重難點01規(guī)律探究與新定義型問題（2類型10題型）（原卷版）

重難點01規(guī)律探究與新定義型問題目錄TOC\o"12"\p""\h\z\u類型一數式規(guī)律題型01記數類規(guī)律題型02乘方類規(guī)律題型03表格類規(guī)律題型04數陣類規(guī)律題型05個位數字規(guī)律題型06新定義運算規(guī)律類型二圖形規(guī)律題型01圖形固定累加型題型02圖形漸變累加型題型03圖形個數分區(qū)域累加題型04圖形循環(huán)規(guī)律類型一數式規(guī)律方法總結：一、數字規(guī)律探索1）當所給的一組數是整數時，先觀察這組數字是自然數列、正整數列、奇數列、偶數列、正整數數列或經過平方、平方加1或減1等運算后的數列，然后再看這組數字的符號，判斷數字符號的正負是交替出現還是只出現一種符號，如果是交替出現的可用(1)n或(1)n1表示數字的符號，最后把數字規(guī)律和符號規(guī)律結合起來從而得到結果.2)當數字是分數和整數結合的時候，先把這組數據的所有整數寫成分數，然后分別推斷出分子和分母的數字規(guī)律(其方法同1))，從而得出分子和分母的規(guī)律，最后得到該組第n項的規(guī)律.二、數陣規(guī)律探索此類題目中的數據與有序數對是對應的，設問方式有已知有序數對求數值和表示某個數值的有序數對，本質上講，這兩種方式是相同的.此類型題的解決方法有：1）分析數陣中的數字排列方式:①每行的個數;②每列的個數;③相鄰數據的變化特點，并且觀察是否某一行或者某一列數據具有某些特別的性質(如完全平方數，正整數)等;2）找出該行或列上的數字與其所在的行數或列數的關系;3）使用1）中找出的具有特殊性質的數字，根據2）中的性質定位，求得答案三、等式規(guī)律探索1）標序數;2）對比式子與序數，即分別比較等式中各部分與序數(1，2，3，4，...，n)之間的關系，把其蘊含的規(guī)律用含序數的式子表示出來.通常方法是將式子進行拆分觀察式子中數字與序數是否存在倍數或者乘方的關系.3）根據找出的規(guī)律得出第n個等式，并進行檢驗.題型01記數類規(guī)律【例1】（2023岳陽市二模）按一定規(guī)律排列的一列數依次是23、1、87、119、1411、1713…按此規(guī)律，這列數中第A．299199 B．299201 C．301201【變式11】（2023·山東日照·日照市新營中學校考一模）觀察下列各式：a1=1，a2=25，a3=14，…【變式12】（2022·河北保定·統考模擬預測）有一列數1，x2，7，x4，x5，…，xn，從第二個數開始，（1）則x6為（2）若xm=52，則m=【變式13】（2023六安市模擬）判斷下面各式是否成立（1）223=223

（2）3探究：①你判斷完上面各題后，發(fā)現了什么規(guī)律？并猜想：5②用含有n的代數式將規(guī)律表示出來，說明n的取值范圍，并給出證明【變式14】（2023·安徽六安·統考模擬預測）觀察下列等式：第1個等式：1+1+第2個等式：2+第3個等式：3+第4個等式：4+17按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：__________；(2)寫出你猜想的第n個等式：__________（用含n的等式表示），并證明．【變式15】（2023·安徽宣城·校聯考一模）先觀察下列各式：1=11+3=1+3+5=1+3+5+7(1)計算：1+3+5+7+9；(2)已知n為正整數，通過觀察并歸納，請寫出：1+3+5+7+9+11+...+2n-1＝(3)應用上述結論，請計算4+12+20+28+36+44+...題型02乘方類規(guī)律【例2】（2023·四川成都·?？家荒＃┨剿饕?guī)律：觀察下面的一列單項式：x、-2x2、4x3、-8x4、16xA．-256x9 B．256x9 C．【變式21】（2023·湖北武漢·校考模擬預測）為了求1+2+22+?+22023的值，可令S=1+2+22+?+22023，則A．1-320242 B．3-320242【變式22】（2022隨州市一模）我們知道，一元二次方程x2=﹣1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于﹣1，若我們規(guī)定一個新數i，使其滿足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一個根為i），并且進一步規(guī)定：一切實數可以與新數進行四則運算，且原有的運算法則仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2?i=（﹣1）?i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，從而對任意正整數n，我們可得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值為（

）A．0 B．1 C．﹣1 D．i【變式23】（2022·廣西梧州·統考一模）找規(guī)律數：0，6，16，30，48，…，則第n個為（用含n的代數式表示）．【變式24】觀察等式：1=1=12，1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=題型03表格類規(guī)律解題技巧：表格找規(guī)律其實是在數學的學習當中一項比較常見的類型，以日歷的表格為基礎而展開的規(guī)律選擇最為常見.這類提醒我們要以其中一個數字為中心，上下左右的數字變化以及大小來展開，比如在日歷的表格當中上下相差7，左右相差一，那么將中心的數字看作是字母a，則左邊為a1，右邊為a+1，上邊為a7，下邊為a+7.所以當我們沒有關于表格規(guī)律的解題思路時，將以此為基礎來進行觀察，雖然其規(guī)律有所不同，但是其思路是相通的，方法也可以類比進行推論.【例3】（2020·山西臨汾·校聯考模擬預測）在日歷上，我們可以發(fā)現其中某些數滿足一定的規(guī)律，如圖是2019年1月份的日歷．我們任意選擇其中所示的菱形框部分將每個菱形框部分中去掉中間位置的數之后，相對的兩對數分別相乘，再相減，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不難發(fā)現，結果都是48．（1）請證明發(fā)現的規(guī)律；（2）若用一個如圖所示菱形框，再框出5個數字，其中最小數與最大數的積為435，求出這5個數的最大數；（3）小明說：他用一個如圖所示菱形框，框出5個數字，其中最小數與最大數的積是120．直接判斷他的說法是否正確．（不必敘述理由）【變式31】觀察表格，回答問題：a…110010000…a…x1y100…(1)表格中x=________，y=________；(2)從表格中探究a與a數位的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下面兩個問題：①已知10≈3.16，則1000≈②已知m=8.973，若b=897.3，用含m的代數式表示b，則b=(3)試比較a與a的大?。擾_______時，a>a；當________時，a=a；當________時，【變式32】（2021宿州市一模）如圖，下列各正方形中的四個數之間具有相同的規(guī)律．根據此規(guī)律，回答下列問題：（1）第5個圖中4個數的和為______________．（2）a=___________；c=__________．（3）根據此規(guī)律，第n個正方形中，d=2564，則n的值為___________．【變式33】（2023·河北保定·統考一模）觀察：序號①②③④⑤⑥⑦數20212223242526…個位上數字12486mn…思考：（1）上面表格中m、n的值分別是多少？探究：（2）第⑩個數是什么？它個位上的數字是多少？延伸：（3）22023拓展：（4）用含k的代數式表示個位上的數字是6的數的序號．（k為正整數）題型04數陣類規(guī)律【例4】（2023·福建廈門·廈門雙十中學校考三模）將一組數2，2，6，22，．．．，42，2，6，2210，23，14，4……若2的位置記為1,2，14的位置記為2,3，則210的位置記為【變式41】（2022·陜西西安·?？寄M預測）觀察下列一系列數，按照這種規(guī)律排下去，那么第5行從左邊數第6個數是．【變式42】（2023·山東聊城·統考二模）將正整數按如圖所示的規(guī)律排列，若有序數對(n,m)表示第n排，從左到右第m個數，如4,2表示9，則表示123的有序數對是．【變式43】（2021·山東濟寧·統考一模）將1，2，3，6按如圖方式排列，若規(guī)定（m，n）表示第m排從左向右第n個數，則（6，3）與（2000，4）表示的兩數之積是．【變式44】（2022鄂爾多斯市二模）我國古代數學的許多發(fā)現都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”(如圖所示)就是一例.這個三角形的構造法則為：兩腰上的數都是1，其余每個數均為其上方左右兩數之和.事實上，這個三角形給出了a+bn(n為正整數)的展開式(按a的次數由大到小的順序排列)的系數規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個數1、2、1，恰好對應a+b2=a2+2ab+b2展開式中各項的系數；第四行的四個數1、3、3、1，恰好對應著a+b3=a3+3【變式44】（2021·湖北隨州·統考一模）我國古代數學家楊輝發(fā)現了如圖所示的三角形，我們稱之為“楊輝三角”，它具有一定的規(guī)律性．從圖中取一斜列數：1，3，6，10，15，…，我們把第一個數記為a1，第二個數記為a2，第三個數記為a3，…，第n個數記為an．1a【變式45】（2021合肥市一模）如圖1，觀察數表，如何計算數表中所有數的和?方法1：如圖1，先求每行數的和：第1行

1+2+3+?+n=第2行

2+4+6+?+2n=2第n行

n+2n+3n+?+故表中所有數的和：1+2+3+?+n+21+2+3+?+n方法2：如圖2．依次以第1行每個數為起點，按順時針方向計算各數的和：第1組

1=第2組

2+4+2=第3組

3+6+9+6+3=…第n組

n+2m+?+n2用這n組數計算的結果，表示數表中所有數的和為：，綜合上面兩種方法所得的結果可得等式：；利用上面得到的規(guī)律計算：13題型05個位數字規(guī)律【例5】（2023·湖南岳陽·統考一模）觀察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74【變式51】（2022·山東聊城·統考二模）計算31，32，33，34，35，36，并觀察這些冪A．31 B．32 C．33【變式52】計算：21-1=1,22-1=3,A．1 B．3 C．7 D．5【變式53】發(fā)現：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1024，46＝4096，47＝16384，48＝65536（1）觀察上面運算結果的個位數字，寫出你發(fā)現的規(guī)律；（2）依據（1）中的規(guī)律，通過計算判斷3×（4+1）（42+1）（44+1）…（432+1）+1的結果的個位數字是多少，題型06新定義運算規(guī)律解題技巧：新定義運算的規(guī)律其實是這幾種規(guī)律當中最為簡單的一種，因為其規(guī)律都是由題目給出的，想要找到其規(guī)律，需要從所給的條件當中進行簡單的推論.這時候就考驗大家的觀察能力，以及對數字的敏感程度.【例6】（2020·河南·統考中考真題）定義運算：m?n=mn2-mn-1．例如:4×2=4×A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．無實數根 D．只有一個實數根【變式61】（2023·遼寧朝陽·校聯考三模）我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于-1．如果我們規(guī)定一個新數“i”使它滿足i2=-1（即x2=-1有一個根為i），并且進一步規(guī)定：一切實數可以與新數“i”進行四則運算，且原有的運算律和運算法則仍然成立．于是有：i1=i，i2【變式62】（2022·浙江寧波·統考中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數a，b，a?b=1a+1b．若(x+1)?x=【變式63】（2022·湖南張家界·張家界市民族中學校考一模）定義：如果一個數的平方等于-1，記為i2=-1，這個數i叫做虛數單位，把形如a+bi（a，b為實數）的數叫做復數，其中a叫這個復數的實部，b叫做這個復數的虛部，它的加，減，乘法運算與整式的加，減，乘法運算類似．例如，計算：(3-i)+(5+3i)=(3+5)+(-1+3)i=8+2i(1)填空：i3=________，i(2)計算：(2+i)×(3-4i)；(3)計算：i+i【變式64】（2023石家莊二模）對于任意一個四位數，我們可以記為abcd，即abcd=1000a+100b+10c+d．若規(guī)定：對四位正整數abcd進行（1）計算：F2137（2）當c=e+2時，證明：Fabcd-Fabed（3）求出滿足F32xy類型二圖形規(guī)律方法總結：解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論．題型01圖形固定累加型解題技巧：對于圖形固定累加首先要確定基礎圖形中含所求圖形的個數a,在確定出后一個圖形在前一個圖形的基礎上累加的所求圖形的個數b(即固定累加圖形個數)，再根據固定累加的圖形規(guī)律推導出與序數n有關的關系式為a+b(n1).【例1】（2022·重慶·統考中考真題）用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑨個圖案中正方形的個數為（

）A．32 B．34 C．37 D．41【變式11】（2022·重慶·統考中考真題）把菱形按照如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有1個菱形，第②個圖案中有3個菱形，第③個圖案中有5個菱形，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖案中菱形的個數為（

）A．15 B．13 C．11 D．9【變式12】（2022·江西·統考中考真題）將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【變式13】（2023·山西忻州·校聯考模擬預測）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形鑲嵌而成，第（1）個圖案有4個正三角形和4個正方形，第（2）個圖案有10個正三角形和8個正方形，第（3）個圖案有16個正三角形和12個正方形，…，依此規(guī)律，第（n）個圖案中正三角形和正方形的總個數為個．（用含n的代數式表示）．【變式14】（2022·湖南懷化·?？级＃┯^察下列的“蜂窩圖”按照它呈現的規(guī)律第n個圖案中的“

”的個數是（用含n的代數式表示）【變式15】（2023·山東濟南·統考二模）學校食堂按如圖方式擺放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的張數，y表示椅子的把數，請你寫出椅子數y（把）與餐桌數x（張）之間的函數關系式．【變式16】（2022·安徽·校聯考模擬預測）觀察下面的點陣圖形和與之相對應的等式探究其中的規(guī)律．①→4×0=4×1-3；②→4×1+1=4×2-3；③→4×2+1=4×3-3；④→；⑤→．(1)請在④和⑤后面的橫線上分別寫出相應的等式；(2)猜想第n（n是正整數）個圖形相對應的等式，并證明．題型02圖形漸變累加型解題技巧：對于個數不固定,1）首先觀察圖形，直接可以從圖形或者補全圖形后就能找出規(guī)律，根據圖形擺放形狀的規(guī)律總結推導出關系式即可.2）如果圖形也看不出規(guī)律的應該先數出所求圖形的個數,在比較后一個圖形和前一個圖形通過作差(商)來觀察圖形個數或將圖形個數與n進行對比，尋找是否與n有關的平方、平方加1、平方減1等關系,從而總結規(guī)律推導出關系式.【例2】（2023·重慶江北·?？家荒＃┫铝袌D形都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個圖形中小正方形的個數是3個，第2個圖形中小正方形的個數是8個，第3個圖形中小正方形的個數是15個，第9個圖形中小正方形的個數是（

）A．100 B．99 C．98 D．80【變式21】（2022下·安徽合肥·八年級?？计谀┪覀冇萌鹊恼呅纹闯扇缦聢D形，按此規(guī)律則第10個圖形中有小正六邊形（

）個．A．270 B．271 C．272 D．273【變式22】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學校聯考二模）小明如圖疊放了一些星星，第1個圖形有4顆星星，第2個圖形有8顆星星，第3個圖形有14顆星星，請問第9個圖形的星星顆數為（

）A．92 B．88 C．76 D．64【變式23】（2022·遼寧大連·統考一模）如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是.【變式24】如圖，用長度相等的小木棒搭成的三角形網格，當層數為n時，所需小木棒的根數為．【變式25】（2023·廣東·統考二模）如圖是由同樣大小的圓按一定規(guī)律排列所組成的，其中第1個圖形中一共有4個圓，第2個圖形中一共有8個圓，第3個圖形中一共有14個圓，第4個圖形中一共有22個圓．……按此規(guī)律排列下去，現已知第n個圖形中圓的個數是134個，則n=．題型03圖形個數分區(qū)域累加解題技巧：首先應觀察圖形區(qū)分圖形累加的各部分,分別求出各部分累加規(guī)律,再將各部分關系式相加,得到第n項（某項)圖形的數量與序數關系式.【例3】（2022揭陽市一模）將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”中的“○”的個數，則第16個“龜圖”中有個“○”．【變式31】某班舉行拼漢字比賽，小梅用●排列成數字“上”，圖①共用10個●，圖②共用13個●，圖③共用16個●，……按此規(guī)律排列下去，則第⑥個圖共用●的個數是（）A．22 B．25 C．28 D．32【變式32】（2023·重慶沙坪壩·重慶南開中學校考二模）下列圖形都是由同樣大小的★按照一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中共有5個★，第②個圖形中共有8個★，第③個圖形中共有11個★，…，按此規(guī)律排列下去，第⑥個圖形中的★個數為（

）A．18個 B．20個 C．22個 D．24個【變式33】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中校考一模）如圖，每個圖形都由同樣大小的“△”按照一定的規(guī)律組成，其中第1個圖形有5個“△”，第2個圖形有10個“△”，第3個圖形有15個“△”，…，則第8個圖形中“△”的個數為（）A．40 B．42 C．44 D．46【變式34】（2022·安徽蕪湖·統考二模）某花卉生產基地舉行花卉展覽，如圖所示是用這兩種花卉擺成的圖案，白色圓點為盆景，灰色圓點為盆花．圖1中盆景數量為2，盆花數量為2；圖2中盆景數量為4，盆花數量為6；圖3中盆景數量為6，盆花數量為12……按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)圖6中盆景數量為________，盆花數量為___________；(2)已知該生產基地展出以上兩種花卉在某種圖案中的數量之和為130盆，分別求出該圖案中盆景和盆花的數量；(3)若有n（n為偶數，且n≥2）盆盆景需要展出（只擺一種圖案），照此組合圖案，需要盆花的數量為________．（用含n的代數式表示）題型04圖形循環(huán)規(guī)律解題技巧：①先找出一個周期的圖形個數n:②N(第N個)÷n=b……m(0≤m<n);③第N個圖形是一個周期中第m次變化后的圖形.【例4】如圖，一串有趣的圖案按一定規(guī)律排列．請仔細觀察，按此規(guī)律畫出的第10個圖案是；在前16個圖案中“”有個．【變式41】（2020·湖南常德·統考一模）下面擺放的圖案，從第二個起，每個都是前一個按順時針方向旋轉90°得到，第2020個圖案中箭頭的指向是（）A．上方 B．左方 C．下方 D．右方【變式42】（2021·山東濟寧·統考一模）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個邊長為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉，那么這個小正方形第一次回到起始位置時，小正方形箭頭的方向是（

）A． B． C． D．【變式43】等邊三角形（三條邊都相等的三角形是等邊三角形）紙板ABC在數軸上的位置如圖所示，點A、B對應的數分別為2和1，若△ABC繞著頂點逆時針方向在數軸上連續(xù)翻轉，翻轉第1次后，點C所對應的數為0，則翻轉2023次后，點C所對應的數是（）A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣20241．（2023·山東·中考真題）已知一列均不為1的數a1，a2，a3，?，aA．-12 B．13 C．-32．（2023·四川綿陽·中考真題）如下圖，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成以下圖形，第1幅圖形中“●”的個數為a1，第2幅圖形中“●”的個數為a2，第3幅圖形中“●”的個數為a3，…，以此類推，那么1A．2021 B．6184 C．5898403．（2022·湖北鄂州·中考真題）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數字是（

）A．8 B．6 C．4 D．24．（2023·重慶·中考真題）用長度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案用了9根木棍，第②個圖案用了14根木棍，第③個圖案用了19根木棍，第④個圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)律排列下去，則第⑧個圖案用的木棍根數是（

）A．39 B．44 C．49 D．545．（2023·重慶·中考真題）用圓圈按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有2個圓圈，第②個圖案中有5個圓圈，第③個圖案中有8個圓圈，第④個圖案中有11個圓圈，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中圓圈的個數為（

）A．14 B．20 C．23 D．266．（2023·山東聊城·中考真題）如圖，圖中數字是從1開始按箭頭方向排列的有序數陣．從3開始，把位于同一列且在拐角處的兩個數字提取出來組成有序數對：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37…如果單把每個數對中的第一個或第二個數字按順序排列起來研究，就會發(fā)現其中的規(guī)律．請寫出第n個數對：．7．（2023·湖北恩施·中考真題）觀察下列兩行數，探究第②行數與第①行數的關系：-2，4，-8，16，-32，64，0，7，-4，21，-26，71，……②根據你的發(fā)現，完成填空：第①行數的第10個數為；取每行數的第2023個數，則這兩個數的和為．8．（2023·黑龍江大慶·中考真題）1261年，我國宋朝數學家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數表，人們將這個數表稱為“楊輝三角”．觀察“楊輝三角”與右側的等式圖，根據圖中各式的規(guī)律，(a+b)7展開的多項式中各項系數之和為9．（2023·四川·中考真題）在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”，根據規(guī)律第八行從左到右第三個數為．10．（2023·西藏·中考真題）按一定規(guī)律排列