【新教材】新高考數(shù)學(xué)人教a版一輪復(fù)習(xí)學(xué)案第4章第7節(jié)解三角形應(yīng)用舉例

第七節(jié)解三角形應(yīng)用舉例一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．仰角和俯角意義圖示在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角.2.方位角意義圖示從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α.3.方向角意義圖示相對于某一正方向的水平角(1)北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向；(3)南偏西等其他方向角類似.4.坡角與坡度意義圖示(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖，角θ為坡角)；(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖，i為坡度)．坡度又稱為坡比.解三角形應(yīng)用問題的步驟二、基本技能·思想·活動體驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＝β． (√)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))． (×)(3)若點P在點Q的北偏東44°，則點Q在點P的東偏北46°． (×)(4)方位角大小的范圍是[0，π)，方向角大小的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))． (×)2．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°D解析：由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.3．如圖，為測量一棵樹OP的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點間的距離為60m，則樹的高度為________m.30＋30eq\r(3)解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°·sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)－\r(2),4).由正弦定理得eq\f(PB,sin30°)＝eq\f(AB,sin15°)，所以PB＝eq\f(\f(1,2)×60,\f(\r(6)－\r(2),4))＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))，所以樹的高度OP＝PBsin45°＝30(eq\r(6)＋eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝(30＋30eq\r(3))(m)．4．如圖，A，B兩點在河的同側(cè)，且A，B兩點均不可到達，要測出A，B的距離，測量者可以在河岸邊選定兩點C，D．若測得CD＝eq\f(\r(3),2)km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，則A，B兩點間的距離為________km.eq\f(\r(6),4)解析：因為∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝eq\f(\r(3),2)km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝eq\f(CD,sin∠DBC)·sin∠BDC＝eq\f(\f(\r(3),2),sin45°)·sin30°＝eq\f(\r(6),4)(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,8)－2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),4)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8).所以AB＝eq\f(\r(6),4)km.所以A，B兩點間的距離為eq\f(\r(6),4)km.5．要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45°，在D點測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為________．40m解析：設(shè)電視塔的高度為xm，則BC＝x，BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故電視塔的高度為40m.考點1解三角形的實際應(yīng)用——應(yīng)用性考向1測量距離問題如圖，某旅游景點有一座風(fēng)景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個小時的時間進行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km.假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時1250m，請問：兩位登山愛好者能否在2個小時內(nèi)徒步登上山峰．(即從B點出發(fā)到達C點)解：在△ABD中，由題意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因為∠ABD＝120°，由正弦定理eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，解得AD＝eq\r(3)(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos150°，得9＝3＋CD2＋2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝eq\f(\r(33)－3,2)(km)，BC＝BD＋CD＝eq\f(\r(33)－1,2)(km)．兩個小時小王和小李可徒步攀登1250×2＝2500(m)，即2.5km，而eq\f(\r(33)－1,2)<eq\f(\r(36)－1,2)＝eq\f(5,2)＝2.5，所以兩位登山愛好者可以在兩個小時內(nèi)徒步登上山峰．1．若將本例條件“BD＝1km，AC＝3km”變?yōu)椤癇D＝200m，CD＝300m”，其他條件不變，求這條索道AC的長．解：在△ABD中，BD＝200，∠ABD＝120°.因為∠ADB＝30°，所以∠DAB＝30°.由正弦定理，得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，所以eq\f(200,sin30°)＝eq\f(AD,sin120°).所以AD＝eq\f(200×sin120°,sin30°)＝200eq\r(3)(m)．在△ABC中，DC＝300m，∠ADC＝150°，所以AC2＝AD2＋DC2－2AD×DC×cos∠ADC＝(200eq\r(3))2＋3002－2×200eq\r(3)×300×cos150°＝390000，所以AC＝100eq\r(39)m.故這條索道AC長為100eq\r(39)m.2．若將本例條件“∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1km，AC＝3km”變?yōu)椤啊螦DC＝135°，∠CAD＝15°，AD＝100m，作CO⊥AB，垂足為O，延長AD交CO于點E，且CE＝50m，如圖”，求角θ的余弦值．解：在△ACD中，∠ADC＝135°，∠CAD＝15°，所以∠ACD＝30°.由正弦定理可得AC＝eq\f(100×sin135°,sin30°)＝100eq\r(2).在△ACE中，由正弦定理可得sin∠CEA＝eq\f(AC·sin∠CAE,CE)＝eq\r(3)－1，所以cosθ＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠CEA－\f(π,2)))＝sin∠CEA＝eq\r(3)－1.距離問題的解題思路這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．提醒：①基線的選取要恰當(dāng)準確；②選取的三角形及正弦、余弦定理要恰當(dāng)．考向2測量高度問題如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽車從B點到C點歷時14s，則這輛汽車的速度約為________m/s(精確到0.1)．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.414，eq\r(5)≈2.236.22．6解析：因為小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.設(shè)這輛汽車的速度為vm/s，則BC＝14v.在Rt△ABD中，AB＝eq\f(AD,cos∠BAD)＝eq\f(100,cos60°)＝200.在Rt△ACD中，AC＝eq\f(AD,cos∠CAD)＝eq\f(100,cos45°)＝100eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(100eq\r(2))2＋2002－2×100eq\r(2)×200×cos135°，所以v＝eq\f(50\r(10),7)≈22.6，所以這輛汽車的速度約為22.6m/s.解決高度問題的注意事項(1)在解決有關(guān)高度問題時，理解仰角、俯角是關(guān)鍵．(2)高度問題一般是把它轉(zhuǎn)化成解三角形問題，要注意三角形中的邊角關(guān)系的應(yīng)用．若是空間的問題要注意空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化．1．圭表(如圖1)是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺(稱為“圭”)．當(dāng)正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至．圖2是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角(即∠ABC)為26.5°，夏至正午太陽高度角(即∠ADC)為73.5°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即BD的長)為a，則表高(即AC的長)為()A．eq\f(asin53°,2sin47°) B．eq\f(2sin47°,asin53°)C．eq\f(atan26.5°tan73.5°,tan47°) D．eq\f(asin26.5°sin73.5°,sin47°)D解析：由題意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，eq\f(BD,sin∠BAD)＝eq\f(AD,sin∠ABD)，即eq\f(a,sin47°)＝eq\f(AD,sin26.5°)，則AD＝eq\f(asin26.5°,sin47°).在△ACD中，eq\f(AC,AD)＝sin∠ADC＝sin73.5°，所以AC＝eq\f(asin26.5°·sin73.5°,sin47°).故選D．2．如圖是改革開放四十周年大型展覽的展館——國家博物館．現(xiàn)欲測量博物館正門柱樓頂部一點P離地面的高度OP(點O在柱樓底部)．在地面上的A，B兩點測得點P的仰角分別為30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，則OP為()A．15米 B．25米C．35米 D．45米B解析：如圖所示：由于∠OAP＝30°，∠PBO＝45°，∠ABO＝60°，AB＝50米，OP⊥AO，OP⊥OB．設(shè)OP＝x，則OA＝eq\r(3)x，OB＝x，在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠ABO，即(eq\r(3)x)2＝502＋x2－2×50x×eq\f(1,2)，所以x2＋25x－1250＝0，解得x＝25或x＝－50(舍)．3．海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞．若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點間的距離為________米．80eq\r(5)解析：如圖，在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°.由正弦定理，得AC＝eq\f(80sin150°,sin15°)＝eq\f(40,\f(\r(6)－\r(2),4))＝40(eq\r(6)＋eq\r(2))(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BC,sin∠BDC)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(80×sin15°,sin30°)＝40(eq\r(6)－eq\r(2))(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋4eq\r(3))＋1600(8－4eq\r(3))＋2×1600(eq\r(6)＋eq\r(2))×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(1,2)＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝80eq\r(5)(米)，則A，B兩點間的距離為80eq\r(5)米．考點2正余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用(2020·青島模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝eq\r(3)，BC＝eq\r(2).(1)若CD＝1＋eq\r(3)，求四邊形ABCD的面積；(2)若sin∠BCD＝eq\f(3\r(2),5)，∠ADC∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求sin∠ADC．解：(1)如圖，連接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD中，由余弦定理可得，cosC＝eq\f(BC2＋CD2－BD2,2BC·CD)＝eq\f(2＋1＋\r(3)2－22,2×\r(2)×1＋\r(3))＝eq\f(\r(2),2).因為C為三角形的內(nèi)角，故C＝eq\f(π,4)，所以S△ABD＝eq\f(1,2)AB·AD＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，S△BCD＝eq\f(1,2)BC·CDsinC＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×(1＋eq\r(3))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1＋\r(3),2)，故四邊形ABCD的面積S＝eq\f(1＋2\r(3),2).(2)在△BCD中，由正弦定理可得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，所以sin∠BDC＝eq\f(BC·sin∠BCD,BD)＝eq\f(3,5).因為∠ADC∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以∠BDC∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos∠BDC＝eq\f(4,5)，在Rt△ABD中，tan∠ADB＝eq\f(AB,AD)＝eq\f(\r(3),3)，故∠ADB＝eq\f(π,6)，所以sin∠ADC＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠BDC＋\f(π,6)))＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(4＋3\r(3),10).正余弦定理解平面幾何問題的注意點(1)圖形中幾何性質(zhì)的挖掘往往是解題的切入點，或是問題求解的轉(zhuǎn)折點．(2)根據(jù)條件或圖形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等變換公式，運用正弦定理，余弦定理解題．(3)養(yǎng)成應(yīng)用方程思想解題的意識．1．如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且∠B與∠D互補，則AC的長為()A．7km B．8kmC．9km D．6kmA解析：在△ACD中，由余弦定理得cosD＝eq\f(AD2＋CD2－AC2,2AD·CD)＝eq\f(34－AC2,30).在△ABC中，由余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(89－AC2,80).因為∠B＋∠D＝180°，所以cosB＋cosD＝0，即eq\f(34－AC2,30)＋eq\f(89－AC2,80)＝0，解得AC2＝49.所以AC＝7.2．(2020·山師附中高三模擬)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AB＝2eq\r(6)，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝eq\f(π,3).(1)求BD；(2)求△BCD周長的最大值．解：在△ABD中，設(shè)BD＝x，∠ABD＝α，則∠ADB＝2α，因為eq\f(AB,sin2α)＝eq\f(AD,sinα)，所以cosα＝eq\f(\r(6),3).由余弦定理得cosα＝eq\f(x2＋24－9,4\r(6)x)＝eq\f(\r(6),3).整理得x2－8x＋15＝0，解得x＝5或x＝3.當(dāng)x＝3時，得∠ADB＝2α＝eq\f(π,2)，與AD2＋BD2≠AB2矛盾，故舍去，所以BD＝5.(2)在△BCD中，設(shè)∠CBD＝β，所以eq\f(BD,sin\f(π,3))＝eq\f(BC,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－β)))＝eq\f(CD,sinβ)，所以BC＝eq\f(10\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－β))，CD＝eq\f(10\r(3),3)sinβ，所以BC＋CD＝eq\f(10\r(3),3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinβ＋\f(\r(3),2)cosβ))＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))≤10.所以△BCD周長的最大值為15.考點3解三角形與三角函數(shù)的綜合問題(2020·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋eq\r(3)sin(π－x)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))－eq\f(1,2).(1)求函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，已知f(A)＝－1，a＝2，求△ABC的面積的最大值．解：(1)f(x)＝eq\f(1＋cos2x,2)－eq\r(3)sinxcosx－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)cos2x－eq\f(\r(3),2)sin2x＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).令2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)，得kπ－eq\f(π,6)≤x≤kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\