高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：直線的交點坐標與距離公式-重難點題型精講（教師版）

專題2.7直線的交點坐標與距離公式-重難點題型精講1．兩條直線的交點坐標(1)兩條直線的交點坐標

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.(2)兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.

2．兩點間的距離公式平面內(nèi)兩點間的距離公式為.

特別地，原點O到任意一點P(x,y)的距離為|OP|=.3．點到直線的距離公式(1)定義：點P到直線l的距離，就是從點P到直線l的垂線段PQ的長度，其中Q是垂足.實質(zhì)上，點到直線的距離是直線上的點與直線外該點的連線的最短距離.

(2)公式：

已知一個定點，一條直線為l:Ax+By+C=0，則定點P到直線l的距離為d=.4．兩條平行直線間的距離公式(1)定義

兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間的公垂線段的長.

(2)公式

設(shè)有兩條平行直線，，則它們之間的距離為d=.5．中點坐標公式公式：

設(shè)平面上兩點，線段的中點為，則.【題型1求兩直線的交點坐標】【方法點撥】(1)求兩直線的交點坐標，通常情況下解由兩直線方程組成的方程組即可.

(2)若已知交點坐標求直線方程中的變量，直接代入交點坐標即可.【例1】（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線y=x與直線x+y?2=0的交點坐標是（

）A．1,1 B．12,12 C．【解題思路】兩直線方程組成方程組，所得解即為兩直線交點坐標.【解答過程】由x+y?2=0y=x，可得x=1y=1故選：A.【變式1-1】（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）直線x=2與直線y=x+1的交點坐標為（

）A．2,3 B．?2,?3 C．0,1 D．0,0【解題思路】直接解方程求出兩直線交點坐標即可.【解答過程】由x=2y=x+1解得x=2y=3，則直線x=2與直線y=x+1的交點坐標為故選：A.【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知A0,0，B3,0，C1,2，則△ABCA．43,23 B．32,0【解題思路】根據(jù)題意，求出AB和BC邊上的高所在直線的方程，然后聯(lián)立方程，求解出交點坐標即為△ABC垂心的坐標.【解答過程】解：因為A0,0，B3,0，所以kAB=0?0所以AB邊上的高所在直線的方程為x＝1，BC邊上的高所在直線的斜率為1，方程為y＝x，聯(lián)立x=1y=x，得x=1所以垂心的坐標為1,1．故選：D．【變式1-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若直線l1:y=kx+k+2與直線l2:y=?2x+4的交點在第一象限內(nèi)，則實數(shù)A．k>?23 C．?23<k<2 D．【解題思路】求出兩直線的交點坐標，再根據(jù)交點在第一象限建立不等式組求解.【解答過程】方法一：由直線l1，l2有交點，得k≠?2．由y=kx+k+2y=?2x+4，得x=2?kk+2y=6k+4方法二：由題意知，直線l1:y?2=k(x+1)過定點P(?1,2)，斜率為k，直線l2與x軸、y軸分別交于點A(2,0)，B(0,4)．若直線l1與l2的交點在第一象限內(nèi)，則l1必過線段AB上的點（不包括點A，B）．因為故選：C．【題型2經(jīng)過兩直線交點的直線方程】【方法點撥】①經(jīng)過兩直線，的交點的直線方程為(除直線)，其中是待定系數(shù)；結(jié)合已知條件求出，即可得解.②聯(lián)立兩直線方程，求出交點坐標，結(jié)合已知條件設(shè)出所求直線方程，代入點即可得解.【例2】（2022·全國·高二專題練習(xí)）過原點和直線l1:x?3y+4=0與l2A．19x?9y=0 B．9x+19y=0C．3x+19y=0 D．19x+3y=0【解題思路】先求出兩直線的交點，從而可得所求的直線方程.【解答過程】由{x?3y+4=02x+y+5=0可得故過原點和交點的直線為y=?319x故選：C.【變式2-1】（2022·北京高二期中）過兩直線x+y?3=0,2x?y=0的交點，且與直線y=13xA．x+3y+5=0 B．x+3y?5=0C．x?3y+5=0 D．x?3y?5=0【解題思路】先求出兩直線交點，再由與直線y=1【解答過程】由x+y?3=02x?y=0解得x=1y=2，則直線x+y?3=0,2x?y=0的交點又直線y=13x的斜率為13，則所求直線方程為故選：C.【變式2-2】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）過兩條直線l1:x?y+3=0與l2:2x+y=0的交點，傾斜角為A．3x?y+3+2=0C．3x?y?3?4=0【解題思路】聯(lián)立兩條直線的方程求出交點坐標，再根據(jù)直線方程的點斜式即可求解．【解答過程】由x?y＋3=02x故直線方程是：y?2=3x＋故選：A．【變式2-3】（2022·江蘇省高二階段練習(xí)）已知直線l1:x?y+1=0，l2:x?2=0，則過l1和lA．3x?4y?1=0 B．3x?4y+1=0C．4x?3y?1=0 D．4x?3y+1=0【解題思路】由于所求出直線與直線3x+4y?5=0垂直，所以設(shè)所求直線為4x?3y+m=0，然后求出兩直線的交點坐標，代入上式方程可求出m，從而可求出直線方程【解答過程】由于所求出直線與直線3x+4y?5=0垂直，所以設(shè)所求直線為4x?3y+m=0，由x?y+1=0x?2=0，得x=2y=3，即l1和l因為直線4x?3y+m=0過點(2,3)，所以8?9+m=0，得m=1，所以所求直線方程為4x?3y+1=0，故選：D.【題型3兩點間的距離公式的應(yīng)用】【方法點撥】平面上兩點間距離公式的應(yīng)用主要有以下兩種：(1)已知所求點的相關(guān)信息及該點到某點的距離滿足某些條件時，設(shè)出所求點的坐標，利用兩點間距離公式建立關(guān)于所求點的坐標的方程或方程組求解.(2)利用兩點間距離公式可以判斷三角形的形狀.從三邊長入手，如果有邊長相等，則可能是等腰或等邊三角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形.【例3】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知點A2,4，B5,4，那么A，B兩點之間的距離等于（A．8 B．6 C．3 D．0【解題思路】利用平面內(nèi)兩點間的距離公式直接計算作答.【解答過程】因點A2,4，B5,4，則所以A，B兩點之間的距離等于3.故選：C.【變式3-1】（2021·廣西·高二期中）已知A2,?3，B5,?7，則AB=A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】根據(jù)兩點間距離公式即可求解.【解答過程】因為A2,?3，B所以AB=故選：C.【變式3-2】（2021·福建三明·高二期中）已知直線l1：2x?y?2=0與直線l2：3x+y?8=0的交點為A，則點A與點B2A．13 B．22 C．2 D．【解題思路】由題聯(lián)立2x?y?2=03x+y?8=0得A【解答過程】解：聯(lián)立方程2x?y?2=03x+y?8=0，解得x=2,y=2所以A2,2，所以2?22故選：D.【變式3-3】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）已知直線l1:x?my+1=0過定點A，直線l2:mx+y?m+3=0過定點B，l1與l2相交于點A．10 B．13 C．16 D．20【解題思路】由題意，直線l1與直線l2互相垂直且垂足為點P，又直線l1過定點A?1,0，直線l2【解答過程】解：因為1×m+?m×1=0，所以直線l1與直線l又因為直線l1:x?my+1=0過定點A?1,0，直線l2:mx+y?m+3=0所以在Rt△APB中，PA故選：B.【題型4點到直線的距離公式的應(yīng)用】【方法點撥】(1)求點到直線的距離時，若給出的直線方程不是一般式，只需把直線方程化為一般式，直接應(yīng)用點到直線的距離公式求解即可.(2)若已知點到直線的距離求參數(shù)或直線方程時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可.(3)點到直線的距離是直線上的點與直線外一點的連線的最短距離，某些距離的最值問題可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離問題來求解.(4)因為角平分線上任意一點到角兩邊的距離相等，因此可用點到直線的距離公式解決有關(guān)角平分線的問題.【例4】（2022·河南·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標系中，點M的坐標為(2,2)，則點M?原點A．y=x+2 B．y=?x?2 C．y=?x+2【解題思路】分別利用點到直線距離公式即可確定答案.【解答過程】根據(jù)點到直線的距離公式可得，對于A，點M到直線x?y+2=0的距離為點O到直線x?y+2=0的距離為對于B，點M到直線x+y+2=0的距離為點O到直線x+y+2=0的距離為對于C，點M直線x+y?2=0的距離為點O到直線x+y?2=0的距離為對于D，點M到直線x?y?2=0的距離為點O到直線x?y?2=0的距離為故選:B.【變式4-1】（2022·江蘇·高二階段練習(xí)）點a,6到直線3x?4y?2=0的距離大于5，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．13,17 C．?∞,1【解題思路】利用點到直線的距離公式列不等式即可求得.【解答過程】因為點a,6到直線3x?4y?2=0的距離大于5，所以3a?4×6?232+?42所以實數(shù)a的取值范圍為?∞故選：B.【變式4-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）直線l經(jīng)過點2,?5，且與點3,?2和點?1,6的距離之比為1：2，則直線l的方程為（

）A．x+y+3=0 B．17x+y?29=0C．x+y+3=0或17x+y?29=0 D．3x+y+3=0【解題思路】根據(jù)直線l是否存在斜率，結(jié)據(jù)點到直線距離公式分類討論進行求解即可.【解答過程】當(dāng)直線l斜率不存在時，則方程為x=2，顯然此時該直線與點3,?2和點?1,6的距離之比為1：3，不符合題意，當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)為k，則此時方程為：y+5=k(x?2)?kx?y?5?2k=0，因為直線與點3,?2和點?1,6的距離之比為1：2，所以有3k+2?5?2kk2+即?17x?y?5+34=0，或?x?y?3=0，即17x+y?29=0，或x+y+3=0，故選：C.【變式4-3】（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知平面上一點M（5，0），若直線上存在點P使|PM|=4，則稱該直線為“切割型直線”，下列直線中是“切割型直線”的是（

）A．y=x+1 B．y=6C．y=43x【解題思路】根據(jù)題意，只需要點M到直線的距離不超過4，則該直線為“切割型直線”，故只需要求各選項的點線距離即可判斷.【解答過程】根據(jù)題意，只需要點M到直線的距離不超過4，則該直線為“切割型直線”，對于A，y=x+1可化為x?y+1=0，故d=5?0+1對于B，易求M到直線y=6距離為6>4，故B錯誤；對于C，y=43x可化為4x?3y=0對于D，y=2x+1可化為2x?y+1=0，故d=2×5?0+1故選：C.【題型5兩條平行直線間的距離公式的應(yīng)用】【方法點撥】第一步：將兩條直線的方程轉(zhuǎn)化為一般式方程；第二步：轉(zhuǎn)化兩條直線的方程中的一個方程，使得它們x，y的系數(shù)對應(yīng)相同；第三步：使用公式直接求解兩條平行直線間的距離.【例5】（2022·河北·高二階段練習(xí)）已知a<0，若直線l1:ax+2y?1=0與直線l2A．724 B．522 C．5 【解題思路】根據(jù)平行關(guān)系確定參數(shù)，結(jié)合平行線之間的距離公式即可得出．【解答過程】解：直線l1:ax+2y?1=0與直線∴aa+1?2=0，解得a=?2或又a<0，所以a=?2，當(dāng)a=?2時，直線l1:2x?2y+1=0與直線l2故選：A.【變式5-1】（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知直線3x+my?3=0與6x+4y+1=0互相平行，則它們之間的距離是（

）A．4 B．21313 C．513【解題思路】取直線3x+my?3=0上的定點1,0，再計算到6x+4y+1=0的距離即可.【解答過程】取直線3x+my?3=0上的定點1,0，則3x+my?3=0到6x+4y+1=0的距離即1,0到6x+4y+1=0的距離為d=6×1+4×0+1故選：D.【變式5-2】（2022·遼寧·高二開學(xué)考試）與兩平行線l1：3x+2y?6=0，l2：6x+4y?3=0等距離的直線的方程為（A．12x+8y?15=0 B．9x+6y?5=0C．12x+8y?15=0或9x+6y?5=0 D．6x+4y?15=0【解題思路】設(shè)與兩直線平行的直線方程為6x+4y+m=0，再根據(jù)平行直線間的距離公式求解即可.【解答過程】設(shè)與兩直線平行的直線方程為6x+4y+m=0，又l1：6x+4y?12=0，l2：6x+4y?3=0，故即m+12=m+3，故m+12=m+3或m+12+m+3=0，故所求直線方程為6x+4y?152=0故選：A.【變式5-3】（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）若直線2x+y?3=0與直線4x+2y+a=0之間的距離不大于5，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A．a(chǎn)≤4 B．?16≤a≤4C．?4≤a≤16 D．a(chǎn)≤16或a≥4【解題思路】利用平行線之間的距離列出不等式求解即可.【解答過程】直線2x+y?3=0化為4x+2y?6=0，則兩直線之間的距離d=a+642解得?16≤a≤4.所以實數(shù)a的取值范圍為?16≤a≤4.故選：B.【題型6與距離有關(guān)的最值問題】【方法點撥】點到直線的距離是點與直線上的點的距離的最小值，兩條平行直線間的距離是在兩條平行直線上各任意取一點所得兩點間距離的最小值，它們的應(yīng)用非常廣泛，在某些證明問題或最值問題的解答中尤其常見.最值問題的常用求法有兩種：(1)利用解析幾何知識，先設(shè)一個函數(shù)，然后用函數(shù)求最值的方法進行求解.(2)幾何法：根據(jù)幾何圖形直觀判斷哪種情況下取得最值.常用結(jié)論有：兩點之間線段最短；直角三角形的斜邊大于直角邊；三角形的兩邊之和(差)大(小)于第三邊.【例6】（2022·全國·高三專題練習(xí)）原點到直線l:3+2λx+4+λA．225 B．25 C．2【解題思路】求出直線l過的定點P，當(dāng)OP⊥l時，原點到直線l距離最大，則可求出原點到直線l距離的最大值；【解答過程】因為3+2λx+4+λy+2λ?2=0所以直線l過直線3x+4y?2=0與直線2x+y+2=聯(lián)立3x+4y?2=02x+y+2=0可得所以直線l過定點P?2,2當(dāng)OP⊥l時，原點到直線l距離最大，最大距離即為|OP此時最大值為(?2)2故選：C.【變式6-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)兩條直線的方程分別為x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的兩個實根，且0≤c≤1A．1，33 B．33，13 C．22，【解題思路】利用韋達定理求出a?b2=a+b2?4ab=