4.3用一元一次方程解決實際問題（重難點突破）

突破一元一次方程解決實際問題【知識點一、實際問題與一元一次方程】用方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關系;設：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;答：實際問題的答案.【知識點二、用一元一次方程解決實際問題的常見類型】1.行程問題：路程＝速度×時間2.配套問題：明確配套數(shù)量關系3.工程問題：工作量＝工作效率×工作時間，各部分勞動量之和＝總量4.銷售方案問題：商品利潤＝商品售價－商品進價5.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：.6.日歷問題：明確日歷行與列間的數(shù)量關系(一)行程問題例1．元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，雞馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬天可追上慢馬，由題意得（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設快馬x天可追上慢馬，根據(jù)路程相等，列出方程即可求解．【詳解】解：設快馬x天可追上慢馬，由題意得240x＝150(x+12)故選：D．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關鍵．【變式訓練1－1】甲車從A地開往B地，乙車從B地開往A地，兩車同時出發(fā)，沿著A，B兩地間的同一條筆直的公路勻速行駛，出發(fā)1小時后兩車相距48千米，又過1小時，兩車又相距48千米，且此時兩車均未到達終點，求A，B兩地間的距離．【答案】144千米【分析】設A，B兩地間的距離為x千米，第一次相距48千米時，兩車1小時合走(x－48)千米，第二次相距48千米時，兩車1小時合走eq\f(x+48,2)千米，據(jù)此列出方程求解即可．【詳解】解：設A，B兩地間的距離為x千米，由題意得，eq\f(x－48,1)＝eq\f(x+48,2)，解得x＝144，∴A，B兩地間的距離為144千米．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．【變式訓練1－2】如圖將一條數(shù)軸在原點O，點B，點C，點D處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點A表示，點B表示8，點C表示16，點D表示24，點E表示28，我們稱點A和點E在數(shù)軸上相距36個長度單位．動點P從點A出發(fā)，以4單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點Q從點E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，兩點上坡時速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊囊话耄缕聲r速度均變?yōu)槌跏妓俣鹊膬杀?，平地則保持初始速度不變．當點P運動至點E時則兩點停止運動，設運動的時間為t秒．問：(1)動點P從點A運動至E點需要______秒，此時點Q對應的點是______；(2)P，Q兩點在點M處相遇，求出相遇點M所對應的數(shù)是多少？(3)求當t為何值時，P，B兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q，D兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【答案】(1)10，C(2)點M所對應的數(shù)為17eq\f(7,9)(3)當t＝eq\f(14,3)或eq\f(22,3)秒時，P，B兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q，D兩點在數(shù)軸上相距的長度相等【分析】（1）依據(jù)動點P在各段運行的距離除以相應運行的速度算出各段運行的時間，然后相加即可算出動點P從點A運動至E點需要的時間共為10秒．然后再計算動點Q在10秒內(nèi)運行到什么位置．（2）分析相遇點所在路段在C—D段，當點P運動到C點時與Q點相距2個長度單位，則可算出點P從C點運動到M點所需的時間為eq\f(2,9)秒，則點M對應的數(shù)為16+eq\f(2,9)×8＝17eq\f(7,9)．（3）分段討論PB與QD在數(shù)軸上的長度相等時的各種情況即可．【詳解】（1）由題意可知，動點P在AO、BC、DE段的速度均為4單位/秒，在OB段的速度為2單位/秒，在CD段的速度為8單位/秒，AO=OB=BC=CD=8，DE=4，∴動點P從點A運動至E點需要的時間為t=8÷4+8÷2+8÷4+8÷8+4÷4=2+4+2+1+1=10（秒），∵動點Q從點E出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負方向運動，在DE段的速度為2單位/秒，CD段的速度為1單位/秒，∴動點Q從點E運動到點D需要4÷2=2（秒），從點D運動到點C需要8÷1=8（秒），∴此時點Q對應的點是C；故答案為：10，C；（2）由（1）可知，P，Q兩點在M處相遇時，點M在CDE段，動點P由點A到點C點用時為8÷4+8÷2+8÷4=8（秒），動點Q從點E到點D用時為4÷2=2（秒），∵，∴當動點P到達點C時，點Q與點C的距離，∵（秒），∴此時P、Q兩點再運動秒在點M處相遇，∴點M所對應的數(shù)；（3）①當點P在段時，點Q在段，此時大于8，小于4，不符合題意；②當點P在段時，點Q在段，若，則，，∴，解得：；③當點P在段時，點Q在段，，∴，解得：；④當點P在段或段時，大于8，小于8，不符合題意．綜上所述，當或秒時，P，B兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q，D兩點在數(shù)軸上相距的長度相等．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，列出方程．(二)配套問題例2．某醫(yī)療器械車間有22名工人，每人每小時可以生產(chǎn)口罩面3600個或口罩耳繩6000個，一個口罩面需配兩個口罩繩．為使每小時生產(chǎn)的口罩面和口罩繩剛好配套，設需要安排x人生產(chǎn)口罩面，根據(jù)題意所列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】明確等量關系：口罩繩數(shù)量＝口罩面數(shù)量，列方程．【詳解】由題意知，等量關系：口罩繩數(shù)量＝口罩面數(shù)量，設需要安排x人生產(chǎn)口罩面，則人生產(chǎn)口罩繩，所以，故選A．【點睛】本題考查一元一次方程的應用，明確題干中的等量關系是解題的關鍵．【變式訓練2－1】某工廠用硬紙生產(chǎn)圓柱形茶葉筒．已知該廠有44名工人，每名工人每小時可以制作筒身50個或制作筒底120個．要求一個筒身配兩個筒底，設應該分配名工人制作筒身，其它工人制作筒底，使每小時制作出的筒身與筒底剛好配套，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設應該分配x名工人制作筒身，根據(jù)一個筒身配兩個筒底，列出方程即可．【詳解】解：設應該分配x名工人制作筒身，則制作筒底的工人有(44－x)名，由題意，得：120(44－x)＝2×50x；故選C．【點睛】本題考查一元一次方程的應用．準確的找到等量關系，列出一元一次方程，是解題的關鍵．【變式訓練2－2】在“雙減”政策背景下，為豐富課后延時服務，某中學開設了手工制作活動課，在活動課上，輔導老師組織興趣小組學生用硬紙制作圓柱形茶葉筒，已知該興趣小組共有學生50人，其中女生人數(shù)比男生人數(shù)多2人，并且每名學生每節(jié)課能制作筒身8個或筒底24個．(1)該興趣小組有男生、女生各多少人？(2)原計劃男生負責制作筒底，女姓負責制作筒身，要求一個筒身配兩個筒底，那么男生應向女生支援多少人時，才能使每節(jié)課制作的筒身與筒底配套．【答案】(1)七年級2班有男生有24人，則女生有26人(2)男生應向女生支援4人時，才能使每小時剪出的筒身與筒底相同【分析】（1）設七年級2班有男生有x人，則女生有(x+2)人，根據(jù)等量關系列出方程，再解即可；（2）設男生應向女生支援y人，根據(jù)制作筒底的數(shù)量＝筒身的數(shù)量×2，根據(jù)等量關系列出方程，再解即可．【詳解】（1）設七年級2班有男生有x人，則女生有(x+2)人，由題意得：x+x+2＝50，解得：x＝24，女生：24+2＝26（人）答：七年級2班有男生有24人，則女生有26人；（2）設男生應向女生支援y人，由題意得：24×(24－y)＝(26+y)×8×2，解得：y＝4，答：男生應向女生支援4人時，才能使每小時剪出的筒身與筒底相同．【點睛】此題主要考查了一元一次方程的應用，關鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關系，再列出方程．(三)、工程問題【例3】完成某項工程，甲單獨做10天完成，乙單獨做7天完成，現(xiàn)在由甲先做了3天，乙再參加合作，求完成這項工程總共用去的時間，若設完成此項工程總共用x天，則下列方程中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將這項工程的工程量看作為“1”，從而可得甲每天完成的工程量為，乙每天完成的工程量為，再根據(jù)題意列出方程即可得．【詳解】解：將這項工程的工程量看成“1”，則甲每天完成的工程量為，乙每天完成的工程量為，由題意得：，故選：D．【點睛】本題考查了列一元一次方程，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．【變式訓練3－1】某工人在規(guī)定的時間內(nèi)做完一批零件，若每小時做個就可以超額完成個，若每小時做個就可以提前完成，則這批零件一共有多少個？設這批零件一共有個，則根據(jù)題意得到的正確方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)工作總量等于工作效率乘以工作時間，設這批零件一共有個，則每小時做個就可以超額完成個，工作總量為：，工作時間為：，再根據(jù)每小時做個就可以提前完成，列出方程，即可．【詳解】設這批零件一共有個，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查一元一次方程的知識，解題的關鍵是掌握工作總量等于工作效率乘以工作時間，列出方程．【變式訓練3－2】整理一批圖書，由一個人做要完成．現(xiàn)由某小組同學一起先整理后，有2名同學因故離開，剩下同學再整理，正好完成這項工作．假設每名同學的工作效率相同，設該小組共有x名同學，則x滿足的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設該小組共有x名同學，根據(jù)題意可得，全體同學整理8小時完成的任務與(x－2)名同學整理4小時完成的任務為“1”，據(jù)此列方程即可得解．【詳解】解∶設該小組共有x名同學，由題意得，，故選∶A.【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數(shù)，找出合適的等量關系，列方程．(四)、銷售與方案問題【例4】A，B兩個超市同時促銷某款筆記本，已知兩個超市的標價都是每本10元，A超市的優(yōu)惠條件是：不超過10本按標價銷售，從第11本開始每本按標價的銷售；B超市的優(yōu)惠條件是：每本均按標價的80%銷售．(1)小明要購買x本筆記本時，到A超市需要付款元，到B超市需要付款元；(2)購買多少本時，兩個超市付款一樣多？【答案】(1)(2)購買30本時，兩個超市付款一樣多【分析】（1）根據(jù)題意，可以分別寫出到兩家超市的付款情況；（2）根據(jù)到兩個超市付款一樣多和（1）中的結(jié)果，可以列出相應的方程，然后求解即可【詳解】（1）解：由題意可得，小明要購買x本練習本時，到甲超市需要付款元，到乙超市需要付款（元），（2）解：由題意可得，，解得，答：購買30本時，兩個超市付款一樣多．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、列代數(shù)式，解答本題的關鍵是明確題意，找出等量關系，列出相應的方程和代數(shù)式．【變式訓練4－1】某商鋪準備在端午節(jié)前購進一批肉粽和蜜棗粽，已知肉粽的單價比蜜棗粽的單價多元，且花元購買的肉粽數(shù)剛好是花元購買的蜜棗粽數(shù)的倍．(1)求肉粽和蜜棗粽的單價分別是多少元？(2)若該商鋪一次性購進個蜜棗粽和個肉粽，并分別以元/個和元/個的定價按以下方式銷售：端午節(jié)前肉粽漲價，端午節(jié)后肉粽打九折，蜜棗粽的售價始終保持不變，若兩種粽子全部售出后共獲利元，求端午節(jié)前肉粽售出的個數(shù)．【答案】(1)肉粽的單件為元，蜜棗粽的單價為5元；(2)端午前售出的肉粽為85個；【分析】（1）設蜜棗粽的單價為x元，肉粽的單價為x元，根據(jù)題意列方程即可解答；（2）設端午節(jié)前肉粽售出y個，端午后售出200－y個，根據(jù)題意列方程即可解答．【詳解】（1）解：設蜜棗粽的單價為x元，肉粽的單價為x元，根據(jù)題意可得，，解得：，經(jīng)檢驗，是分式方程的解，∴原分式方程的解為，∴肉粽的單價為，答：肉粽的單件為元，蜜棗粽的單價為元；（2）解：設端午節(jié)前肉粽售出個，端午后售出個，根據(jù)題意可得，，解得：，答：端午前售出的肉粽為個；【點睛】本題考查了分式方程與實際問題，一元一次方程與實際問題，讀懂題意明確題目中的數(shù)量關系和等量關系是解題的關鍵．【變式訓練4－2】游泳已綱入中考選考科目，某游泳館針對學生游泳訓練需求，推出以下兩種收費方式．方式一：不購買年卡，每次游泳付費元．方式二：先購買年卡，每張年卡元，僅限本人一年內(nèi)使用，憑卡游泳，每次游泳再付費元．設你在一年內(nèi)來此游泳館游泳的次數(shù)為次，選擇方式一的總費用為元，選擇方式二的總費用為元．(1)請分別寫出，與之間的函數(shù)表達式；(2)如果你在一年內(nèi)來此游泳館游泳的次數(shù)超過次，選擇哪種方式更劃算？【答案】(1)方式一的費用為：；方式二的費用為：(2)在一年內(nèi)來此游泳館游泳的次數(shù)超過次，為省錢，應選擇方式二【分析】（1）根據(jù)收費方式和數(shù)量關系列函數(shù)關系式即可求解；（2）將次數(shù)超過次代入（1）中的收費公式即可求解．【詳解】（1）解：當游泳次數(shù)為時，方式一的費用為：，方式二的費用為：．（2）解：若一年內(nèi)來此游泳館游泳的次數(shù)為次，方式一的費用為：（元）；方式二的費用為：（元），，∴在一年內(nèi)來此游泳館游泳的次數(shù)超過次，為省錢，應選擇方式二．【點睛】本題主要考查函數(shù)的實際運用，理解題目中的數(shù)量關系，掌握一次函數(shù)的實際運用方法是解題的關鍵．(五)、數(shù)字問題【例5】有一列數(shù)，按一定規(guī)律排成1，，9，，81，……其中某三個相鄰數(shù)的和是，那么這三個數(shù)中最小的一個是（）A． B． C．729 D．【答案】B【分析】觀察可知右邊的數(shù)是其相鄰的左邊的數(shù)的倍，則可設最左邊的一個數(shù)為，則中間的數(shù)為，最右邊的數(shù)為，再根據(jù)三個數(shù)的和為建立方程求解即可．【詳解】解：設最左邊的一個數(shù)為，則中間的數(shù)為，最右邊的數(shù)為，由題意得，，∴，∴，∴，∵，∴最小的數(shù)為，故選B．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．【變式訓練5－1】有一個兩位數(shù)，它的十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字小，十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和等于這個兩位數(shù)的，求這個兩位數(shù)．【答案】這個兩位數(shù)為【分析】設十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為，再根據(jù)十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字之和等于這個兩位數(shù)的列出方程求解即可．【詳解】解：設十位上的數(shù)字為，則個位上的數(shù)字為．依題意，得，去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數(shù)化為，得，所以．故這個兩位數(shù)為．【點睛】本題主要考查了一元一次方程的應用，正確理解題意列出方程求解是解題的關鍵．【變數(shù)訓練5－2】問題解決：是小學大家都承認的事實，但你能推理說明其中的道理嗎？小明有如下的探究：解：，所以設，則，所以，解得，于是．(1)實踐探究：請你仿照小明的方法把下列兩個小數(shù)化成分數(shù)，要求寫出利用一元一次方程進行解答的過程：(2)拓展延伸：直接寫出將化成分數(shù)的結(jié)果為______．【答案】(1)；(2)【分析】（1）設，兩邊同時乘以10，轉(zhuǎn)化為，則，求