平面直角坐標系

.1.2平面直角坐標系教學設計一、內容和內容解析1．內容結合豐富實例，理解平面直角坐標系及相關概念，能用平面直角坐標系解決簡單問題．2．內容解析本節(jié)課突破課時的界限，從整體上把握教學要求，安排教學內容，整合“7.1平面直角坐標系”二個課時的內容，構建學科縱向整合的教學模式．教學中，采用螺旋上升的方式編排教學內容，借鑒數軸學習的一般方法，讓學生體會知識之間的內在聯系．因為課堂時間的局限性，平面直角坐標系的相關內容后續(xù)還需要深化學習．本節(jié)課結合學生已有的知識和經驗，經歷用數對表示物體位置的過程，并觀察數對的特點，使學生感受有序的必要性，加深對有序的理解，進一步感受用有序數對確定平面內物體的位置，為建立平面直角坐標系以及在平面直角坐標系中利用坐標來確定一個點的位置作鋪墊．“平面直角坐標系”是“數軸”的發(fā)展，使點與坐標的對應關系順利實現了從一維到二維的過渡．“平面直角坐標系”的建立使有序數對與平面內的點產生了一一對應，提供了用代數方法來研究幾何問題的重要數學工具．本節(jié)課，先在具體情境中學習用有序數對表示物體的位置，然后再介紹數軸上點與坐標的一一對應，在此基礎上說明建立平面直角坐標系的必要性以及合理性，同時引入相關的概念，以及平面內點與坐標是一一對應的結論．坐標軸上的點的特征本節(jié)課不進行研究和學習，對于平面直角坐標系中象限的概念，本節(jié)課也只作簡單介紹，下節(jié)課再進一步細化學習平面直角坐標系中的相關概念．一般地，在平面內互相垂直且原點重合，分別位于水平位置與鉛直位置的兩條數軸組成平面直角坐標系，習慣取向右、向上為正方向．建立了平面直角坐標系后，坐標平面內的每一個點都可以用一個坐標來表示，反過來，任何一個坐標都可以在坐標平面內找到唯一確定的點，從而建立坐標平面內點與坐標（有序數對）的一一對應，體現了數形結合的思想．最后，以定義為依據，探討如何在坐標平面內建立適當的平面直角坐標系，體會坐標表示的多樣性．同時，在平面內建立不同的平面直角坐標系，不改變點之間的位置關系，圖形的大小和形狀特征。理解坐標不僅具有定位功能，還能通過數量關系刻畫圖形的關鍵點，從而刻畫圖形的位置、大小和形狀特征．由以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點：平面直角坐標系及相關概念．二、目標和目標解析1．目標(1)會用有序數對表示物體的位置．(2)理解平面直角坐標系的相關概念．(3)掌握平面直角坐標系內點與坐標是一一對應的．(4)對給定的長方形會選擇適當的平面直角坐標系，寫出它的頂點的坐標，體會用坐標刻畫圖形．2．目標解析達成目標(1)的標志是：學生在實際生活情境中，感受有序數對在確定物體位置過程中的作用，體會有序數對中兩個數的順序的重要性．達成目標(2)的標志是：學生理解平面直角坐標系中兩條數軸一般具備的特征：互相垂直；原點重合；分別取向右、向上為正方向，能在平面直角坐標系中理解x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、原點、坐標、象限等相關概念．達成目標(3)的標志是：學生理解建立平面直角坐標系的必要性，體會平面內點與坐標的“一一對應”，即在給定的平面直角坐標系中，學生根據已知點的位置能寫出對應點的坐標，由點的坐標找到唯一確定的點．達成目標(4)的標志是：對給定的長方形學生可以依據平面直角坐標系的定義，建立適當的平面直角坐標系，寫出這個長方形各個頂點的坐標．體會不僅可以用坐標來確定圖形的位置，而且可以通過數量關系來刻畫圖形的形狀特征和位置關系．三、教學問題診斷分析學生在小學階段對“用數對表示具體情境中物體的位置”有一定的了解，在具體情境中能夠認識物體位置與有序數對的對應關系，但七年級學生的認知水平和學習經驗上的不足，決定了學生的數學抽象思維能力以及用數學語言表達思維對象的能力還有欠缺．平面內點的坐標是根據數軸上點的坐標來定義的，平面內點與坐標的對應關系雖然與數軸上點與坐標的對應關系類似，但學生畢竟在認識上第一次從一維空間向二維空間過渡，因此理解建立平面直角坐標系的必要性和體會其中蘊含的點與坐標的一一對應關系都比較困難．由以上分析，本節(jié)課的教學難點是：理解建立平面直角坐標系的必要性，體會平面直角坐標系中點與坐標的一一對應關系．四、教學媒體支持分析本節(jié)課使用《幾何畫板》軟件，結合網格圖，動態(tài)演示在坐標平面內，不同的平面直角坐標系下，點的坐標發(fā)生變化，但是點之間的相對位置和圖形的大小、形狀特征不變．通過教學平臺的投屏功能展示學生的活動過程．五、教學過程設計1．情境引入，激發(fā)興趣問題1在慶祝建國70周年的聯歡活動中，天安門廣場上的這些巨幅圖案，它們是怎么組成的？師生活動：教師播放視頻，引導學生描述：每位演員用列數、排數確定自己的位置，組成巨幅圖案．設計意圖：通過觀看70周年國慶聯歡活動的視頻，讓學生感受在具體情景中利用列數、排數能夠確定位置，激發(fā)學生學習的主動性和積極性．問題2你能再舉出這樣的例子嗎？師生活動：學生舉出生活中利用有序數對確定平面內物體位置的例子，教師引導學生分析所舉事例．設計意圖：讓學生體會用兩個數能夠描述平面內物體的位置，使學生感受有序的必要性，加深對有序的理解．問題3

結合教室的平面圖，圖1．你能根據以下座位，找到對應的同學參加數學興趣小組嗎？(2，4)，

(3，2)，(4，

2)，(2，

1)，師生活動：學生思考，回答．教師關注學生描述前是否標記列數和排數，是否約定表示的順序，否則不能確定參加數學興趣小組的同學的位置．追問(1)：假設在問題3中約定“列數在前，排數在后”，你能在圖中標出這些同學的座位嗎？師生活動：學生用彩筆標記參加數學興趣小組的同學的座位．追問(2)：由上面可知，“第2列第4排”簡記為(2，4)(約定列數在前，排數在后)．那么“第5列第6排”能簡記做什么？

(3,5)表示的含義是什么？(2，4)和(4，2)在同一個位置嗎？師生活動：學生根據問題教師提問回答．給出有序數對的概念：上面的活動是通過像“第2列第4排、第3列第2排”這樣含有兩個數的表達方式來表示一個確定的位置，其中兩個數各自表示不同的含義，例如前邊的數字表示列數，后邊的數字表示排數，我們把這種有順序的兩個數a與b所組成的數對，叫做有序數對，記作(a，b)．設計意圖：讓學生再次經歷用有序數對表示物體位置的過程，感受有序數對的“有序性”，體會有序的必要性，抽象出有序數對的概念．2．復習回顧，建立模型問題4提出問題：(1)怎樣畫出一條數軸？(2)如圖2，A，B兩點所表示的數分別是什么？(3)數“5”表示的點是誰？師生活動：學生回答問題后，教師引導學生得出數軸上點的坐標的定義：數軸上每個點都可以用一個實數表示，這個實數叫做這個點在數軸上的坐標．追問：在數軸上已知點能說出它的坐標，由坐標能在數軸上找到對應點的位置．那么數軸上的點與坐標有怎樣的關系？師生活動：學生回答，教師指出：數軸上的點與坐標是“一一對應”的．設計意圖：從學生熟悉的數軸出發(fā)，給出數軸上點的坐標的定義，建立點與坐標的一一對應關系，為后面類比學習利用平面直角坐標系確定平面上點的位置進行鋪墊．3．類比學習，形成概念問題5類似于利用數軸確定直線上點的位置，結合學習的有序數對，回答問題．你能找到一種方法來確定平面內點P的位置嗎？師生活動：以問題3為例，教師給予適當的引導，梳理解決問題的過程：點P所在的平面內有一些方格線，利用學習的有序數對，約定“列數在前，排數在后”，如圖3，點P在“第1列第2排”，記為（1，2）．受上述方法的啟發(fā)，為了確定平面內點M，N的位置，引導學生聯想數軸的表示，繼續(xù)標記這些縱橫交錯的直線．我們把其中兩條作為基準，一條看作橫向的數軸，另一條看作縱向的數軸．此時，列數對應的是橫向數軸的坐標，排數對應的是縱向數軸的坐標，這兩條數軸有公共原點且互相垂直．(圖4)追問（1）：在圖4中，點P記為（1，2）類比點P，你能寫出點M記作什么嗎？點N呢？師生活動：學生回答，教師適當引導．（點M記為（-1，3），點N記為（-2，-2）．）引入平面直角坐標系教師指出：平面直角坐標系也叫平面笛卡兒直角坐標系．它是法國數學家笛卡兒最先引入的，笛卡兒設想將幾何問題數量化，從而使其變成一個代數問題，用代數學的方法解決幾何問題．平面直角坐標系架起了數與形的橋梁，它是解決數形結合等相關問題的重要工具．追問（2）：平面直角坐標系兩條數軸有哪些特征？師生活動：描述平面直角坐標系的特征：兩條數軸、互相垂直、原點重合．

追問（3）：在這個平面直角坐標系中，怎么確定正方向？什么是橫軸？什么是縱軸？什么是坐標原點？師生活動：教師引導學生描述平面直角坐標系．水平的數軸稱為x軸或橫軸，一般取向右方向為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，一般取向上方向為正方向．

兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點，記為點O．

設計意圖：引導學生結合有序數對的知識，類比利用數軸上確定直線上的點的學習方法，學習如何確定平面內點的位置，讓學生在解決具體問題的過程中，自然而然地建立平面直角坐標系，并理解相關概念，培養(yǎng)學生在情境中抽象出數學概念，積累從具體到抽象的活動經驗．問題6在平面直角坐標系中，你能表示（圖5）點A的位置嗎？師生活動：由點A向x軸、y軸分別作垂線，垂足M在x軸上的坐標是4，點A的橫坐標記為4，垂足N在y軸上的坐標是2，點A的縱坐標記為2，有序數對（4，2）就叫做點A的坐標，記作A（4，2）．(注意：表示點的坐標時，必須橫坐標在前，縱坐標在后，中間用逗號隔開．)類似地，請寫出點B的坐標．追問（1）：例在平面直角坐標系中，點A,B,C,D,E的坐標分別是什么？師生活動：學生自主思考，說出坐標，并說明理由.追問（2）：在上述平面直角坐標系中，x軸和y軸上點的坐標有什么特點？原點坐標是什么？師生活動：教師適當引導：從上面聯系中發(fā)現①x軸上點的縱坐標為0，一般記為（x,0）;②y軸上點的縱坐標為0，一般記為（0,y）;③原點O的坐標是（0,0）.設計意圖：在給出平面直角坐標系的定義之后，及時安排用坐標表示點的練習.先表示一般點的坐標，再表示特殊點的坐標，這樣符合學生的認知規(guī)律，使學生更容易理解和掌握所學的知識.追問（2）：建立平面直角坐標系后，坐標平面被兩條坐標軸分成了哪幾個部分，分別對應什么象限？師生活動：建立平面直角坐標系后，坐標平面被兩條坐標軸分成了4個部分，每個部分稱為象限，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．坐標軸上的點不屬于任何象限(圖6)．設計意圖：類比數軸上點的坐標的定義，學習坐標平面上點的坐標的定義，引導學生用有序數對來表示平面上點的位置．平面直角坐標系中象限的概念，本節(jié)課只作簡單介紹，下節(jié)課再進一步細化學習平面直角坐標系的相關概念．例如果點（a，3）是第二象限的點，你能說出a的取值范圍嗎？（2，b）是第四象限的點，你能說出a的取值范圍嗎？設計意圖：設計含有參數的問題，蘊含數形結合的數學思想，培養(yǎng)學生邏輯推理的數學素養(yǎng)。問題7數軸上點與坐標是一一對應的，那么坐標平面上的點與坐標又是什么關系？師生活動：用類比的方法可以得到坐標平面上的點與坐標(有序實數對)也是一一對應的．設計意圖：引導學生類比數軸上的點與坐標的關系，歸納坐標平面上的點與坐標之間的關系．應用練習，拓展提升1.請在如下的網格圖以點O為原點畫出規(guī)范的平面直角坐標系．1)請寫出點A,B,C,D,E的坐標．2)請你說出以下點的位置在第幾象限，再在圖中描出點F（3,2）G（-2，3）H（0，-3）I（2，3）如果我們以點C為原點建立平面直角坐標系．你能說出A,B,O,D,E點的坐標嗎？設計意圖：能獨立繪制平面直角坐標系，學生能在給定的直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置、由點的位置寫出它的坐標。學生加深對概念理解的同時，歸納平面直角坐標系上的點與有序數對之間的一一對應關系，進一步發(fā)展直觀想象的核心素養(yǎng)；2．①如圖8，在平面直角坐標系中，描出下列各點：A（-3，2），B（-1，2），C（-1，-2），D（1，2），E（1，-2），F（3，-2），G（3，2）．連接AB，BC，再順次連接D，E，F，G四個點，描述平面內的圖案．結合網格圖，觀察四邊形DEFG，探究線段DE，FG有什么位置關系和數量關系？線段DE和EF的位置關系？觀察得到的圖形，描述它的形狀特征．師生活動：學生獨立完成描點，在教師的引導下觀察并描述圖案．結合網格圖探究線段的位置關系和數量關系，并描述判斷的理由．以上述判斷為依據，描述圖形的形狀特征．設計意圖：在平面直角坐標系中，教師引導學生首先描出“70”的圖案，與本課引例視頻中的國慶聯歡活動相呼應，幫助感受利用平面直角坐標系中的坐標來確定關鍵點，描繪出豐富的圖案，從而進一步激發(fā)了學生的學習熱情．體會已知點的坐標不僅能夠刻畫點的位置，還能刻畫圖形的位置、大小和形狀特征．②已知①中長方形DEFG，請另建立一個適當的平面直角坐標系，這時圖形頂點D，E，F，G的坐標又分別是什么？①中得出的線段DE，FG之間的關系還是否成立？與同學們交流．師生活動：引導學生結合網格，以平面直角坐標系的定義為依據，選定適當的原點與坐標軸建立平面直角坐標系．描述不同坐標系下的點的坐標情況及DE，FG的關系．通過人人通教學平臺的投屏功能展示學生的活動過程，組內交流，全班匯報．使用《幾何畫板》軟件，動態(tài)演示在坐標平面內，不同的平面直角坐標系下，點的坐標發(fā)生變化，但是點之間的相對位置和圖形的大小、形狀特征不變．設計意圖：學生學習如何在平面內建立適當的平面直角坐標系．教師引導學生體會坐標的表示是多樣的，即在不同坐標系下，點的坐標不同，但是不影響點之間的位置關系，不影響圖形的大小和形狀特征．5．小結歸納教師和學生一起回顧本節(jié)課所學內容，并請學生回答以下問題：(1)我們這節(jié)課學了什么？(2)我們是怎