2023年上海市重點中學(xué)四校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷及答案解析

2023年上海市重點中學(xué)四校高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷

一、單選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知直線，1：x+ay-2=0,l2：（a+l）x-ay+1=0,貝!]a=-2是％〃/2的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知函數(shù)丫=忌，則其圖象大致是（）

A..B..C.

3.如圖所示，正三棱柱ABC-AiBiG的所有棱長均為1,點P、M、N

分別為棱44、AB,4出的中點，點Q為線段MN上的動點.當(dāng)點Q由點N

出發(fā)向點M運動的過程中，以下結(jié)論中正確的是（）

A.直線GQ與直線CP可能相交

B.直線GQ與直線CP始終異面

C.直線GQ與直線CP可能垂直

D.直線GQ與直線BP不可能垂直

4.下列用遞推公式表示的數(shù)列中，使得n，*8廝=&成立的是（）

A(即=+2)522)(an=(n>2)

A.Lan-lD.4yan-l+1

91=-1=1

_2-3冊-1<>2)(n—2+出1-16/i「>2)

c.-?n-l-3(n-2)D,冊一⑺之

%=1(%=1

二、填空題(本大題共U小題，共44.0分)

5.已知集合A={x}x2-4x<0},B={1,2,3,4,5},則4CB=

6.不等式lg（x-1）＜1的解集是.（用區(qū)間表示）

7.已知復(fù)數(shù)z=l+2i,則==

Z---

8.函數(shù)y=siM(兀x)的最小正周期為—.

9.平行直線x+V3y+V3=0與巡x+3y-9=0之間的距離為一.

10.若12。=3b=zu,且工-；=2,則m=_.

ab

11.向量元=(%2)為直線方—2丁+2=0中的法向量，則向量(1,1)在元方向上的投影為—

12.長方體/BCD-&B1GD1為不計容器壁厚度的密封容器，里面盛有體積為U的水，已知

力B=3,AAr=2,AD=1,如果將該密封容器任意擺放均不能使水而呈三角形，則V的取值

范圍為_.

13.在△4BC中，ZA=150。，。1，。2,…，。2022,依次為邊BC上的點，且=DrD2=D2D3=

*,*—。2021。12222=。2022。，設(shè).乙BAD]—CZ]、Z-D-yA[)2~、…、乙。20214。2022=a2022、

^D2022AC=a2023,則當(dāng)3^的值為.

zu//zuzssina2sina4,Sina2022-----

14.上海電視臺五星體育頻道有一檔四人撲克牌競技節(jié)目“上海三打一”，在打法中有一種

“三帶二”的牌型，即點數(shù)相同的三張牌外加一對牌，(三張牌的點數(shù)必須和對牌的點數(shù)不同

).在一副不含大小王的52張撲克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到兩張4一張K,則

接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型(444KK或KKKAA)的概率為一.

15.函數(shù)y=f(x)的表達式為f(x)=2x3-5x2-4x,如果/'(a)=f(b)=/(c)且a<b<c,

則abc的取值范圍為一.

三、解答題(本大題共5小題，共60.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題12.0分)

如圖，四棱錐P-4BC。中，等腰△P4B的邊長分別為P4=PB=5,AB=6,矩形4BC0所

在的平面與平面P4B垂直.

(1)如果BC=3,求直線PC與平面P4B所成的角的大小：

(2)如果PCJ.BD,求BC的長.

17.（本小題12.0分）

自2015年上海啟動（f±海綠道專項規(guī)劃（2035”至今上海已建成綠道總長度近1600公里.根

據(jù)仕海市氣態(tài)空間專項規(guī)劃（2021—2035）》，到2035年，上海綠道總長度將超過2000公

里.屆時，綠道會像城市的毛細血管一樣，延伸到市民生活的各個角落，綠蔭卜的綠道（步道、

騎行道）給市民提供了散步休憩、跑步騎行運動的生態(tài)空間.某一線品牌自行車制造商在布局

線下自行車體驗與銷售店時隨機調(diào)研了1000位市民，調(diào)研數(shù)據(jù)如表1所示.166位有意愿購買

萬元級運動自行車的受訪者的年齡（單位：歲），在各區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)記錄如表2所示.

表1

有意愿購買萬元級運動自行沒有意愿購買萬元級運動自行

總計

車車

距家2千米內(nèi)有騎行綠

118270

道

距家2千米內(nèi)無騎行綠

道

總計1661000

表2

年齡分組區(qū)間頻數(shù)

[12,18)16

[18,24)24

[24,30)35

[30,36)30

[36,42)21

[42,48)15

[48,54)11

[54,60)6

[60,66)5

[66,72)3

（1）試估計有意愿購買萬元級運動自行車人群的平均年齡（結(jié)果精確到0.1歲）.

（2）將表1的2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補充完整，并判斷是否有95%的把握認為“離家附近（2千米

內(nèi)）有騎行綠道與萬元級運動自行車消費有關(guān)”？

2

附.2_n(ad-bc),其中n

z―(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=a+b+c+d.

P(x2>k)0.100.050.010.005

k2.7063.8416.6357.879

18.（本小題12。分）

雨天外出雖然有雨傘，時常卻總免不了淋濕衣袖、褲腳、背包等，小明想通過數(shù)學(xué)建模的方

法研究如何撐傘可以讓淋濕的面積盡量小.為了簡化問題小明做出下列假設(shè)：

假設(shè)1：在網(wǎng)上查閱了人均身高和肩寬的數(shù)據(jù)后，小明把人假設(shè)為身高、肩寬分別為170cm、

40cm的矩形“紙片人”：

假設(shè)2：受風(fēng)的影響，雨滴下落軌跡視為與水平地面所成角為60。的直線；

假設(shè)3：傘柄07長為60cm,可繞矩形“紙片人”上點。旋轉(zhuǎn)；

假設(shè)4：傘面為被被柄OT垂直平分的線段AB,AB=120cm.

以如圖1方式撐傘矩形“紙片人”將淋濕“褲腳”；以如圖2方式撐被矩形“紙片人”將淋濕

（1）如圖3在矩形“紙片人”上身恰好不被淋濕時，求其“褲腳”被淋濕（陰影）部分的面積（結(jié)

果精確到O.lcm?）；

（2）請根據(jù)你的生活經(jīng)驗對小明建立的數(shù)學(xué)模型提兩條改進建議（無需求解改進后的模型，如

果建議超過兩條僅對前兩條評分）

19.(本小題12.0分)

已知橢圓C：號+4=1(0<b<2)經(jīng)過點&,尸2為橢圓c的左右焦點，Q(&,yo)為

平面內(nèi)一個動點，其中yo>0,記直線QFi與橢圓C在x軸上方的交點為做與,丫1),直線QF2與

橢圓C在％軸上方的交點為

(1)求橢圓c的離心率；

111

(2)右4尸2〃80，證明：—+—=—；

⑶若1尹1廣4嘉求點Q的軌跡方程.

20.(本小題12.0分)

1

已知函數(shù)y=/(x)的表達式為f(久)=-ax2+(a+l)x+lnx(aGR).

(1)若1是/(x)對的極值點，求a的值.

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

2

(3)若/(x)=1ax+x有兩個實數(shù)解久1，x式<x2),

⑴直接寫出a的取值范圍；

(ii)4為正實數(shù)，若對于符合題意的任意Xi，x2>當(dāng)s=Mx1+必)時都有/'(s)<0，求4的取

值范圍.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：直線，i：x+ay-2=0,l2.(a+l)x-ay+1=0,

則-a=a2+a,解得a=0或-2,

經(jīng)檢驗，當(dāng)a=0或-2時，均符合題意，

故a=-2是。〃，2的充分不必要條件.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查充分條件、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：因為峭一1力0,所以x十0,即函數(shù)的定義域為(-8,0)U(0,+8),

所以選項4和C均錯誤，

當(dāng)》->-8時，e*-0,所以f(x)—0,即B正確，。錯誤.

故選：B.

根據(jù)函數(shù)的定義域可排除選項A和C,再考慮X--8時，f(x)的取值情況，即可得解.

本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：在正三棱柱ABC-AiBiG中，

???點M,N分別為棱ZB,］的中點，???MN〃44i，

???MN,平面44AAiu平面AAiCiC,MN//平面441C1C,

???G，P,C,Q四點不共面，二直線GQ與CP始終異面，故4錯誤，8正確;

對于C,設(shè)NQ=2MN(0W2W1),

則祠=麗+西=2而+3西+曬>=4折+就-g甌

CP=-AC,

若直線CiQ與直線CP垂直，則帽.不=0,

(4折+AC-^AB)■前)=0，

-AAA1-AC+^AAi-AC-AC-yAA1-AB+^-AB-AC=01

21121412

?''g—l+gxlxlx；=0,解得2-5，

???0W4W1,??.不存在點Q使得直線GQ與直線CP垂直，故C錯誤；

對于D,連接GN,如圖，

V=C/1，N為4/1的中點，;GN1&B1，

：44I-L平面為GNu平面&BiG，AAAt1CrN,

vAArnA/】=A[，：.C[N_L平面ABBiA,

又BPu平面4BB14,ACrN1BP,

二當(dāng)點Q在N的位置時，直線QQ與直線BP垂直，故。錯誤.

故選:B.

證明MN〃平面441GC,從而可證G，P,C,Q四點不共面，即可判斷4B；設(shè)NQ=AMN{0<A<1),

將祠，汴分別用折，而，荏表示，假設(shè)直線GQ與直線CP垂直，則相?方=0,求出;I即可判

斷C；證明GNJL平面ABB/i，即可判斷D.

本題考查線面平行、線面垂直、四點共面的判定與性質(zhì)、線線垂直的判定等基礎(chǔ)知識，考查運算

求解能力，是中檔題.

4.【答案】D

【解析】解：對于4,廝=；(%_]+二-)=事出，

a

2071T^n-l

???斯與^!九T同號，又的=—1,Aan<0,

...n，=8即=加不成立，故A錯誤；

對于B，.?.斯:盤嶄，二與與冊_1同號，

令/(乃=竟搭，解f(x)=x，得%=平

則n—+<x>an=3：",故B錯誤；

6+工廠>._2-3a_11113

a=n4

對十C，?n"T，%=1,**?a=T，%=—F%=—77，…

1一J2Z□io

令f(%)=ry，解/(%)=%，得％=±&，

71二％8&=或不成立，故C錯誤;

2+限1伍味12+xlnx

對于D,：,冊>OJ(x)=

旬-1+仇1x+lnx

解/'(x)=尤，得x=魚，二n-?+8an=&，故。正確.

故選：D.

判斷各選項的符號，結(jié)合不動點列出等式，由此能求出結(jié)果.

本題考查數(shù)列的極限、不動點的性質(zhì)、遞推公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

5.【答案】{1,2,3}

【解析】解：集合4={x\x2—4x<0}={x|0<x<4},

B={1,2,3,4,5},

則4ns={1,2,3).

故答案為：{1,2,3}.

求出集合力，利用交集定義直接求解.

本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算激解能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】(1,11)

【解析】

【分析】

由不等式可得0<%-1<10,從而求得不等式的解集.

本題主要考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

【解答】

解：由lg(x-l)<l,可得0<x-1<10,解得1cx<11,

故不等式的解集是(1,11),

故答案為(1,11).

7.【答案】一|+.

【解析】解：復(fù)數(shù)z=1+2K

則W=1-23

故〃=但=&%)2=_。+々.

zl-2i(l-2i)(l+2t)55

故答案為：+

根據(jù)已知條件，結(jié)合共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，即可求解.

本題主要考查共軌復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】1

【解析】解：因為y=sin2(?rx)='"節(jié)=—；cos2n■%+；,

所以7=f=1.

2n

故答案為：1.

由二倍角化簡得y=-lcos2nx+^,再由周期公式計算即可.

本題考查了二倍角的余弦公式的逆用、三角函數(shù)的周期公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】26

【解析】解：直線x+gy+g=O，即遮x+3y+3=0,

|3一(一9)|_oc

直線Hx+3y+3=0與遮x+3y-9=0之間的距離為蕨川之一2V3.

故答案為：2遍.

根據(jù)已知條件，結(jié)合兩條平行直線間的距離公式，即可求解.

本題主要考查兩條平行直線間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】2

【解析】解：12。=3》=二a=logizm，b=log3w,

?4+麗%-氤=logm12-logrn3=logrn4=2,

.??m2=4,

又??,m>0,

?*,Tn—2.

故答案為：2.

先把指數(shù)式化為對數(shù)式，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解.

本題主要考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化，考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】g

【解析】解：因為向量元=(a,2)為直線x—2y+2=0的法向量，

所以向量元=(見2)與直線%—2丫+2=0的方向向量沅=(1,；)垂直，

所以axl+2xg=0,解得a=—1,即元=(—1,2),

v-n(-l)xl+2xlV5

記方=(1,1),則向量己=(1,1)在H方向上的投影為同=看“=T-

故答案為：g.

先通過向量垂直求出參數(shù)a,然后通過向量投影公式求解即可.

本題主要考查了直線的法向量及方向向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】(1,5)

【解析】解：如圖,

如果將該密封容器任意擺放均不能使水而呈三角形，

不妨以4在最下端，則水面應(yīng)高于平面低于平面CAB1，

即以-41BD<V<^ABCD-A1B1C1D1~%-8祖，

而以-41BD=]*2*1*2*3=1,

KIBCD-A1B1C1D1~^C1-CD1B1=3x2x1--x-xlx2x3=5,

U的取值范圍為(1,5).

故答案為：(1,5).

如果將該密封容器任意擺放均不能使水而呈三角形,不妨以4在最下端，則水面應(yīng)高于平面&BD,

低于平面CDiB],再由多面體的體積公式求解.

本題考查長方體截面的性質(zhì)，考查空間想象能力，屬中檔題.

13?【答案】嬴

【解析】解：畫出圖形如下,

+。2+……+^2020=150°,

在△8/Wi中，"=.黑=嗎

1sinajs\nz.BDiAsinB

AD2

在4。1也中，9

singsinz/lD2fisin^.AD1C

△-r-sinaisinB

BDi=DO,?1?—=sin-DzB'

同理可得鬻sin/A2/sinas_sin乙4O48S譏。2021_siMAZ)2020B

9

S1I1U4sinZ-AD4Bsina^sinZ-AD^BSina2022-5訪44。2022夕

T7D2022C_AC

sin乙4D2022C'

sma2023

.cFc__。2022?！?1乙AO2022c

??stna2023—斤'

Z-AD2Q22^+2022c=180°，?，?SIY\Z-AI)2Q22^~Sin44。2022。，

.5①。逐?1。3…$歷仁2023_。20220，m8BCsinBs沆15001

—_____x_____=________—_____

sina2sina4*,,s>na2022AC一2023AC-2023—4046,

故答案為：嬴

先畫出圖形，再利用正弦定理化簡求解即可.

本題主要考查正弦定理的運用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

14.【答案】獲

【解析】解：由題意，從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回的抽取三次，抽到兩張4,一張K,

還剩49張撲克，其中有兩張4三張K,

再不放回的抽取兩次，共有49x48（種）抽法，抽到一張4一張K的方法有2x3+3x2=12（種）,

抽到兩張K的方法有3X2=6（種），

故接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型的方法有12+6=18（種），

故所求概率為「=信=矗.

故答案為：

從52張撲克牌中不放回的抽取三次之后，還剩49張牌，至此，將所求概率問題轉(zhuǎn)化為一般的古典

概型，求出不放回的抽取兩次的方法總數(shù)，以及抽到一張A一張K或抽到兩張K的方法總數(shù)，根據(jù)

古典概型概率公式計算概率即可.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】(一6,第

【解析】解：f'(x)=6x2-10x-4=2(3%+l)(x-2),

當(dāng)x>2或x<-g時，f'(x)>0,當(dāng)—g<x<2時，f'(x)>0,

所以函數(shù)的增區(qū)間為(一8,—1),(2,+8),減區(qū)間為(V,2),

則函數(shù)f(x)的極大值為/(—：)=3極小值為"2)=-12,

作出函數(shù)/(》)的大致圖象,若/(a)=f(b)=f(c)且a<b<c,

令/(a)=f(b)=/(c)=k,則kG(-12,g),

即/(x)-k=0的三個根為a,b,c,

即2X3—5/—4x—k=2(%—a)(x—&)(%—c),

又2(%—a)(x—b)(x—c)=2x3-2(a+b+c)x2+2(ab+ac+bc)x—2abc,

故答案為：(-嗒).

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，作出函數(shù)的大致圖象，令/"(a)=f(b)=/(c)=k,可得k的

范圍，則/'(x)—k—。的三個根為a,b,c,從而可得2爐—5x2—4x—k=2(x—a)(x—b)(x—c),

右邊去括號即可得解.

本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

16.【答案】解：(1)因為矩形ABC。所在的平面與平面P4B垂直，且平面4BC0C平面P4B=48,

BC1AB,BCu平面4BC0,所以BC_L平面P4B,

所以NCPB為直線PC與平面P4B所成的角，且tanNCPB=需=|，

故"PB=arctan

(2)根據(jù)題意，以力為坐標(biāo)原點，垂直于AB做出x軸，AB,40所在直線為y,z軸，建立如圖所示

空間直角坐標(biāo)系，

P

設(shè)BC=a,則P(4,3,0),C(0,6,a),B(0,6,0),D(0,0,a),

則定=(-4,3,a),BD=(0,-6,a).且PC1BD,

則近?麗=0，BP-18+a2=0,所以a=3近，即BC=3近.

【解析】(1)根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理可得8C_L平面PAB,即可得NCPB為直線PC與平面

P4B所成的角，從而得到結(jié)果；

(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，由PCLB?？傻谜?前=0,從而求得結(jié)果.

本題考查了直線與平面所成的角以及空間中兩點間距離的計算，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(1)有意愿購買萬元級運動自行車人群的平均年齡為：

-^-(16x15+24x21+35x27+30x33+21x39+15x45+11x51++6x57+5x

166

63+3x69)?33.7,

.??有意愿購買萬元級運動自行車人群的平均年齡約為33.7歲.

（2）列聯(lián)表如下：

有意愿購買萬元級運動自行沒有意愿購買萬元級運動自行

總計

車車

距家2千米內(nèi)有騎行綠

118270388

道

距家2千米內(nèi)無騎行綠

48564612

道

總計1668341000

由表得:

_1000(118x564-48x270)2

2*87.366>3.841，

__166x834x612x388-

二有95%的把握認為“離家附近（2千米內(nèi)）有騎行綠道與萬元級運動自行車消費有關(guān).

【解析】（1）將年齡分組區(qū)間取中間值乘以頻數(shù)，全部相加后除以總?cè)藬?shù)可得平均值;

（2）利用公式求出X2,然后利用表中數(shù)據(jù)比較大小后得出結(jié)論.

本題考查平均數(shù)、獨立檢驗等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：（1）過點4作對邊的垂線，垂足為點C,過點。作對邊的垂線，垂足為點E,連接04

OB,

因為7為4B的中點，所以47=87=60,

又OT=60,所以。4=OB=60/2,^0AB=%

TT

又乙4"。=?OH=40,

OHOA

由正弦定理OHsinZAHOV6

sin^HAOsinZAHO，所以sinzJM。OA=T，

又4兄4。<今所以cos〃MO=啰，

L6

7rn

cosZ-BAC=cos/(-—4Br>AAHri)\=s?mZ-nBATHT=si?n/(Z-nHAO+.-)x=—瓜x—V2+.—V30xyV2=——V3+-V——15，

所以DE=AC=AB-cos^BAC=20(遮+V15).

所以。尸=MN+MF-DN=^MH+OH-^DE=^-+40-鈉(絲g=嚕-4075.

3V3V3V3V3

所以陰影部分面積為扣F-2DFXy=yDF2?65.7cm2;

(2)①雨傘不遮擋行人前進的視線；

②傘面為弧線，改進模型將傘設(shè)為一段圓弧，擴大傘面的面積；

③考慮傘柄可以伸縮，等等.(只要合理即可)

【解析】(1)過點4作對邊的垂線，垂足為點C,過點。作對邊的垂線，垂足為點E,連接040B,

先求出OA,0B,在4AOH中，利用正弦定理求得sinN/M。，再根據(jù)NBAC=］—NBAH求得cos/BAC,

從而可求得DE,再求出。凡再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；

(2)可以從行進的視線，并從傘面面積等角度入手，建議只要合理即可.

本題考查了正余弦定理在解決實際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)由橢圓過M(l,—|)，所以;+磊=1，解得爐=3,

所以橢圓的方程為：［+1=1；C2=4-3=1,

所以離心率e=-a=2

(2)證明：因為4F2〃B&,所以△AQFzsA&QB,所以僚=制，由和分比定理可知髭=息，

所以資=空=1一和

乃九y\

整理可得要+普=1,

111

即證得了+7=7成立；

%%

(3)設(shè)直線QF］的方程為％=若丫-1,設(shè)。=若，

聯(lián)立K24/112'整理可得&+3好燈2_6t】y-9=0,

所以弓一

9.(*2+60(4+3*)=0,yi>0,

解得工=-h+2=一笠+)J(l+xo)2+*=-l-xo+2j(l+xo)2+%=_l_xo+2|QF]|,

一3一3-3yo--3yo

設(shè)QF2的方程為：x=Ejy+i,設(shè)t2=*，

聯(lián)立12'整理可得：(4+34)y2+6tzy-9=0,y2>0,

可得9.(")2_6t2q_(4+3t/)=0,

解得工_12+2依+1_°/，。_Xo_1+2j(x()_l)2+%_X0_1+2|Q&I，

33

y2~.3yo-3y0

所以“打馬筆山，又因時+戶言，

yiy?5yo/i及5yo

所以IQBI+IQFzl=3>|F/|,

所以Q的軌跡為且6,尸2為焦點的橢圓的上半部分，且2a'=3,2c'=2,即優(yōu)=|,c'=l,b'2=

a'2—c'2=—1=j,

44

所以點Q的軌跡方程為：4+4=1(y>o).

44

【解析】(1)由橢圓過M點，可知爐的值，進而求出c的值，可得橢圓的離心率；

(2)由4E2〃8居，所以2sAFiQB,進而可知對應(yīng)邊成比例，再由合分比定理可得4B,Q的

縱坐標(biāo)的關(guān)系，整理可證得結(jié)論；

11

(3)設(shè)直線Q&,QF2的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，由題意可知五，區(qū)的表達式，由題意可得Q到&,

尸2的距離之和為定值，且大于|6尸2|的值，由橢圓的定義可知Q的軌跡為以&,尸2為焦點的橢圓，

并可知長半軸長及短半軸長，進而求出它的軌跡方程.

本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，點的軌跡方程的求法，屬于中檔題.

20.【答案】解：⑴/(%)=-ax2+(a+l)x+

Inx^aER),xG(0,+oo),

f(x)=ax+(a+l)+i=—+*),

???1是f(x)對的極值點，

???r(i)=Q+Q+I+I=O,解得Q=-1,

f(x)=-(lJx+1),

可得x=l是函數(shù)/(x)的極大值點，滿足題意，

:.a=—1.

(2)f(x)=(ax+?G+l),

a20時，f'(x)>0,函數(shù)/(無)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

a<0時，/,(X)-a(T)(x+i).

x6(0,-；)時，fC%)>0；刀6(一；,+8)時，/(x)<0.

二函數(shù)f。)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-6，單調(diào)遞減區(qū)間為(一1+8).

綜上可得：a20時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

a<0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,—》，單調(diào)遞減區(qū)間為(―：,+8).

(3)/(x)=1ax2+x化為ax+Inx=0,—a=等，

(i)令g(x)=等，xe(0,+co),

g'。)=與"，￡(e)=0,

%w(0,e)時,gf(x)>0,函數(shù)g(%)單調(diào)遞增;%W(e,+8)時,gf(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.

%=e時，函數(shù)g(x)取得極大值，g(e)=：,

2