浙江省金華十校高三上學期11月模擬考試數(shù)學試題

金華十校2023年11月高三模擬考試數(shù)學試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時間120分鐘．試卷總分為150分．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集運算的定義即可得出答案．【詳解】由得，，故選：C．2.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法法則計算可得.【詳解】.故選：D3.己知向量，且與共線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的共線的坐標運算可得解.【詳解】，，又與共線，，化簡得.故選：C.4.有一組樣本數(shù)據(jù)，則（）A.這組樣本數(shù)據(jù)的極差不小于4 B.這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不小于4C.這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不小于3 D.這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念判斷即可.【詳解】樣本數(shù)據(jù)中，對于A，顯然這組樣本數(shù)據(jù)的極差大于等于，故A正確；對于B，若，則平均數(shù)為，故B錯誤；對于C，若，則中位數(shù)為，故C錯誤；對于D，若，則眾數(shù)為，故D錯誤.故選：A5.條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】舉反例即可說明充分性，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可判斷必要性，進而可求解.【詳解】當且時，，所以是的不充分條件，而時，則，所以，故是的必要條件，因此是的必要不充分條件，故選：B6.已知拋物線：為拋物線的焦點，為拋物線上的動點（不含原點），的半徑為，若與外切，則（）A.與直線相切 B.與直線相切C.與直線相切 D.與直線相切【答案】A【解析】【分析】設動點，，由與外切得出，結(jié)合拋物線焦半徑公式得出的半徑為，即可得出結(jié)論．【詳解】設動點，，如圖所示，與外切于點，則，由拋物線焦半徑公式得，，的半徑為，即，所以，即的半徑為，所以點到軸的距離為，則與直線相切，故選：A．7.已知，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得且、，再由，應用基本不等式求其最小值，注意取值條件.【詳解】由，，即，易知，所以，當且僅當時等號成立，此時，所以的最小值為.故選：D8.如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，為筒車轉(zhuǎn)動后盛水筒第一次到達入水點所需的時間（單位：），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時間的函數(shù)關系式，令即可求解.【詳解】設盛水桶在轉(zhuǎn)動中到水面的距離為，時間為，由題意可得，盛水桶到水面的距離與時間的函數(shù)關系如下：，令，即，解得，又，可得，，，故C正確；，，，故D錯誤；又，解得，故B錯誤；，解得，故A錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.在正方體中，與交于點，則（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理逐一證明即可.【詳解】對于A，因為且，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接交于點，連接，由正方體的分別為的中點，因為因為且，所以四邊形時平行四邊形，所以，則且，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正確；對于D，平面即為平面，而平面與平面相交，所以平面與平面相交，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C.函數(shù)在點處的切線方程為D.若關于的方程在區(qū)間上有兩解，則【答案】AC【解析】【分析】利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進而判斷AB選項；結(jié)合導數(shù)的幾何意義可判斷C選項；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項.【詳解】因為，，所以，令，即；令，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；因為，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯誤；因為，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即，故C正確；因為，函數(shù)大致圖象如圖，要使方程在區(qū)間上有兩解，則，故D錯誤.故選：AC.11.對于給定的數(shù)列，如果存在實數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，則（）A.等差數(shù)列是“線性數(shù)列” B.等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C.若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列” D.若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”【答案】ABD【解析】【分析】對A,B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進行判斷，C，找特例，代入即可判斷；D，結(jié)合定義，設出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實數(shù)即可.【詳解】對A，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，A正確；對B，數(shù)列等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，B正確；對C，是等差數(shù)列，設，則，若是“線性數(shù)列”，則，則應有，故不是“線性數(shù)列”，C錯誤；對D，是等比數(shù)列，設首項為，公比為，若時，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；若時，由，得，，累加的，則，經(jīng)驗證當時，滿足，則，若是“線性數(shù)列”，則存在實數(shù)，使得成立，則，，，則，則，則是“線性數(shù)列”，D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)和其導函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（）A.B.關于點對稱C.D.【答案】BD【解析】【分析】用特殊值法，假設，可判斷選項A；對進行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項B；對兩邊求導，可得，根據(jù)可判斷的周期性和對稱性，再根據(jù)特殊值關系，即可判斷選項C；由特殊值關系得到，，化簡，即可判斷選項D.【詳解】假設，則，都為偶函數(shù)，則所設函數(shù)符合題意，此時，所以A錯誤；因為為偶函數(shù)，所以，即，令，則，所以關于點對稱，故B正確；因為均為偶函數(shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關于直線對稱，即，因為，所以，所以，所以，，又，，所以，所以無法確定的值，所以C錯誤；又，，所以，又，所以，由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則，所以D正確.故選：BD【點睛】對稱性有關結(jié)論：若，則關于直線對稱；若，則關于直線對稱；若，則關于點中心對稱；若，則關于點中心對稱；周期性結(jié)論：若，則函數(shù)的周期為.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在二項式的展開式中，的系數(shù)為___________．【答案】【解析】【分析】求得二項展開式的通項，結(jié)合通項公式，確定的值，代入，即可求解.【詳解】由二項式展開式的通項為，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.己知梯形滿足且，其中，將梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設確定所得幾何體的構成，再應用圓錐和圓柱體積公式求組合體體積.【詳解】如下圖，梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐和圓柱的組合體，其中圓錐及圓柱底面都是半徑為的圓，圓錐的高為1，圓柱的高為2，所以幾何體體積為.故答案為：15.一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗．現(xiàn)進行四次試驗，則恰出現(xiàn)一次成功試驗的概率為___________．【答案】【解析】【分析】首先分析出做一次成功試驗的概率，設出現(xiàn)成功試驗的次數(shù)為，則，計算即可．【詳解】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點數(shù)之和為4的情況有3種，兩枚骰子點數(shù)之和為5的情況有4種，兩枚骰子點數(shù)之和為6的情況有5種，在一次試驗中，出現(xiàn)成功試驗的概率，設出現(xiàn)成功試驗的次數(shù)為，則，所以重復做這樣的試驗4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗的概率為，故答案為：．16.己知為橢圓上一點，分別為其左右焦點，為其右頂點，為坐標原點，點到直線的距離為，點到軸的距離為，若，且成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為___________．【答案】##【解析】【分析】設，，，由已知得出，再由橢圓定義得出，由成等比數(shù)列，得出，結(jié)合兩點之間距離公式，代入化簡整理即可求得離心率．【詳解】設，，，過點作軸于點，過作于點，如圖所示，則，所以，即，又因為，所以，即，由橢圓定義得，，則，又因為成等比數(shù)列，所以，則，所以，即，所以，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對的邊分別是，且．（1）求角；（2）為邊上一點，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行角化邊，結(jié)合余弦定理即可；（2）法一，在中，由余弦定理可求得，在結(jié)合余弦定理求，在中，應用余弦定理即可；法二，在，結(jié)合余弦定理求得，在，應用余弦定理求得，再由中結(jié)合正弦定理先求，進而結(jié)合誘導公式求得.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，所以．【小問2詳解】方法一：不妨取，則，中，由余弦定理可求得．在中，由余弦定理可求得．在中，由余弦定理可得．方法二：不妨取，則，在中，，則，則，，，中，，在中由正弦定理可得：，解得：，又因為，所以．18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點分別為的中點．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面垂直，再證明線線垂直，可得，，再利用線面垂直的判定定理可得平面；（2）為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，利用夾角公式求解公式.【小問1詳解】因為底面，底面，所以，因為為正方形，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為，點為的中點，所以．因為，平面，所以平面，因為平面，所以．同理可得，因為，平面，所以平面．【小問2詳解】如圖，以點坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系，設，則各點坐標分別為．由（1）可知是平面的一個法向量，記為，又平面的一個法向量為．所以平面與平面夾角的余弦值等于．19.設正項數(shù)列的前項和為，若．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若不等式對任意正整數(shù)均成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應用得出等差數(shù)列再求數(shù)列通項公式即可;（2）應用裂項相消求和結(jié)合不等式恒成立求解.【小問1詳解】當時，，所以；當時，且，兩式相減并整理可得．因為為正項數(shù)列，所以，所以．【小問2詳解】有（1）可知，，，故，可化為，因為恒成立，所以．20.2023年9月8日，第19屆亞運會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．（1）組委會從全省火炬手中隨機抽取了100名火炬手進行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計20801006635根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關聯(lián)；（2）在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？【答案】（1）全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯(lián)）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）設表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：零假設為：：全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯(lián)），根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計算得，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認定為成立，全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨立（沒有關聯(lián)）．【小問2詳解】解：設表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，則，所以這位火炬手是男性的概率約為．21.已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點且交右支于兩點，點為線段的中點，點在軸上，．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若，求直線的方程．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線方程即可求解漸近線方程，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達定理，即可根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義將其轉(zhuǎn)化為，由坐標運算即可求解.【小問1詳解】由題知，，所以雙曲線的漸近線方程為．【小問2詳解】雙曲線的右焦點坐標為，由題知，直線AB的斜率不為0，設直線方程為，代入雙曲線中，化簡可得：，設,則．則∴線段中點的坐標為，直線方程為．（i）當時，點恰好為焦點，此時存在點或，使得．此時直線方程為．（ii）當時，令可得，可得點的坐標為，由于所以，由，即，也即：．化簡可得，解出，由于直線要交雙曲線右支于兩點，所以，即，故舍去．可得直線的方程為．綜上：直線方程為或或．22.已知．（1）若當時函數(shù)取到極值，求的值；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)．【答案】（1）1（2）答案見解析【解析】【