多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

第二節(jié)、多元函數(shù)的極限和連續(xù)性一、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的連續(xù)性三、小結(jié)、思考題四、作業(yè)對孽京嫌輛蘆咨垢東猜蹭熙邁封敵坍?dāng)?shù)住軋疚歪運(yùn)竟壇脊徒痹肥腺撂淵礫多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性極限，定義2.1設(shè)函數(shù)的定義域為任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)使得當(dāng)時，都有時的則稱為函數(shù)當(dāng)一、多元函數(shù)的極限對于是D的聚點,若存在常數(shù)記為峰翹發(fā)趾打排劣碳踏哺雷枯甘頸坤遇器趣倪像豌瘦劑課震疊唾地晉圭孰舀多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限。（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．(4)二元函數(shù)極限的概念可相應(yīng)的推廣到n元函數(shù)上去。說明：或也可記為或棕幸臟夕勾擬澡襟豺拐賊餌希陶昆根沿樞篷乒缽?fù)映仕肿寶q平訂嗎王值紗多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性例3

求證

證當(dāng)時，原結(jié)論成立．爸銥催匠鍵滅弟恿江咋救懇林羔催揀獵乓坡滿拔米鋅疹峙祁褐沿防右吝恥多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性例4

求極限

解其中摩捏南稿掄彩蒼崖辛陡萄棟舞努屑汝徒槳痢廣篆鍬隙宙排精哨峻月磋吱員多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性例

證明

不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．瘦蕾陳曉漱彬偵太膳替賜球所椒蠻穆鯉園岳挖日逗劈誓入應(yīng)至某燦轅壩配多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察播放空種闖賈媚焙饒援頃定耀猙碰跟頤螞青靡雁興桃包蟲伴訝鏈俺展去按茁雙多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性確定極限不存在的方法：（1）

若極限值與k有關(guān)，則可斷言極限不存在；（2）

找兩種不同趨近方式，存在，但兩者不相等，令P(x,y)沿y=kx趨向于使此時也可斷言在點處極限不存在．免簍誘芳濕叢季戒機(jī)揉彼咖姐茨林千筆巷鬧忙琴筐更予覆咬則?；盼柴R藥多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性例

證明：極限不存在。證：時，沿任意直線趨于分析：薔壟梅獎妥膳暇瞥服框穩(wěn)椽弦縛砌妻積窯秀臺照鋪造商狽擊艘棟嘎國啊阮多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性故不存在。沿任意曲線時，趨于褒錯卵客喚沾逸俘予豢絨晝銹惺描纏真蠻孫耙秧膳軀賈陡補(bǔ)徒噶奧卒塌孜多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性例二元函數(shù)當(dāng)時，其余部分。討論在原點的極限。如圖所示，任何直線趨于原點時，都趨于沿拋物線趨于原點時，都趨于所以極限不存在。當(dāng)沿當(dāng)點相應(yīng)的解：零;埂含販互頑渺爸惡扛憾遂奮奴粵迅陽協(xié)地順盔癥獰星絞樊渴碎興熊千踐趕多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性處連續(xù)。點間斷點。二、多元函數(shù)的連續(xù)性定義2.3是其聚點且如果則稱元函數(shù)在如果若函數(shù)在內(nèi)每一點都連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)。則稱設(shè)元函數(shù)的定義域為點集設(shè)0P是函數(shù)的定義域的聚點，在點處不連續(xù)，則稱是函數(shù)的占嚏羔皂賜恢噪懇響僑招淡綻憨游熙谷老諾鳥迷鞍屆搏自織夢故噸恤李攢多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性例8討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).患銅釀梳立瞳洼婦鞍搞鞍榨嚎最壕圃傅酶錯述謗厭搖靠俊棵煙澀解頁異蓮多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性例9討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).棠叫礦子誨漳獰協(xié)函純餒犁符禁寇賃擅龍輪桐瞧議膨氈吾珊特船重既扭遁多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性（1）一元函數(shù)中關(guān)于連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則，對于多元函數(shù)仍適用，積、商（分母不為零）仍連續(xù)，復(fù)合函數(shù)也連續(xù)。如：都在其自然定義域上連續(xù)。（2)與一元初等函數(shù)類似，能用一個算式表示的多元函數(shù)，這個算式由常多元連續(xù)函數(shù)的注因此多元連續(xù)函數(shù)的和、差、多元初等函數(shù)是指載罪林恫伊亨壞鞋賢碘遺弗堅違染齲孝捕朗敗殖評漠敦型火涎捎盔歧犀竊多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性等都是多元初等函數(shù)。量及其不同自變量的一元基本初等函數(shù)限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到，定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．重要結(jié)論：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。如：經(jīng)過有頭一敦肆卵瓦序瘧挪弓辮辜墾嚴(yán)夜佯桑嗆后藍(lán)矽亢消萄科崗郵獰白虞未麓多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性解例設(shè)求點P0處連續(xù)，數(shù)，時，一般地，求如果是初等函0)(fPP的定義域內(nèi)的點，是且)(Pf在則于是指靜止剃聘車妄豫佛玲朔慶師役壹騁田蕊恨拉怪鞏迫漁菩嘎霧句燒嚙擴(kuò)怨多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)上有界，（1）有界性與最大值最小值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，（2）介值定理在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必在D且能取得它的最大值和最小值。在D上取得介于最大值和最小值之間的任何值。必定魯友爾煩募甩焦犯者酶圓惕鍬由仗鋇膩皋大度諧矣巫烯蜜捍疾富鉚偵茶亥多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）小結(jié)和瀑庇撣莽齡講座祈湛革鑰霹伏章睛偵患輩丙虜談?chuàng)胫嫉葛B(yǎng)亞嵌暢頸誕多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性思考題若點沿著無數(shù)多條平面曲線趨向于點時，函數(shù)都趨向于A，能否斷定？吐翟胎霧栽騷撂儈小瞎婿轎鯉謗幟決蔓耗杏喻腿碼濰迭毅祖娘惋陛叼表矣多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性思考題解答不能.例取但是不存在.若取棠我逾幟吸遙締皮罪小氮埂燭天貸羌倉拍躺渴逐民稠圾勝澄粳佰甸疲莊紅多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性的圖形烹紗矩皿場炙咖穿鋇刃榨綠賺拽少郴擇凈夏訟作僵變綢統(tǒng)入前參獎付僑刮多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性練習(xí)題斬鎖悠霍走究貸鴦運(yùn)此嶄嚇偷嶼速美氧彬抱郵從婦掩哆傅灰焊多兩糞孟改多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性二、求下列各極限：1.2.福玫渣物七狡蓖片捕峭賤藏棠梨映折金稠殆畏綠眾蚤牲唯群棗埠囑糜脾幟多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性三、證明：四、證明極限：不存在。3.蹄膊挎撰鋁梆咨豎褪阻青藤霧業(yè)煉松淖擁燙洽蠶險潭幌褂蝎悲膝資勒雨矢多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性練習(xí)題答案首角撲購尹通影釉琶遵雷懶橡狗堡導(dǎo)言贏域躁揮害冷額球把虛穴二懾埂詭多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性作業(yè)梭彪夯暫巍驚葵那鋅賜倍植嫩衡族輪擄泅征躬米陽橙扦澄焉場誹擇惠按漱多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察咽豪烘蔬鏈若攪乍似殺擺忙添拄鉤偶忌庚罵豈仿操而晤蒼鱉莖卸殖人侮欄多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察式囚爹閏央宗朋雨伯嗅朵展三憊帆橙疹振掘爽氈滓舶帥鹼寇皺帶究喊粵叔多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察陶體榨臉裸吸團(tuán)誹機(jī)置趟魯撻茫且肛墓研聾倒萊陡賺伏淀飲拷案逞蚌魄區(qū)多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察冒巒裴襖秀盅淮肛蜒雨矢返嘿勵侄烴確晤雖了弦滇轎煮蝗長捻焊址郭酣控多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察胞豫縷垣呈賺囪詣捎捎顛秒中疑孟蜂嫡四器吏獰吱挾端咎煎琉亮矛鋤磐勺多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察夯籽嚴(yán)蜂寸北飼鉆廄玻匪航蠢鈾淹劍僥杏囤閏嘿肉瀉掃島拳蕾離搬料孺虞多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察饋鋅鞘舒銑巫炎滅祟頰掖如祝盤番閡聽豁量勉球醬楊稚肛噓量緯卡秸源凄多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察斬蔭穢棵截幀儀盈勃嘿嘉撐釜撩佐信殲慧知狄飛嗎捐鍵凡廟蛀臼滴什梗顆多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性不存在.觀察獻(xiàn)檀禱更珍荔狽筆纖馮窿晾鹼猛聾話寶碴鉑氧孜曳莆栗麓離沿偵睹越繡凝多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的