管理統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)估計(jì)

§3.1參數(shù)估計(jì)概述第1頁/共147頁參數(shù)估計(jì)是統(tǒng)計(jì)推斷的基本方法之一。我們把刻劃總體X的某些特征的常數(shù)稱為參數(shù)，最常用的參數(shù)是總），則X的分布是由參數(shù)μ和σ2確定的，其中，μ=E（X），體X的數(shù)學(xué)期望和方差。假如總體X~N（σ2

=D（X）。第2頁/共147頁在實(shí)際問題中，總體X的參數(shù)是未知的，例如紗廠細(xì)紗機(jī)上的斷頭次數(shù)X~P（λ），如果

求每只紗綻在某一時(shí)間間隔內(nèi)斷頭的次數(shù)為K的概率，就需要先確定參數(shù)λ，才能求出所求的概率。又如，燈泡廠生產(chǎn)的燈泡，由經(jīng)驗(yàn)知其壽命X~N（），但是由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，生產(chǎn)出來的燈泡的壽命是不一致的，為了保證燈泡的質(zhì)量，必須進(jìn)行抽樣檢查，根據(jù)樣本所提供的信息，對總體X的分布做出估計(jì)，也即對參數(shù)μ,σ2做出估計(jì)。這類問題稱為參數(shù)估計(jì)問題。第3頁/共147頁參數(shù)估計(jì)問題，就是要從樣本出發(fā)構(gòu)造一些統(tǒng)計(jì)量作為總體某些參數(shù)的估計(jì)量，當(dāng)取得一個(gè)樣本值時(shí)，就以相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量的值作為總體參數(shù)的估計(jì)值。例如，常以統(tǒng)計(jì)量 作為總體數(shù)學(xué)期望的估計(jì)量。當(dāng)要估計(jì)某批燈泡的平均壽命時(shí)，就從該批燈泡中隨機(jī)地抽取若干個(gè)，分別測出其壽命，以這些測量數(shù)據(jù)的平均值作為該批燈泡的平均壽命的估計(jì)值。第4頁/共147頁設(shè)總體X的分布函數(shù)的類型已知，但是其中有一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知，設(shè)X1，X2，X3，……，Xn為總體X的容量為n的樣本。參數(shù)估計(jì)就是討論如何由樣本X1，X2，X3，……，Xn提供的信息對未知參數(shù)作出估計(jì)，以及討論如何建立一些準(zhǔn)則對所作出的估計(jì)進(jìn)行評(píng)價(jià)。第5頁/共147頁一般是建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量

（X1，X2，X3，……，Xn），當(dāng)樣本觀察值為x1，x2，x3，……，xn時(shí)，如果以

（x1，x2，x3，……，xn）作為總體分布中未知參數(shù)的估計(jì)值，這樣的估計(jì)方法叫做點(diǎn)估計(jì)，如果總體分布函數(shù)中有t個(gè)未知參數(shù)，則要建立t個(gè)估計(jì)量作為t個(gè)未知參數(shù)的估計(jì)量。第6頁/共147頁參數(shù)估計(jì)的形式分為兩類：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。由估計(jì)量的觀察值作為未知參數(shù)的估計(jì)值，這種作法稱為點(diǎn)估計(jì)或定值估計(jì)。而有時(shí)并不要求對參數(shù)作定值估計(jì)，只要求估計(jì)出未知參數(shù)的一個(gè)所在范圍，并指出參數(shù)被包含在該范圍的概率，這種方法稱為區(qū)間估計(jì)，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)并不一定要預(yù)先知道總體的分布類型。有時(shí)，雖然未知總體的分布類型，但仍可對總體的某些數(shù)字特征作出估計(jì)。第7頁/共147頁§3.2參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)第8頁/共147頁點(diǎn)估計(jì)方法很多，本節(jié)介紹最常見的矩估計(jì)法和極大似然法。第9頁/共147頁一、矩估計(jì)法由大數(shù)定律可知，樣本分布函數(shù)依概率收斂于總體分布函數(shù)，樣本均值依概率收斂于總體均值，我們自

然會(huì)想到，是否能用有關(guān)的樣本矩來估計(jì)總體分布的相應(yīng)矩呢？統(tǒng)計(jì)實(shí)踐表明，這個(gè)方法是可取的，這種用樣本矩來估計(jì)總體分布參數(shù)的方法稱為矩估計(jì)法，通常，用樣本

均值來估計(jì)總體的均值，用樣本方差S2來估計(jì)總體的方差。第10頁/共147頁【例】試用矩估計(jì)法對總體X~N（）的參數(shù)μ，σ2作出估計(jì)。第11頁/共147頁解:因E（X）=μ，D（X）=σ2設(shè)X1，X2，……，Xn為X的一個(gè)樣本，其樣本均值為，樣本方差為S2。令E（X）= ，D（X）=S2，即得的估計(jì)量為

，

。第12頁/共147頁【例】設(shè)X1，X2，……，Xn是取自總體X的樣本，已知X的概率密度為：第13頁/共147頁試用矩估計(jì)法估計(jì)總體參數(shù)。解:由于樣本均值為 ，令E（X）= ，得:,，其從而總體參數(shù)的矩估計(jì)為中

。第14頁/共147頁【例】X1，X2，……，Xn為總體X~B（N，P）的樣本，其中N，P為未知參數(shù)，試用矩估計(jì)法估計(jì)參數(shù)N及P。第15頁/共147頁解：∵E（X）=NP

D（X）=NP（1-P）樣本均值與方差分別為 ，S2。令

E（X）=

D（X）=S2第16頁/共147頁即解得N、P的矩估計(jì)量為，其中，。第17頁/共147頁二、極大似然估計(jì)法第18頁/共147頁先考察兩個(gè)簡單的例子?！纠磕惩瑢W(xué)與一位男獵人一起外出打獵，只見一只野雞在前方竄過，只聽一聲槍響，野雞被他們兩人中某一位一槍命中，試推測這一發(fā)命中的子彈是誰打的，答案是簡單的，既然只發(fā)一槍且命中，而男獵人的命中的概率一般大于這位同學(xué)命中的概率，因此可以認(rèn)為這一槍是男獵人射中的。第19頁/共147頁【例】假定在一個(gè)箱子里放著黑、白兩種球共4只，且知道這兩種球的數(shù)目之比為1∶3，但不知道究竟哪一種顏色的球多。第20頁/共147頁設(shè)黑球所占的比例為P，由上述假定推知P僅可能取1/4和3/4這兩個(gè)值，現(xiàn)在采用有放回抽樣的方法，從箱子中隨機(jī)地抽取三個(gè)球，觀察到球的顏色為黑、白、黑，你會(huì)對箱子中的黑球數(shù)作出什么推斷呢？即你認(rèn)為P的值是1/4，還是3/4？第21頁/共147頁直觀上覺得P=3/4（即箱子中黑球數(shù)為3）更可信，因?yàn)楫?dāng)P=1/4時(shí)抽到這樣一個(gè)具體樣本的概率為1/43/4

1/4=3/64，當(dāng)P=3/4時(shí)，抽到這樣一個(gè)具體樣本的概率為3/4

1/4

3/4=9/64，由于9/64>3/64，因此在觀察到上述樣本中的三個(gè)球的顏色之后，覺得P=3/4更可信，即你傾向于認(rèn)為箱子中放有三個(gè)黑球，這里體現(xiàn)了極大似然法的基本思想。第22頁/共147頁現(xiàn)在我們來闡明極大似然法的基本原理。第23頁/共147頁設(shè)總體X的概率密度為 ，它只含一個(gè)未知參數(shù)（若X是離散型，，表示概率

），X1，X2，X3，……，Xn是取自X的樣本，x1,

x2,x3,

……,xn為樣本觀察值。X1，X2，X3，……,Xn的聯(lián)合密度等于顯然,對于樣本的一組觀察值x1,x2,x3,……,xn，第24頁/共147頁它是 的函數(shù)，記作并稱為似然函數(shù)第25頁/共147頁當(dāng) 已知時(shí)，似然函數(shù)描述了樣本取得樣本觀察值x1,

x2,

x3,……,xn的可能性。同樣，當(dāng)一組樣本觀察值取定時(shí)（即抽樣完成時(shí)），要問它最大可能取自什么樣的總體（即總體的參數(shù) 應(yīng)等于什么時(shí)的可能性最大），也要從似然函數(shù) 的極大化中求出相應(yīng)的 值來，這個(gè)值就是 的一個(gè)估計(jì)值。于是，我們可以給出極大似然估計(jì)的定義。第26頁/共147頁，其中 是未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為X的一組樣本觀察值。若能定義3.

1設(shè)總體的概率密度為求得觀察值的某個(gè)函數(shù)，使得似然函數(shù)取極大值，即為 的一個(gè)極大似然估計(jì)值，其相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量 ，稱為參數(shù)，則稱的極大似然估計(jì)量。第27頁/共147頁由定義可知，求總體參數(shù)的極大似然估計(jì)值 的問題，就是求似然函數(shù)L（

）的極大值問題。在L（

）可微時(shí)，要使L（ ）取極大值 必須滿足（）從上式可解得的極大似然估計(jì)值。第28頁/共147頁由于lnL（ ）與L（）有相同的極值點(diǎn)，而且，求lnL（）的極值點(diǎn)更為容易，所以常用下式（3.

2）來代替（）式。方程（）或（）都稱為似然方程。第29頁/共147頁當(dāng)似然函數(shù)包含多個(gè)參數(shù)時(shí)，即：第30頁/共147頁若L關(guān)于各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則j的極大似然估計(jì)一般可由方程組：或解得。上面方程組稱為似然方程組。第31頁/共147頁[注意]上面的討論中，我們沒有提到似函數(shù)取極大值的充分條件，對于具體的函數(shù)可作驗(yàn)證。第32頁/共147頁【例】設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，求參數(shù)的極大似然估計(jì)量。第33頁/共147頁解設(shè)X1，X2，X3，……，Xn是來自X的樣本，則∴第34頁/共147頁令∴

的極大似然估計(jì)量為。其中 為樣本均值。第35頁/共147頁【例】設(shè)總體X~N ，其中

及是未知參數(shù)，如果取得樣本觀測值為x1,x2,…，xn，求參數(shù)及 的極大似然估計(jì)值。第36頁/共147頁解：似然函數(shù)為：∴第37頁/共147頁對

及 求偏導(dǎo)數(shù)，并讓它們等于零，得：第38頁/共147頁解此方程組，即得

及 的極大似然估計(jì)值為：第39頁/共147頁【例】設(shè)總體X服從均勻分布，求參數(shù)

與 的極大似然估計(jì)量第40頁/共147頁解設(shè)X1，X2，…，Xn是X的樣本，則∴第41頁/共147頁從而有第42頁/共147頁顯然由此方程組解不出 1與 2，現(xiàn)利用定義求 1與 2的極大似然估計(jì)量，因?yàn)椋旱?3頁/共147頁又∵，即∴的極大似然估計(jì)量分別為。第44頁/共147頁在對總體參數(shù)做出估計(jì)時(shí)并非所有的估計(jì)量都是優(yōu)良的，從而產(chǎn)生了評(píng)價(jià)估計(jì)量是否優(yōu)良的標(biāo)準(zhǔn)。對于點(diǎn)估計(jì)量來說，一個(gè)好的三估、計(jì)量估有如計(jì)下量三個(gè)的標(biāo)優(yōu)準(zhǔn)：良標(biāo)準(zhǔn)第45頁/共147頁1．無偏性如果樣本統(tǒng)計(jì)量的期望值等于該統(tǒng)計(jì)量所估計(jì)的總體參數(shù)，則這個(gè)估計(jì)量叫做無偏估計(jì)量。這是一個(gè)

好的估計(jì)量的一個(gè)重要條件。用樣本平均數(shù)作為總體平均數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量，就符合這一要求。無偏性也就是沒有系統(tǒng)的偏差，它是從平均意義講的，即如果這種估計(jì)方法重復(fù)進(jìn)行，則從估計(jì)量所獲得的平均數(shù)等于總體參數(shù)。第46頁/共147頁顯然，如果說一個(gè)估計(jì)量是無偏的，并不是保證用于單獨(dú)一次估計(jì)中沒有隨機(jī)性誤差，只是沒有系統(tǒng)性的偏差而已。若以代表被估計(jì)的總體參數(shù)，代表的無偏估計(jì)量，則用數(shù)學(xué)式表示為：第47頁/共147頁是它的一個(gè)無偏估計(jì)量，我們知道，總體參數(shù)中最重要的一個(gè)參數(shù)是總體平均數(shù) ，樣本平均數(shù)即 。另外，樣本方差也是總體方差的無偏估計(jì)量。第48頁/共147頁2．一致性當(dāng)樣本容量n增大時(shí)，如果估計(jì)量越來越 接近總體參數(shù)的真值時(shí)，就稱這個(gè)估計(jì)量為一致估計(jì)量。估計(jì)量的一致性是從極限意義上講的，它適用于大樣本的情況。如果一個(gè)估計(jì)量是一致估計(jì)量，那么，采用大樣本就更加可靠。當(dāng)然，在樣本容量n增大時(shí)，估計(jì)量的一致性會(huì)增強(qiáng)，但調(diào)查所需的人力、物力也相應(yīng)增加。第49頁/共147頁3．有效性有效性的概念是指估計(jì)量的離散程度。如果兩個(gè)估計(jì)量都是無偏的，其中方差較小的（對給定的樣本容量而言）就可認(rèn)為相對來說是更有效的。嚴(yán)格地說，如果

和

是 的兩個(gè)無偏估計(jì)量，它們的相對有效性按下述比率決定：其中， 是較小的方差。第50頁/共147頁以上這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)并不是孤立的，而應(yīng)該聯(lián)系起來看。如果一個(gè)估計(jì)量滿足這三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)估計(jì)量就是一個(gè)好的估計(jì)量。數(shù)理統(tǒng)計(jì)已證明，用樣本平均數(shù)來估計(jì)總體平均數(shù)和用樣本比率來估計(jì)總體比率時(shí)，它們是無偏的，一致的和有效的。第51頁/共147頁§3.3參數(shù)的區(qū)間估計(jì)第52頁/共147頁一、區(qū)間估計(jì)的概念第53頁/共147頁對未知參數(shù)來說，我們除了關(guān)心它的點(diǎn)估計(jì)外，往往還希望估計(jì)出它的一個(gè)范圍，以及這個(gè)范圍覆蓋參數(shù)真值的可靠程度，這種范圍通常用區(qū)間的形式給出，這種區(qū)間就叫參數(shù)的置信區(qū)間。定義3.

2設(shè)總體分布含有一個(gè)未知參數(shù),

若由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量

（X1，X2，X3，…，Xn）與

（X1，X2，X3，…，Xn），對于給定數(shù)值 ，滿足（3.

3）第54頁/共147頁則稱隨機(jī)區(qū)間為 的一個(gè)雙側(cè)置信區(qū)間，稱為雙側(cè)置信下（上）限，1-稱為置信水平或置信度。第55頁/共147頁（）式表示置信區(qū)間 包含未知參數(shù)真值的概率是1-，若反復(fù)抽樣多次（每次樣本容量相等），每組樣本觀察值確定一個(gè)區(qū)間理，在所有這些區(qū)間中，包含，每個(gè)這樣的區(qū)間或者包含 的真值，或者不包含 的真值，按貝努利定真值的約占 ，不包含 真值的僅占左右。第56頁/共147頁當(dāng)和時(shí)，稱為置信區(qū)間觀察值，也稱為置信區(qū)間。第57頁/共147頁在有些問題中，我們關(guān)心的是未知參數(shù)至少有多大（如設(shè)備元件使用的壽命），或不超過多大（如產(chǎn)品的次品率），因此下面給出單側(cè)置信區(qū)間的概念。定義3.4在定義中，如果將（）式改成第58頁/共147頁為單側(cè)置信區(qū)間，

和 分別稱為單側(cè)置則稱

或信下限與單側(cè)置信上限。第59頁/共147頁評(píng)價(jià)一個(gè)置信區(qū)間的好與壞有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，一是精度，即越小精度越高，也就越好。另一個(gè)是置信度，即 越大越好。我們當(dāng)然希望 盡可能地小，同時(shí)希望 盡可能地大，但是當(dāng)樣本容量n固定時(shí)，精度與置信度不可能同時(shí)提高。第60頁/共147頁因?yàn)楫?dāng)精度提高時(shí)即當(dāng)置信度增大時(shí)，變小時(shí)，（ ）覆蓋真值 的可能性也變小，從而降低了置信度，相反，必然也增大，從而降低了精度，在實(shí)際問題中，一般是根據(jù)實(shí)際問題的需要，先選定置信度為1- ，然后再通過增加樣本容量n提高精度。第61頁/共147頁二、區(qū)間估計(jì)的步驟構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量g(

)（含待估計(jì)的未知參數(shù)，分布已知）；給定置信水平

，使；第62頁/共147頁（3）從不等式中解出；即 得的 置信區(qū)間（4）將xi代替 中的xi，即得觀察區(qū)間。第63頁/共147頁§3.4單正態(tài)總值均值與方差的區(qū)間估計(jì)假設(shè)總體X~N（），構(gòu)造

與

的置信區(qū)間有重要的實(shí)用意義，而且有關(guān)結(jié)果是完滿的。第64頁/共147頁一、均值的置信區(qū)間從總體X中取樣本（X1，X2，…，Xn），設(shè)樣本值為（x1,x2,x3,…，xn）由于第65頁/共147頁隨機(jī)變量很明顯，統(tǒng)計(jì)量Z的分布函數(shù)不依賴于未知參數(shù)μ。第66頁/共147頁設(shè)已給定對μ的區(qū)間估計(jì)置信度為1-令為Z的雙側(cè) 點(diǎn)）解不等式（關(guān)于μ

）：得第67頁/共147頁從而所求的100(1-)%置信區(qū)間為將樣本平均值取其觀察值，則 100(1-

)%的置信區(qū)間為第68頁/共147頁【例】某廠質(zhì)量管理部門的負(fù)責(zé)人希望估計(jì)移交給接受部門的5500包原材料的平均重量，一個(gè)由250包原材料組成的隨機(jī)樣本所給出的平均值=65千克?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差 =15千克。試構(gòu)造總體未知的平均值的μ置信區(qū)間，假定95%的置信區(qū)間已能令人滿意，并假定總體為正態(tài)分布第69頁/共147頁解：（1）樣本平均值=65千克由1-，/2，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得寫出置信區(qū)間===

(63.

14,

66.

86)第70頁/共147頁于是，我們有95%的把握說總體平均值μ介于和千克之間。第71頁/共147頁[注意]在很多情況下，我們遇到的總體為非正態(tài)分布，但中心極限定理告訴我們，當(dāng)樣本容量n足夠大，無論總體服從什么分布，的柚樣分布將近似地服從正態(tài)分布，因此當(dāng)樣本取自總體方差已知的非正態(tài)分布時(shí)，我們?nèi)钥梢杂霉絹斫魄蟪隹傮w平均值μ的置信區(qū)間。第72頁/共147頁2． 未知時(shí)，求μ的置信區(qū)間稍微留意上述求得的μ的置信區(qū)間，不難發(fā)現(xiàn)只有在 已知時(shí)方法才可行。如果 未知，則可用樣本方差S2代替總體方差 ，從而根據(jù)統(tǒng)計(jì)量：第73頁/共147頁對給定的置信水平1- ，令可解得μ的1-置信區(qū)間為第74頁/共147頁將 、S2分別取其觀察值則μ的1-置信區(qū)間為第75頁/共147頁

例3.

10為了估計(jì)一分鐘一次廣告的平均費(fèi)用，抽出了15電視臺(tái)的隨機(jī)樣本。樣本的平均值=2000元，其中標(biāo)準(zhǔn)差S=1000元。假定所有被抽樣的這類電視臺(tái)服從正態(tài)分布，試構(gòu)造總體平均值μ的95%的置信區(qū)間。第76頁/共147頁解：（1）樣本均值與方差分別為=2000元，S=1000元（2）由1- ，得

/2，n-1=14，查t分布表，得第77頁/共147頁（3）寫出置信區(qū)間：顯然我們有95%的把握說明，總體平均數(shù)處在元和元之間。=（1447.5,

2552.

5）第78頁/共147頁[注意]當(dāng)未知但樣本容量n>30，即大樣本時(shí)，可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似地當(dāng)作t分布。因此，在實(shí)際工作中，只有在小樣本的情況下，即樣本容量n<30時(shí)，才應(yīng)用t分布，而對于大樣本，

則通常采用正態(tài)分布來構(gòu)造總體平均數(shù)的置信區(qū)間。另外，根據(jù)中心極限定理，從非正態(tài)總體中抽樣時(shí)，只要能夠抽取大樣本，那么，樣本平均數(shù)的抽樣分布就會(huì)服從正態(tài)分布。這時(shí)，我們也就能夠用知的，因此，只能用來構(gòu)造置信區(qū)間，但由于 是未來構(gòu)造置信區(qū)間。第79頁/共147頁二、方差

2的置信區(qū)間設(shè)X1，X2，X3，…，Xn是總體X~N(

,2)的一個(gè)樣本，其觀察值為x1，x2，x3，…，xn。因?yàn)樵谝话闱闆r下，總體的均值是未知的，所以我們只討論均值

未知時(shí)，對

2

的區(qū)間估計(jì)。要對

2

進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，須考慮樣本方差S2，由

分布理論知隨機(jī)變量第80頁/共147頁對于給定的置信水平1-

，有第81頁/共147頁由此得2

的置信水平為1-的置信區(qū)間為而 標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為1-的置信區(qū)間是第82頁/共147頁例3.11某制造廠的一名生產(chǎn)管理人員需要知道完成某件工作所需的時(shí)間。為此他進(jìn)行了一項(xiàng)研究，得出一個(gè)適于分析的31個(gè)觀第83頁/共147頁察值組成的隨機(jī)樣本，從樣本數(shù)據(jù)算出的方差為0.3小時(shí)，試問：構(gòu)造方差

2

的95%的置信區(qū)間構(gòu)造 的95%的置信區(qū)間構(gòu)造置信區(qū)間時(shí)作了何種假定？解：（1）S2=0.3，自由度=n-1=31-1=30查 分布表得：從而求得0.1916<

2

<0.5360因此，我們有95%的把握說2落在0.1916和0.5360之間的范圍內(nèi)。第84頁/共147頁其總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信區(qū)間為：0.

4377

<被抽樣的總體服從或近似服從正態(tài)分布是置信區(qū)間估計(jì)的假定條件。上面我們討論了正態(tài)總體的兩個(gè)參數(shù)

與

2的雙側(cè)置信區(qū)間，至于單側(cè)置信區(qū)間的求法完全類同，只是所用的百分位點(diǎn)不同，舉例說明如下。第85頁/共147頁例3.12從某一批燈泡中隨機(jī)地抽取5只作壽命試驗(yàn)，測得壽命（以小時(shí)計(jì)）如下：1050 110011201250

1280設(shè)壽命X~N（

,

2），

2未知，求壽命X的均值 的置信水平為95%的單側(cè)置信下限和單側(cè)置信區(qū)間。第86頁/共147頁解：∵

X~N（

,

2

），

2未知∴隨機(jī)變量其中，S分別為總體X的樣本均值與樣本方差。對于給定的置信水平1-，有第87頁/共147頁由不等式，可解得 的1- 單側(cè)置信下限與單側(cè)置信區(qū)間分別為：第88頁/共147頁根據(jù)本題所給數(shù)據(jù)，具體計(jì)算（1050+1100+1120+1250+1=1160查t分布表得第89頁/共147頁故所求單側(cè)置信下限是單側(cè)置信區(qū)間為（1065，+∞）。第90頁/共147頁§3.5

兩個(gè)正態(tài)總體均值差與方差比的區(qū)間估計(jì)第91頁/共147頁在實(shí)際應(yīng)用中常有這樣的問題，如已知某種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布，但由于設(shè)備改善，工藝改革或原料改變等因素，使得總體X的均值和方差有所改變，對于這種情況，就需要知道均值和方差的改變情況，因此，需要考慮二正態(tài)均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)問題。一、二正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間設(shè)和S1

是總體X~N（22

）的容量為n1的樣均值和樣本方差；和S

2是總體Y~N（1,

1

22,

2

）的容量2為n2的樣本均值和樣本方差，并設(shè)這兩個(gè)總體相互獨(dú)立。第92頁/共147頁現(xiàn)在考慮二正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)。因?yàn)榉謩e是的點(diǎn)估計(jì)量，故服從正態(tài)分布，而且第93頁/共147頁所以第94頁/共147頁1．已知2，12時(shí)，求的

-2

12置信區(qū)間由于隨機(jī)變量第95頁/共147頁所以對于給定的置信水平1-，有從不等式 中解出

1-

2

，即得1-

2的置信水平為1-的置信區(qū)間為第96頁/共147頁將 取其觀察值 ，得置信區(qū)間為第97頁/共147頁2．2，12

1

22都未知時(shí)，求

-

的置信區(qū)間當(dāng)樣本容量n1,n2都很大時(shí)（>30），可用S1

,S2

、分別代替2

22、

21

2，于是可用區(qū)間作為

1-

2的近似的1- 置信區(qū)間。第98頁/共147頁3．未知時(shí)，求

1-

2的置信區(qū)間，則t分布理論知其中第99頁/共147頁在給定的置信水平1-的條件下，有由此可得

1-

2的置信水平為1-

的置信區(qū)間當(dāng) 及Sw取樣本觀察值時(shí)，置信區(qū)間為第100頁/共147頁

【例】某銀行負(fù)責(zé)人想知道存戶存入兩家銀行的錢數(shù)，他從每一家銀行各抽選了一個(gè)由25個(gè)存戶組成的隨機(jī)樣本。樣本平均值如下：銀行A： =450元；銀行B：2=750和

2=850的正態(tài)分布。試構(gòu)造

-

的95%的置信區(qū)A

B

A

B=325元。兩個(gè)總體均服從方差分別為間。第101頁/共147頁解由于兩個(gè)總體均服從正態(tài)分布，因此也服從正態(tài)分布，從而計(jì)算總體均值之差的置信區(qū)間可用：這個(gè)公式。第102頁/共147頁已知2=750，

2=850，

=450，1

2=325，所以所求的置信區(qū)間為:這意味著有95%的把握認(rèn)為總體均值之差在109.32元和140.68元之間。：第103頁/共147頁

【例3.14】某工廠中有兩臺(tái)生產(chǎn)金屬棒的機(jī)器。一個(gè)隨機(jī)樣本由機(jī)器A生產(chǎn)的

11根金屬棒組成，另一個(gè)隨機(jī)樣本由機(jī)器B生產(chǎn)的21根金屬棒組成。兩個(gè)樣本分別給出兩臺(tái)機(jī)器所生產(chǎn)金屬棒的長度數(shù)據(jù)如下：

，SA2=0.018，

SB2

=0.

020。假定兩個(gè)總體近似服從正態(tài)分布，且總體方差相等，試構(gòu)造

A-

B的95%的置信區(qū)間。第104頁/共147頁解第105頁/共147頁1-=95%，=0.05，查t分布表得t

/2=

t所以所求置信區(qū)間為：=（0.05,

0.25）第106頁/共147頁4．兩個(gè)總體均不服從正態(tài)分布且方差未知對于一般不服從正態(tài)分布的兩個(gè)總體，我們往往根據(jù)中心極限定理采用大樣本抽樣方法。如果兩個(gè)總體方差未知，就用S1和S2分別作為

1和

2的估計(jì)值，當(dāng)n1和n2足夠大時(shí)，

1-

2的置信水平為1-的近似置信區(qū)間為：第107頁/共147頁

【例】東大和西大兩所大學(xué)某學(xué)期期末英語考試采用同一試題，東大認(rèn)為該校學(xué)生英語考試成績能比西大高出10分，為了證實(shí)

這一說法，主管部門從兩校各抽取一個(gè)隨機(jī)樣本并得到如下數(shù)據(jù)：n東=75人，n西=80人，東=78.

6分，西=73.8分，S東分，S西=7.

4分。試在95%的置信度下確定兩校平均分?jǐn)?shù)之差的置信區(qū)間。第108頁/共147頁解：分，=0.025，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得，從而其置信區(qū)間為：（78.

6

–

73.

8

±

1.

96

×

1.

26）=（）第109頁/共147頁因此，我們有95%的把握說東大、西大兩校英語考試成績之差在2.3分和7.3分之間。這一結(jié)果說明東大的平均成績確實(shí)高于西大，但并未高出10分。第110頁/共147頁

在實(shí)際工作中還常常需要比較兩個(gè)總體的方差。例如，在選擇產(chǎn)品時(shí)，我們通常需要方差較小的產(chǎn)品，因?yàn)榉讲钶^小的產(chǎn)品二的質(zhì)、量二比較正均態(tài)勻?？偙容^體兩方個(gè)總差體比方差的的大置小信，可區(qū)以間將兩個(gè)方差相比，當(dāng)兩個(gè)方差相等時(shí)其第111頁/共147頁比值為1。但兩個(gè)總體方差2和12都是未知的，所以需要通過兩個(gè)樣本方差來加以比較推斷。2設(shè)二正態(tài)總體X~N

(

1,第112頁/共147頁2)與Y~N

(

,1

22)，其中的參數(shù)均未知，它們相互獨(dú)立的兩個(gè)樣本的容量分別為n

,2

1n2，樣本方差為S1

與S2

，現(xiàn)在求其方差比2

22/12的置信區(qū)間2由 分布理論知第113頁/共147頁從而于是，對給定的置信水平為1- ，有：第114頁/共147頁所以2/12的置信水平為1-的置信區(qū)間為：2（此處利用了公式：）第115頁/共147頁

【例3.16】為了比較用兩種不同方法生產(chǎn)的某種產(chǎn)品的壽命，進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)。試驗(yàn)中抽選了由方法1生產(chǎn)的

16個(gè)產(chǎn)品組成一個(gè)隨機(jī)樣本，其方差為1200小時(shí)。又抽選了用方法2生產(chǎn)的21個(gè)產(chǎn)品組成另一個(gè)隨機(jī)樣本，第116頁/共147頁得出的方差為800小時(shí)。試以95%的置信度估計(jì)2/12的置信區(qū)間2解：由于S1=1200，S2=800，S1

>S22

2

2

2第117頁/共147頁從而所求的置信區(qū)間為：即：

0.58<2/12<40142也就是（0.58，4.14）第118頁/共147頁§3.6關(guān)于比例的區(qū)間估計(jì)第119頁/共147頁一、一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)

我們在實(shí)際工作中時(shí)常會(huì)碰到對總體比例的估計(jì)問題。例如，企業(yè)領(lǐng)導(dǎo)想知道本企業(yè)生產(chǎn)中合格品率是多少？商店經(jīng)理想了解對他們服務(wù)滿意的顧客在全部顧客中所占的比率等等。我們知道樣本比例的抽樣分布，當(dāng)nP和n（1-P）兩者皆大于5時(shí)（P為總體比例），的分布近似服從平均值為P，標(biāo)準(zhǔn)差p為的正態(tài)分布。第120頁/共147頁但是，在實(shí)際工作中P往往是未知的，我們所要估計(jì)的也正是這個(gè)總體比例P，所以，就需要用樣本比例來代替P。這樣，我們就得到了標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值：第121頁/共147頁

因此，可對總體比例的區(qū)間估計(jì)作表述如下：如果nP和n（1-P）兩者皆大于5，并且n相對總體容量來說很小，則P的近似100(1-)%的置信區(qū)間由下式給出：第122頁/共147頁

如果我們研究的總體是有限的，尤其是抽樣比重較大時(shí)，即n/N>0.05，就要采用有限總體修正系數(shù)，從而P的區(qū)間估計(jì)公式為：第123頁/共147頁

【例3.17】某一大公司的人事處長希望知道本公司內(nèi)專業(yè)不對口的職員究竟占多大比例。于是，他從2000名具有大專以上學(xué)歷的職員中隨機(jī)抽取了一個(gè)由150人組成的樣本進(jìn)行研究，結(jié)果表明，其中有45人說他們從事的工作與所學(xué)專業(yè)不對口。試在95.

5%的置信度下構(gòu)造出專業(yè)不對口人員所占真正比例的置信區(qū)間。第124頁/共147頁解：由于樣本容量很大，n=150，，

和 都大于5，故可用正態(tài)分布逼近。但又由于抽樣比重?，故需用有限總體修正系數(shù)計(jì)算Sp，則第125頁/共147頁=（，）計(jì)算結(jié)果表明，我們有95.

5%的把握說，該公司具有大專以上學(xué)歷的人員中，有22.8%~37.2%的人專業(yè)不對口。第126頁/共147頁二、兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)

為了估計(jì)兩個(gè)總體比例之差P1-P2，我們可從每一個(gè)總體中各抽一個(gè)隨機(jī)樣本，并利用兩個(gè)樣本比例之差。這樣就可以按通常的方式構(gòu)造出一個(gè)區(qū)間的估計(jì)值。我們知道，當(dāng)n1和n2都很大，即大樣本，而且總體比例不太接近0或1時(shí)，兩個(gè)獨(dú)立樣本的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其平均值為P1-P2，標(biāo)準(zhǔn)差為：第127頁/共147頁因?yàn)镻1和P2皆未知，所以標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)通過下式來估計(jì)：第128頁/共147頁）%的置信區(qū)間于是上述條件下P1-P2的100（1-由下式給出：第129頁/共147頁

【例3.18】某企業(yè)有兩個(gè)車間，分別用A和B表示。為了降低廢品率，該企業(yè)對車間B的工人首先進(jìn)行業(yè)務(wù)培訓(xùn)。3個(gè)月后，該企業(yè)負(fù)責(zé)人對兩個(gè)車間的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行了檢驗(yàn)。從車間A抽取了

200件產(chǎn)品，從車間B抽取了220件產(chǎn)品。查得廢品率A車間為 ，B車間為 ，試在95%的把握程度下，構(gòu)造兩個(gè)廢品率之間的置信區(qū)間。第130頁/共147頁解：第131頁/共147頁Z

/2=Z=1.96，從而其區(qū)間估計(jì)為：（0.15-0.03±

1.

96×

0.

0277）=（0.066,

0.174）根據(jù)這一結(jié)果，我們有95%的把握說，車間A和車間B的廢品率之差為6.

6%~17.4%。這說明，車間B人員的業(yè)務(wù)培訓(xùn)收到了效果。第132頁/共147頁§3.7樣本容量的確定第133頁/共147頁

以上所舉的例子中，都假定樣本容量已定。在實(shí)際設(shè)計(jì)抽樣方案中有一個(gè)重要的問題，就是在特定的情況下，應(yīng)該用多大的樣本？如果使用一個(gè)比需要大的樣本，就會(huì)浪費(fèi)資料；如果樣本太小，就不能達(dá)到分析的目的