浙江省金華十校高三上學(xué)期11月模擬考試數(shù)學(xué)試題

金華十校2023年11月高三模擬考試數(shù)學(xué)試題卷本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．考試時間120分鐘．試卷總分為150分．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．選擇題部分（共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集運(yùn)算的定義即可得出答案．【詳解】由得，，故選：C．2.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則計(jì)算可得.【詳解】.故選：D3.己知向量，且與共線，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的共線的坐標(biāo)運(yùn)算可得解.【詳解】，，又與共線，，化簡得.故選：C.4.有一組樣本數(shù)據(jù)，則（）A.這組樣本數(shù)據(jù)的極差不小于4 B.這組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)不小于4C.這組樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不小于3 D.這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)等于3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)極差、平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念判斷即可.【詳解】樣本數(shù)據(jù)中，對于A，顯然這組樣本數(shù)據(jù)的極差大于等于，故A正確；對于B，若，則平均數(shù)為，故B錯誤；對于C，若，則中位數(shù)為，故C錯誤；對于D，若，則眾數(shù)為，故D錯誤.故選：A5.條件，條件，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】舉反例即可說明充分性，根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可判斷必要性，進(jìn)而可求解.【詳解】當(dāng)且時，，所以是的不充分條件，而時，則，所以，故是的必要條件，因此是的必要不充分條件，故選：B6.已知拋物線：為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上的動點(diǎn)（不含原點(diǎn)），的半徑為，若與外切，則（）A.與直線相切 B.與直線相切C.與直線相切 D.與直線相切【答案】A【解析】【分析】設(shè)動點(diǎn)，，由與外切得出，結(jié)合拋物線焦半徑公式得出的半徑為，即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)動點(diǎn)，，如圖所示，與外切于點(diǎn)，則，由拋物線焦半徑公式得，，的半徑為，即，所以，即的半徑為，所以點(diǎn)到軸的距離為，則與直線相切，故選：A．7.已知，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得且、，再由，應(yīng)用基本不等式求其最小值，注意取值條件.【詳解】由，，即，易知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，所以的最小值為.故選：D8.如圖，水利灌溉工具筒車的轉(zhuǎn)輪中心到水面的距離為，筒車的半徑是，盛水筒的初始位置為與水平正方向的夾角為．若筒車以角速度沿逆時針方向轉(zhuǎn)動，為筒車轉(zhuǎn)動后盛水筒第一次到達(dá)入水點(diǎn)所需的時間（單位：），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出盛水桶到水面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系式，令即可求解.【詳解】設(shè)盛水桶在轉(zhuǎn)動中到水面的距離為，時間為，由題意可得，盛水桶到水面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系如下：，令，即，解得，又，可得，，，故C正確；，，，故D錯誤；又，解得，故B錯誤；，解得，故A錯誤.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.在正方體中，與交于點(diǎn)，則（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理逐一證明即可.【詳解】對于A，因?yàn)榍?，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，連接交于點(diǎn)，連接，由正方體的分別為的中點(diǎn)，因?yàn)橐驗(yàn)榍?，所以四邊形時平行四邊形，所以，則且，所以四邊形時平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故C正確；對于D，平面即為平面，而平面與平面相交，所以平面與平面相交，故D錯誤.故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1C.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為D.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩解，則【答案】AC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷C選項(xiàng)；畫出函數(shù)大致圖象，結(jié)合圖象即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，，所以，令，即；令，即，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，，所以函?shù)在區(qū)間上的最大值為4，故B錯誤；因?yàn)?，，所以函?shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故C正確；因?yàn)?，函?shù)大致圖象如圖，要使方程在區(qū)間上有兩解，則，故D錯誤.故選：AC.11.對于給定的數(shù)列，如果存在實(shí)數(shù)，使得對任意成立，我們稱數(shù)列是“線性數(shù)列”，數(shù)列滿足，則（）A.等差數(shù)列是“線性數(shù)列” B.等比數(shù)列是“線性數(shù)列”C.若是等差數(shù)列，則是“線性數(shù)列” D.若是等比數(shù)列，則是“線性數(shù)列”【答案】ABD【解析】【分析】對A,B根據(jù)“線性數(shù)列”的定義進(jìn)行判斷，C，找特例，代入即可判斷；D，結(jié)合定義，設(shè)出等比數(shù)列，代入求的，再結(jié)合線性數(shù)列的定義，看是否存在實(shí)數(shù)即可.【詳解】對A，數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，A正確；對B，數(shù)列等比數(shù)列，則，即，滿足“線性數(shù)列”的定義，B正確；對C，是等差數(shù)列，設(shè)，則，若是“線性數(shù)列”，則，則應(yīng)有，故不是“線性數(shù)列”，C錯誤；對D，是等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公比為，若時，，則，滿足“線性數(shù)列”的定義；若時，由，得，，累加的，則，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時，滿足，則，若是“線性數(shù)列”，則存在實(shí)數(shù)，使得成立，則，，，則，則，則是“線性數(shù)列”，D正確.故選：ABD12.已知函數(shù)和其導(dǎo)函數(shù)的定義域都是，若與均為偶函數(shù)，則（）A.B.關(guān)于點(diǎn)對稱C.D.【答案】BD【解析】【分析】用特殊值法，假設(shè)，可判斷選項(xiàng)A；對進(jìn)行變形處理，即可判斷其對稱性，從而判斷選項(xiàng)B；對兩邊求導(dǎo)，可得，根據(jù)可判斷的周期性和對稱性，再根據(jù)特殊值關(guān)系，即可判斷選項(xiàng)C；由特殊值關(guān)系得到，，化簡，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】假設(shè)，則，都為偶函數(shù)，則所設(shè)函數(shù)符合題意，此時，所以A錯誤；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，令，則，所以關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；因?yàn)榫鶠榕己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，，又，，所以，所以無法確定的值，所以C錯誤；又，，所以，又，所以，由知函數(shù)周期為4，則的周期也為4，則，所以D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】對稱性有關(guān)結(jié)論：若，則關(guān)于直線對稱；若，則關(guān)于直線對稱；若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；若，則關(guān)于點(diǎn)中心對稱；周期性結(jié)論：若，則函數(shù)的周期為.非選擇題部分（共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為___________．【答案】【解析】【分析】求得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，結(jié)合通項(xiàng)公式，確定的值，代入，即可求解.【詳解】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，所以展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14.己知梯形滿足且，其中，將梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得到幾何體的體積為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)確定所得幾何體的構(gòu)成，再應(yīng)用圓錐和圓柱體積公式求組合體體積.【詳解】如下圖，梯形繞邊旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體為圓錐和圓柱的組合體，其中圓錐及圓柱底面都是半徑為的圓，圓錐的高為1，圓柱的高為2，所以幾何體體積為.故答案為：15.一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗(yàn)．現(xiàn)進(jìn)行四次試驗(yàn)，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為___________．【答案】【解析】【分析】首先分析出做一次成功試驗(yàn)的概率，設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為，則，計(jì)算即可．【詳解】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為4的情況有3種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的情況有4種，兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為6的情況有5種，在一次試驗(yàn)中，出現(xiàn)成功試驗(yàn)的概率，設(shè)出現(xiàn)成功試驗(yàn)的次數(shù)為，則，所以重復(fù)做這樣的試驗(yàn)4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗(yàn)的概率為，故答案為：．16.己知為橢圓上一點(diǎn)，分別為其左右焦點(diǎn)，為其右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到軸的距離為，若，且成等比數(shù)列，則橢圓的離心率為___________．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，，，由已知得出，再由橢圓定義得出，由成等比數(shù)列，得出，結(jié)合兩點(diǎn)之間距離公式，代入化簡整理即可求得離心率．【詳解】設(shè)，，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，如圖所示，則，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，由橢圓定義得，，則，又因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，則，所以，即，所以，故答案為：．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角所對的邊分別是，且．（1）求角；（2）為邊上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行角化邊，結(jié)合余弦定理即可；（2）法一，在中，由余弦定理可求得，在結(jié)合余弦定理求，在中，應(yīng)用余弦定理即可；法二，在，結(jié)合余弦定理求得，在，應(yīng)用余弦定理求得，再由中結(jié)合正弦定理先求，進(jìn)而結(jié)合誘導(dǎo)公式求得.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，所以．【小?詳解】方法一：不妨取，則，中，由余弦定理可求得．在中，由余弦定理可求得．在中，由余弦定理可得．方法二：不妨取，則，在中，，則，則，，，中，，在中由正弦定理可得：，解得：，又因?yàn)椋裕?8.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明線面垂直，再證明線線垂直，可得，，再利用線面垂直的判定定理可得平面；（2）為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，利用夾角公式求解公式.【小問1詳解】因?yàn)榈酌?，底面，所以，因?yàn)闉檎叫?，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)椋矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．同理可得，因?yàn)椋矫?，所以平面．【小?詳解】如圖，以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為．由（1）可知是平面的一個法向量，記為，又平面的一個法向量為．所以平面與平面夾角的余弦值等于．19.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若不等式對任意正整數(shù)均成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）應(yīng)用得出等差數(shù)列再求數(shù)列通項(xiàng)公式即可;（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和結(jié)合不等式恒成立求解.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，且，兩式相減并整理可得．因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列，所以，所以．【小問2詳解】有（1）可知，，，故，可化為，因?yàn)楹愠闪ⅲ裕?0.2023年9月8日，第19屆亞運(yùn)會火炬?zhèn)鬟f啟動儀式在杭州西湖景區(qū)涌金公園廣場成功舉行．火炬?zhèn)鬟f首日傳遞從杭州西湖涌金公園廣場出發(fā)，沿南山路—湖濱路—環(huán)城西路—北山街—西泠橋—孤山路傳遞，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亞運(yùn)會火炬首日傳遞共有106棒火炬手參與．（1）組委會從全省火炬手中隨機(jī)抽取了100名火炬手進(jìn)行信息分析，得到如下表格：性別年齡總計(jì)滿50周歲未滿50周歲男154560女53540總計(jì)20801006635根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，試判斷全省火炬手的性別與年齡滿或未滿50周歲是否有關(guān)聯(lián)；（2）在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜歡觀看足球比賽．某電視臺隨機(jī)選取一位喜歡足球比賽的火炬手做訪談，請問這位火炬手是男性的概率為多少？【答案】（1）全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨(dú)立（沒有關(guān)聯(lián)）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，結(jié)合條件概率和全概率公式，即可求解.【小問1詳解】解：零假設(shè)為：：全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨(dú)立（沒有關(guān)聯(lián)），根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算得，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)定為成立，全省火炬手性別與年齡滿或未滿50周歲相互獨(dú)立（沒有關(guān)聯(lián)）．【小問2詳解】解：設(shè)表示火炬手為男性，表示火炬手喜歡足球，則，所以這位火炬手是男性的概率約為．21.已知雙曲線，直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且交右支于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若，求直線的方程．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）根據(jù)等軸雙曲線方程即可求解漸近線方程，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義將其轉(zhuǎn)化為，由坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】由題知，，所以雙曲線的漸近線方程為．【小問2詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由題知，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線方程為，代入雙曲線中，化簡可得：，設(shè),則．則∴線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線方程為．（i）當(dāng)時，點(diǎn)恰好為焦點(diǎn)，此時存在點(diǎn)或，使得．此時直線方程為．（ii）當(dāng)時，令可得，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于所以，由，即，也即：．化簡可得，解出，由于直線要交雙曲線右支于兩點(diǎn)，所以，即，故舍去．可得直線的方程為．綜上：直線方程為或或．22.已知．（1）若當(dāng)時函數(shù)取到極值，求的值；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】（1）1（2）答案見解析【解析】【