13.2全等三角的判定拓展模型講義華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

全等三角形的四大模型模型1“一線三等角”全等模型模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型已知:點(diǎn)P在線段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)結(jié)論1:△APC≌△BDP已知:點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)結(jié)論2:△APC≌△BDP怎么用?當(dāng)在一條線段上,存在三個(gè)相等的角(銳角或直角或鈍角),且有一組邊相等時(shí),考慮用“一線三等角”全等模型找準(zhǔn)三個(gè)等角,再根據(jù)平角性質(zhì)、三角形內(nèi)角和及外角性質(zhì)進(jìn)行等角代換判定三角形全等巧學(xué)巧記簡(jiǎn)記“一線三等角,兩頭對(duì)應(yīng)好，互補(bǔ)導(dǎo)等角，全等輕易找”.滿分技法“—線三等角”模型常以等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形、四邊形(正方形或矩形或梯形)為背景,在幾何綜合題中考查.結(jié)論分析結(jié)論1:△APC≌△BDP證明:如圖,∵點(diǎn)Р在線段AB上，∴∠APC+∠2+∠DPB=180°,在△APC和△BDP中，∠1+∠APC+∠C=180°,∠DPB+∠3+∠D=180°,∵∠1=∠2=∠3,∴∠DPB=∠C,∠APC=∠D，又∵AP=BD或AC=BP或CP=PD，∴△APC≌△BDP結(jié)論2:△APC≌△BDP證明:如圖,點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,∵∠1=∠C+∠APC,∠2=∠D+∠BPD,∠3=∠BPD+∠APC,∠1=∠2=∠3，∴∠D=∠APC,∠CAP=∠PBD,∵AP=BD或AC=BP或CP=PD,∴△APC≌△BDP模型拓展已知:點(diǎn)P在線段AB上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)已知:點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上,∠1=∠2=∠3,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)結(jié)論3:△APC≌△BDP結(jié)論4:△APC≌△BDP拓展延伸若題干中“一線三等角”中無對(duì)應(yīng)線段相等,則為“一線三等角”相似模型(見本書P154模型49“一線三等角”相似模型).典例小試?yán)?如圖,在△ABC中,AB=AC（點(diǎn)撥：∠B=∠C）,點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,AC上,若∠B=∠DEF（點(diǎn)撥：∠B=∠C=∠DEF）,ED=EF（點(diǎn)撥：一組邊對(duì)應(yīng)相等）,CF=3,則BE的長(zhǎng)為（）A.3B.6C.9D.12考什么?等腰三角形的性質(zhì),三角形外角的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)例2(2021陜西)如圖,AB、BC、CD、DE是四根長(zhǎng)度均為5cm的火柴棒,點(diǎn)A、C、EAC=6cm,CD⊥BC,則線段CE的長(zhǎng)度是（）考什么?等腰三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理例3(2021南充)如圖,∠BAC=90°,AD是∠BAC內(nèi)部一條射線,若AB=AC，BE⊥AD點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，求證:AF=BE.考什么?直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì)思路點(diǎn)撥“一線三等角”模型無論是同側(cè)型還是異側(cè)型,主要根據(jù)等.角轉(zhuǎn)換,得到角相等,再結(jié)合已知條件證明全等.實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1.如圖,△ABC中，AC=BC，∠B=45°，A(0,4),C(2,0),則中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）2.如圖,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=60°,BC=1,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),若△ADE為等邊三角形,則AB+CD的值為.3.△ABC中,AB=AC,AB>BC,點(diǎn)D在邊BC上,且CD=2BD,點(diǎn)E,F在線段AD上.∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面積為6,則△ABE與△CDF的面積之和為.4.如圖①，在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D,A,E三點(diǎn)都在直線l上.若∠BDA=∠AEC=∠BAC=α.(1)猜想并證明DE,BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系;(2)如圖②,若α=120°,且△ACF為等邊三角形,求證:△DEF為等邊三角形.模型2“半角”全等模型模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型等腰三角形含半角等邊三角形含半角等腰直角三角形含半角已知:∠BAC=2α，AB=AC.∠DAE=∠BAC=α已知:∠BDC=120°BD=CD,∠EDF=60°已知:∠BAC=90°AB=AC∠DAE=45°旋轉(zhuǎn)2a變形后旋轉(zhuǎn)120°變形后旋轉(zhuǎn)90°變形后結(jié)論1:①△ABD≌△ACF,△△ADE≌△AFE;②∠ECF=180°2α結(jié)論2:①△BDE≌△CDG,△DEF≌△DGF;②EF=BE+FC結(jié)論3:①△ABD≌△ACF,△ADE≌△AFE;②∠ECF=90°;③DE2=BD2+EC2怎么用?一個(gè)角包含著該角的半角，如120°角包含60°角,90°角包含45°角,或者出現(xiàn)關(guān)系,則考慮使用“半角”模型①找旋轉(zhuǎn)點(diǎn)(含半角的角的頂點(diǎn)),構(gòu)造旋轉(zhuǎn);②證全等;③利用全等得到邊角的關(guān)系結(jié)論分析結(jié)論2:①△BDE≌△CDG,△DEF≌△DGF;②EF=BE+FC證明:如圖,以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，線段DE按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°到DG,連接CG,則有DE=DG,∠EDG=120°∵∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDG=120°，∴∠BDE=∠CDG在△BDG和△CDG中，∴△BDG?△CDG∴BE=CG在△EDG和△GDF中，∴△EDG?△GDF∴EF=GF=FC+CG=FC+BE滿分技法對(duì)于“半角”模型,一般情況下都需要做輔助線(旋轉(zhuǎn)角度或構(gòu)造等角),構(gòu)造全等,然后通過證明全等得到相關(guān)結(jié)論.模型拓展菱形含半角（∠BAD=120°）正方形含半角旋轉(zhuǎn)120°變形后旋轉(zhuǎn)90°變形后結(jié)論4:①△ABE≌△ADG,△AEF≌△AGF;②△AEF為等邊三角形(連接AC,可得△AEC≌△AFD)結(jié)論5:①△ABG≌△ADF△AGE≌△AFE;②EF=BE+DF拓展延伸菱形、正方形中含半角，與基本模型中的解法一致,常在幾何綜合題中，以菱形、正方形為背景,考查“半角”模型.例1如圖，在等邊△ABC中,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn),且∠EDF=60°,∠BDC=120°.BD=DC(點(diǎn)撥：含半角，含等邊)設(shè)△AEF的周長(zhǎng)為C1,等邊OABC的周長(zhǎng)為C2,.若DE=DF,則的值為______________.等邊三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)例2如圖，已知△ABC是以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形（點(diǎn)撥：∠ACB=90°,AC=BC），,點(diǎn)E、F在AB邊上,∠ECF=∠ACB（點(diǎn)撥：關(guān)系,即半角）.若AE=2,EF=3,則BF的長(zhǎng)為?？际裁?等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定及性質(zhì)思路點(diǎn)撥發(fā)現(xiàn)角度關(guān)系,則考慮使用“半角”模型,在選填題目中，半角”模型的結(jié)論是可以直接使用的.實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠BAE+∠DAF=45°.若DF=2BE=2,則EF的長(zhǎng)為__________.2.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=120°,∠EAF=60°,E,F分別是BC,CD上的點(diǎn)，連接AE,AF,EF,若BE=3,DF=5,則EF的長(zhǎng)為.3.如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)F,使得∠EAF=∠BAD.求證:EF=BE－FD.4.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E均在邊BC上,點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè).(1)若∠BAC=90°,AB=AC,且∠.DAE=45°.求證:BD2+CE2=DE2;(2)若∠BAC=60°,AB=AC=5,且∠DAE=30°,當(dāng)BD=1時(shí),求線段CE的長(zhǎng).模型3“手拉手”全等模型模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型已知:在等腰△0AB中,0A=OB,在等腰△OCD中,OC=OD,AOB=COD=,將△0CD繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)一定角度后,連接AC,BD(稱為“拉手線”,左手拉左手,右手拉右手),相交于點(diǎn)E,連接OE結(jié)論1:△A0C△BOD,AC=BD(即拉手線相等);結(jié)論2:EO平分AED;結(jié)論3:兩條拉手線AC,BD所在直線的夾角與AOB相等或互補(bǔ)怎么用?雙等腰(兩個(gè)等腰三角形),共頂點(diǎn)(頂點(diǎn)O),頂角相等(AOB=COD),繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)一定角度通常需要連接拉手線,根據(jù)旋轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)換及等腰三角形性質(zhì)證三角形全等結(jié)論分析結(jié)論1:△A0C△BOD,AC=BD證明:∵AOB=COD,AOB+BOC=COD+BOC,A0C=BOD.在△AOC和△BOD中，△A0C△BOD,AC=BD;結(jié)論2:EO平分AED證明:如解圖,過點(diǎn)О作OMAE于點(diǎn)M,ONBD于點(diǎn)N,∵△A0C△BOD，∵AC=BD,OM=ON,EO平分AED(角平分線性質(zhì)).拓展延伸兩個(gè)等腰三角形的旋轉(zhuǎn)角度為不定值,若旋轉(zhuǎn)角α小于等腰三角形頂角度數(shù)，則點(diǎn)C在△OAB內(nèi),若旋轉(zhuǎn)角α大于等腰三角形頂角度數(shù)，則點(diǎn)C在OAB外.圖形改變，本質(zhì)不變,想想當(dāng)點(diǎn)C在△0AB內(nèi)時(shí),結(jié)論是否還成立?滿分技法該結(jié)論常在選填題目中快速解題.在“SSS”"SAS”“ASA”“AAS”“HL”幾種全等判定的方法中,“SAS”是手拉手模型中判定全等最核心的方法.模型拓展已知:△A0B和△COD均是等腰直角三角形,0A=OB,OC=OD.連接AC,BD結(jié)論4:△A0C△BOD;結(jié)論5:ACBD已知:△AOB和△COD均是等邊三角形,連接AC,BD交于點(diǎn)E,連接OE結(jié)論6:△A0C△BOD;結(jié)論7:AEB=60°;結(jié)論8:EO平分AED巧學(xué)巧記等腰直角三角形特殊在直角,等邊三角形特殊在60°角.典例小試?yán)?如圖,在△ABC中,AC=3,BC=4,ACB=30°,以AC,AB為邊向外作等邊△ACD,△ABE(點(diǎn)拔：雙等邊三角形,共頂點(diǎn)滿足手拉手模型),連接CE,BD(點(diǎn)拔：拉手線).則CE的長(zhǎng)為()A.3B.4C.5D.考什么?全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理思路點(diǎn)撥在題目中,找到“雙等腰,共頂點(diǎn),頂角相等”就是“手拉手”模型,常用結(jié)論記心間.例2(2020鄂州)如圖,在△A0B和△COD中(點(diǎn)拔：共頂點(diǎn)),0A=OB,OC=OD(點(diǎn)拔：雙等腰),OA<OC,A0B=COD=36°(點(diǎn)拔：頂角相等,滿足手拉手模型).連接AC,BD(點(diǎn)拔：拉手線)交于點(diǎn)M，連接OM.下列結(jié)論:①AMB=36°;②AC=BD;③OM平分AOD;④MO平分AMD.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)考什么?全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì),三角形內(nèi)角和思路點(diǎn)撥“手拉手”模型的結(jié)論在選填題目中直接使用.實(shí)戰(zhàn)實(shí)演1.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,對(duì)角線AC的中點(diǎn)為О,點(diǎn)E是AB上一點(diǎn),過點(diǎn)О作OFOE,交BC于點(diǎn)F,連接EF，若AE=1,則EF的長(zhǎng)為_______.2.把兩個(gè)含有45°角大小不同的三角板如圖①擺放,將小三角板ADE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),如圖②,連接BD,EC.(1)當(dāng)DEAC時(shí),AD與BC的位置關(guān)系是________,AE與BC的位置關(guān)系是__________;(2)如圖②,連接BE,當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí),BEC的度數(shù)為________.3.如圖①,等腰△ABC和等腰△ADE中,AB=AC,AD=AE,將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),連接BD、CE,(1)若∠BAC=∠DAE=35°,求證:BD=CE;(2)連接BE,當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí).①如圖②,若∠BAC=∠DAE=60°,則∠BEC的度數(shù)為______，線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是______.②如圖③,若∠BAC=∠DAE=90°,AM為△ADE中DE邊上的高,請(qǐng)判斷∠BEC的度數(shù)及線段AM,BE,CE之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.模型4“反向手拉手”全等模型模型展現(xiàn)基礎(chǔ)模型已知:在等腰△ABC和等腰△ADE中,AB=AC.AD=AE,∠BAC=∠DAE，連接BE、CD(左手拉右手，右手拉左手，稱為“反向手拉手”全等模型)將“反向手拉手”全等轉(zhuǎn)化為“正向手拉手”全等，方法如下:作出△ABC關(guān)于AC的軸對(duì)稱圖形△AB'C,連接EB'結(jié)論:△AB'E≌△ACD怎么用?雙等腰(兩個(gè)等腰三角形),共頂點(diǎn)(頂點(diǎn)A),頂角相等(∠BAC=∠DAE),對(duì)應(yīng)底角頂點(diǎn)錯(cuò)開相連接(BE,CD)反向手拉手的難點(diǎn)在于如何轉(zhuǎn)化為正向手拉手,轉(zhuǎn)化方法為以三角形的一邊為對(duì)稱軸作對(duì)稱圖形結(jié)論分析結(jié)論:△AB'E≌△ACD證明:如解圖,以AC為對(duì)稱軸,作出△ABC的對(duì)稱圖形△AB'C,連接EB'∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∴AB’=AB=AC，∠B'AC=∠BAC=∠DAE.∴B'AE+∠DAB'=∠DAB'+∠CAD,∴∠B'AE=∠CAD.在△AB'E和△ACD中，∴△AB'E≌△ACD.典例小試?yán)鐖D,在△ABC與△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,（點(diǎn)撥：雙等腰,共頂點(diǎn)）連接BE,點(diǎn)0是BE的中點(diǎn),（點(diǎn)撥：考慮中點(diǎn)性質(zhì)）連接AO,若AO=1,則CD的長(zhǎng)為______.考什么?等腰三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,中位線的性質(zhì)實(shí)戰(zhàn)實(shí)演Rt△AOB和等腰Rt△COD中,∠AOB=∠COD=90°,連接AD、BC,M為AD的中點(diǎn)，連接OM.(1)如圖①，請(qǐng)寫出OM與BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;(2)將圖①中的△COD旋轉(zhuǎn)至圖②的位