原子物理與量子力學(xué)課件：電子自旋

原子物理與量子力學(xué)§10.1原子中電子軌道運動的磁矩經(jīng)典表示式經(jīng)典電磁學(xué)中的磁矩對于任意閉合軌道,

，S

為電流所圍的面積,

n為電流環(huán)平面的法向單位矢量。設(shè)電子自旋頻率

軌道磁矩與軌道角動量L反向，這是因為磁矩的方向是根據(jù)右手定則定義的，而電子運動方向與電流反向。磁矩在均勻外磁場中受到的力矩為由此得到力矩引起的角動量變化進而，有表明：在均勻外磁場中高速旋轉(zhuǎn)的磁矩不向B靠攏，而是以一定的角速度ω繞B作進動。定義電子的旋磁比量子力學(xué)的表示中心力場中含時間的定態(tài)波函數(shù)為概率流密度球坐標中的分量：而則磁矩為由于波函數(shù)與r、

有關(guān)的函數(shù)均是實數(shù)，則沿z軸方向的總磁矩為由波函數(shù)的歸一化條件，得電子旋磁比為與經(jīng)典結(jié)果相同。其中稱為玻爾磁子?！?0.2施特恩-蓋拉赫實驗

當使基態(tài)l=0的原子束通過不均勻磁場時，觀測到原子束僅分裂成兩束，即僅兩個態(tài)。這個實驗直接證實了半整數(shù)角動量的存在。

因為，對于基態(tài)l=0，無軌道磁矩；而角動量的空間分量是2lz+1=1，因此實驗觀察只有一個原子束斑。但事實上，卻出現(xiàn)兩個束斑，它不可能是軌道的空間取向引起的，只能是電子自身固有的角動量，稱其為電子自旋角動量。實驗原理從加熱爐中發(fā)出一束銀原子蒸汽（基態(tài)）。銀原子穿過兩個平行的狹縫后形成沿x方向運動的速度為v的銀原子直線束，穿過磁場區(qū)后落到屏上N-S磁極間產(chǎn)生的是非均勻磁場，梯度方向沿

z方向，進入磁場的原子束受到作用力

z為磁矩在磁場方向的分量。原子束在磁場區(qū)內(nèi)運動方程：D是原子從磁極處到觀察屏的垂直距離；銀原子沿

z方向移動的距離為討論與分析按照經(jīng)典理論，磁矩在z方向的取值連續(xù)變化，則銀原子的束斑沿z連續(xù)分布；按照量子力學(xué)理論，電子軌道磁矩在z方向的分量為2l+1=1（銀原子基態(tài)l=0），只有一個束斑。斯特恩-蓋拉赫實驗首次證實了原子角動量在磁場空間取向的量子化，同時直接證實了電子自旋的存在。它還提供了測量原子磁矩的一種辦法，為原子束和分子束實驗技術(shù)奠定了基礎(chǔ)。實驗結(jié)果：在z方向觀察到兩個銀原子束斑。經(jīng)典理論和量子力學(xué)理論均不能解釋斯特恩——蓋拉赫實驗現(xiàn)象。說明還有新的理論存在。按照量子力學(xué)解釋，磁矩在空間的取向是量子化的，結(jié)合實驗觀察的結(jié)果，這個角動量的量子數(shù)取值為1/2。顯然它不是軌道角動量（量子數(shù)取非負整數(shù)），應(yīng)當是一個新的角動量，這就是自旋角動量。

斯特恩因此而獲得1943年度諾貝爾物理學(xué)獎?！?0.3電子自旋的假設(shè)與電子自旋磁矩G.Uhlenbeck（烏倫貝克）-S.Goudsmit（古德斯密特）假設(shè)（1）每個電子除了繞核旋轉(zhuǎn)以外(軌道運動)，還存在繞其自身軸線旋轉(zhuǎn)的自旋運動，并且有角動量S在空間任何方向的投影只能取兩個值（2）每個電子都具有自旋磁矩Ms，它在空間任何方向（比如z方向）的投影為電子自旋運動與電子的“軌道”運動不同，主要表現(xiàn)兩方面：電子自旋值為，而不是的整數(shù)倍；二者回轉(zhuǎn)磁比率不同自旋運動的回轉(zhuǎn)磁比率“軌道”運動的回轉(zhuǎn)磁比率自旋是電子的一種內(nèi)稟屬性，和電子的坐標以及動量無關(guān)，是描述電子運動狀態(tài)的第四個變量或自由度（由電子狀態(tài)變量由空間坐標和自旋取向描述）。自旋角動量用自旋算符描寫，它無經(jīng)典對應(yīng)，因為不能寫成坐標和動量的函數(shù)。

§10.4電子自旋態(tài)與自旋算符考慮自旋后，電子的波函數(shù)寫為二分量形式：表示自旋向上且位置在r處的概率密度；表示自旋向下且位置在r處的概率密度。其中電子自旋態(tài)的描述波函數(shù)的歸一化條件其中，自旋波函數(shù)為二分量的波函數(shù)，其矩陣形式為相應(yīng)的歸一化條件為電子自旋算符，泡利矩陣自旋算符電子的自旋角動量可用自旋算符描寫，它雖然無經(jīng)典對應(yīng)，但作為角動量，應(yīng)該滿足角動量的一般定義：分量形式本征方程自旋角動量在空間任意方向上的投影只能取兩個值。而任意分量算符的本征值都是，則因此，得到自旋量子數(shù)的取值泡利算符引進泡利算符，它和自旋算符之間的關(guān)系為泡利算符有以下性質(zhì)：對易關(guān)系反對易關(guān)系分量算符的平方相應(yīng)的本征值為1。而分量算符的本征值為。泡利矩陣

電子的自旋算符是作用在電子波函數(shù)上的，電子波函數(shù)寫成二行一列的矩陣，因此自旋算符應(yīng)該是二行二列的矩陣。設(shè)本征方程為因此有同理得

z的矩陣形式上式實際上就是在

z的自身表象中的矩陣表示，矩陣是對角化的，對角矩陣元分別等于兩個本征值。再求泡利算符的矩陣表示。令反對易關(guān)系于是簡化為再根據(jù)厄米性要求可得；再由，得這里采用了泡利取法利用對易關(guān)系得至此就得到泡利算符的矩陣表示，稱為泡利矩陣，即§10.5總角動量的本征態(tài)總角動量算符定義：總角動量算符總角動量算符的性質(zhì)總角動量算符的本征態(tài)由上述對易關(guān)系，可選擇一組守恒量完全集的共同本征函數(shù)作為總角動量的本征函數(shù)（包括角度部分和自旋）。在表象中，設(shè)此共同本征函數(shù)為經(jīng)過較復(fù)雜的運算過程，得到以下波函數(shù)：當時當時其中，其中，§10.6堿金屬原子光譜的精細結(jié)構(gòu)鈉黃光的精細結(jié)構(gòu)自旋與軌道耦合解釋電子繞原子核運動的等效相對運動電子軌道與自旋耦合作用引起的附加能量為由畢奧-薩伐爾定律、電子磁矩的定義及相對論效應(yīng)，進一步算得光譜實驗觀察的是微觀粒子能量的平均效應(yīng)，其中又由對于單電子()，有由此得到原來單能級分裂成以下兩個能級（l=0除外）：因此，電子自旋-軌道耦合引起的能級分裂（l=0除外）或者因此考慮了堿金屬原子的價電子自旋與軌道耦合相互作用后，就可以定性解釋其光譜的精細結(jié)構(gòu)。實驗觀察到的堿金屬原子光譜精細結(jié)構(gòu)的能級間隔見下表。量子力學(xué)解釋考慮堿金屬原子價電子的自旋-軌道耦合作用，其哈密頓算符為體系的本征態(tài)可以選力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)能量本征方程為若給定勢函數(shù)V(r)，則可以解出其能級的分裂結(jié)果。若把電子自旋-耦合項視作微擾，還可以得到能級躍遷的選擇定則：注意到§10.7反常塞曼效應(yīng)當外磁場較弱，體系的哈密頓量中包含電子的自旋-軌道耦合