第4章三角形證明 題型解讀11 全等典型模型：“一線三等角”模型-2020-2021學(xué)年北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊

《三角形證明》題型解讀11全等典型模型：“一線三等角”模型【知識梳理】(一)“一線三等角模型”題型特征：圖形的某條線段上出現(xiàn)三個相等的角，如圖中∠B=∠2=∠C解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（BE=AC或EF=AE或BF=EC），必證△BEF≌△CAE（AAS或ASA）證明過程：∵∠1=180°-∠2-∠3，∠4=180°-∠C-∠3，∵∠2=∠C，∴∠1=∠4，∵∠B=∠C，若BE=AC或EF=AE或BF=EC，則△BEF≌△CAE（AAS或ASA）（二）“三垂直模型”(“一線三直角模型”)1.基本圖形題型特征：圖形的某條線段上出現(xiàn)三個直角，如圖中∠B=∠AED=∠C=90°解題方法：只要題目再出現(xiàn)一組等邊（AB=EC或BE=DC或AE=DE），必證△ABE≌△ECD（AAS或ASA）證明過程：∵∠B=∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A，∵∠B=∠C=90°，若AB=EC或BE=DC或AE=DE，則△ABE≌△ECD（AAS或ASA）2.兩種變化圖形（1）“交叉型”三垂直模型（2）“L型”三垂直模型【典型例題】例1.如圖，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40o，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE=40o，DE交線段AC于點E．（1）當(dāng)∠BDA=115°時，∠EDC=________,∠AED=___________；（2）線段DC的長度為何值時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【解析】（1）∠EDC=25°,∠AED=65°；（2）當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADE=40o，∴∠ADB+∠CDE=140°,∵∠B=40o，∴∠ADB+∠BAD=140°,∴∠BAD=∠CDE,∵AB=AC，∴∠B=∠C,在△ABD與△DCE中，∵∠B=∠C,∠BAD=∠CDE,AB=CD=2,∴△ABD≌△DCE；（3）由于題目未明確等腰△ADE的腰與底，故需要分類討論，再利用等腰三角形性質(zhì)及三角形內(nèi)角和公式、外角定理即可求解。∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=40o.①當(dāng)AD=AE時，∴∠AED=∠ADE=40o，∵∠AED是∠C的外角，∴∠AED>∠C，故不存在，舍去；②當(dāng)AD=DE時，∴∠DAC=（180o-40o）÷2=70o，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70o+40o=110o；③當(dāng)AE=DE時，∠DAE=40o，∴∠BDA=∠DAE+∠C=40o+40o=80o；綜上所述，當(dāng)△ADE是等腰三角形時，∠BDA的度數(shù)為110°或80°.例2.如圖，長方形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF=EC，DE=2，長方形的周長為16，求AE的長.解析：由“一線三垂直模型”易證△AEF≌△DCE，則AE=CD，∵長方形的周長為16，∴AD+CD=8，即AE+CD=6,∴AE=3.例3．在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，分別過B、C作過A點的直線的垂線，垂足為D、E．（1）求證：△AEC≌△BDA；（2）如果CE＝2，BD＝4，求ED的長是多少？解析：（1）證明：∵CE⊥ED，∴∠CEA＝90°，∵BD⊥ED，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△AEC和△BDA中，∠CEA=∴△AEC≌△BDA（AAS）；（2）解：∵△AEC≌△BDA，∴AD＝CE＝2，AE＝BD＝4，∴ED＝AE+AD＝4+2＝6．例4.（1）已知，如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥m于點D，CE⊥m于點E，求證：DE=BD+CE；（2）如圖②，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意鈍角，請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由.解析：（1）由“一線三垂直