章末驗(yàn)收評(píng)價(jià)（二）

章末驗(yàn)收評(píng)價(jià)（二）A卷——基本知能盤查(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．如果一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為S＝2t3(位移單位：米；時(shí)間單位：秒)，則該質(zhì)點(diǎn)在t＝3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為()A．6米/秒 B．18米/秒C．54米/秒 D．81米/秒解析：選C由S＝2t3得S′＝6t2，則S′(3)＝6×32＝54，所以該質(zhì)點(diǎn)在t＝3秒時(shí)的瞬時(shí)速度為54米/秒．故選C.2．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋b的圖象開口向下，lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝4，則a等于()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．2 D．－2解析：選B由題意知，f′(x)＝2ax，由導(dǎo)數(shù)的定義可知lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fa＋Δx－fa,Δx)＝f′(a)＝2a2＝4，解得a＝±eq\r(2).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象開口向下，所以a<0，所以a＝－eq\r(2).3.如圖是導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則下列說法錯(cuò)誤的是()A．(－1,3)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間B．(3,5)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間C．函數(shù)y＝f(x)在x＝0處取得極大值D．函數(shù)y＝f(x)在x＝5處取得極小值解析：選C由題圖，可知當(dāng)x<－1或3<x<5時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x>5或－1<x<3時(shí)，f′(x)>0，所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3,5)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,3)，(5，＋∞)，所以函數(shù)y＝f(x)在x＝－1，x＝5處取得極小值，在x＝3處取得極大值，故選項(xiàng)C說法錯(cuò)誤．4．函數(shù)f(x)＝x2－2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(0，＋∞) D．(2，＋∞)解析：選A函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2x－eq\f(2,x)＝eq\f(2x＋1x－1,x)，令f′(x)>0，解得x>1，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，故選A.5．若函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2,x－1)(x>1)有最大值－4，則實(shí)數(shù)a的值是()A．1 B．－1C．4 D．－4解析：選B由函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2,x－1)(x>1)，則f′(x)＝eq\f(2axx－1－ax2,x－12)＝eq\f(axx－2,x－12).要使得函數(shù)f(x)有最大值－4，則a<0，則當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(2，＋∞)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，即f(x)max＝f(2)＝eq\f(4a,2－1)＝－4，解得a＝－1，滿足題意，故選B.6．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,ax)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．(－∞，0)∪(0,1]C．(0,1] D．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：選D由題意知f′(x)＝1－eq\f(1,ax2)，由于f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即eq\f(1,a)≤x2在(－∞，－1)上恒成立．當(dāng)x<－1時(shí)，x2>1，則有eq\f(1,a)≤1，解得a≥1或a<0.故選D.7．若函數(shù)f(x)＝x3－3bx＋3在(－1,2)內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A．(0,4) B．[0,4)C．[1,4) D．(1,4)解析：選Af′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1,2)內(nèi)有極值，∴f′(x)在(－1,2)內(nèi)有變號(hào)零點(diǎn)，∴0<b<4.當(dāng)b＝0時(shí)，f(x)＝x3＋3在R上單調(diào)遞增，沒有極值．故選A.8．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，則a等于()A.eq\r(3)－1 B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,3) D.eq\r(3)＋1解析：選A由題意得f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,x2＋a2)＝eq\f(－x－\r(a)x＋\r(a),x2＋a2)(x>0)，所以當(dāng)0<x<eq\r(a)時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>eq\r(a)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．①當(dāng)eq\r(a)>1，即a>1時(shí)，f(x)在[1，eq\r(a))上單調(diào)遞增，在(eq\r(a)，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)max＝f(eq\r(a))＝eq\f(\r(a),\r(a)2＋a)＝eq\f(1,2\r(a)).令eq\f(1,2\r(a))＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝eq\f(3,4)，不合題意；②當(dāng)0＜eq\r(a)≤1，即0＜a≤1時(shí)，f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞減，故f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a).令eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3)，解得a＝eq\r(3)－1.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．下列函數(shù)求導(dǎo)運(yùn)算正確的為()A．(3x)′＝3xlog3e B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2)C．(ex)′＝ex D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)))′＝x解析：選BCA．(3x)′＝3xln3，故錯(cuò)誤；B.(log2x)′＝eq\f(1,xln2)，故正確；C.(ex)′＝ex，故正確；D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lnx)))′＝－eq\f(1,x·ln2x)，故錯(cuò)誤．故選B、C.10．設(shè)f(x)在x0處可導(dǎo)，下列式子中與f′(x0)相等的是()A.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－2Δx,2Δx)B.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,Δx)C.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0＋Δx,Δx)D.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－2Δx,Δx)解析：選ACA.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－fx0－2Δx,2Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－2Δx＋2Δx－fx0－2Δx,2Δx)＝f′(x0)．B.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,Δx)＝2eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx＋2Δx－fx0－Δx,2Δx)＝2f′(x0)．C.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0＋Δx,Δx)＝f′(x0)．D.eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－2Δx,Δx)＝3eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－2Δx＋3Δx－fx0－2Δx,3Δx)＝3f′(x0)．故選A、C.11．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()A．f(x)＝2x B．f(x)＝sinx－xC．f(x)＝e－x－ex D．f(x)＝－x|x|解析：選BCD對(duì)于A，f(x)＝2x既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，且單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝sin(－x)＋x＝－(sinx－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，又f′(x)＝cosx－1≤0恒成立，故f(x)是減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝ex－e－x＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，∵f′(x)＝－e－x－ex<0，故f(x)是減函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，f(x)的定義域?yàn)镽，且f(－x)＝x|－x|＝x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，又f(x)＝－x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,－x2，x≥0))是減函數(shù)，故D正確．故選B、C、D.12．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖，則下列敘述正確的是()A．函數(shù)f(x)在(－∞，－4)上單調(diào)遞減B．函數(shù)f(x)在x＝2處取得極大值C．函數(shù)f(x)在x＝－4處取得極值D．函數(shù)f(x)只有一個(gè)極值點(diǎn)解析：選BD由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得，當(dāng)x≤2時(shí)，f′(x)≥0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2，＋∞)，故A錯(cuò)誤．當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)取得極大值，故B正確．當(dāng)x＝－4時(shí)函數(shù)無極值，故C錯(cuò)誤．只有當(dāng)x＝2時(shí)函數(shù)取得極大值，故D正確，故選B、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．(2020·全國卷Ⅲ)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x＋a).若f′(1)＝eq\f(e,4)，則a＝________.解析：由于f′(x)＝eq\f(exx＋a－ex,x＋a2)，故f′(1)＝eq\f(ea,1＋a2)＝eq\f(e,4)，解得a＝1.答案：114．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)．若f′(x)是偶函數(shù)，則a＝________，曲線y＝f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為________．解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3為偶函數(shù)，∴a＝0，∴f′(x)＝3x2－3，f′(0)＝－3，∴所求切線方程為y＝－3x.答案：0y＝－3x15．某公司需要一年購買某種貨物共400噸，每次都購買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬元/次，一年的總儲(chǔ)存費(fèi)為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存費(fèi)用之和最小，則x應(yīng)為________噸．解析：設(shè)該公司一年內(nèi)總共購買n次貨物，則n＝eq\f(400,x)，∴總運(yùn)費(fèi)與總儲(chǔ)存費(fèi)之和f(x)＝4n＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x.令f′(x)＝4－eq\f(1600,x2)＝0，解得x＝20，x＝－20(舍去)．經(jīng)檢驗(yàn)可知，x＝20是函數(shù)f(x)的最小值，故當(dāng)每次購買20噸時(shí)，總費(fèi)用之和最?。鸢福?016．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R，若任意兩個(gè)不相等正數(shù)a，b，都有eq\f(fb－fa,b－a)<1恒成立，則m的取值范圍是________．解析：不妨設(shè)b>a>0，原式恒成立等價(jià)于f(b)－b<f(a)－a恒成立，設(shè)h(x)＝f(x)－x＝lnx＋eq\f(m,x)－x(x>0)，則h(b)<h(a)，故h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．所以h′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(m,x2)－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，則m≥－x2＋x＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)(x>0)恒成立，所以m≥eq\f(1,4).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞))四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知點(diǎn)M是曲線y＝eq\f(1,3)x3－2x2＋3x＋1上任意一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)M處的斜率最小的切線方程．解：∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y′min＝－1，此時(shí)y＝eq\f(5,3)，∴斜率最小的切線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,3)))，且斜率k＝－1，∴所求切線方程為3x＋3y－11＝0.18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(lnx＋k,ex)(k為常數(shù)，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與x軸平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)由題意得f′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－k,ex).又因?yàn)閒′(1)＝eq\f(1－k,e)＝0，故k＝1.(2)由(1)知，f′(x)＝eq\f(\f(1,x)－lnx－1,ex).設(shè)h(x)＝eq\f(1,x)－lnx－1(x>0)，則h′(x)＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)<0，即h(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)．由h(1)＝0知，當(dāng)0<x<1時(shí)，h(x)>0，從而f′(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，h(x)<0，從而f′(x)<0.綜上可知，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，＋∞)．19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3)x3－8x＋8.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[0,3]，求函數(shù)f(x)的最大值與最小值．解：(1)∵函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3)x3－8x＋8，∴f′(x)＝2x2－8＝2(x－2)(x＋2)，由f′(x)>0得x<－2或x>2，由f′(x)<0得－2<x<2，∴函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3)x3－8x＋8的增區(qū)間為(－∞，－2)和(2，＋∞)，減區(qū)間為(－2,2)．(2)∵x∈[0,3]，由(1)可得，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－＋f(x)8單調(diào)遞減－eq\f(8,3)單調(diào)遞增2∴函數(shù)f(x)＝eq\f(2,3)x3－8x＋8的最大值為8，最小值為－eq\f(8,3).20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(a,x)(a>0)．(1)若a＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若以函數(shù)y＝f(x)(x∈(0,3])圖象上任意一點(diǎn)P(x0，y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k≤eq\f(1,2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．解：(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝lnx＋eq\f(1,x)，定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x－1,x2)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝eq\f(x－a,x2)(0<x≤3)，則k＝f′(x0)＝eq\f(x0－a,x\o\al(2,0))≤eq\f(1,2)(0<x0≤3)恒成立，即a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x\o\al(2,0)＋x0))max.當(dāng)x0＝1時(shí)，－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0取得最大值eq\f(1,2)，所以a≥eq\f(1,2)，所以a的最小值為eq\f(1,2).21．(12分)已知函數(shù)f(x)＝lnx.(1)求f(x)的圖象過點(diǎn)P(0，－1)的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－mx＋eq\f(m,x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，求m的取值范圍．解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x).設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，lnx0)，則切線方程為y＝eq\f(1,x0)x＋lnx0－1.把點(diǎn)P(0，－1)代入切線方程，得lnx0＝0，所以x0＝1，所以過點(diǎn)P(0，－1)的切線方程為y＝x－1.(2)因?yàn)間(x)＝f(x)－mx＋eq\f(m,x)＝lnx－mx＋eq\f(m,x)，所以g′(x)＝eq\f(1,x)－m－eq\f(m,x2)＝－eq\f(mx2－x＋m,x2).令h(x)＝mx2－x＋m，要使g(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，則方程mx2－x＋m＝0有兩個(gè)不相等的正數(shù)根x1，x2.故m的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).22．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋9x＋a.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最值；(2)若函數(shù)f(x)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的值．解：(1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＝0可得x＝1或x＝3(舍去)，因?yàn)閤∈[－2,2]，所以當(dāng)x∈[－2,1)時(shí)，f′(x)>0，f(x)在[－2,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f′(x)<0，f(x)在(1,2]上單調(diào)遞減．又因?yàn)閒(1)＝4＋a，f(－2)＝－50＋a，f(2)＝2＋a，所以f(x)min＝－50＋a，f(x)max＝4＋a.(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x.設(shè)g(x)＝－x3＋6x2－9x，則g′(x)＝－3x2＋12x－9，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，列表如下，x(－∞，1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)－0＋0－g(x)極小值－4極大值0所以g(x)的大致圖象如圖所示，要使a＝－x3＋6x2－9x有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，只需直線y＝a與g(x)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，所以a＝－4或a＝0.B卷——高考能力達(dá)標(biāo)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0等于()A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2解析：選B∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋x·eq\f(1,x)＝lnx＋1，∵f′(x0)＝2，∴l(xiāng)nx0＋1＝2，∴x0＝e.故選B.2．設(shè)eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2－Δx,Δx)＝－2，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線的傾斜角是()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,3)C.eq\f(3π,4) D.eq\f(2π,3)解析：選C因?yàn)閑q\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f2＋Δx－f2－Δx,Δx)＝2f′(2)＝－2，所以f′(2)＝－1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線斜率為－1，故所求切線的傾斜角為eq\f(3π,4).故選C.3．函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3處取得極值，則a＝()A．2 B．3C．4 D．5解析：選D∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，又f(x)在x＝－3處取得極值，∴f′(－3)＝30－6a＝0，得a＝5.4.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則不等式(x＋3)f′(x)<0的解集為()A．(－∞，－3)∪(－1,1)B．(－∞，－3)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：選A當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f′(x)>0，解不等式(x＋3)·f′(x)<0，得x<－3.當(dāng)x∈(－1,1)時(shí)，f′(x)<0，解不等式(x＋3)·f′(x)<0，得－1<x<1.當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，不等式(x＋3)·f′(x)<0無解．綜上，不等式(x＋3)f′(x)<0的解集為x∈(－∞，－3)∪(－1,1)，故選A.5．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．[－3，＋∞) B．(－3，＋∞)C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]解析：選D由題意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)隨x的變化情況如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28，所以k≤－3.6．若函數(shù)f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：選B由題意知f′(x)＝ex－a.當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0恒成立，則f(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意．當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)＝0，解得x＝lna，∴當(dāng)x∈(－∞，lna)時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.可知x＝lna為f(x)的極值點(diǎn)，∴l(xiāng)na<0，∴a∈(0,1)．故選B.7．若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)>f′(x)，則當(dāng)a>b時(shí)，下列不等式成立的是()A．eaf(a)>ebf(b)B．ebf(a)>eaf(b)C．ebf(b)>eaf(a)D．eaf(b)>ebf(a)解析：選D∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(fx,ex)))′＝eq\f(exf′x－exfx,ex2)＝eq\f(ex[f′x－fx],ex2)<0，∴y＝eq\f(fx,ex)單調(diào)遞減，又a>b，∴eq\f(fa,ea)<eq\f(fb,eb)，∴eaf(b)>ebf(a)．8．已知定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)<0，其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f(m－2021)>(m－2021)f(1)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(0,2021) B．(0,2022)C．(2021，＋∞) D．(2021,2022)解析：選D構(gòu)造函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)，其中x>0，則g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)<0，所以函數(shù)g(x)＝eq\f(fx,x)為(0，＋∞)上的減函數(shù)，由f(m－2021)>(m－2021)f(1)可得eq\f(fm－2021,m－2021)>f(1)，即g(m－2021)>g(1)，所以0<m－2021<1，解得2021<m<2022.因此，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2021,2022)．故選D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．曲線y＝x2－1與y＝lnx()A．在點(diǎn)(1,0)處相交 B．在點(diǎn)(1,0)處相切C．存在相互平行的切線 D．有兩個(gè)交點(diǎn)解析：選ACD令f(x)＝x2－1，g(x)＝lnx，f(1)＝g(1)＝0，f′(1)＝2，g′(1)＝1，故選A，排除B.f′(x)＝2x∈R，g′(x)＝eq\f(1,x)∈(0，＋∞)，存在f′(1)＝g′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，故選C.令F(x)＝f(x)－g(x)，則F′(x)＝2x－eq\f(1,x)，故F(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上單調(diào)遞增，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)ln2＜0，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e2)))＞F(e)＝e2－2＞0，故選D.10．若函數(shù)y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線的斜率之和等于常數(shù)t，則稱函數(shù)y＝f(x)為“t型函數(shù)”，下列函數(shù)中為“2型函數(shù)”的有()A．y＝x－x3 B．y＝x＋exC．y＝sinx D．y＝x＋cosx解析：選CD對(duì)于A，求導(dǎo)得y′＝1－3x2，令1－3xeq\o\al(2,1)＋1－3xeq\o\al(2,2)＝2，得3xeq\o\al(2,1)＋3xeq\o\al(2,2)＝0，不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于B，求導(dǎo)得y′＝1＋ex，令1＋ex1＋1＋ex2＝2，得ex1＋ex2＝0，不存在，錯(cuò)誤；對(duì)于C，求導(dǎo)得y′＝cosx，cosx1＋cosx2＝2，存在，正確；對(duì)于D，求導(dǎo)得y′＝1－sinx，令1－sinx1＋1－sinx2＝2，得sinx1＋sinx2＝0，存在，正確．故選C、D.11．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最值情況為()A．最大值為12 B．最大值為5C．最小值為－8 D．最小值為－15解析：選ACy′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2時(shí)，y＝1；x＝－1時(shí)，y＝12；x＝1時(shí)，y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故選A、C.12.已知定義在R上的函數(shù)f(x)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象如圖所示，則下列說法正確的是()A．f(a)>f(e)>f(d)B．函數(shù)f(x)在[a，b]上遞增，在[b，d]上遞減C．f(x)的極值點(diǎn)為c，eD．f(x)的極大值為f(c)解析：選CD由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系知，當(dāng)f′(x)>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)f′(x)<0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．結(jié)合所給圖象知，當(dāng)x∈(a，c)時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(a，c)上單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(c，e)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(c，e)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，∴f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)f(x)在x＝c處取得極大值f(c)，在x＝e處取得極小值f(e)，∴f(x)的極值點(diǎn)為c，e.故選C、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中的橫線上)13．函數(shù)f(x)＝exsinx的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處切線的傾斜角為________．解析：由題意得，f′(x)＝exsinx＋excosx＝ex(sinx＋cosx)，∴函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處切線的斜率k＝f′(0)＝1，則所求的傾斜角為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)asin2x－(a＋2)cosx－(a＋1)x在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上無極值，則a＝________，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的最小值是________．解析：f′(x)＝acos2x＋(a＋2)sinx－a－1＝a(1－2sin2x)＋(a＋2)sinx－a－1＝－2asin2x＋(a＋2)sinx－1＝－(2sinx－1)(asinx－1)．當(dāng)sinx＝eq\f(1,2)，即x＝eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))時(shí)，f′(x)＝0.所以要使f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上無極值，則a＝2，此時(shí)f′(x)＝－(2sinx－1)2≤0恒成立，即f(x)單調(diào)遞減，故在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上f(x)的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(3π,2).答案：2－eq\f(3π,2)15．當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：根據(jù)題意，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，分離參數(shù)a，得a≥eq\f(1,x)－eq\f(4,x2)－eq\f(3,x3)恒成立．令eq\f(1,x)＝t，∴t≥1時(shí)，a≥t－4t2－3t3恒成立．令g(t)＝t－4t2－3t3，則g′(t)＝1－8t－9t2＝(t＋1)(－9t＋1)，當(dāng)t≥1時(shí)，g′(t)<0，∴函數(shù)g(t)在[1，＋∞)上是減函數(shù)．則g(t)≤g(1)＝－6，∴a≥－6.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－6，＋∞)．答案：[－6，＋∞)16．海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30nmile/h，當(dāng)速度為10nmile/h時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用(無論速度如何)都是每小時(shí)400元．如果甲、乙兩地相距800nmile，那么要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為________nmile/h.解析：設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為vnmile/h，燃料費(fèi)為y元/h，總費(fèi)用為f(x)元．由題意設(shè)y與v滿足的關(guān)系式為y＝av3(0≤v≤30)，由題意得25＝a·103，∴a＝eq\f(1,40).則f(x)＝eq\f(1,40)v3×eq\f(800,v)＋eq\f(800,v)×400＝20v2＋eq\f(320000,v).由f′(x)＝40v－eq\f(320000,v2)＝0，得v＝20.當(dāng)0<v<20時(shí)，f′(x)<0；當(dāng)20<v<30時(shí)，f′(x)>0.∴當(dāng)v＝20時(shí)，f(x)最?。串?dāng)總費(fèi)用最低時(shí)，海輪的航速為20nmile/h.答案：20四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋a，點(diǎn)A(0,0)在曲線y＝f(x)上．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；(2)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程；(3)求曲線y＝f(x)過點(diǎn)E(2,0)的切線方程．解：(1)當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝a＝0，所以f(x)＝x3.(2)f′(x)＝3x2，所以點(diǎn)(－1，－1)處的切線的斜率為k＝f′(－1)＝3，所以切線方程為：y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.(3)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，x\o\al(3,0)))，切線的斜率為k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)，所以切線方程為：y－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(x－x0)，將點(diǎn)E(2,0)代入切線方程得：－xeq\o\al(3,0)＝3xeq\o\al(2,0)(2－x0)，則2xeq\o\al(2,0)(x0－3)＝0，解得x0＝0或x0＝3，所以切線方程為：y＝0或27x－y－54＝0.18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋bx(a，b∈R)在x＝－3處取得極大值為9.(1)求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－4,4]上的最大值與最小值．解：(1)由題意得：f′(x)＝x2＋2ax＋b，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－3＝9－6a＋b＝0，f－3＝－9＋9a－3b＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，b＝－3.))當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，b＝－3))時(shí)，f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2－3x，f′(x)＝x2＋2x－3＝(x＋3)(x－1)，∴當(dāng)x∈(－∞，－3)和(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x∈(－3,1)時(shí)，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－3)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－3,1)上單調(diào)遞減，∴f(x)的極大值為f(－3)＝9，滿足題意．(2)由(1)得：f(x)的極大值為f(－3)＝9，極小值為f(1)＝eq\f(1,3)＋1－3＝－eq\f(5,3)，又f(－4)＝eq\f(20,3)，f(4)＝eq\f(76,3)，∴f(x)在區(qū)間[－4,4]上的最大值為eq\f(76,3)，最小值為－eq\f(5,3).19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(x)－alnx.(1)若曲線f(x)在x＝1處的切線方程為x－2y＋1＝0，求實(shí)數(shù)a的值；(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的極值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝eq\r(x)－alnx，所以f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(a,x)，所以f′(1)＝eq\f(1,2)－a.因?yàn)榍€f(x)在x＝1處的切線方程為x－2y＋1＝0，所以eq\f(1,2)－a＝eq\f(1,2)，解得a＝0.故實(shí)數(shù)a的值為0.(2)由(1)，知f′(x)＝eq\f(1,2\r(x))－eq\f(a,x)＝eq\f(\r(x)－2a,2x).①當(dāng)2a≤1，即a≤eq\f(1,2)時(shí)，f′(x)≥0在[1,4]上恒成立，所以函數(shù)f(x)在[1,4]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在[1,4]上無極值．②當(dāng)2a≥2，即a≥1時(shí)，f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，所以函數(shù)f(x)在[1,4]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在[1,4]上無極值．③當(dāng)1<2a<2，即eq\f(1,2)<a<1時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x[1,4a2)4a2(4a2,4]f′(x)－0＋f(x)極小值所以當(dāng)x＝4a2時(shí)，f(x)取得極小值，為2a－2aln(2a)，無極大值．20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(1－x)2－3aln(2＋x)．(1)若a＝－1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)當(dāng)a＝－1時(shí)，f(x)＝(1－x)2＋3ln(2＋x)(x>－2)，f′(x)＝2x－2＋eq\f(3,2＋x)＝eq\f(2x2＋2x－1,x＋2)，當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，x＝eq\f(－1±\r(3),2)，當(dāng)f′(x)>0時(shí)，x<eq\f(－1－\r(3),2)或x>eq\f(－1＋\r(3),2)，此時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)f′(x)<0時(shí)，eq\f(－1－\r(3),2)<x<eq\f(－1＋\r(3),2)，此時(shí)f(x)為減函數(shù)，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(－1－\r(3),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(3),2)，＋∞))，單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(3),2)，\f(－1＋\r(3),2))).(2)函數(shù)f(x)＝(1－x)2－3aln(2＋x)的定義域?yàn)閧x|x>－2}，f′(x)＝2x－2－3a·eq\f(1,2＋x)＝eq\f(2