數(shù)學教案：等差數(shù)列教案及反思

教案系列數(shù)學教案：等差數(shù)列教案及反思?XML:NAMESPACEPREFIX=O/>

難點：等差數(shù)列“等差”的特點。公差是每一項（從第2項起）與它的前一項的關(guān)肯定未能把被減數(shù)與減數(shù)弄顛倒。

等差數(shù)列通項公式的含義。等差數(shù)列的通項公式由它的首項和公差所完全確定。換句話說，等差數(shù)列的首項和公差已知，那么，這個等差數(shù)列就確定了。

過程：

一、引導觀看數(shù)列：4，5，6，7，8，9，10，……

3，0，-3，-6，……

，，，，……

12，9，6，3，……

特點：從第二項起，每一項與它的前一項的差是常數(shù)—“等差”

二、得出等差數(shù)列的定義：（見P115）

留意：從第二項起，后一項減去前一項的差等于同一個常數(shù)。

1．名稱：AP首項公差

2．若則該數(shù)列為常數(shù)列

3．尋求等差數(shù)列的通項公式：

由此歸納為當時（設立）

留意:1等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)

2假如通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，則該數(shù)列成AP

證明：若

它是以為首項，為公差的AP。

3

公式中若則數(shù)列遞增，則數(shù)列遞減

4圖象：一條直線上的一群孤立點

三、例題：留意在中，，，四數(shù)中已知三個可以

求出另一個。

例1（P115例一）

例2（P116例二）留意：該題用方程組求參數(shù)

例3（P116例三）此題可以看成應用題

四、關(guān)于等差中項：假如成AP則

證明：設公差為

，則

∴

例4《教學與測試》P77例一：在-1與7之間順次插入三個數(shù)使這五個數(shù)成AP，求此數(shù)列。

解一：∵∴是-1與7的等差中項

∴又是-1與3的等差中項

∴

又是1與7的等差中項∴

解二：設∴

∴所求的數(shù)列為-1，1，3，5，7

五、推斷一個數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法

1．定義法：即證明

例5、已知數(shù)列的前項和，求證數(shù)列

成等差數(shù)列，并求其首項、公差、通項公式。

解：

當時

時亦滿意∴

首項

∴成AP且公差為6

2．中項法：即利用中項公式，若

則成AP。

例6已知，，成AP，求證，，也成AP。

證明：∵，，成AP

∴化簡得：

=

∴，，也成AP

3．通項公式法：利用等差數(shù)列得通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

例7設數(shù)列

其前項和，問這個數(shù)列成AP嗎？

解：時時

∵∴

∴數(shù)列不成AP但從第2項起成AP。

五、小結(jié)：等差數(shù)列的定義、通項公式、等差中項、等差數(shù)列的證明方法

六、作業(yè)：P118習題3．21-9

七、練習：

1．已知等差數(shù)列{an}，（1）an=2n+3,求a1和d（2）a5=20,a20=-35,寫出數(shù)列的通項公式及a100.

2.在數(shù)列{an}中，an=3n-1，試用定義證明{an}是等差數(shù)列，并求出其公差。

注：未能只計算a2-a1、、a3-a2、a4-a3、等幾項等于常數(shù)就下結(jié)論為等差數(shù)列。

3．在1和101中間插入三個數(shù)，使它們和這兩個數(shù)組建等差數(shù)列，求插入的三個數(shù)。

4．在兩個等差數(shù)列2，5，8，…與2，7，12，…中，求1到200內(nèi)相同項的個數(shù)。

分析：本題可采納兩種方法來解。

（1）用不定方程的求解方法來解。關(guān)鍵要從兩個不同的等差數(shù)列動身，依據(jù)

相同項，建立等式，結(jié)合整除性，查找出相同項的通項。

（2）用等差數(shù)列的性質(zhì)來求解。關(guān)鍵要抓?。簝蓚€等差數(shù)列