專題2.1 一元二次方程根與系數(shù)的關系（壓軸題專項講練）（北師大版）（解析版）

專題2.1一元二次方程根與系數(shù)的關系【典例1】已知關于x的二次方程x2（1）a為何值時，方程有兩個不同的正根；（2）a為何值時，方程只有一個正根．【思路點撥】（1）根據(jù)一元二次方程有兩個不相等正根，則根的判別式Δ=(-a)2-4(a2-4)>0，x?+x?＞0，（2）根據(jù)一元二次方程只有一個正實數(shù)根，分為三種情況，一是有且只有一個正根，二是有兩個根其中一個是正根，另一個根式負根或0，結合判別式以及根與系數(shù)的關系列不等式，求出a的值即可．【解題過程】解：（1）根據(jù)題意得，方程x2∴Δ=-a2且x?+x?=a＞0②，x?·x?=a2-4＞0③，解由①②③組成的不等式組得，2＜a＜43故當2＜a＜43（2）Ⅰ當方程x2∴Δ=-a2且x?+x?=a＞0②，x?·x?=a2-4＞0③，解①得：a=433或a=﹣當a=433時，滿足②、而a=﹣433不滿足故當a=43Ⅱ當方程x2則Δ=-a2且x?·x?=a2-4＜0②解①得：-4解②得：-2＜a＜2，即-2<a<2Ⅲ當方程x2-ax+a則Δ=-a2且x?·x?=a2-4=0②x?+x?=a＞0③解①得：-4解②得：a=±2，由③a＞0即a=2綜上所述：-2<a≤21．（2022·四川宜賓·九年級專題練習）關于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有兩個不等的實數(shù)根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范圍是（）A．﹣27＜a＜25 B．a(chǎn)＞25 C．a(chǎn)＜﹣27 D．﹣2【思路點撥】根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關于a的不等式，求出a的取值范圍．又存在x1＜1＜x2，即（x1-1）（x2-1）＜0，x1x2-（x1+x2）+1＜0，利用根與系數(shù)的關系，從而最后確定a的取值范圍．【解題過程】解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a≠0且△＞0，由（a+2）2-4a×9a=-35a2+4a+4＞0，解得-2又∵x1＜1＜x2，∴x1-1＜0，x2-1＞0，那么（x1-1）（x2-1）＜0，∴x1x2-（x1+x2）+1＜0，∵x1+x2=-a+2即9+a+2解得-2綜上所述，a的取值范圍為：-2故選D．2．（2023春·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習）若方程x2+2px-3p-2=0的兩個不相等的實數(shù)根x1、x2滿足A．0 B．-34 C．-1 D【思路點撥】先根據(jù)一元二次方程解的定義和根與系數(shù)的關系得到x12+2px1-3p-2=0，x1+x2=-2p，進而推出x13【解題過程】解：∵x1、x∴x12+2p∴x1∴x1∴x1∴x1同理得x2∵x1∴x1∴3px∴3p+2x∴3p+2-2p∴-6p∴-6p∴-2p∴-2p4∴2p4∴2p4p+3解得p1∵Δ=∴p2∴p+1p+3∴p=-1不符合題意，∴p∴符合題意，故選B．3．（2022秋·全國·九年級專題練習）關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結論：①這兩個方程的根都負根；②(m-1)2A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【思路點撥】設方程x2+2mx+2n=0的兩根為x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的兩根為y1、y2．①根據(jù)方程解的情況可得出x1?x2=2n＞0、y1?y2=2m＞0，結合根與系數(shù)的關系可得出x1+x2=-2m、y1+y2=-2n，進而得出這兩個方程的根都是負根，①正確；②由方程有兩個實數(shù)根結合根的判別式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，將（m-1）2+（n-1）2展開代入即可得出②正確；③根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出2m-2n=（y1+1）（y2+1）-1、2n-2m=（x1+1）（x2+1）-1，結合x1、x2、y1、y2均為負整數(shù)即可得出【解題過程】解：設方程x2+2mx+2n=0的兩根為x1、x2，方程y2+2ny+2m=0同的兩根為y1①∵關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，∵x1+x2=-2m，y1+y2=-2n，∴這兩個方程的根都是負根，①正確；②∵關于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有兩個整數(shù)根且乘積為正，關于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正確；③∵y1?y2=2m，y1+y2=-2n，∴2m-2n=y1?y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，∵y1、y2均為負整數(shù)，∴（y1+1）（y2+1）≥0，∴2m-2n≥-1．∵x1?x2=2n，x1+x2=-2m，∴2n-2m=x1?x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，∵x1、x2均為負整數(shù)，∴（x1+1）（x2+1）≥0，∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．∴-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上所述：成立的結論有①②③．故選D．4．（2022秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）對于一切不小于2的自然數(shù)n，關于x的一元二次方程x2-(n+2)x-2n2=0的兩個根為【思路點撥】由根與系數(shù)的關系得an+bn=n+2，a【解題過程】由根與系數(shù)的關系得an+b所以(a則1(則1=-=-=-=-505故答案為：-5055．（2022秋·全國·九年級專題練習）關于x的方程x2-(m-2)x-m24=0兩個實根x1【思路點撥】先判斷一元二次方程根的情況，然后利用根與系數(shù)的關系，得到x1+x2=m-2，x1【解題過程】解：在方程x2Δ=[-(m-2)]∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根；根據(jù)根與系數(shù)的關系，有：x1+x∵|x∴|x∴x1∴(x∴(x∴(m-2)2解得：m1=5，故答案為：5或-1.6．（2022春·九年級課時練習）已知實系數(shù)一元二次方程ax2+2bx+c＝0有兩個實根x1，x2，且a＞b＞c，a+b+c＝0，設d=x1-x2【思路點撥】先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求出d2的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求其取值范圍即可．【解題過程】解：∵實系數(shù)一元二次方程ax2+2bx+c＝0有兩個實根x1、x2，∴x1+x2＝﹣2ba，x1·x2＝c∴d2＝|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1·x2＝（﹣2ba）2﹣＝-2-a-c=4=4＝4[（ca）2+c＝4[（ca+12）2+3∵a＞b＞c，a+b+c＝0，∴a＞0，c＜0，a＞﹣a﹣c＞c，解得：﹣2＜ca＜﹣1∵y＝4[（ca+12）2+34]的對稱軸為：c∴當﹣2＜ca＜﹣12時，y隨∴3＜d2＜12，∴3<d<2故答案為：3<d<27．（2022秋·八年級單元測試）已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實數(shù)根，甲由于看錯了二次項系數(shù)，求得兩個根為3和6，乙由于看錯了某一項系數(shù)的符號，求得兩個根為3+21和【思路點撥】先利用兩根分別表示出錯誤的方程為：對于甲：設k(x-3)(x-6)=0，得：kx2-9kx+18k=0；對于乙：設p(x-3-21)(x-3+21)=0，得：px【解題過程】解：對于甲：設k(x-3)(x-6)=0得：kx對于乙：設p(x-3-21得：px分情況討論：①若乙看錯了二次項系數(shù)的符號，那么-9k=-6p18k=-12p解得：k=p=0，不符合題意，舍去②若乙看錯了常數(shù)項的符號，那么-9k=-6p18k-12p=0解得：p=3則a=p,b=-6p,c=12p2b+3c4a③若乙看錯了一次項項的符號，那么-9k=6p18k=-12p解得：p=-3則a=p,b=6p,c=-12p2b+3c故答案為±68．（2022春·四川內(nèi)江·九年級專題練習）將兩個關于x的一元二次方程整理成ax+h2+k＝0（a≠0，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）與方程x+12-2=0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個根為x1【思路點撥】利用ax2+bx+c=0（a≠0）與方程x+12-2=0是“同源二次方程”得出b=2a，c=a-2，即可求出b-2c；利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可得x1+x2=-2，x1x2=a-2a，進而得出【解題過程】解：根據(jù)新的定義可知，方程ax2+bx+c=0（a≠0∴ax+1展開，ax可得b=2a，c=a-2，∴b-2c=2a-2a-2∵x1+x∴ax∵方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個根為x∴Δ=b2∴a>0，設a+1a=t（t>0∵方程a2∴Δ=解得t≥2，即a+1∴ax故答案為：4，-3．9．（2022秋·廣東江門·九年級統(tǒng)考階段練習）如果關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個實數(shù)根，且其中一個根為另外一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”，以下關于“倍根方程”①方程x2-x-2=0是“倍根方程②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”，則4m③若p,q滿足pq=2，則關于x的方程px2+3x+q=0是“④若方程ax2+bx+c=0是“倍根方程”【思路點撥】①求出方程的根，再判斷是否為“倍根方程”；②根據(jù)“倍根方程”和其中一個根，可求出另一個根，進而得到m，n之間的關系；③當p,q滿足pq=2時，有px2+3x+q=(px+1)(x+q)=0，求出兩個根，再根據(jù)pq=2代入可得兩個根之間的關系，講而判斷是否為“④用求根公式求出兩個根，當x1=2x【解題過程】解：①解方程x2-x-2=0，得∵x∴方程x2-x-2=0不是“倍根方程”．故②∵(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”，且x1因此x2=1或當x2=1時，當x2=4時，∴4m2+5mn+n2③∵pq=2，∴px∴x∴x因此px2+3x+q=0是“倍根方程”④方程ax2+bx+c=0若x1=2x2，則即-b+b∴b+3∴b+3b∴3b∴9b∴2b若2x1=x2∴-b+3∴-b+3b∴b=3b∴b∴2b2=9ac故答案為：②③④．10．（2023春·全國·八年級專題練習）已知關于x的一元二次方程kx2﹣2（k+1）x+k﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使1x1-1x【思路點撥】（1）根據(jù)一元二次方程的根的判別式，建立關于k的不等式，求得k的取值范圍．（2）利用根與系數(shù)的關系，根據(jù)1x1-1x2=x2-【解題過程】解：（1）由題意知，k≠0且△＝b2﹣4ac＞0∴b2﹣4ac＝[﹣2（k+1）]2﹣4k（k﹣1）＞0，即4k2+8k+4﹣4k2+4k＞0，∴12k＞﹣4解得：k＞-13且（2）存在，且k=7±213∵x又有1∴x∴x∴∴(∴(2k+2)∴k∵a=1,b=-14,c=-3,∴Δ=b∴k=14±4∵k＞-13且k∵7-213≈-0.21＞∴滿足條件的k值存在，且k=7±21311．（2022·浙江·九年級自主招生）已知方程x2+4x+1=0的兩根是α、（1）求|α-β|的值；（2）求αβ（3）求作一個新的一元二次方程，使其兩根分別等于α、β的倒數(shù)的立方．（參考公式：x3【思路點撥】（1）利用一元二次方程根與系數(shù)的關系可得α+β=-4,αβ=1，再求得α-β2的值，進而求得|α-β|（2）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)將αβ+βα化為αβ（3）由題意可得新一元二次方程的兩個根為1α3和1β3，然后求得【解題過程】（1）解：∵方程x2+4x+1=0的兩根是α∴α+β=-4,αβ=1∴α-β∴|α-β|=23（2）解：由（1）可知：α<0，∵====16，∴αβ（3）解：由題意可得新一元二次方程的兩個根為1α3則1=(====-521所以新的一元二次方程x212．（2022春·四川南充·九年級專題練習）已知：關于x的方程(k-1)x（1）求k的取值范圍．（2）若x1，x2是方程(k-1)x2-2kx+k+2=0的兩個實數(shù)根，問：是否存在實數(shù)k【思路點撥】（1）利用一元二次方程根的判別式列出不等式，再求解即可；（2）根據(jù)已知得出(k-1)x12-2kx1+k+2=0①，x1+x2=--2kk-1=2kk-1【解題過程】解：（1）當k-1=0即k=1時，方程-2x+3=0，x=3當k-1≠0時，Δ=(-2k)2-4?(k-1)?(k+2)≥0綜合上述：k的取值范圍是k≤2．（2）∵x1，x2是方程∴(k-1)x1x1+x∴x2∵(k-1)x∴(k-1)x∴(k-1)x即：(k-1)x1把①代入②得：4kk2k=2，k=-1，由（1）可知k需滿足：k≤2且k≠1，∴k=2或-1．13．（2022秋·九年級單元測試）已知關于x的一元二次方程x2（1）求證：這個方程的一根大于2，一根小于2；（2）若對于a=1，2，3，…，2019，2020時，相應得到的一元二次方程的兩根分別為α1和β1,α2【思路點撥】（1）設方程的兩根是α1，β1，得出α1+β1=2，α1·（2）得出α1+β1=2，α1·β1【解題過程】解：（1）證明：設方程的兩根是α1，β則α1+β∴(==-=-a∵a>0，∴-a即這個方程的一根大于2，一根小于2；（2）∵α1∵對于a=1，2，3，…，2019，2020時，相應得到的一元二次方程的兩根分別為α1和β1，α2和β2，α3和β3，…，α2019∴(====-2×(=-2×(1-=-2×(1-=-404014．（2022秋·九年級課時練習）一元二次方程x2+2ax+6-a=0的根x1（1）兩個根同為正根；（2）兩個根均大于1；（3）x1【思路點撥】（1）由一元二次方程x2+2ax+6-a=0有兩個正根，可列不等式組（2）由一元二次方程x2+2ax+6-a=0兩個均大于1，可得(x1-1)(x（3）由x1x2=3可得x1=3x2,結合x1【解題過程】（1）解：∵一元二次方程x2∴{△=由①得：a2解得：a≥2或a≤-3,由②得：a<0,由③得：a<6,所以a的取值范圍為：a≤-3；（2）解：由（1）得：a≤-3,一元二次方程x2+2ax+6-a=0兩個均大于∴(x1-1)(x而x1∴6-a+2a+1>0,解得：a>-7,綜上-7<a≤-3（3）解：∵x1x2∵x解得：x1∵x∴3整理得：3a∴a=-4±4∵a≥2或a≤-3,經(jīng)檢驗：a=-2+2193或15．（2022秋·浙江杭州·八年級杭州外國語學校?？计谀┰Om是不小于﹣1的實數(shù)，使得關于x的方程x2＋2（m﹣2）x＋m2﹣3m＋3＝0有兩個實數(shù)根x1，x2．（1）若x12+（2）令T＝mx11-x1【思路點撥】首先根據(jù)方程有兩個實數(shù)根及m是不小于-1的實數(shù)，確定m的取值范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關系，用含m的代數(shù)式表示出兩根的和、兩根的積．（1）變形x12+x22為（x1+x2）2-2x1x2，代入用含m表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方程根據(jù)m的取值范圍得到m的值；（2）化簡T，用含m的式子表示出T，根據(jù)m的取值范圍，得到T的取值范圍．【解題過程】解：（1）∵關于x的方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0有兩個實數(shù)根，∴Δ=4（m-2）2-4（m2-3m+3）≥0，解得m≤1，∵m是不小于-1的實數(shù)，∴-1≤m≤1，∵方程x2+2（m-2）x+m2-3m+3=0的兩個實數(shù)根為x1，x2，∴x1+x2=-2（m-2）=4-2m，x1?x2=m2-3m+3．∵x12+x22=2，∴（x1+x2）2-2x1x2=2，∴4（m-2）2-2（m2-3m+3）=2，整理得m2-5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），∴m的值為1；（2）T＝mx11-=m=m[(=m(4-2m-2=-2m=-2m=2-2m．∵當x=1時，方程為1＋2（m﹣2）＋m2﹣3m＋3＝0，解得m=1或m=0．∴當m=1或m=0時，T沒有意義．∴-1≤m<1且m≠0∴0<2-2m≤4且T≠2．即0<T≤4且T≠2．16．（2022秋·福建泉州·九年級石獅市石光中學校考期中）已知關于x的一元二次方程mx2+（1）求證：方程有兩個實數(shù)根；（2）若m<0，方程的兩個實數(shù)根分別為x1,x2（其中x1<x（3）若m為正整數(shù)，關于x的一元二次方程mx2+3m+1x+3=0m≠0的兩個根都是整數(shù)，a與a+bb≠0分別是關于x【思路點撥】（1）利用Δ求出關于m的式子，然后證明關于m的式子大于或等于0即可；（2）利用公式法確定兩根，代入即可得出這個函數(shù)解析式；（3）利用根與系數(shù)的關系求出m的值，即可得到a與a+b(b≠0)分別是關于x的方程x2+4x+3-b=0的兩個根，利用根與系數(shù)的關系得到a+a+b=-4，即【解題過程】（1）解：∵由題意可知Δ=∴方程有兩個實數(shù)根；（2）m解：由（1）可知，方程有兩個實數(shù)根，∴x=-(3m+1)±∴x=-3m-1±(1-3m)∵x∴x1=-3∴y=x∴y=-3+m,(m<0)．（3）解：∵a與a+bb≠0分別是關于x的方程mx∴a+a+b=2a+b=-3m+1m=-3-∵a與b是整數(shù)，∴1m與3∵m是正整數(shù)，∴m=1，∴方程為x2∴a+a+b=2a+b=-4，∴a=-4-b將a=-4-b2原式=4×=16+8b+=24．17．（2022秋·福建·九年級統(tǒng)考期末）已知關于x的方程mx（1）若方程的兩根之和為整數(shù)，求m的值；（2）若方程的根為有理根，求整數(shù)m的值．【思路點撥】（1）根據(jù)關于x的方程mx2-m-1x+2=0有兩個根，且為實數(shù)根，先利用一元二次方程的根的判別式確定m的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，可知x（2）分兩種情況討論：當m=0時，此時關于x的方程為x+2=0，求解可得x=-2，符合題意；當m≠0時，對于關于x的方程mx2-m-1x+2=0可有x=【解題過程】（1）解：∵關于x的方程mx∴m≠0，且Δ=根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關系，可知x1若方程的兩根之和為整數(shù)，即m-1m∵m-1m∴1m∴m=±1，當m=1時，Δ=1-10+1=-8<0當m=-1時，Δ=1+10+1=12>0，m-1∴m的值為-1；（2）當m=0時，此時關于x的方程為x+2=0，解得x=-2；當m≠0時，對于關于x的方程mx2-若方程的根為有理根，且m為整數(shù)，則Δ=設m2-10m+1=k則：m=10±∵m為整數(shù)，設24+k2=∴k+nn-k∴k+n=12n-k=2或k+n=6n-k=4或k+n=8n-k=3解得：k=5n=7或k=1n=5或k=5∴m2-10m+1=1當m2-10m+1=1時，解得m=10或當m2-10m+1=25時，解得m=-2或綜上所述，若方程的根為有理根，則整數(shù)m的值為0或10或-2或12．18．（2022秋·四川資陽·九年級統(tǒng)考期末）定義：已知x1，x2是關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根，若x1<x2<0，且3<x1x2<4，則稱這個方程為請閱讀以上材料，回答下列問題：（1）判斷一元二次方程x2+9x+14=0是否為“限根方程（2）若關于x的一元二次方程2x2+k+7x+k2+3=0是“限根方程（3）若關于x的一元二次方程x2+1-mx-m=0是“限根方程【思路點撥】（1）解該一元二次方程，得出x1=-7，x2（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得出x1+x2=-k+72，x1x2=（3）解該一元二次方程，得出x1=-1，x2=m或x1=m，x2=-1．再根據(jù)此方程為【解題過程】（1）解：x2x+2x+7∴x+2=0或x+7=0，∴x1∵-7<-2，3<-7∴此方程為“限根方程”；（2）∵方程2x2+∴x1+x2∵x1∴-k+7解得：k1=2，分類討論：①當k=2時，原方程為2x∴x1=-7∴x1<x∴此時方程2x2+k+7x+∴k=2符合題意；②當k=-1時，原方程為2x∴x1=-2，∴x1<x∴此時方程2x2+k+7x+∴k=-1不符合題意．綜上可知k的值為2；（3）x2(x+1)(x-m)=0，∴x+1=0或x-m=0，∴x1=-1，∵此方程為“限根方程”，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ>0，m<0且m≠-1∴1-m2+4m>0，即∴m<0且m≠-1．分類討論：①當-1<m<0時，∴x1∵3<x∴3<-1解得：-1②當m<-1時，∴x1∵3<x∴3<m解得：-4<m<-3．綜上所述，m的取值范圍為-13<m<-19．（2022秋·福建泉州·九年級福建省泉州第一中學校聯(lián)考期中）已知方程①：2(x-k)=x-4為關于x的方程，且方程①的解為非正數(shù)；方程②：(k-1)x（1）求k的取值范圍；（2）如果方程②的解為負整數(shù)，k-m=2，2k-（3）當方程②有兩個實數(shù)根x1，x2滿足x1+x【思路點撥】（1）將k當作已知數(shù)解出方程2(x-k)=x-4的解，根據(jù)該方程的解為非正數(shù)，可得出k的取值范圍，方程②：(k-1)x2+2mx+3-k+n=0（2）根據(jù)k-m=2，2k-n=6可得m=k-2，n=2k-6，代入方程②，可得(k-1)x2+2(k（3）方法1：由（1）可知k≤2且k≠1，且k為正整數(shù)，可知k=2，所以方程②為x2+2mx+1+n=0，因為方程②有兩個實數(shù)根x1，x2，所以Δ≥0，x1+x2=-2m，x1?x2=1+n，由Δ≥0可求出m2≥n+1，將x1+x2=-2m，x1?x2=1+n，代入x1+【解題過程】（1）解：∵關于x的方程2x-k∴2k-4≤0，解得又∵關于x的方程(k∴k-1≠0，k-1≠0，解得綜上所述，k的取值范圍是k≤2且k（2）解：由（1）可知k≤2且k∵k-m=2∴m=k-2∴方程②為(k即(kk-1解得：x1=3-∵方程②為(k-1)x∴k-1=-1或k∴k=0或-1當k=0時，m當k=-1時，m∴m