方差分析和正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

1/1方差分析和正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)

第6章

§單因子方差分析

在實(shí)際問題中，某個(gè)指標(biāo)的取值，往往可能與多個(gè)因素有關(guān)。例如，農(nóng)作物的產(chǎn)量，可能與作物的品種有關(guān)，可能與施肥量有關(guān)，可能與土壤有關(guān)，等等。又例如，化工產(chǎn)品的收得率，可能與原料配方有關(guān)，可能與催化劑的用量有關(guān)，可能與反應(yīng)溫度有關(guān)，還可能與反應(yīng)容器中的壓力有關(guān)，等等。

由于因素很多，自然就會(huì)產(chǎn)生這樣的問題：這些因素，對(duì)于指標(biāo)的取值，是否都有顯著的作用？如果不是所有的因素都有顯著的作用，那么，哪些因素的作用顯著？哪些因素的作用不顯著？還有，這些因素的作用，是簡(jiǎn)單地疊加在一起的呢，還是以更復(fù)雜的形式交錯(cuò)在一起的？

以上這些問題，都需要我們從試驗(yàn)數(shù)據(jù)出發(fā)，來加以判斷、分析，做出結(jié)論。方差分析（AnalysisofVariance，簡(jiǎn)稱ANOVA）就是一種能夠解決這類問題的有效的統(tǒng)計(jì)方法。

在方差分析中，將可能與某個(gè)指標(biāo)的取值有關(guān)的因素，稱為因子（Factor），通常用A,B,?來表示。因子所取的各種不同的狀態(tài)，稱為水平（Level），用A1,A2,?，B1,B2,?來表示。

如果問題中只考慮一個(gè)因子，這樣的方差分析稱為單因子方差分析。如果問題中要考慮兩個(gè)因子，這樣的方差分析就稱為雙因子方差分析。當(dāng)然，還可以有三因子、四因子、更多因子的方差分析。

我們先來看單因子方差分析。

問題設(shè)某個(gè)指標(biāo)的取值可能與一個(gè)因子A有關(guān)，因子A有r個(gè)水平：A1,A2,?,Ar。在這r個(gè)水平下的指標(biāo)值，可以看作是r個(gè)相互獨(dú)立、方差相等的正態(tài)總體

?i～N(?i,?2)，i?1,2,?,r。

在每一個(gè)水平Ai下，對(duì)指標(biāo)作t（t?1）次重復(fù)觀測(cè)，設(shè)觀測(cè)結(jié)果為

Xi1,Xi2,?,Xit。

它們可以看作是總體?i的樣本。即有

問：因子A對(duì)指標(biāo)的作用是否顯著？

１３７

檢驗(yàn)方法

檢驗(yàn)因子A的作用是否顯著，相當(dāng)于要檢驗(yàn)這樣一個(gè)假設(shè)

H0：?1??2?r。

為了作檢驗(yàn)，先給出一批定義。稱

n?rt為總觀測(cè)次數(shù)。

1t

i??Xij為水平Ai的均值，tj?1

SSi??(Xij?i)2為水平Ai的平方和。

j?1t

1rt1r

Xij??i為總均值，ni?1j?1ri?1

SST(Xij?)2為總平方和。

i?1j?1rt

SSe(Xij?i)??SSi為誤差平方和，2

i?1j?1i?1rtr

SSA?t?(i?)2為因子A的平方和。

i?1r

這些統(tǒng)計(jì)量之間的相互關(guān)系，可以用下列圖表的形式表示出來：

水平觀測(cè)值A(chǔ)i的平方和Ai的均值

1?

r??總均值A(chǔ)1?Ar

X11?X1t←─SS1─→???←─SSr─→X1?Xrt?r←────→│←──誤差平方和SSe──→│←─A的平方和SSA──→││←─────────總平方和SST─────────→│

t

SSi??(Xij?i)2反映了在各水平Ai的內(nèi)部指標(biāo)取值的差異程度，這種差異

j?1

完全是由于誤差引起的，而SSe是所有這樣的.SSi的總和，所以稱為誤差平方和。

SSA?t?(i?)2反映了各水平之間指標(biāo)取值的差異程度，如果因子A的作用i?1r

不顯著，各水平之間差異很小，1,2,?,r近似相等，與X差異很小，SSA的值也比１３８

較小，如果因子A的作用顯著，各水平之間差異很大，1,2,?,r與X的差異也很大。

所以稱為因子A的平方和。SSA的值就會(huì)偏大。SSA的大小反映了因子A的作用大小。

總平方和SST、誤差平方和SSe、因子A的平方和SSA之間，有下列平方和分解關(guān)系：

SST?SSe?SSA。

這是因?yàn)?/p>

SST(Xij?)2i?1j?1

rtrt

(X

i?1j?1

rtij?i?i?)2?i)?2??(Xij?i)(i?)(i?)22

i?1j?1i?1j?1

trtrt(Xi?1j?1ij

?SSe?2?(?X

i?1j?1rij?ti)(i?)?t?(i?)2i?1r

?SSe?0?SSA?SSe?SSA。

由SSA、SSe可以算出統(tǒng)計(jì)量MSA?SSA(r?1)和MSe?SSe(n?r)。MSA稱為因子A的均方，MSe稱為誤差均方。由MSA、MSe可以算出統(tǒng)計(jì)量

FA?MSASSA(r?1)。?MSeSSe(n?r)

下面證明一個(gè)關(guān)于FA的分布的定理。

定理若H0：?1??2?r為真，則有

FA?MSASSA(r?1)～F(r?1,n?r)。?MSeSSe(n?r)

2證設(shè)?1??2?r??，這時(shí)有?i～N(?,?)，i?1,2,?,r。

因?yàn)閄i1,Xi2,?,Xit是?i的樣本，所以Xij～N(?,?)2Xij??

?～N(0,1)。

i?1,2,?,r，j?1,2,?,t，相互獨(dú)立。１３９

Q?

r

t

?Xiji?1j?1??

r

t

2

??(X

i?1j?1

rt

ij

?)2

?

2

??(X

?

i?1j?1

ij2

?)

2

2??(Xij?)(??)?

i?1j?1

rt

??(??)

?

i?1j?1

rt

2

??

SST

?0?

2

?

2

?

SSA

SSe

n(??)2

?2?2

2

?

?

2

?

?2

?

n?Q1?Q2?Q3。

??

其中，Q1?

r

SSA

?

r

2

?

t?(i?)2

i?1

r

?2

是r項(xiàng)的平方和，但這r項(xiàng)又滿足1個(gè)線性關(guān)系式：

?(i?1

i

?)??i?r?0，所以，Q1的自由度f1?r?1。

i?1

Q2?

SSe

??(X

?

i?1j?1

rt

ij

?i)2

是n?rt項(xiàng)的平方和，但這n項(xiàng)又滿足r個(gè)線性

t

?

2

?2

ij

關(guān)系式：

?(X

j?1

t

?i)??Xij?ti?0，i?1,2,?,r，所以，Q2的自由度

j?1

f2?n?r。

?

?nQ3是1項(xiàng)的平方和，所以，Q3的自由度f3?1。

??

因?yàn)閒1?f2?f3?(r?1)?(n?r)?1?n，所以由定理（Cochran定理）可知：

2

Q1?

SSA

?

2

2

～?(r?1)，Q2?

SSe

?2

?22

?n～?(n?r)，Q3～?(1)。

??

2

2

而且Q1?

SSA

?

2

，Q2?

SSe

?2

?

?n，Q3相互獨(dú)立。

??

因此，由F分布的定義可知

１４０

2SSA(r?1)FA??

SSe(n?r)SSe

SSA

r?1)

～F(r?1,n?r)。

?

2

n?r)

由定理可知，若H0：?1??2?r為真，則FA～F(r?1,n?r)；若H0：?1??2?r不真，則SSA的值會(huì)偏大，F(xiàn)A的值也會(huì)偏大，統(tǒng)計(jì)量FA的分布，相對(duì)于F(r?1,n?r)分布來說，峰值的位置會(huì)有一個(gè)向右的偏移。

因此，可得到檢驗(yàn)方法如下：

從樣本求出FA的值。對(duì)于給定的顯著水平?，自由度(r?1,n?r)，查F分布的分位數(shù)表,可得分位數(shù)F1??(r?1,n?r)，使得P{FA?F1??(r?1,n?r)}??，當(dāng)

FA?F1??(r?1,n?r)時(shí)，拒絕H0：?1??2?r，這時(shí)，可以認(rèn)為因子A的

作用顯著，否則，接受H0：?1??2?r，這時(shí)，可以認(rèn)為因子A的作用不顯著。單因子方差分析的計(jì)算步驟

方差分析的計(jì)算比較復(fù)雜，用帶統(tǒng)計(jì)功能的計(jì)算器計(jì)算時(shí)，最好按照下列步驟進(jìn)行，并把計(jì)算結(jié)果填寫在下列形式的表格中：

t

1t

（1）從Xi1,Xi2,?,Xiti求出i??Xij和SSi??(Xij?i)2,i?1,2,?,r。

tj?1j?1