝，∴有最小值為，∴的最小值為；（3）解：∵，∴，∵，∴，∵OC＝2，∴B＝AB＝1，∴點B的坐標(biāo)是（3，0），設(shè)直線BC的解析式為y＝x＋，把點B（3，0），C（2，﹣2）代入得，解得，∴直線BC的解析式為y＝2x－6，設(shè)點的坐標(biāo)是（p，q），∴線段A的中點為（，），由折疊的性質(zhì)知點（，）在直線BC上，∴＝2×－6，解得q＝2p－4，B＝，整理得＝1，解得p＝2或p＝，當(dāng)p＝2時，q＝2p－4＝0，此時點（2，0），很顯然不符合題意，當(dāng)p＝時，q＝2p－4＝，此時點（，），符合題意，設(shè)直線的解析式為y＝x＋，把點B（3，0），（，）代入得，，解得，∴直線的解析式為y＝x＋4，聯(lián)立直線和拋物線得到，，解得，，∴直線與二次函數(shù)的交點橫坐標(biāo)為或．23．（2021·南京·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點．（1）求b的值．（2）當(dāng)時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是________．（3）設(shè)是該函數(shù)的圖像與x軸的一個公共點，當(dāng)時，結(jié)合函數(shù)的圖像，直接寫出a的取值范圍．【答案】（1）；（2）1；（3）或．【分析】（1）將點代入求解即可得；（2）先求出二次函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)，再利用完全平方公式、不等式的性質(zhì)求解即可得；（3）分和兩種情況，再畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象建立不等式組，解不等式組即可得．【詳解】解：（1）將點代入得：，兩式相減得：，解得；（2）由題意得：，由（1）得：，則此函數(shù)的頂點的縱坐標(biāo)為，將點代入得：，解得，則，下面證明對于任意的兩個正數(shù)，都有，，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），當(dāng)時，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立），即，故當(dāng)時，該函數(shù)的圖像的頂點的縱坐標(biāo)的最小值是1；（3）由得：，則二次函數(shù)的解析式為，由題意，分以下兩種情況：①如圖，當(dāng)時，則當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，解得；②如圖，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解得，綜上，的取值范圍為或．24．（2021·無錫·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交于點F，交二次函數(shù)的圖象于點E．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段的長度；（3）已知點N是y軸上的點，若點N、F關(guān)于直線對稱，求點N的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為：；（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，∴OB=OC，∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，∴以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，∴EF=-(-m+3)=，CF=，∴或，∴或（舍去）或或（舍去），∴EF==或；（3）∵l∥y軸，點N是y軸上的點，∴∠EFC=∠NCG，∵點N、F關(guān)于直線對稱，∴∠CNE=∠EFC，∴∠CNE=∠NCG，∴NE∥FC，∴四邊形NCFE是平行四邊形，∵點N、F關(guān)于直線對稱，∴∠NCE=∠FCE，∵l∥y軸，∴∠NCE=∠FEC，∴∠FCE=∠FEC，∴FE=FC，∴=，解得：或（舍去），∴CN=EF=，∴ON=+3=，∴N(0，)．25．（2021·徐州·中考真題）如圖，點在函數(shù)的圖像上．已知的橫坐標(biāo)分別為－2、4，直線與軸交于點，連接．（1）求直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求的面積；（3）若函數(shù)的圖像上存在點，使得的面積等于的面積的一半，則這樣的點共有___________個．【答案】（1）直線AB的解析式為：；（2）6；（3）4【分析】（1）將的橫坐標(biāo)分別代入求出生意人y的值，得到A，B點坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；（2）求出OC的長，根據(jù)“”求解即可；（3）分點P在直線AB的上方和下方兩種情況根據(jù)分割法求解即可．【詳解】解：（1）∵A，B是拋物線上的兩點，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，∴點A的坐標(biāo)為（-2，1），點B的坐標(biāo)為（4，4）設(shè)直線AB的解析式為，把A，B點坐標(biāo)代入得解得，所以，直線AB的解析式為：；（2）對于直線AB：當(dāng)時，∴∴==6（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（，）∵的面積等于的面積的一半，∴的面積等于=3，①當(dāng)點P在直線AB的下方時，過點A作AD⊥x軸，過點P作PF⊥x軸，過點B作BE⊥x軸，垂足分別為D，F(xiàn)，E，連接PA，PB，如圖，∵∴整理，得，解得，，∴在直線AB的下方有兩個點P，使得的面積等于的面積的一半；②當(dāng)點P在直線AB的上方時，過點A作AD⊥x軸，過點P作PF⊥x軸，過點B作BE⊥x軸，垂足分別為D，F(xiàn)，E，連接PA，PB，如圖，∵∴整理，得，解得，，∴在直線AB的上方有兩個點P，使得的面積等于的面積的一半；綜上，函數(shù)的圖像上存在點，使得的面積等于的面積的一半，則這樣的點共有4個，故答案為：4．26．（2021·常州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像都經(jīng)過點和點B，過點A作的垂線交x軸于點C．D是線段上一點（點D與點A、O、B不重合），E是射線上一點，且，連接，過點D作x軸的垂線交拋物線于點F，以、為鄰邊作．（1）填空：________，________；（2）設(shè)點D的橫坐標(biāo)是，連接．若，求t的值；（3）過點F作的垂線交線段于點P．若，求的長．【答案】（1），1；（2）；（3）【分析】（1）把分別代入一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式，即可求解；（2）先證明EF=ED，結(jié)合D(t，)，F(xiàn)(t，)，可得點E的縱坐標(biāo)為：，過點A作AM⊥EG，延長GE交x軸于點N，由，從而得，進(jìn)而即可求解；（3）先推出，由FP∥AC，得，結(jié)合，可得DA==，結(jié)合DA+OD=5，列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）把代入得：，解得：，把代入得：，解得：b=1，故答案是：，1；（2）∵在中，，∵，∴=，∴EF=ED，∵設(shè)點D的橫坐標(biāo)是，則D(t，)，F(xiàn)(t，)，∴點E的縱坐標(biāo)為：（）÷2=，聯(lián)立，解得：或，∴A(4，3)，∴過點A作AM⊥EG，延長GE交x軸于點N，則∠AEM=∠NEC=∠AOC，∴，又∵=，∴，解得：（舍去）或，∴；（3）當(dāng)時，則，∵⊥FP，AB⊥AC，∴FP∥AC，∴，∵∠FDQ=∠ODH，∴，又∵DF=-=，∴DQ=，∴DA==，∵DA+OD=5，∴+=5，解得：或（舍去），∴OD==．27．（2021·蘇州·中考真題）如圖，二次函數(shù)（是實數(shù)，且）的圖像與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），其對稱軸與軸交于點，已知點位于第一象限，且在對稱軸上，，點在軸的正半軸上，．連接并延長交軸于點，連接．（1）求、、三點的坐標(biāo)（用數(shù)字或含的式子表示）；（2）已知點在拋物線的對稱軸上，當(dāng)?shù)闹荛L的最小值等于，求的值．【答案】（1），，；（2）【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐標(biāo)，再求解函數(shù)的對稱軸，可得的坐標(biāo)；（2）先證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解，利用三角形的中位線定理再求解．再利用勾股定理求解，如圖，當(dāng)點、、三點共線時，的長最小，此時的周長最?。傻茫倮霉垂啥ɡ砹蟹匠?，解方程可得答案．【詳解】解：（1）令則，∴，，∴對稱軸為直線，∴．（2）在中，，，，．．∵軸，軸，∴．∵，∴．∴．在中，，∴，即．（負(fù)根舍去）∵點與點關(guān)于對稱軸對稱，∴．∴如圖，當(dāng)點、、三點共線時，的長最小，此時的周長最?。嗟闹荛L的最小值為，∴的長最小值為，即．∵，∴．∴．∵，∴．28．（2021·南通·中考真題）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數(shù)的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)的圖象的“等值點”分別為點A，B，過點B作軸，垂足為C．當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求b的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；函數(shù)的“等值點”為(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【分析】（1）根據(jù)定義分別求解即可求得答案；（2）根據(jù)定義分別求A(，)，B(，)，利用三角形面積公式列出方程求解即可；（3）由記函數(shù)y=x2-2（x≥m）的圖象為W1，將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2，可得W1與W2的圖象關(guān)于x=m對稱，然后根據(jù)定義分類討論即可求得答案．【詳解】解：（1）∵函數(shù)y=x+2，令y=x，則x+2=x，無解，∴函數(shù)y=x+2沒有“等值點”；∵函數(shù)，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點”為(0，0)，(2，2)；（2）∵函數(shù)，令y=x，則，解得：(負(fù)值已舍)，∴函數(shù)的“等值點”為A(，)；∵函數(shù)，令y=x，則，解得：，∴函數(shù)的“等值點”為B(，)；的面積為，即，解得：或；（3）將W1沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為W2．∴W1與W2兩部分組成的函數(shù)W的圖象關(guān)于對稱，∴函數(shù)W的解析式為，令y=x，則，即，解得：，∴函數(shù)的“等值點”為(-1，-1)，(2，2)；令y=x，則，即，當(dāng)時，函數(shù)W的圖象不存在恰有2個“等值點”的情況；當(dāng)時，觀察圖象，恰有2個“等值點”；當(dāng)時，∵W1的圖象上恰有2個“等值點”(-1，-1)，(2，2)，∴函數(shù)W2沒有“等值點”，∴，整理得：，解得：．綜上，m的取值范圍為或．29．（2021·連云港·中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，已知．（1）求m的值和直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）P為拋物線上一點，若，請直接寫出點P的坐標(biāo)；（3）Q為拋物線上一點，若，求點Q的坐標(biāo)．【答案】（1），；（2），，；（3）【分析】（1）求出A，B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法計算即可；（2）做點A關(guān)于BC的平行線，聯(lián)立直線與拋物線的表達(dá)式可求出的坐標(biāo)，設(shè)出直線與y軸的交點為G，將直線BC向下平移，平移的距離為GC的長度，可得到直線，聯(lián)立方程組即可求出P；（3）取點，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作于點，得直線對應(yīng)的表達(dá)式為，即可求出結(jié)果；【詳解】（1）將代入，化簡得，則（舍）或，∴，得：，則．設(shè)直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將、代入可得，解得，則直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為．（2）如圖，過點A作∥BC，設(shè)直線與y軸的交點為G，將直線BC向下平移GC個單位，得到直線，由（1）得直線BC的解析式為，，∴直線AG的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：（舍），或，∴，由直線AG的表達(dá)式可得，∴，，∴直線的表達(dá)式為，聯(lián)立，解得：，，∴，，∴，，．（3）如圖，取點，連接，過點作于點，過點作軸于點，過點作于點，∵，∴AD=CD，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，則，．設(shè)，∵，，∴．由，則，即，解之得，．所以，又，可得直線對應(yīng)的表達(dá)式為，設(shè)，代入，得，，，又，則．所以．30．（2021·淮安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A（﹣3，0）和點B（5，0），頂點為點D，動點M、Q在x軸上（點M在點Q的左側(cè)），在x軸下方作矩形MNPQ，其中MQ＝3，MN＝2．矩形MNPQ沿x軸以每秒1個單位長度的速度向右勻速運動，運動開始時，點M的坐標(biāo)為（﹣6，0），當(dāng)點M與點B重合時停止運動，設(shè)運動的時間為t秒（t＞0）．（1）b＝，c＝．（2）連接BD，求直線BD的函數(shù)表達(dá)式．（3）在矩形MNPQ運動的過程中，MN所在直線與該二次函數(shù)的圖象交于點G，PQ所在直線與直線BD交于點H，是否存在某一時刻，使得以G、M、H、Q為頂點的四邊形是面積小于10的平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．（4）連接PD，過點P作PD的垂線交y軸于點R，直接寫出在矩形MNPQ整個運動過程中點R運動的路徑長．【答案】（1），；（2）y＝x﹣5；（3）存在，t＝5或t＝5＋；（4）【分析】（1）把代入，列方程組求出b，c的值；（2）將拋物線的函數(shù)表達(dá)式由一般式配成頂點式，求出頂點D的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線BD的函數(shù)表達(dá)式；（3）先由，且，確定t的取值范圍，再用含t的代數(shù)式分別表示點G、點H的坐標(biāo)，由列方程求出t的值；（4）過點P作直線的垂線，垂足為點F，交y軸于點G，由，確定點R的最低點和最高點的坐標(biāo)，再求出點R運動的路徑長．【詳解】解：（1）把代入，得，解得，故答案為：，．（2）∵，∴該拋物線的頂點坐標(biāo)為；設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為，則，解得，∴．（3）存在，如圖1、圖2．由題意得，，∴，；∵，且，∴，解得＜t＜，且；∵，∴當(dāng)時，以為頂點的四邊形是平行四邊形，∴；由，解得，（不符合題意，舍去）；由，解得，（不符合題意，舍去），綜上所述，或．（4）由（2）得，拋物線的對稱軸為直線，過點P作直線的垂線，垂足為點F，交y軸于點G，如圖3，點Q在y軸左側(cè)，此時點R在點G的上方，當(dāng)點M的坐標(biāo)為（﹣6，0）時，點R的位置最高，此時點Q與點A重合，∵，∴，∴，∴＝＝6，∴R（0，4）；如圖4，為原圖象的局部入大圖，當(dāng)點Q在y軸右側(cè)且在直線左側(cè)，此時點R的最低位置在點G下方，由，得，，∴GR＝；設(shè)點Q的坐標(biāo)為（r，0）（0＜r＜1），則P（r，﹣2），∴GR＝＝r2＋r＝，∴當(dāng)r＝時，GR的最小值為，∴R（0，）；如圖5，為原圖象的縮小圖，當(dāng)點Q在直線右側(cè)，則點R在點G的上方，當(dāng)點M與點B重合時，點R的位置最高，由，得，，∴GR＝＝＝28，∴R（0，26），∴，∴點R運動路徑的長為．31．（2021·鹽城·中考真題）學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)之后，小明知道，將點繞著某定點順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，能得到一個新的點．經(jīng)過進(jìn)一步探究，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)上述點在某函數(shù)圖像上運動時，點也隨之運動，并且點的運動軌跡能形成一個新的圖形．試根據(jù)下列各題中所給的定點的坐標(biāo)和角度的大小來解決相關(guān)問題．

【初步感知】如圖1，設(shè)，，點是一次函數(shù)圖像上的動點，已知該一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點．（1）點旋轉(zhuǎn)后，得到的點的坐標(biāo)為________；（2）若點的運動軌跡經(jīng)過點，求原一次函數(shù)的表達(dá)式．【深入感悟】（3）如圖2，設(shè)，，點反比例函數(shù)的圖像上的動點，過點作二、四象限角平分線的垂線，垂足為，求的面積．【靈活運用】（4）如圖3，設(shè)A，，點是二次函數(shù)圖像上的動點，已知點、，試探究的面積是否有最小值？若有，求出該最小值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在最小值，【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得，觀察點和在同一直線上即可直接得出結(jié)果．（2）根據(jù)題意得出的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出原一次函數(shù)表達(dá)式即可．（3）先根據(jù)計算出交點坐標(biāo)，再分類討論①當(dāng)時，先證明再計算面積．②當(dāng)-時，證，再計算即可．（4）先證明為等邊三角形，再證明，根據(jù)在中，，寫出，從而得出的函數(shù)表達(dá)式，當(dāng)直線與拋物線相切時取最小值，得出，由計算得出的面積最小值．【詳解】（1）由題意可得:∴的坐標(biāo)為故答案為：；（2）∵，由題意得坐標(biāo)為∵，在原一次函數(shù)上，∴設(shè)原一次函數(shù)解析式為則∴∴原一次函數(shù)表達(dá)式為；（3）設(shè)雙曲線與二、四象限平分線交于點，則解得①當(dāng)時作軸于∵∴∵∴∴在和中∴即；②當(dāng)-時作于軸于點∵∴∴∴∴在和中∴∴；（4）連接，，將，繞逆時針旋轉(zhuǎn)得，，作軸于∵，∴∴∴為等邊三角形，此時與重合，即連接，∵∴∴在和中∴∴，∴作軸于在中，∴∴，即，此時的函數(shù)表達(dá)式為：設(shè)過且與平行的直線解析式為∵∴當(dāng)直線與拋物線相切時取最小值則即∴當(dāng)時，得∴設(shè)與軸交于點∵∴32．（2021·鎮(zhèn)江·中考真題）將一張三角形紙片A