第二章2 6函數(shù)與方程2 6

高考文數(shù)

(課標Ⅲ專用)§2.6函數(shù)與方程1.(2019課標全國Ⅲ,5,5分)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點個數(shù)為

()A.2

B.3

C.4

D.5五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標卷題組答案

B本題考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷,以三角函數(shù)為背景同時考查三角函數(shù)式的求值與

化簡,以及學(xué)生的運算求解能力和函數(shù)與方程思想的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx·(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零點有3個,故選B.解題關(guān)鍵遵循角度統(tǒng)一原則,利用二倍角的正弦公式展開計算是解決本題的關(guān)鍵.2.(2017課標全國Ⅲ,12,5分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=

()A.-

B.

C.

D.1答案

C解法一:因為f(1-x)=f(1+x),故f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,又f(x)只有一個零點,故此零點必在對稱軸上,即f(1)=1-2+2a=0,解得a=

.解法二:在f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)中,令x-1=t,則x=t+1,得f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1=g(t),則g(t)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對稱,故唯一零點為t=0,由g(0)=0解得a=

.B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2019天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=

若關(guān)于x的方程f(x)=-

x+a(a∈R)恰有兩個互異的實數(shù)解,則a的取值范圍為

()A.

B.

C.

∪{1}

D.

∪{1}答案

D本題以分段函數(shù)和方程的解的個數(shù)為背景,考查函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用.畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖.方程f(x)=-

x+a的解的個數(shù),即為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線l:y=-

x+a的公共點的個數(shù).當(dāng)直線l經(jīng)過點A時,有2=-

×1+a,a=

;當(dāng)直線l經(jīng)過點B時,有1=-

×1+a,a=

.由圖可知,a∈

時,函數(shù)y=f(x)的圖象與l恰有兩個交點.另外,當(dāng)直線l與曲線y=

,x>1相切時,恰有兩個公共點,此時a>0.聯(lián)立

得

=-

x+a,即

x2-ax+1=0,由Δ=a2-4×

×1=0,得a=1(舍去負根).綜上,a∈

∪{1}.故選D.一題多解令g(x)=f(x)+

x=

當(dāng)0≤x≤1時,g(x)=2

+

為增函數(shù),其值域為

;當(dāng)x>1時,g(x)=

+

,對g(x)求導(dǎo)得g'(x)=-

+

,令g'(x)=0,得x=2,當(dāng)x∈(1,2)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(2,+∞)時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=2時,g(x)min=g(2)=1,函數(shù)g(x)的簡圖如圖

所示:

方程f(x)=-

x+a恰有兩個互異的實數(shù)解,即函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a有兩個不同的交點,由圖可知

≤a≤

或a=1滿足條件,故選D.易錯警示本題入手時,容易分段研究方程2

=-

x+a(0≤x≤1)與

=-

x+a(x>1)的解,陷入相對復(fù)雜的運算過程.利用數(shù)形結(jié)合時,容易在區(qū)間的端點處出現(xiàn)誤判.2.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函數(shù)f(x)=

當(dāng)λ=2時,不等式f(x)<0的解集是

.若函數(shù)f(x)恰有2個零點,則λ的取值范圍是

.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)解析本題考查分段函數(shù),解不等式組,函數(shù)的零點,分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)λ=2時,不等式f(x)<0等價于

或

即2≤x<4或1<x<2,故不等式f(x)<0的解集為(1,4).易知函數(shù)y=x-4(x∈R)有一個零點x1=4,函數(shù)y=x2-4x+3(x∈R)有兩個零點x2=1,x3=3.在同一坐標系中作出這兩個函數(shù)的圖象(圖略),要使函數(shù)f(x)恰有2個零點,則只能有以下兩種

情形:①兩個零點為1,3,由圖可知,此時λ>4.②兩個零點為1,4,由圖可知,此時1<λ≤3.綜上,λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞).思路分析(1)f(x)<0?

或

此時要特別注意分段函數(shù)在每一段上的解析式是不同的,要把各段上的不等式的解集取并集.(2)函數(shù)零點個數(shù)的判定一般要作出函數(shù)圖象,此時要特別注意兩段的分界點是否能取到.3.(2017江蘇,14,5分)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,f(x)=

其中集合D=

,則方程f(x)-lgx=0的解的個數(shù)是

.答案8解析解法一:由于f(x)∈[0,1),則只需考慮1≤x<10的情況,在此范圍內(nèi),x∈Q且x?Z時,設(shè)x=

,p,q∈N*,p≥2且p,q互質(zhì),若lgx∈Q,則由lgx∈[0,1),可設(shè)lgx=

,m,n∈N*,m≥2且m,n互質(zhì),所以1

=

,則10n=

,此時等號左邊為整數(shù),等號右邊為非整數(shù),矛盾.所以lgx?Q,所以lgx不可能與每個周期內(nèi)x∈D對應(yīng)的部分相等,只需考慮lgx與每個周期內(nèi)x?D對應(yīng)的部分的交點.畫出函數(shù)草圖,圖中交點除(1,0)外,其他交點的橫坐標均為無理數(shù),且x=1處(lgx)'=

=

<1,則在x=1附近僅有一個交點,所以方程解的個數(shù)為8.

解法二:先證明結(jié)論:1

≠k-

,其中p,q∈N*且p,q互質(zhì),k,n∈N*.假設(shè)1

=k-

,則10q=

.左邊是整數(shù),而右邊不是整數(shù),矛盾.則1

≠k-

,則原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中k∈N*,x∈[0,1),該方程即k=10f(x)-x.當(dāng)x∈D時,該方程有唯一解x=0,此時k=1,由于函數(shù)y=10x-x在(0,1)上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)x?D時,k=2,3,4,5,6,7,8均滿足該方程有唯一解.綜上所述,方程的解的個數(shù)為8.4.(2016山東,15,5分)已知函數(shù)f(x)=

其中m>0.若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取值范圍是

.答案(3,+∞)解析

f(x)的圖象如圖所示,

若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,只需4m-m2<m,解得m>3或m<0,又m>0,所

以m>3.方法總結(jié)分段函數(shù)問題、函數(shù)零點個數(shù)問題或方程根的個數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合的思

想方法來解決.評析本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于難題.5.(2016浙江,12,6分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,則實數(shù)a=

,b=

.答案-2;1解析

f(x)-f(a)=x3+3x2+1-(a3+3a2+1)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)(x2+ax+a2)+3(x-a)(x+a)=(x-a)[x2+(a+3)x+a2+3a]=(x-b)(x-a)2,即x2+(a+3)x+a2+3a=0的兩個根分別為a,b,由a2+(a+3)a+a2+3a=0,得a=0(舍去)或a=-2.當(dāng)a=-2時,方程為x2+x-2=0,則b=1.6.(2015湖北,13,5分)函數(shù)f(x)=2sinxsin

-x2的零點個數(shù)為

.答案2解析

f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函數(shù)f(x)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=sin2x與y2=x2圖象的交

點個數(shù),在同一坐標系中畫出y1=sin2x與y2=x2的圖象,如圖所示:

由圖可知兩函數(shù)圖象有2個交點,則f(x)的零點個數(shù)為2.7.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐標系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個交

點,則a的值為

.答案-

解析若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-

.8.(2015湖南,14,5分)若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點,則實數(shù)b的取值范圍是

.答案(0,2)解析函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個零點等價于函數(shù)y=|2x-2|與y=b的圖象有兩個不同的交點.在同一

坐標系中作出函數(shù)y=|2x-2|及y=b的圖象,如圖.由圖可知b∈(0,2).

1.(2014湖北,9,5分)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的

零點的集合為

()A.{1,3}

B.{-3,-1,1,3}C.{2-

,1,3}

D.{-2-

,1,3}C組教師專用題組答案

D當(dāng)x≥0時,f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,解得x1=3,x2=1.當(dāng)x<0時,-x>0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,∴-f(x)=f(-x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x.令g(x)=-x2-3x-x+3=0,解得x3=-2-

,x4=-2+

>0(舍),∴函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點的集合是{-2-

,1,3},故選D.2.(2014北京,6,5分)已知函數(shù)f(x)=

-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點的區(qū)間是

()A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(4,+∞)答案

C∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(3)=2-log23>0,f(4)=

-log24=

-2<0,∴包含f(x)零點的區(qū)間是(2,4),故選C.3.(2014重慶,10,5分)已知函數(shù)f(x)=

且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍是

()A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

答案

A令g(x)=0,則f(x)=m(x+1),故函數(shù)g(x)在(-1,1]內(nèi)有且僅有兩個不同的零點等價于函數(shù)

y=f(x)的圖象與直線y=m(x+1)有且僅有兩個不同的交點.函數(shù)f(x)的圖象如圖中實線所示.易求

kAB=

,kAC=-2,過A(-1,0)作曲線的切線,不妨設(shè)切線方程為y=k(x+1),

由

得kx2+(2k+3)x+2+k=0,則Δ=(2k+3)2-4k(2+k)=0,解得k=-

.故實數(shù)m的取值范圍為

∪

.4.(2014課標全國Ⅰ,12,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0,則a的取值

范圍是

()A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-1)答案

C解法一:①若a≥0,則由于f(0)=1,且當(dāng)x<-1時,f(x)≤-3x2+1<0,從而f(x)在(-∞,0)上存在

零點,不合題意.②若a<0,由于f'(x)=3ax

,所以當(dāng)x∈

∪(0,+∞)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈

時,f'(x)>0.從而f(x)在

,(0,+∞)上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增.又f(0)=1,當(dāng)x>1時,f(x)<-3x2+1<0,所以f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0等價于f

>0,即a·

-3·

+1>0.解得a>2(舍去)或a<-2.綜上,a的取值范圍是(-∞,-2).解法二:由于x=0不是函數(shù)f(x)的零點,因此f(x)的零點與y=

-a的零點相同.設(shè)g(x)=

,則g'(x)=-

.當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時,g'(x)<0;當(dāng)x∈(-1,0)∪(0,1)時,g'(x)>0.所以g(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)

遞減,在(-1,0),(0,1)上單調(diào)遞增.又g(-1)=-2,g(1)=2,從而可得函數(shù)g(x)的大致圖象,如圖所示.

由于f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0等價于直線y=a與y=g(x)圖象存在唯一的交點,且此交點的橫

坐標為正.由圖象可得a的取值范圍是(-∞,-2).解法三:采用排除法.取a=3,則f(x)=3x3-3x2+1.由于f(0)=1,f(-1)<0,從而f(x)在(-∞,0)上存在零點,故排除A、B.取a=-

,則f(x)=-

x3-3x2+1.由于f(0)=1,f

<0,從而f(x)在(-∞,0)上存在零點,故排除D.綜上知,應(yīng)選C.解法四:由于f(x)=0可化為ax3=3x2-1,所以f(x)存在唯一的零點x0,且x0>0等價于函數(shù)g(x)=ax3的圖

象與h(x)=3x2-1的圖象存在唯一公共點,且該點的橫坐標大于零.a=0時,g(x)=0,其圖象與h(x)的圖象存在兩個公共點;a>0時,由圖可知不合題意;a<0時,由圖可知,可先求y=ax3與y=3x2-1有公共切線時a的取值.

由g'(x)=h'(x),g(x)=h(x)可得a=-2,由圖可知,當(dāng)a∈(-∞,-2)時,滿足題設(shè)要求.5.(2014福建,15,4分)函數(shù)f(x)=

的零點個數(shù)是

.答案2解析當(dāng)x≤0時,由x2-2=0得x=-

;當(dāng)x>0時,f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有一個零點.綜上可知,f(x)的零點個數(shù)為2.6.(2014天津,14,5分)已知函數(shù)f(x)=

若函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個零點,則實數(shù)a的取值范圍為

.答案(1,2)解析函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個零點等價于函數(shù)y=f(x)和y=a|x|的圖象恰有4個公共點.在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)和y=a|x|的圖象可知,若滿足條件,則a>0.

當(dāng)a≥2時,在y軸右側(cè),兩函數(shù)圖象只有一個公共點,此時在y軸左側(cè),射線y=-ax(x≤0)與拋物線y=

-x2-5x-4(-4<x<-1)需相切.由

消去y,得x2+(5-a)x+4=0.由Δ=(5-a)2-16=0,解得a=1或a=9.a=1與a≥2矛盾,a=9時,切點的橫坐標為2,不符合.故0<a<2,此時,在y軸右側(cè),兩函數(shù)圖象有兩個公共點,若滿足條件,則-a<-1,即a>1.故1<a<2.7.(2014江蘇,13,5分)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù),當(dāng)x∈[0,3)時,f(x)=

.若函數(shù)y=f(x)-a在區(qū)間[-3,4]上有10個零點(互不相同),則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

解析當(dāng)x∈[0,3)時,f(x)=

=

,由f(x)是周期為3的函數(shù),作出f(x)在[-3,4]上的圖象,如圖.

由題意知方程a=f(x)在[-3,4]上有10個不同的根.由圖可知a∈

.考點函數(shù)的零點三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點基礎(chǔ)題組1.(2019西藏拉薩中學(xué)高三上第一次月考,3)使得函數(shù)f(x)=lnx+

x-2有零點的一個區(qū)間是

(

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)答案

C由題意可得函數(shù)的定義域為(0,+∞),∵f(1)=-

<0,f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-

>0,∴函數(shù)f(x)=lnx+

x-2在(2,3)上有零點.思路分析根據(jù)f(a)·f(b)<0,結(jié)合函數(shù)零點存在性定理可知函數(shù)在(a,b)上存在零點,可得結(jié)論.2.(2019四川成都樹德中學(xué)高三階段性測試,9)函數(shù)f(x)=

-

的零點個數(shù)為

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

C要求函數(shù)f(x)=

-

(x≠0)的零點個數(shù),即求函數(shù)y=

與函數(shù)y=

的圖象的交點個數(shù).當(dāng)x<0時,y=

>0,y=

<0,不可能有交點.當(dāng)x>0時,令

=

,即2x-1=x,問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y=x的圖象的交點個數(shù).結(jié)合兩個函數(shù)的圖象(如圖所示),知有且僅有兩個交點,所以原函數(shù)有2個零點.

3.(2019云南玉溪一中調(diào)研五,3)函數(shù)f(x)=log4x的圖象與函數(shù)g(x)=sinπx的圖象的交點個數(shù)是

()A.2

B.3

C.4

D.5答案

B畫出兩個函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知,兩個函數(shù)圖象有3個交點,故選B.

4.(2019四川綿陽南山中學(xué)高三上一診,6)函數(shù)f(x)=

的零點個數(shù)是

()A.0

B.1

C.2D.3答案

D當(dāng)x≤0時,由f(x)=x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1,此時函數(shù)有2個零點;當(dāng)x>0時,函數(shù)f(x)

=2x-6+lnx單調(diào)遞增,且f(1)<0,f(3)>0,此時函數(shù)f(x)只有一個零點,所以共有3個零點.故選D.5.(2019貴州遵義第四教育集團高三上二聯(lián),10)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且x≥0時,f(x)=2x+x+a,g

(x)=

y=g(x)+2x-b有2個零點,則b的取值范圍是

()A.(1,2]

B.[2,4)C.(-∞,4]

D.[4,+∞)答案

B函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且x≥0時,∴f(x)=2x+x+a,則f(0)=0,得a=-1,∴f(x)=2x+x-1(x>0),x<0

時,-x>0,∴f(-x)=2-x-x-1=-f(x),∴f(x)=-2-x+x+1(x<0).f(x)在(-∞,1)上是增函數(shù),且最大值f(1)=2,y=

log2x在[1,+∞)上是增函數(shù),x=1時,y=0,利用圖象(圖略)知2≤b<4.6.(2019云南曲靖一中高三質(zhì)量監(jiān)測三,12)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=

若函數(shù)k(x)=f(x)-ax恰有2個零點,則實數(shù)a的取值范圍是

()A.(-∞,-1)∪{0}∪

B.(-∞,-1)∪{0}∪

C.

∪{0}∪

D.

∪{0}∪

答案

B令k(x)=f(x)-ax=0,得f(x)=ax,因為函數(shù)k(x)=f(x)-ax恰有2個零點,所以y=f(x)的圖象與直線y=ax有2個交點,在平面直角坐標系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示,當(dāng)x≤0時,y=x2-x,y'=2x-1,所以y'(0)=-1,因為函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有2個交點,所以a<-1,當(dāng)0≤x≤1時,y=x-x2,y'=1-2x,所以y'(0)=1,當(dāng)x>1時,y=lnx,y'=

,設(shè)過(0,0)的直線與曲線y=lnx(x>1)的切點為(m,lnm),則y'(m)=

,所以

=

,解得m=e,所以切線斜率為

,因為函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有2個交點,所以

<a<1,當(dāng)a=0時,也滿足函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有2個交點.綜上所述,當(dāng)a∈(-∞,-1)∪{0}∪

時,函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=ax有兩個交點,即函數(shù)y=k(x)恰有兩個零點,故選B.

7.(2019云南曲靖一中高三質(zhì)量監(jiān)測二,16)已知f(x)=1-|lgx|,則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點個數(shù)

為

.答案3解析解法一:由2f2(x)-3f(x)+1=0,可解得f(x)=1或f(x)=

.若f(x)=1,即1-|lgx|=1,即lgx=0,解得x=1,若f(x)=

,即1-|lgx|=

,即lgx=±

,解得x=

或x=

,則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1有3個零點.故答案為3.解法二:圖象法.由2f2(x)-3f(x)+1=0,可解得f(x)=1或f(x)=

,畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如下:

由圖可知f(x)=1有1個解,f(x)=

有2個解,故函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1有3個零點.8.(2019云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]時,f(x)=x2,函

數(shù)g(x)=lg|x|,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點個數(shù)是

.答案18解析∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴f(x)是周期為2的函數(shù).如圖,分別作出y=f(x)與y=g

(x)(x>0)的圖象,在(0,+∞)上,f(x)與g(x)的圖象有9個交點,又f(x)與g(x)都為偶函數(shù),所以在(-∞,0)

上,f(x)與g(x)的圖象也有9個交點,所以函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點個數(shù)是18.

9.(2019云南昆明高三調(diào)研,16)已知函數(shù)f(x)=

g(x)=f(x-1)-a(x-3),若g(x)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是

.答案

∪(0,+∞)解析函數(shù)g(x)有兩個零點,就是方程f(x-1)-a(x-3)=0有兩個解,也就是函數(shù)y=f(x-1)與y=a(x-3)

的圖象有兩個交點.y=f(x-1)=

的圖象如圖所示.易知y=a(x-3)的圖象過定點(3,0).當(dāng)a=0時,兩個函數(shù)的圖象只有一個交點,不符合題意;當(dāng)a<0時,兩個函數(shù)的圖象要有兩個交點,則直線y=a(x-3)過點(1,1)時,斜率a取得最小值,為-

,所以-

≤a<0;當(dāng)a>0時,兩個函數(shù)的圖象一定有兩個交點.綜上,實數(shù)a的取值范圍是

∪(0,+∞).10.(2019廣西百色高三調(diào)研,16)已知函數(shù)f(x)=a(x2+2x)+2x+1+2-x-1(a∈R)有唯一零點,則f(a)=

.答案

解析∵函數(shù)y=x2+2x與y=2x+1+2-x-1的圖象均關(guān)于直線x=-1對稱,∴y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對

稱,∴f(x)的唯一零點必為-1,∴f(-1)=0,即-a+1+1=0,解得a=2,則f(a)=f(2)=

.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時間:20分鐘分值:35分一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2019四川成都石室中學(xué)月考,2)若函數(shù)f(x)=|lnx|-3-x的兩個零點是x1,x2,則

()A.x1x2=1

B.x1x2>1C.x1x2<1

D.無法判斷答案

C由f(x)=|lnx|-3-x=0得|lnx|=3-x,令h(x)=|lnx|,g(x)=3-x,在同一坐標系中作出函數(shù)h(x)=|lnx|與g(x)=3-x的圖象.設(shè)函數(shù)h(x)=|lnx|與直線y=m(m>0)的交點的橫坐標為x1,x3,則0<x1<1<x3,即-lnx1=lnx3,即x1x3=1,又

x2<x3,所以x1x2<x1x3=1,故選C.

2.(2019貴州貴陽一中高三第五次月考,12)設(shè)f(x)是圖象連續(xù)不斷的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)是單

調(diào)函數(shù),則g(x)=f(x)-f

的所有零點之和為

()A.-1

B.1

C.-5

D.5答案

C由f(x)-f

=0,即f(x)=f

及偶函數(shù)的對稱關(guān)系,得x=

,-x=

,化簡為2x2+4x-3=0①和2x2+6y+3=0②.故Δ①=40>0,Δ②=12>0,且x≠-

(有實根,無增根),設(shè)零點分別為x1,x2,x3,x4,故由根與系數(shù)的關(guān)系得(x1+x2)+(x3+x4)=-2+(-3)=-5,故選C.3.(2019四川涼山州高中二診)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(2-x),當(dāng)x∈[-2,0]時,

f(x)=

-1,則在區(qū)間(-2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-log8(x+2)=0解的個數(shù)為

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C對于任意的x∈R,都有f(x+2)=f(2-x),所以f(x+4)=f[(2+(x+2))]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x),所

以函數(shù)f(x)是一個周期為4的周期函數(shù),因為f(x)-log8(x+2)=0,所以f(x)=log8(x+2),當(dāng)x∈[-2,0]時,f(x)=

-1,作出y=f(x)與y=log8(x+2)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的函數(shù)圖象,如圖所示,圖象交點有3個.即在區(qū)間(-2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的個數(shù)為3.

易錯警示解此類題需注意:一是定義域優(yōu)先意識,有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性的研究,需先關(guān)注函數(shù)的

定義域;二是草圖不草,圖象的關(guān)鍵點與圖象的趨勢應(yīng)當(dāng)較準確地勾勒出來,判斷有關(guān)交點個數(shù)

問題時才不易出錯.4.(2019四川南充高三二診,12)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),f(x)=

若關(guān)于x的方程f(x)-ax=0有5個不同實根,則正實數(shù)a的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

答案

D由題意可得函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),作函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象,

由圖象可得方程-(x-4)2+1=ax,即x2+(a-8)x+15=0在(3,5)上有2個實數(shù)根,由

解得0<a<8-2

.再由方程f(x)=ax在(5,6)內(nèi)無解,可得6a>1,即a>

.綜上,可得

<a<8-2

,故選D.思路分析由題意可得函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象,由

圖象可得方程-(x-4)2+1=ax在(3,5)上有2個實數(shù)根,解得0<a<8-2

.再由方程f(x)=ax在(5,6)內(nèi)無解可得6a>1.由此求得正實數(shù)a的取值范圍.5.(2019四川宜賓高三二診,12)已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)g(x)=f(x2)+f(a-2|

x|)恰有4個零點,則a的取值范圍是

()A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1]

D.(0,1)答案

D已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),令f(x2)+f(a-2|x|)=0,由函數(shù)g(x)=f(x2)+f(a-2|x

|)恰有4個零點,知x2-2|x|+a=0有4個根,則x2-2x+a=0有2個不等正根,即

解得0<a<1,即a的取值范圍是0<a<1,故選D.評析本題考