廣東省清遠(yuǎn)市四校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

20232024學(xué)年第一學(xué)期“四校聯(lián)盟”期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)150分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考場號?考生號?座位號等信息填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第I卷（選擇題）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則表示的事件為（）A.“點(diǎn)數(shù)為4” B.“點(diǎn)數(shù)為3或4”C.“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” D.“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”2.已知向量，則（）A.61 B. C.13 D.3.在四面體中，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，若，則的值為（）A. B.1 C. D.4.從2名男生和3名女生中任選2人參加學(xué)校志愿服務(wù)，則選中的2人中恰有一名男生的概率為（）A. B. C. D.5.若直線的斜率，那么該直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限6.已知空間向量，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.8.已知直線，點(diǎn)，記到的距離為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯得0分.9.已知向量，則（）A. B.C. D.10.已知直線，則（）A.直線的斜率為B.直線的傾斜角為C.直線不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn).直線與直線垂直11.6個(gè)相同的分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．記第一次取出球的數(shù)字為，第二次取出球的數(shù)字為．設(shè)，其中表示不超過X的最大整數(shù)，則（）A. B.C.事件“”與“”互斥 D.事件“”與“”對立12.如圖所示，正方體中，，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動，并且總是保持，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A. B.C.點(diǎn)必在線段上 D.平面第II卷三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，若A與是互斥事件，與是相互對立事件，且，則____.14.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為___.15.已知向量且共面，則__________.16.已知兩條平行直線間距離為，則____.四?解答題：本大題共6小題，共70分.17.如圖所示，已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)為，求：（1）所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）三角形的面積.18.從3名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽．（1）將5名學(xué)生做適當(dāng)編號，把選中2人的所有可能情況列舉出來；（2）求所選2人中恰有一名女生概率；（3）求所選2人中至少有一名男生的概率．19.如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，底面分別是的中點(diǎn)，.（1）求兩點(diǎn)間距離；（2）求證：平面；（3）求證：平面平面.20.甲、乙兩名跳高運(yùn)動員一次試跳2米高度成功的概率分別是，，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：（1）甲試跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.21已知直線.（1）求證：直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；（2）若直線交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，交軸的正半軸于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線的方程.22.如圖所示，在正四棱柱中，是的中點(diǎn)，（1）求到平面的距離；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使二面角為？若存在，建立適當(dāng)坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

20232024學(xué)年第一學(xué)期“四校聯(lián)盟”期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22小題，滿分150分，考試用時(shí)150分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考場號?考生號?座位號等信息填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.第I卷（選擇題）一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.1.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則表示的事件為（）A.“點(diǎn)數(shù)為4” B.“點(diǎn)數(shù)為3或4”C.“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)” D.“點(diǎn)數(shù)為大于2小于5”【答案】A【解析】【分析】先分別求得事件所包含的基本事件，進(jìn)而求得表示的事件.【詳解】“點(diǎn)數(shù)為大于2小于”,“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,則,故表示的事件為“點(diǎn)數(shù)為4”.故選：A2.已知向量，則（）A.61 B. C.13 D.【答案】B【解析】【分析】由已知向量的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，由模長公式計(jì)算即可.【詳解】由，得，.故選：B.3.在四面體中，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，若，則的值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)空間向量基本定理利用向量表示向量，進(jìn)而求得的值，即可求得的值.【詳解】由又，則所以故選：C4.從2名男生和3名女生中任選2人參加學(xué)校志愿服務(wù)，則選中的2人中恰有一名男生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】5人中任選2人，基本事件共10種，其中2人中恰有一名男生占6種基本事件，可求概率.【詳解】設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人恰好是一男一女的情況共有共6種可能則選中的2人恰好是一男一女的概率為，故選：A5.若直線的斜率，那么該直線不經(jīng)過（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先求得過定點(diǎn)，再依據(jù)其斜率，即可得到該直線不經(jīng)過第三象限.【詳解】直線可化為則直線過定點(diǎn)，又直線斜率，故該直線不經(jīng)過第三象限.故選：C6.已知空間向量，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】現(xiàn)根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，進(jìn)而根據(jù)模長公式求得，進(jìn)而根據(jù)向量與向量的夾角公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，即，則有，所以，又因?yàn)椋韵蛄颗c的夾角為.故選：C.7.《九章算術(shù)》是我國東漢初年編訂的一部數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，其在卷第五《商功》中描述的幾何體“陽馬”實(shí)為“底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”．如圖，在“陽馬”中，平面，，則直線與面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的法向量，再求直線與面所成角的正弦值.【詳解】因?yàn)槠矫妫?，底面為矩形，所以兩兩垂直，設(shè)，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則所以，設(shè)平面的法向量為，所以，令，則，所以取，直線與面所成角的正弦值為.故選：A8.已知直線，點(diǎn)，記到的距離為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，求出的值，可得出；然后求出直線所過定點(diǎn)的作坐標(biāo)，求出，分析可知當(dāng)時(shí)，最大，但此時(shí)不存在，由此可得出的取值范圍.【詳解】若直線過點(diǎn)，則，解得，此時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為；由直線，可得，由，可解得，即直線過定點(diǎn)，則，，當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，最大，此時(shí)，直線的斜率為，的值不存在，即這樣的直線不存在，所以.故選：C.二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對得5分，選對但不全得2分，有選錯得0分.9.已知向量，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】通過空間向量平行和垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否正確.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，則有，方程組無解，故不平行，C錯誤；D選項(xiàng)，，故，D正確.故選：ABD10.已知直線，則（）A.直線的斜率為B.直線的傾斜角為C.直線不經(jīng)過第三象限D(zhuǎn).直線與直線垂直【答案】AC【解析】【分析】由直線方程確定斜率,傾斜角判斷選項(xiàng)；根據(jù)直線方程直接判定所過象限判斷選項(xiàng)C；由直線垂直的判定判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題設(shè)，傾斜角，則，A對，B錯；直線斜率為負(fù)值，y軸截距為正值，則直線過第一，二，四象限，不過第三象限，對；由，可得其斜率為，由，可得直線與不垂直，D錯.故選：11.6個(gè)相同的分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．記第一次取出球的數(shù)字為，第二次取出球的數(shù)字為．設(shè)，其中表示不超過X的最大整數(shù)，則（）A. B.C.事件“”與“”互斥 D.事件“”與“”對立【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合互斥事件和對立事件的定義，結(jié)合古典概型公式即可得出結(jié)論.詳解】由題意，6個(gè)相同的分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．∴共有36種可能的情況，其中的情況共有：，∴，故A正確∵兩次取球數(shù)字之和為5的情況有以下四種：，，，，∴，故B錯誤.當(dāng)時(shí)，，∴事件“”與“”互斥，故C正確.∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，∴事件“”與“”不對立，故D錯誤.故選：AC.12.如圖所示，正方體中，，點(diǎn)在側(cè)面及其邊界上運(yùn)動，并且總是保持，則以下四個(gè)結(jié)論正確的是（）A. B.C.點(diǎn)必在線段上 D.平面【答案】ACD【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)，由題意，從而可得，對于A，只需驗(yàn)證是否成立即可；對于B，只需驗(yàn)證是否成立即可；對于C，令，判斷關(guān)于的方程是否有解即可；對于D，求出平面的法向量，驗(yàn)證是否成立即可.【詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，設(shè)，則，由，可得，即，又，則，故，故選項(xiàng)A判斷正確；由，可得，則兩向量與不垂直，故與不垂直，故選項(xiàng)B判斷錯誤；又，令，則有，解之得此時(shí)均成立.故點(diǎn)必在線段上，故選項(xiàng)C判斷正確；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又.則，令，則，則，由，可得，又平面，則平面，故選項(xiàng)D判斷正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵是明確驗(yàn)證線線垂直只需方向向量的數(shù)量積為0，對于C選項(xiàng)只需驗(yàn)證方程是否有解，驗(yàn)證線面平行只需驗(yàn)證平面的法向量與直線的方向向量的數(shù)量積是否為0.第II卷三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件，若A與是互斥事件，與是相互對立事件，且，則____.【答案】【解析】【分析】先利用對立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.【詳解】由與是對立事件，可得由與是互斥事件，可得.故答案為：14.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為___.【答案】【解析】【分析】先利用兩直線垂直求得所求直線斜率，進(jìn)而利用點(diǎn)斜式直線方程求得所求直線方程.【詳解】直線的斜率為，則過點(diǎn)且垂直于直線的直線斜率為，則所求直線方程為，化為一般式為.故答案為：15.已知向量且共面，則__________.【答案】【解析】【分析】由題意可得存在非零實(shí)數(shù)滿足，結(jié)合空間向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得的值，進(jìn)而結(jié)合空間向量模的坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】若共面，則存在非零實(shí)數(shù)滿足，則，即，解得，所以，則，所以.故答案為：.16.已知兩條平行直線間的距離為，則____.【答案】5【解析】【分析】先利用兩直線平行求得m值，再利用兩平行直線間的距離公式求得n的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】根據(jù)題意，兩條直線平行，必有，解可得則即，變形可得，又由兩條平行直線間的距離為，則有，故，解之可得或，則時(shí)；時(shí).故答案為：5.四?解答題：本大題共6小題，共70分.17.如圖所示，已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為，求：（1）所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；（3）三角形的面積.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）利用直線的兩點(diǎn)式方程即可求得所在直線的方程；（2）先求得直線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得所在直線的方程；（3）利用點(diǎn)到直線距離公式求得邊上的高，再利用兩點(diǎn)間距離公式求得邊的長，進(jìn)而求得三角形的面積.小問1詳解】因?yàn)?，所以直線的兩點(diǎn)式方程為，化簡得；【小問2詳解】因?yàn)?，又，則，所以，則直線的方程為，即.【小問3詳解】點(diǎn)到直線：的距離又的底邊，所以的面積為.18.從3名男生和2名女生中任選2人參加演講比賽．（1）將5名學(xué)生做適當(dāng)編號，把選中2人的所有可能情況列舉出來；（2）求所選2人中恰有一名女生的概率；（3）求所選2人中至少有一名男生的概率．【答案】（1）詳見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）3名男生分別記為A，B，C，2名女生分別記為a，b，從中任選2人的情況列舉即可；（2）利用古典概型的概率求解；（3）利用古典概型的概率求解；【小問1詳解】解：3名男生分別記為A，B，C，2名女生分別記為a，b，從中任選2人的所有情況為：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10種；【小問2詳解】所選2人中恰有一名女生的情況有：Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6種，所以所選2人中恰有一名女生的概率是；【小問3詳解】所選2人中至少有一名男生的情況有：AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb共9種，所以選2人中至少有一名男生的概率.19.如圖所示，在底面是矩形的四棱錐中，底面分別是的中點(diǎn)，.（1）求兩點(diǎn)間的距離；（2）求證：平面；（3）求證：平面平面.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量求解，進(jìn)而求解；（2）利用空間向量可得，進(jìn)而得到，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（3）利用空間向量可得，進(jìn)而得到平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明.【小問1詳解】由題可知，底面，，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，即兩點(diǎn)間的距離為.【小問2詳解】由（1）知，，所以，即，即，又平面平面，所以平面.【小問3詳解】由（2）知，，，，所以，，則，即，又，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.20.甲、乙兩名跳高運(yùn)動員一次試跳2米高度成功的概率分別是，，且每次試跳成功與否相互之間沒有影響，求：（1）甲試跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各試跳兩次，甲比乙的成功次數(shù)恰好多一次的概率.【答案】（1）（2）（3）0.2976.【解析】【分析】（1）由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得；（2）利用間接法，先求其對立事件的概率即可；（3）所求事件可表示為兩個(gè)互斥事件的和事件.先由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式分別求解兩個(gè)互斥事件的概率，再由概率加法公式可得.【小問1詳解】設(shè)“甲第次試跳成功”為事件，“乙第次試跳成功”為事件，依題意得，且相互獨(dú)立.“甲第三次試跳才成功”為事件，且三次試跳相互獨(dú)立，.即甲第三次試跳才成功的概率為.【小問2詳解】“甲、乙兩人在第一次試跳中至少有一人成功”為事件，