新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破課件 第1部分 專(zhuān)題突破 專(zhuān)題6　第1講　直線與圓（含解析）

第1講直線與圓專(zhuān)題六解析幾何考情分析1.和導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，求直線的方程，考查點(diǎn)到直線的距離公式，多以

選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，中低難度.2.和圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程或弦長(zhǎng)、面積等，中高難度.考點(diǎn)一直線的方程考點(diǎn)二圓的方程考點(diǎn)三直線、圓的位置關(guān)系專(zhuān)題強(qiáng)化練內(nèi)容索引直線的方程考點(diǎn)一1.已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為零)，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為零)，則l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.核心提煉

(1)(2022·常德模擬)已知直線l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，則“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分也不必要條件√例1若l1∥l2，則有－a2＋4＝0，解得a＝±2，當(dāng)a＝2時(shí)，l1：2x－4y－3＝0，l2：x－2y＋1＝0，l1∥l2，當(dāng)a＝－2時(shí)，l1：2x＋4y＋3＝0，l2：x＋2y＋1＝0，l1∥l2，所以若l1∥l2，則a＝±2，所以“a＝2”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件.(2)(2022·濟(jì)寧模擬)已知直線l1：kx＋y＝0過(guò)定點(diǎn)A，直線l2：x－ky＋2＋2k＝0過(guò)定點(diǎn)B，l1與l2的交點(diǎn)為C，則|AC|＋|BC|的最大值為_(kāi)_____.由l1：kx＋y＝0，得l1過(guò)定點(diǎn)A(0,0)，顯然k×1＋1×(－k)＝0，即l1，l2相互垂直，∴|AC|2＋|BC|2＝12，∴(|AC|＋|BC|)2＝12＋2|AC|·|BC|≤12＋(|AC|2＋|BC|2)＝24，解決直線方程問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)求解兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出參數(shù)的值后，要注意代入檢驗(yàn)，排除兩條直線重合的可能性.(2)要注意直線方程每種形式的局限性，點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直，而截距式方程既不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線.(3)討論兩直線的位置關(guān)系時(shí)，要注意直線的斜率是否存在.易錯(cuò)提醒

(1)已知直線l：ax＋y－2＋a＝0在x軸與y軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)a的值是A.1 B.－1

C.－2或1 D.2或1跟蹤演練1√當(dāng)a＝0時(shí)，直線y＝2，此時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)a≠0時(shí)，由直線l：ax＋y－2＋a＝0可得，經(jīng)檢驗(yàn)，a＝1,2均符合題意，故a的值是2或1.(2)若直線l1：x－2y＋1＝0與直線l2：2x＋my＋1＝0平行，則直線l1與l2之間的距離為_(kāi)____.由直線l1：x－2y＋1＝0與直線l2：2x＋my＋1＝0平行，可得1×m－2×(－2)＝0，即m＝－4，故兩直線可化為l1：2x－4y＋2＝0，l2：2x－4y＋1＝0，圓的方程考點(diǎn)二1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2.圓的一般方程核心提煉

(1)已知圓C與直線y＝x及x－y－4＝0都相切，圓心在直線y＝－x上，則圓C的方程為A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2

B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2C.(x－1)2＋(y－1)2＝2

D.(x－1)2＋(y＋1)2＝2√例2因?yàn)閳A心在直線y＝－x上，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，－a)，因?yàn)閳AC與直線y＝x及x－y－4＝0都相切，解得a＝1，所以圓心坐標(biāo)為(1，－1)，所以圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.√√√設(shè)P(x，y)，化簡(jiǎn)可得(x－3)2＋y2＝8，即點(diǎn)P的軌跡方程為(x－3)2＋y2＝8，A正確；∵直線AB過(guò)圓(x－3)2＋y2＝8的圓心，∵|AB|＝2，當(dāng)∠PAB最大時(shí)，則PA為圓(x－3)2＋y2＝8的切線，解決圓的方程問(wèn)題一般有兩種方法(1)幾何法：通過(guò)研究圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程.(2)代數(shù)法：即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù).規(guī)律方法

(1)(2022·全國(guó)甲卷)設(shè)點(diǎn)M在直線2x＋y－1＝0上，點(diǎn)(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_(kāi)__________________.跟蹤演練2(x－1)2＋(y＋1)2＝5方法一設(shè)⊙M的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法二設(shè)⊙M的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，∴⊙M的方程為x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.方法三設(shè)A(3,0)，B(0,1)，⊙M的半徑為r，∴M(1，－1)，∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.(2)直線l過(guò)定點(diǎn)(1，－2)，過(guò)點(diǎn)P(－1,0)作l的垂線，垂足為M，已知點(diǎn)N(2,1)，則|MN|的最大值為_(kāi)_____.設(shè)點(diǎn)A(1，－2)，依題意知AM⊥PM，所以點(diǎn)M的軌跡是以AP為直徑的圓，又N(2,1)為圓外一點(diǎn)，直線、圓的位置關(guān)系考點(diǎn)三1.直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離.其判斷方法為：(1)點(diǎn)線距離法.(2)判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋核心提煉消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式為Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.2.圓與圓的位置關(guān)系，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.例3考向1直線與圓的位置關(guān)系√由圓C：x2＋y2－2x－3＝0，可得圓心坐標(biāo)為C(1,0)，半徑為r＝2，(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A(－2,3)，B(0，a)，若直線AB關(guān)于y＝a對(duì)稱(chēng)的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________.方法一

由題意知點(diǎn)A(－2,3)關(guān)于直線y＝a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(－2,2a－3)，由題意知直線A′B與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點(diǎn)，易知圓心坐標(biāo)為(－3，－2)，半徑為1，方法二

易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圓的方程為(x－3)2＋(y＋2)2＝1，由題意知該對(duì)稱(chēng)圓與直線AB有公共點(diǎn).又對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)為(3，－2)，半徑為1，方法三

易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圓的方程為(x－3)2＋(y＋2)2＝1，由題意知該對(duì)稱(chēng)圓與直線AB有公共點(diǎn).設(shè)直線AB的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋3＋2k＝0，因?yàn)閷?duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)為(3，－2)，半徑為1，(1)(2022·武漢模擬)圓C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9與圓C2：(x－5)2＋y2＝16的公切線條數(shù)為A.1 B.2 C.3 D.4例4考向2圓與圓的位置關(guān)系√依題意得，圓C1的圓心C1(2,4)，半徑R1＝3,圓C2的圓心C2(5,0)，半徑R2＝4，故圓C1與C2相交，有2條公切線.(2)(2022·益陽(yáng)調(diào)研)已知直線l：x－y＋1＝0，若P為l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙C：(x－5)2＋y2＝9的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)|PC|·|AB|最小時(shí)，直線AB的方程為_(kāi)___________.x－y－2＝0⊙C：(x－5)2＋y2＝9的圓心C(5,0)，半徑r＝3，∵四邊形PACB的面積∴要使|PC|·|AB|最小，則需|PC|最小，當(dāng)PC與直線l垂直時(shí)，|PC|最小，此時(shí)直線PC的方程為y＝－x＋5，則兩圓方程相減可得直線AB的方程為x－y－2＝0.直線與圓相切問(wèn)題的解題策略直線與圓相切時(shí)，利用“切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立關(guān)于切線斜率的等式，所以求切線方程時(shí)主要選擇點(diǎn)斜式.過(guò)圓外一點(diǎn)求解切線段長(zhǎng)的問(wèn)題，可先求出圓心到圓外一點(diǎn)的距離，再結(jié)合半徑利用勾股定理計(jì)算.規(guī)律方法

(1)(多選)(2022·湖北七市(州)聯(lián)考)已知直線l：kx－y－k＋1＝0，圓C的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝16，則下列選項(xiàng)中正確的是A.直線l與圓C一定相交B.當(dāng)k＝0時(shí)，直線l與圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)E是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則△MNE

面積的最大值為C.當(dāng)l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M，N時(shí)，|MN|的最小值為D.若圓C與坐標(biāo)軸分別交于A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，則四邊形ABCD的面積

為48跟蹤演練3√√直線l：kx－y－k＋1＝0過(guò)定點(diǎn)P(1,1)，(1－2)2＋(1＋2)2<16，P在圓內(nèi)，因此直線l一定與圓C相交，A正確；因?yàn)閳A心C(2，－2)，半徑r＝4，圓心到直線l的距離d＝3，因此點(diǎn)E到直線l的距離的最大值h＝4＋3＝7，當(dāng)l與圓有兩個(gè)交點(diǎn)M，N時(shí)，當(dāng)|MN|最小時(shí)，(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)寫(xiě)出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________.答案

x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0(答案不唯一，只需寫(xiě)出上述三個(gè)方程中的一個(gè)即可)如圖，因?yàn)閳Ax2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，半徑r1＝1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心為A(3,4)，半徑r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以兩圓外切，公切線有三種情況：①易知公切線l1的方程為x＝－1.②另一條公切線l2與公切線l1關(guān)于過(guò)兩圓圓心的直線l對(duì)稱(chēng).則點(diǎn)O(0,0)到l2的距離為1，即7x－24y－25＝0.易知t>0，則點(diǎn)O(0,0)到l3的距離為1，即3x＋4y－5＝0.綜上，所求直線方程為x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.專(zhuān)題強(qiáng)化練一、單項(xiàng)選擇題1.直線l經(jīng)過(guò)兩條直線x－y＋1＝0和2x＋3y＋2＝0的交點(diǎn)，且平行于直線x－2y＋4＝0，則直線l的方程為A.x－2y－1＝0

B.x－2y＋1＝0C.2x－y＋2＝0 D.2x＋y－2＝0√1234567891011121314151612345678910111213141516A.(x－1)2＋y2＝2

B.(x－1)2＋y2＝4C.x2＋(y－1)2＝2

D.x2＋(y－1)2＝4√12345678910111213141516設(shè)△ABC外接圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r212345678910111213141516則△ABC外接圓的方程為x2＋(y－1)2＝4.123456789101112131415163.(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為

＝0.5，

已知k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線OA的斜率為0.725，則k3等于A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.9√12345678910111213141516設(shè)OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，則CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，依題意，有k3－0.2＝k1，k3－0.1＝k2，4.過(guò)圓C：(x－1)2＋y2＝1外一點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，若PA⊥PB，則點(diǎn)P到直線l：x＋y－5＝0的距離的最小值為√1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)檫^(guò)圓C：(x－1)2＋y2＝1外一點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，5.與直線x－y－4＝0和圓(x＋1)2＋(y－1)2＝2都相切的半徑最小的圓的方程是A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2

D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4√1234567891011121314151612345678910111213141516過(guò)圓心(－1,1)與直線x－y－4＝0垂直的直線方程為x＋y＝0，所求圓的圓心在此直線上，設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，且圓心在直線x＋y＝0上，12345678910111213141516故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.√12345678910111213141516過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，在Rt△PAO中，|PO|＝3，∴點(diǎn)P在圓x2＋y2＝9上，由于點(diǎn)P也在圓M上，故兩圓有公共點(diǎn).又圓M的半徑等于1，圓心坐標(biāo)M(a，1)，12345678910111213141516123456789101112131415167.已知圓C1：(x＋6)2＋(y－5)2＝4，圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，M，N分別為圓C1和C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的取值范圍是A.[6，＋∞) B.[7，＋∞)

C.[10，＋∞) D.[15，＋∞)√C1(－6,5)，C2(2,1)，C1關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C3(－6，－5)，又兩圓的半徑分別為2,1，則|PM|＋|PN|≥10－2－1＝7，故|PM|＋|PN|的取值范圍是[7，＋∞).8.(2022·菏澤質(zhì)檢)瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上.這條直線被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標(biāo)系中作△ABC，|AB|＝|AC|，點(diǎn)B(－1,1)，點(diǎn)C(3,5)，過(guò)其“歐拉線”上一點(diǎn)Р作圓O：x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|MN|的最小值為12345678910111213141516√由題設(shè)知BC的中點(diǎn)為(1,3)，12345678910111213141516所以“歐拉線”方程為y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0，要使|MN|最小，則在Rt△PMO與Rt△PNO中，∠MOP＝∠NOP最小，即∠MPN最大，而僅當(dāng)OP⊥“歐拉線”時(shí)，∠MPN最大，12345678910111213141516二、多項(xiàng)選擇題9.已知直線l過(guò)點(diǎn)(3,4)，點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)到l的距離相等，則l的方程可能是A.x－2y＋2＝0 B.2x－y－2＝0C.2x＋3y－18＝0 D.2x－3y＋6＝012345678910111213141516√√當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝3，此時(shí)點(diǎn)A到直線l的距離為5，點(diǎn)B到直線l的距離為1，此時(shí)不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，∵點(diǎn)A(－2,2)，B(4，－2)到直線l的距離相等，12345678910111213141516整理得2x＋3y－18＝0，當(dāng)k＝2時(shí)，直線l的方程為y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0.綜上，直線l的方程可能為2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.1234567891011121314151610.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0.若直線y＝k(x＋1)上存在一點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)k的可能取值是A.1 B.2 C.3 D.412345678910111213141516√√12345678910111213141516由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，則圓心為C(2,0)，半徑r＝2，過(guò)點(diǎn)P所作的圓的兩條切線相互垂直，設(shè)兩切點(diǎn)分別為A，B，連接AC，BC，所以四邊形PACB為正方形，所以實(shí)數(shù)k的取值可以是1,2.1234567891011121314151611.(2022·南通模擬)已知P是圓O：x2＋y2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，直線l1：xcos

θ＋ysin

θ＝4與l2：xsin

θ－ycos

θ＝1交于點(diǎn)Q，則A.l1⊥l2B.直線l1與圓O相切√√√12345678910111213141516圓O半徑為2，cos

θ·sin

θ＋sinθ·(－cos

θ)＝0，所以l1⊥l2，A正確；12345678910111213141516即Q(4cosθ＋sinθ，4sinθ－cosθ)，12.(2022·龍巖質(zhì)檢)已知點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓O：x2＋y2＝2的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接OA，OB，則A.當(dāng)四邊形OAPB為正方形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2)√12345678910111213141516√對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)四邊形OAPB為正方形時(shí)，則|OA|＝|OB|＝|AP|＝|BP|，12345678910111213141516又點(diǎn)P(x0，y0)是直線l：x＋y＝4上的一點(diǎn)，設(shè)P(x0，4－x0)，12345678910111213141516故不存在點(diǎn)P使得四邊形OAPB為正方形，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若△PAB為等邊三角形，易知∠APB＝60°，又OP平分∠APB，12345678910111213141516∴∠APO＝∠BPO＝30°.∴x0＝2，y0＝2，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，∵P(x0，4－x0)，12345678910111213141516整理得x2＋y2－x0x－(4－x0)y＝0，12345678910111213141516化簡(jiǎn)得x0x＋(4－x0)y＝2，即得直線方程為x0x＋(4－x0)y－2＝0，12345678910111213141516三、填空題13.與直線2x－y＋1＝0關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線的方程為_(kāi)_________