1.2 整式及因式分解（題型精練）（原卷版）

第2講整式及因式分解（精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：代數(shù)式、代數(shù)式的值題型二：整式的有關(guān)概念題型三：整式的運(yùn)算（加減）題型四：整式的運(yùn)算（乘除）題型五：乘法公式角度1：平方差公式角度2：完全平方公式角度3：整式的混合運(yùn)算題型六：提公因式法與公式法題型七：十字相乘法題型八：分組分解法題型九：因式分解的應(yīng)用第四部分：中考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：代數(shù)式、代數(shù)式的值（1）代數(shù)式的概念用基本運(yùn)算符號(hào)(加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等)把數(shù)與字母連接而成的式子叫做代數(shù)式.單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或者一個(gè)字母也是代數(shù)式．（2）代數(shù)式的值用具體數(shù)代替代數(shù)式中的字母,按運(yùn)算順序計(jì)算出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.求代數(shù)式的值分兩步:第一步,代數(shù);第二步,計(jì)算.要充分利用“整體”思想求代數(shù)式的值.知識(shí)點(diǎn)二：整式的有關(guān)概念1．整式：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．2．單項(xiàng)式：含有數(shù)或字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式．單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式．單項(xiàng)式中的數(shù)字因式叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)；一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)．3．多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式．在多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)．多項(xiàng)式中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)，就是這個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)．4．同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng)．5．合并同類項(xiàng)：把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和，且字母連同它的指數(shù)不變．知識(shí)點(diǎn)三：整式的運(yùn)算（1）整式的加減運(yùn)算：整數(shù)的加減本質(zhì)是合并同類項(xiàng)，如果有括號(hào)要先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng).（2）去括號(hào)法則：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反.（3）添括號(hào)法則：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).知識(shí)點(diǎn)四：冪的運(yùn)算（1）（都是正整數(shù)）（2）（，都是正整數(shù)）（3）（都是正整數(shù)）（4）（是正整數(shù)）（5）（）（6）（，是正整數(shù)）知識(shí)點(diǎn)五：整式的乘除運(yùn)算（1）單項(xiàng)式單項(xiàng)式：①將單項(xiàng)式系數(shù)相乘作為積的系數(shù)；②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的乘法，作為積的一個(gè)因式；③單獨(dú)出現(xiàn)的字母，連同它的指數(shù)，作為積的一個(gè)因式.注：?jiǎn)雾?xiàng)式乘單項(xiàng)式，積為單項(xiàng)式.（2）單項(xiàng)式多項(xiàng)式：①單項(xiàng)式分別乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)②將所得的積相加；一般地，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，積為多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）多項(xiàng)式多項(xiàng)式：先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.（4）單項(xiàng)式單項(xiàng)式：①將單項(xiàng)式系數(shù)相除作為商的系數(shù)；②相同字母的因式，利用同底數(shù)冪的除法，作為商的一個(gè)因式；③只在被除式里含有的字母連同指數(shù)不變.（5）多項(xiàng)式單項(xiàng)式①用多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以單項(xiàng)式②商相加知識(shí)點(diǎn)六：乘法公式(1)平方差公式：（注意公式逆應(yīng)用）.(2)完全平方公式：（注意公式逆應(yīng)用）.知識(shí)點(diǎn)七：因式分解1．定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．2．方法

（1）提公因式法：．

（2）公式法：；3．分解因式的基本步驟

（1）先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有，則先提公因式；

（2）再看余下的式子能否用公式法繼續(xù)分解，直至不能再分解為止．簡(jiǎn)記為一“提”、二“套”、三“檢查．

知識(shí)點(diǎn)八：十字相乘法1、如果二次三項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)能分解成兩個(gè)因數(shù)、的積，而且一次項(xiàng)系數(shù)又恰好是與的和，那么就可以進(jìn)行如下的因式分解，即=2、利用十字交叉線來(lái)分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法，一般地，=可以用十字交叉線表示3、二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式——進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1；（2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。方法的特征是：“拆常數(shù)項(xiàng)，湊一次項(xiàng)”當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積，因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積，其中絕對(duì)值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同．4、二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式——對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1的二次三項(xiàng)式它的特征是：“拆兩頭，湊中間”當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，先提出負(fù)號(hào)，使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí)，應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù)，它們的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對(duì)值較大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同注意：用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯(cuò)誤出現(xiàn)：一是沒(méi)有認(rèn)真地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母．條件：（1）（2）（3）分解結(jié)果：=知識(shí)點(diǎn)九：分組分解法1.分組分解定義：利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法。2.利用分組分解法分解因式的多項(xiàng)式特征：（1）多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)一般大于三項(xiàng)；（2）分組后各組可利用提取公因式法或公式法或十字相乘法進(jìn)行分解；（3）各組分解后，整個(gè)式子又可繼續(xù)進(jìn)行因式分解。分組分解法以四項(xiàng)為主，四項(xiàng)的分解可以組合成“一項(xiàng)+三項(xiàng)”其中的三項(xiàng)可以考慮完全平方公式，或“兩項(xiàng)+兩項(xiàng)”其中的兩項(xiàng)通常要考慮提取公因式或平方差公式。第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）單項(xiàng)式與的和是，則（

）A．﹣4 B．3 C．4 D．52．（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)七年級(jí)期中）下列各式中，能用平方差分解因式的式子是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣東·深圳市明珠學(xué)校八年級(jí)期中）下列從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）．A． B．C． D．4．（2022·湖北·華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)光谷分校八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：（1）___________；（2）___________；（3）___________．5．（2022·湖南·株洲景炎學(xué)校七年級(jí)期中）多項(xiàng)式中各項(xiàng)的公因式是____________．第三部分：典型例題剖析題型一：代數(shù)式、代數(shù)式的值典型例題例題1．（2022·陜西省西安愛(ài)知中學(xué)七年級(jí)期中）將形狀大小完全相同四個(gè)小正方形，按照如圖所示的兩種方式放置于兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的大正方形中，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系，得到的等式是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·江蘇·泰興市濟(jì)川初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）已知：，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．例題3．（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則______．例題4．（2022·安徽·阜南縣文勤學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）某種植大戶王大伯種植花生畝，玉米種植面積比花生種植面積的5倍還多4畝，而高粱種植面積比玉米種植面積的2倍少2畝．(1)求王大伯種植花生、玉米和高粱共多少畝以及種植高粱的面積比玉米多多少畝？(2)王大伯經(jīng)過(guò)測(cè)量得到種植花生畝，那么種植花生、玉米和高粱一共多少畝以及種植高粱的面積比玉米多多少畝？例題5．（2022·山東·滕州市東郭鎮(zhèn)東郭中學(xué)七年級(jí)期中）某學(xué)校準(zhǔn)備組織部分教師到杭州旅游，現(xiàn)聯(lián)系了甲、乙兩家旅行社，兩家旅行社報(bào)價(jià)均為400元/人，同時(shí)兩旅行社都對(duì)10人以上的團(tuán)體推出了優(yōu)惠舉措：甲旅行社對(duì)每位游客七五折優(yōu)惠；而乙旅行社是免去一位帶隊(duì)老師的費(fèi)用，其余游客八折優(yōu)惠．(1)如果設(shè)參加旅游的老師共有人，則甲旅行社的費(fèi)用為元，乙旅行社的費(fèi)用為元；（用含的代數(shù)式表示）(2)假如某校組織17名教師到杭州旅游，該校選擇哪一家旅行社比較優(yōu)惠？請(qǐng)說(shuō)明理由．同類題型歸類練1．（2022·安徽·定遠(yuǎn)縣第一初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則代數(shù)式的值等于__．2．（2022·湖北·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知a是一元二次方程的根，則的值為_(kāi)_____．3．（2022·遼寧·金州區(qū)育才高級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則代數(shù)式的值為_(kāi)_____．4．（2022·福建泉州·七年級(jí)期中）當(dāng)，時(shí)，求下列代數(shù)式的值．(1)(2)5．（2022·上海市羅南中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)10元，3千米后每千米2元，某乘客乘坐了x千米（x＞5）(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示出他應(yīng)該支付的車費(fèi)；(2)若該乘客乘坐了20千米，那他應(yīng)該支付多少錢？(3)如果他支付了34元，你能算出他乘坐的里程嗎？題型二：整式的有關(guān)概念典型例題例題1．（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期中）單項(xiàng)式的系數(shù)、次數(shù)分別是（

）A．，4 B．，4 C．，4 D．，3例題2．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十一中學(xué)校七年級(jí)期中）在、、、、0、、中，整式有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)例題3．（2022·北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）寫一個(gè)含有字母，的三次二項(xiàng)式，其中常數(shù)項(xiàng)為，你寫的三次二項(xiàng)式是_______．例題4．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）多項(xiàng)式中不含項(xiàng)，則______.例題5．（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）代數(shù)式，，，，20，，中單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)同類題型歸類練1．（2022·黑龍江·拜泉縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）下列說(shuō)法中正確的是（）A．的次數(shù)是3 B．的系數(shù)是C．的系數(shù)是 D．的次數(shù)是22．（2022·福建·廈門市松柏中學(xué)七年級(jí)期中）在代數(shù)式，，，，，中，整式有（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)3．（2022·上?！て吣昙?jí)階段練習(xí)）下列各式是多項(xiàng)式的是（

）A．2x+1 B．C． D．4．（2022·重慶·巴川初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期中）單項(xiàng)式的系數(shù)是（）A．2 B．3 C． D．55．（2022·四川·隆昌市知行中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）單項(xiàng)式的系數(shù)是______，次數(shù)是______．題型三：整式的運(yùn)算（加減）典型例題例題1．（2022·湖南·安化縣思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）等于（

）A． B． C． D．例題2．（2022·北京市通州區(qū)北關(guān)中學(xué)七年級(jí)期中）單項(xiàng)式與是同類項(xiàng)，則___________例題3．（2022·北京十五中七年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：(1)；(2)．例題4．（2022·福建·浦城縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．例題5．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的兩個(gè)多項(xiàng)式、，若、滿足，則稱與是關(guān)于的優(yōu)美多項(xiàng)式．如：，，因?yàn)椋远囗?xiàng)式與是關(guān)于的優(yōu)美多項(xiàng)式．根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)若，，判斷與是否是關(guān)于的優(yōu)美多項(xiàng)式，并說(shuō)明理由；(2)已知（是正整數(shù)），與是關(guān)于的優(yōu)美多項(xiàng)式，若當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值是小于的整數(shù)，求滿足條件的所有的值之和．例題6．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第二十一中學(xué)校七年級(jí)期中）化簡(jiǎn)求值(1)，其中，．(2)已知，．若式子的值與的取值無(wú)關(guān)，求的值．同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）下列式子正確的是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)單元測(cè)試）化簡(jiǎn)：_____．3．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）合并同類項(xiàng)：(1)(2)(3)4．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）在某次作業(yè)中有這樣一道題：已知代數(shù)式的值為，求代數(shù)式的值．小明的解題過(guò)程如下：原式，把式子兩邊同乘2，得，故原代數(shù)式的值為，仿照小明的解題方法，解答下面的問(wèn)題：(1)若，則；(2)已知，，求的值．題型四：整式的運(yùn)算（乘除）典型例題例題1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，現(xiàn)有正方形卡片類，類和長(zhǎng)方形卡片類若干張，如果要拼一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的大長(zhǎng)方形，則需要類卡片（

）A．3張 B．4張 C．5張 D．6張例題2．（2022·河南·商水縣希望初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）小軒計(jì)算一道整式乘法的題：，由于小軒將第一個(gè)多項(xiàng)式中的“”抄成“”，得到的結(jié)果為．則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7例題3．（2022·陜西省西安愛(ài)知中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．例題4．（2022·陜西省西安愛(ài)知中學(xué)七年級(jí)期中）觀察下列等式：，，．(1)根據(jù)上面各式的規(guī)律，請(qǐng)寫出第5個(gè)等式：；(2)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得；（為正整數(shù)，且）．(3)求的值．例題5．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀下列文字：我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．圖1給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為和邊長(zhǎng)為的小正方形紙片及若干個(gè)邊長(zhǎng)為、的長(zhǎng)方形紙片．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)圖2是由圖1提供的幾何圖形拼接而得，可以得到；(2)利用圖1所給的紙片拼出一個(gè)長(zhǎng)方形圖形的面積為，解決下面的問(wèn)題：若，，求的值．(3)用圖1中張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)分別為，的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為長(zhǎng)方形，求的值．同類題型歸類練1．（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)七年級(jí)期中）若，則的值為_(kāi)_____．2．（2022·遼寧·鞍山市育才中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）探究應(yīng)用：(1)計(jì)算______________；______________．(2)上面的整式乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，你又發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式：______________（請(qǐng)用含a，b的字母表示）．(3)下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是______．A．

B．C．

D．(4)直接用公式計(jì)算：______．3．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)(2)(3)(4)4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）已知的展開(kāi)式中不含項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)是-6．(1)求m，n的值．(2)求的值．5．（2022·江蘇·射陽(yáng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）計(jì)算(1)(2)題型五：乘法公式角度1：平方差公式典型例題例題1．（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)七年級(jí)期中）下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·福建·福州市雙安中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中：例題3．（2022·陜西·西安市西光中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算并觀察下列式子，探索它們的規(guī)律，并解決問(wèn)題．(1)______．______．______．…(2)試用正整數(shù)表示這個(gè)規(guī)律，并加以證明；(3)求的值．同類題型歸類練1．（2022·陜西省西安愛(ài)知中學(xué)七年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：____．2．（2022·河北·石家莊市第四十四中學(xué)三模）如圖，圖為邊長(zhǎng)為的大正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，圖是由圖中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．（1）以上兩個(gè)圖形反映了等式：______；（2）運(yùn)用（1）中的等式，計(jì)算______．3．（2022·上海市羅南中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．角度2：完全平方公式典型例題例題1．（2022·北京·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，，則_________．例題2．（2022·山東·嶧城區(qū)荀子學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）把下列各式因式分解：(1)；(2)．例題3．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）已知，．求：(1)的值；(2)的值．例題4．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市一中雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）利用圖1中邊長(zhǎng)分別為，的正方形，以及長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形卡片若干張拼成圖2（卡片間不重疊、無(wú)縫隙），可以用來(lái)解釋完全平方公式：．請(qǐng)你解答下面的問(wèn)題：(1)填空：，則______；，則_______，_______；(2)利用圖1中的三種卡片若干張拼成圖3，可以解釋等式：_______；(3)利用上述拼圖的方法計(jì)算：______．例題5．（2022·山西·太原師范學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)，其中，，，均為正整數(shù)則有，∴，．請(qǐng)你仿照小明的方法．探索并解決下列問(wèn)題：(1)當(dāng)，，，均為正整數(shù)時(shí)，若，用含，的式子分別表示，，得：___________，___________；(2)利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)，，，填空：___________＋___________；(3)若，且，，，均為正整數(shù)，則的值=___________．同類題型歸類練1．（2022·福建·福州十八中八年級(jí)期中）已知，，則的值為_(kāi)____．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2022·吉林·長(zhǎng)春市赫行實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）圖1在一個(gè)長(zhǎng)為2a，寬為2b的長(zhǎng)方形圖中，沿著虛線用剪刀均分成4塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形．(1)圖2中陰影部分的正方形邊長(zhǎng)為

；(2)觀察圖2，請(qǐng)你用等式表示，，ab之間的數(shù)量關(guān)系：

；(3)根據(jù)（2）中的結(jié)論，如果x+y＝5，xy，求代數(shù)式的值．4．（2022·黑龍江·哈爾濱市風(fēng)華中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．5．（2022·湖南·株洲景炎學(xué)校七年級(jí)期中）閱讀下列材料并解答后面的問(wèn)題：完全平方公式，通過(guò)配方可對(duì)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如或，從而使某些?wèn)題得到解決．例：已知，求的值．解：通過(guò)對(duì)例題的理解解決下列問(wèn)題：(1)已知，求的值；(2)已知，求的值．角度3：整式的混合運(yùn)算典型例題例題1．（2022·遼寧·鞍山市育才中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．(3)．(4)．例題2．（2022·河南·項(xiàng)城市第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）（1）計(jì)算：

（2）運(yùn)用乘法公式簡(jiǎn)便運(yùn)算：（3）計(jì)算：（4）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，例題3．（2022·四川·仁壽縣黑龍灘鎮(zhèn)光相九年制學(xué)校八年級(jí)期末）（1）已知，求代數(shù)式的值．（2）已知，求代數(shù)式的值．同類題型歸類練1．（2022·重慶文德中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中滿足2．（2022·陜西·西安市曲江第一中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)簡(jiǎn)便計(jì)算：201×199(2)(3)(4)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝﹣2．題型六：提公因式法與公式法典型例題例題1．（2022·山東菏澤·七年級(jí)期末）把多項(xiàng)式因式分解，結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)七年級(jí)期中）把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．例題3．（2022·山東·濟(jì)寧北湖省級(jí)旅游度假區(qū)石橋鎮(zhèn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）因式分解(1)；(2)；例題4．（2022·山東·興安中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）因式分解：(1)(2)(3)(4)同類題型歸類練1．（2022·寧夏·靈武市第二中學(xué)八年級(jí)期末）分解因式(1)4a-2ab；(2)(3)2．（2022·山東省泰安第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）因式分解：(1)(2)3．（2022·山東·聊城市東昌府區(qū)水城雙語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）把下列各式因式分解：(1)(2)(3)(4)4．（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中七年級(jí)期末）分解因式：(1)；(2)．題型七：十字相乘法典型例題例題1．（2022·浙江紹興·七年級(jí)期末）不論為何值，等式都成立，則代數(shù)式的值為（

）A．-9 B．-3 C．3 D．9例題2．（2022·江西撫州·八年級(jí)期中）分解因式：___________．例題3．（2022·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．例題4．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由，得利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：(1)因式分解：______________；(2)填空：若可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：；例題5．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察猜想：如圖，大長(zhǎng)方形是由四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成的，請(qǐng)根據(jù)此圖填空：說(shuō)理驗(yàn)證：事實(shí)上，我們也可以用如下方法進(jìn)行變形：于是，我們可以利用上面的方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解．嘗試運(yùn)用：例題把分解因式．解：．請(qǐng)利用上述方法將下列多項(xiàng)式分解因式：（1）；（2）．同類題型歸類練1．（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期中）已知方程的兩個(gè)根分別是2和－3，則可分解為（

）A． B． C． D．2．（2022·河北·保定市第一中學(xué)分校九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如果二次三項(xiàng)式x2+px﹣6可以分解為（x+q）（x﹣2），那么p的值為_(kāi)____，q的值為_(kāi)____．3．（2022·上?！て吣昙?jí)專題練習(xí)）因式分解：4．（2022·四川·八年級(jí)期中）由整式的乘法運(yùn)算法則可得由于我們道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過(guò)觀察可如可把中的著作是未知數(shù)．、、、在作常數(shù)的二次三項(xiàng)式：通過(guò)觀察可知此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦?lái)湊一次項(xiàng)的系數(shù)．此分解過(guò)程可以用十字相乘的形式形象地表示成如圖，此分解過(guò)程可形象地表述為“堅(jiān)乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)，這種分解的方法稱為十字相乘法．如：將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸猓鐖D，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問(wèn)題：(1)用十字相乘法因式分解：；(2)用十字相乘法因式分解：；(3)結(jié)合本題知識(shí)，因式分解：．5．（2022·湖南常德·七年級(jí)期末）閱讀下列解答過(guò)程：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式及m的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為則，，∴，∴∴另一個(gè)因式為，m的值為-21．請(qǐng)依照以上方法解答下面問(wèn)題：已知二次三項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求另一個(gè)因式及k的值．題型八：分組分解法典型例題例題1．（2022·浙江·杭州市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）因式分解(1)(2)例題2．（2022·廣東·龍嶺初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）因式分解中拆項(xiàng)法原理：在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，經(jīng)過(guò)整理、化簡(jiǎn)通常將幾個(gè)同類項(xiàng)合并為一項(xiàng)，或相互抵消為零，在對(duì)某些多項(xiàng)式分解因式時(shí)，需要恢復(fù)那些被合并或相互抵消的項(xiàng)，即把多項(xiàng)式中的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)（拆項(xiàng)）．例：分解因式：解：把分成和，原式就可以分成兩組了原式繼續(xù)提公因式請(qǐng)類比上邊方法分解因式：．例題3．（2022·河南·鄭州市第六十四中學(xué)八年級(jí)期末）觀察“探究性學(xué)習(xí)”小組甲、乙兩名同學(xué)進(jìn)行的因式分解：甲：（分成兩組）（直接提公因式）．乙：（分成兩組）（直接運(yùn)用公式）（再用平方差公式）請(qǐng)你在他們解法的啟發(fā)下，把下列各式分解因式：（1）（2）．同類題型歸類練1．（2022·廣東茂名·八年級(jí)期中）閱讀理解：把多項(xiàng)式分解因式．解法：觀察上述因式分解的過(guò)程，回答下列問(wèn)題：(1)分解因式：．(2)三邊、、滿足，判斷的形狀．2．（2022·吉林吉林·八年級(jí)期末）閱讀下列材料：一般地，沒(méi)有公因式的多項(xiàng)式，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為四項(xiàng)或四項(xiàng)以上時(shí)，經(jīng)常把這些項(xiàng)分成若干組，然后各組運(yùn)用提取公因式法或公式法分別進(jìn)行分解，之后各組之間再運(yùn)用提取公因式法或公式法進(jìn)行分解，這種因式分解的方法叫做分組分解法．如：因式分解：am+bm+an+bn＝（am+bm）+（an+bn）＝m（a+b）+n（a+b）＝（a+b）（m+n）．(1)利用分組分解法分解因式：①3m﹣3y+am﹣ay；②a2x+a2y+b2x+b2y．(2)因式分解：a2+2ab+b2﹣1＝（直接寫出結(jié)果）．3．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市國(guó)飛中學(xué)八年級(jí)期末）先閱讀下面的材料，再分解因式．要把多項(xiàng)式分解因式，可以先把它的前兩項(xiàng)分成組，并提出a，把它的后兩項(xiàng)分成組，并提出b，從而得．這時(shí)，由于中又有公因式，于是可提公因式，從而得到，因此有．這種因式分解的方法叫做分組分解法，如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以利用分組分解法來(lái)因式分解．請(qǐng)用上面材料中提供的方法因式分解：（請(qǐng)你完成分解因式下面的過(guò)程）______；．題型九：因式分解的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·湖南·懷化市第四中學(xué)七年級(jí)期中）設(shè)為正整數(shù)，如果二次三項(xiàng)式在整數(shù)范圍內(nèi)可因式分解為，那么可取值的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例題2．（2022·河南·汝州市有道實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）若規(guī)定，則當(dāng)時(shí)，__________．例題3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀下列解答過(guò)程，然后回答問(wèn)題：已知有一個(gè)因式，求的值．解：設(shè)另一個(gè)因式為，則．即（對(duì)任意實(shí)數(shù)成立）由此得：∴(1)已知有一個(gè)因式，則另一個(gè)因式為_(kāi)______________；(2)已知有一個(gè)因式，則的值為_(kāi)_______________；(3)已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式，求的值．例題4．（2022·山西臨汾·九年級(jí)階段練習(xí)）問(wèn)題提出若一元二次方程的兩根為，，我們可以由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，．已知方程的兩根為，，則，．探究引申若多項(xiàng)式中，存在，，則多項(xiàng)式可在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，分解結(jié)果為，而其中．即為一元二次方程的兩根．例如：把多項(xiàng)式分解因式，可以令，解該方程得，，故多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)可分解為．請(qǐng)利用上述方法在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把下列多項(xiàng)式分解因式．（1）．（2）．應(yīng)用拓展已知二次函數(shù)與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為和，請(qǐng)直接寫出該拋物線的解析式．同類題型歸類練1．（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）若則，有一根是（

）A． B． C． D．2．（2022·廣東·佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，大正方形的邊長(zhǎng)為m，小正方形的邊長(zhǎng)為n，x，y表示四個(gè)相同長(zhǎng)方形的兩邊（）．則①；②；③；④，錯(cuò)誤的是（

）A．① B．② C．③ D．④3．（2022·陜西省西咸新區(qū)秦漢中