安徽省A10聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期9月初開學摸底考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1安徽省A10聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期9月初開學摸底考試數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，不等式解得或，則，所以，得.故選：B.3.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示幸福感指數(shù)越高．已知甲、乙、丙、丁4人的幸福感指數(shù)分別為，則這4人的幸福感指數(shù)最高的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗B〖解析〗甲：，即，；乙：；丙：；?。河蓛绾瘮?shù)在上遞增，；所以乙的幸福感指數(shù)最接近10，幸福感指數(shù)最高.故選：B.4.若向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗向量，則在上的投影向量為.故選：A.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于選項A：因為的定義域為，與圖象不符，故A錯誤；對于選項B：因為，且定義域關于原點對稱，即為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，與圖象不符，故B錯誤；對于選項D：因為，當，則，與圖象不符，故D錯誤；故選：C.6.已知頂角為的等腰三角形為黃金三角形，底邊與腰長的比值為黃金分割比，根據(jù)上述信息，可得（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，在等腰三角形中，為底邊，，，作，則，，.故選：A.7.某校積極開展“戲曲進校園”活動，為了解該校各班參加戲曲興趣小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本標準差為2，且樣本數(shù)據(jù)互不相等，則該樣本數(shù)據(jù)的極差為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗不妨設該五個班級的樣本數(shù)據(jù)分別為，且，則依題意有，化簡得易知，又易知五個數(shù)據(jù)減7的平方數(shù)為整數(shù)，五個數(shù)的絕對值不超過4，當時，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得不成立，當時，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得該四個平方數(shù)只能為，則，符合題意，此時極差為6；當時，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得不成立；綜上，五組數(shù)據(jù)的極差為6.故選：D.8.在中，為的中點．將沿翻折，得到三棱錐，當二面角為時，三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，，二面角的平面角是，，又，是邊長為1的正三角形，平面，將三棱錐補形成正三棱柱，三棱錐的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取外接圓的圓心，外接圓的圓心，根據(jù)對稱性知正三棱柱的外接球球心是的中點，，，又是邊長為1的正三角形，點是其外心，，在中，，即，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則可以是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗對A：，當時，，在為增函數(shù)，故A正確.對B：，當時，不單調(diào)，故B錯誤.對C：，同A正確；對D：，當時，，在不單調(diào)，故D錯誤.故選：AC.10.一個口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，每次從中隨機抽取1個球，則（）A.若不放回地抽取兩次，則“取到2個紅球”和“取到2個白球”是互斥事件B若不放回地抽取兩次，則“取到2個紅球”與“取到2個白球”相互獨立C.若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率大于第2次取到紅球的概率D.若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是〖答案〗AD〖解析〗對于A，若不放回地抽取兩次，則取到的球不可能是2個紅球和2個白球，所以“取到2個紅球”和“取到2個白球”是互斥事件，故A正確；對于B，若不放回地抽取兩次，記事件A：“取到2個紅球”，記事件B：“取到2個白球”，則A與B是互斥事件，所以，而，所以，所以A與B不是相互獨立事件，故B錯誤；對于C，若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率為，第2次取到紅球的概率為，所以第1次取到紅球的概率等于第2次取到紅球的概率，故C錯誤；對于D，若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是，故D正確.故選：AD.11.在中，內(nèi)角的對邊分別為．則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則角A為鈍角C.若均不為直角，則D.若，則唯一確定〖答案〗BC〖解析〗A選項，，，，，所以A選項錯誤.B選項，，即，即，由正弦定理得，則，由于，所以，所以，所以為鈍角，所以B選項正確.C選項，，，所以，C選項正確.D選項，，所以，所以有兩解，所以D選項錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，則“對，使得成立”的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以時，對，使得成立，則有，即，得，對，使得成立的充要條件為，各選項中，有?，?，?，則“對，使得成立”的充分不必要條件可以是BCD選項.故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)．則________．〖答案〗5〖解析〗，，故〖答案〗為：5.14.若，且，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗，當且僅當時等號成立，，，，所以的最小值為.故〖答案〗為：.15.在棱長為3的正方體中．點在棱上，且，記過點的平面與側面的交線為．且，則的長為________．〖答案〗〖解析〗連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，過作，交于，則，所以四點共面，故即直線，由于，所以，所以.故〖答案〗為：.16.已知向量，記函數(shù)，若在上單調(diào)遞增．則的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗向量，，由，當，有，則，依題意有，解得.所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.設向量為單位向量，且．（1）求與夾角的大小；（2）已知向量，若，求實數(shù)的值．解：（1）向量，為單位向量，，，，，則，設與夾角為，則，由，所以與夾角的大小為.（2）已知向量，由與不共線，若，則使，即，有，解得.18.中國人民志愿軍被稱為“最可愛的人”，2023年7月27日是抗美援朝勝利70周年，為了解抗美援朝英雄事跡、某黨支部組織了抗美援朝知識競賽活動、現(xiàn)抽取其中50名黨員的成績，按進行分組，得到如下的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值及估計這50名黨員的成績的平均數(shù)；（2）若采用分層隨機抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的黨員中共抽取4人，再從這4人中任選2人在會上進行演講，求這2人的成績不在同一區(qū)間的概率．解：（1）由圖可知：，所以.平均數(shù)：.所以這50名黨員的成績的平均數(shù).（2）由圖可知分數(shù)在的概率為，分數(shù)在的概率為，所以若按分層抽樣從這兩組中抽4人，則分數(shù)在的人數(shù)為3人，分數(shù)在的人數(shù)為1人，所以從4人中任選2人有種，若2人的成績不在同一區(qū)間，則有種，所以，所以這2人的成績不在同一區(qū)間的概率為．19.已知函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的值；（2）在（1）的條件下，求的值域．解：（1）因為為奇函數(shù)，所以，，即，所以.（2）,令，則，因為，所以，所以的值域．20.如圖所示，四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，其中．（1）求的值；（2）求四邊形的面積及圓的半徑．解：（1）如圖所示，連接，因為四邊形為圓內(nèi)接四邊形，可得，所以，在中，由余弦定理可得，即，中，由余弦定理可得，即，所以，解得，又因為，所以.（2）由（1）知，，因為，可得，所以，，所以四邊形的面積，在中，由余弦定理可得，所以，設四邊形外接圓的半徑為，可得，所以四邊形外接圓的半徑為.21.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的〖解析〗式；（2）將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若與的圖象關于對稱，求不等式的解集．解：（1）由函數(shù)的圖象，可得，所以，又由，所以，可得，所以，因為，即，解得，即，又因為，所以，所以，即函數(shù)的〖解析〗式為.（2）將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變），得到函數(shù)，設是函數(shù)的圖象上的任意一點，點關于直線的對稱點為，則，代入函數(shù)，可得，即，又由不等式，即，設，即，由余弦函數(shù)的性質，可得，即，解得或，即，即不等式的解集為.22.如圖，平面，四邊形為矩形，且為的中點．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的正切值；（3）探究在上是否存在點，使得∥平面，并說明理由．解：（1）取中點為，連接,由于四邊形為矩形，分別為中點，所以,由于平面，平面,所以平面平面，又平面平面,平面,所以平面,故為直線與平面所成的角，,故.

（2）由于,所以,又平面，平面，所以，平面，平面,平面,故,故即為二面角的平面角，由于為直角三角形，且，故（3）取中點為，中點為,連接,則,又,因此故四邊形為平行四邊形，故,平面,平面，故平面,因此在上是存在點，使得平面，此時為中點.安徽省A10聯(lián)盟2023-2024學年高二上學期9月初開學摸底考試數(shù)學試題第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C.5 D.〖答案〗D〖解析〗，.故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，不等式解得或，則，所以，得.故選：B.3.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示幸福感指數(shù)越高．已知甲、乙、丙、丁4人的幸福感指數(shù)分別為，則這4人的幸福感指數(shù)最高的是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁〖答案〗B〖解析〗甲：，即，；乙：；丙：；丁：由冪函數(shù)在上遞增，；所以乙的幸福感指數(shù)最接近10，幸福感指數(shù)最高.故選：B.4.若向量，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗向量，則在上的投影向量為.故選：A.5.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的〖解析〗式可能為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于選項A：因為的定義域為，與圖象不符，故A錯誤；對于選項B：因為，且定義域關于原點對稱，即為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱，與圖象不符，故B錯誤；對于選項D：因為，當，則，與圖象不符，故D錯誤；故選：C.6.已知頂角為的等腰三角形為黃金三角形，底邊與腰長的比值為黃金分割比，根據(jù)上述信息，可得（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，在等腰三角形中，為底邊，，，作，則，，.故選：A.7.某校積極開展“戲曲進校園”活動，為了解該校各班參加戲曲興趣小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)．已知樣本平均數(shù)為7，樣本標準差為2，且樣本數(shù)據(jù)互不相等，則該樣本數(shù)據(jù)的極差為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗D〖解析〗不妨設該五個班級的樣本數(shù)據(jù)分別為，且，則依題意有，化簡得易知，又易知五個數(shù)據(jù)減7的平方數(shù)為整數(shù)，五個數(shù)的絕對值不超過4，當時，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得不成立，當時，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得該四個平方數(shù)只能為，則，符合題意，此時極差為6；當時，，由數(shù)據(jù)為整數(shù)且均不相同得不成立；綜上，五組數(shù)據(jù)的極差為6.故選：D.8.在中，為的中點．將沿翻折，得到三棱錐，當二面角為時，三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，，二面角的平面角是，，又，是邊長為1的正三角形，平面，將三棱錐補形成正三棱柱，三棱錐的外接球球心就是正三棱柱的外接球球心，取外接圓的圓心，外接圓的圓心，根據(jù)對稱性知正三棱柱的外接球球心是的中點，，，又是邊長為1的正三角形，點是其外心，，在中，，即，三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則可以是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗對A：，當時，，在為增函數(shù)，故A正確.對B：，當時，不單調(diào)，故B錯誤.對C：，同A正確；對D：，當時，，在不單調(diào)，故D錯誤.故選：AC.10.一個口袋中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，每次從中隨機抽取1個球，則（）A.若不放回地抽取兩次，則“取到2個紅球”和“取到2個白球”是互斥事件B若不放回地抽取兩次，則“取到2個紅球”與“取到2個白球”相互獨立C.若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率大于第2次取到紅球的概率D.若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是〖答案〗AD〖解析〗對于A，若不放回地抽取兩次，則取到的球不可能是2個紅球和2個白球，所以“取到2個紅球”和“取到2個白球”是互斥事件，故A正確；對于B，若不放回地抽取兩次，記事件A：“取到2個紅球”，記事件B：“取到2個白球”，則A與B是互斥事件，所以，而，所以，所以A與B不是相互獨立事件，故B錯誤；對于C，若有放回地抽取兩次，則第1次取到紅球的概率為，第2次取到紅球的概率為，所以第1次取到紅球的概率等于第2次取到紅球的概率，故C錯誤；對于D，若有放回地抽取兩次，則至少取到一次紅球的概率是，故D正確.故選：AD.11.在中，內(nèi)角的對邊分別為．則下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則角A為鈍角C.若均不為直角，則D.若，則唯一確定〖答案〗BC〖解析〗A選項，，，，，所以A選項錯誤.B選項，，即，即，由正弦定理得，則，由于，所以，所以，所以為鈍角，所以B選項正確.C選項，，，所以，C選項正確.D選項，，所以，所以有兩解，所以D選項錯誤.故選：BC.12.已知函數(shù)，則“對，使得成立”的充分不必要條件可以是（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以時，對，使得成立，則有，即，得，對，使得成立的充要條件為，各選項中，有?，?，?，則“對，使得成立”的充分不必要條件可以是BCD選項.故選：BCD.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)．則________．〖答案〗5〖解析〗，，故〖答案〗為：5.14.若，且，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗，當且僅當時等號成立，，，，所以的最小值為.故〖答案〗為：.15.在棱長為3的正方體中．點在棱上，且，記過點的平面與側面的交線為．且，則的長為________．〖答案〗〖解析〗連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，過作，交于，則，所以四點共面，故即直線，由于，所以，所以.故〖答案〗為：.16.已知向量，記函數(shù)，若在上單調(diào)遞增．則的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗向量，，由，當，有，則，依題意有，解得.所以的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.設向量為單位向量，且．（1）求與夾角的大??；（2）已知向量，若，求實數(shù)的值．解：（1）向量，為單位向量，，，，，則，設與夾角為，則，由，所以與夾角的大小為.（2）已知向量，由與不共線，若，則使，即，有，解得.18.中國人民志愿軍被稱為“最可愛的人”，2023年7月27日是抗美援朝勝利70周年，為了解抗美援朝英雄事跡、某黨支部組織了抗美援朝知識競賽活動、現(xiàn)抽取其中50名黨員的成績，按進行分組，得到如下的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值及估計這50名黨員的成績的平均數(shù)；（2）若采用分層隨機抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的黨員中共抽取4人，再從這4人中任選2人在會上進行演講，求這2人的成績不在同一區(qū)間的概率．解：（1）由圖可知：，所以.平均數(shù)：.所以這50名黨員的成績的平均數(shù).（2）由圖可知分數(shù)在的概率為，分數(shù)在的概率為，所以若按分層抽樣從這兩組中抽4人，則分數(shù)在的人數(shù)為3人，分數(shù)在的人數(shù)為1人，所以從4人中任選2人有種，若2人的成績不在同一區(qū)間，則有種，所以，所以這2人的成績不在同一區(qū)間的概率為．19.已知函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求的