第02講約分與通分

第02講約分與通分課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①最簡分式②公因式與約分③最簡公分母與通分掌握最簡分式的概念，并能夠熟練的進(jìn)行判斷。掌握公因式的概念能夠熟練的求分子分母的公因式，然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行約分。掌握最簡公分母的概念，能夠熟練的求最簡公分母，然后利用分式的性質(zhì)進(jìn)行分式之間的通分。知識點01公因式公因式的概念：一個分式中，分子分母都含有的因式叫做分子分母的公因式。公因式的求法：對分子分母進(jìn)行因式分解，然后求出系數(shù)的最大公因數(shù)與相同式子的最低次冪。他們的乘積為公因式。題型考點：①求分子分母的公因式。【即學(xué)即練1】1．分式中分子、分母的公因式為4mn．【解答】解：分式中分子、分母的公因式為4mn；故答案為：4mn．【即學(xué)即練2】2．在分式中，分子與分母的公因式是xy．【解答】解：原分式中：分母＝2xy；分子＝xy（x+y）；因此分子與分母的公因式為xy．知識點02最簡分式最簡分式的概念：分子分母沒有公因式的分式叫做最簡公因式。題型考點：①判斷最簡分式?！炯磳W(xué)即練1】3．下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，不是最簡分式，不符合題意；B、＝＝，不是最簡分式，不符合題意；C、是最簡分式，符合題意；D、＝＝﹣1，不是最簡分式，不符合題意；故選：C．【即學(xué)即練2】4．下列分式中，屬于最簡分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、原式＝，不是最簡分式，不符合題意；B、原式＝，不是最簡分式，不符合題意；C、原式＝，不是最簡分式，不符合題意；D、是最簡分式，符合題意；故選：D．【即學(xué)即練3】5．如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且這個分式是最簡分式，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（）（填序號即可）．①；②；③；④．A．① B．② C．③ D．④【解答】解：①，分子、分母都不可以因式分解，不是“和諧分式”，不符合題意；②＝，分母可以因式分解，是最簡分式，是“和諧分式”，符合題意；③＝＝，分母可以因式分解，不是最簡分式，不是“和諧分式”，不符合題意；④＝＝，分子、分母可以因式分解，不是最簡分式，不是“和諧分式”，不符合題意；故選：B．知識點03約分約分的概念：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分子分母的公因式約去，這個過程叫約分。約分的步驟：①對分式中能因式分解的分子或分母先進(jìn)行因式分解。②約去分子分母的公因式即可。題型考點：①約分?！炯磳W(xué)即練1】6．分式約分為﹣．【解答】解：原式＝＝﹣．故答案為：﹣．【即學(xué)即練2】7．下列約分正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．原式＝＝a+b，此選項正確；B．原式＝＝﹣1，此選項錯誤；C．原式＝＝a+2b，此選項錯誤；D．原式＝，此選項錯誤；故選：A．【即學(xué)即練3】8．若分式可以進(jìn)行約分化簡，則該分式中的A不可以是（）A．1 B．x C．﹣x D．4【解答】解：A＝1或x或4時，分子分母有公因式，可以約分．故選：C．知識點04最簡公分母與通分通分的概念：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來分式值相等的同分母的分式的過程叫做通分。這個相同的分母叫做最簡公分母。最簡公分母的求法：最簡公分母＝所有系數(shù)的最小公倍數(shù)×所有因式的最高次冪。對能進(jìn)行因式分解的分母先因式分解，在確定所含有的因式。通分的步驟：①將所有能分解因式的分母分解因式。②求出最簡公分母。③利用分式的性質(zhì)在分子分母上同時乘一個因式，使分母變成最簡公分母。題型考點：①求公分母。②對分式進(jìn)行通分?！炯磳W(xué)即練1】9．分式的最簡公分母是（）A．3xy B．6x3y2 C．6x6y6 D．x3y3【解答】解：分母分別是x2y、2x3、3xy2，故最簡公分母是6x3y2；故選：B．【即學(xué)即練2】10．分式與的最簡公分母是（）A．x（x+5） B．（x+5）（x﹣5） C．x（x﹣5） D．x（x+5）（x﹣5）【解答】解：分式與的最簡公分母是x（x+5）（x﹣5）．故選：D．【即學(xué)即練3】11．分式，，﹣的最簡公分母是（）A．（x2﹣x）（x+1） B．（x2﹣1）（x+1）2 C．x（x﹣1）（x+1）2 D．x（x+1）2【解答】解：∵x2﹣x＝x（x﹣1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+2x+1＝（x+1）2，∴分式，，﹣的最簡公分母是x（x﹣1）（x+1）2．故選：C．【即學(xué)即練4】12．通分：（1）與；（2）與．【解答】解：（1）∵與的最簡公分母是6y2，∴＝，＝；（2）∵與的最簡公分母是3a2b2，∴＝，＝．【即學(xué)即練5】13．通分：（1），，；（2），，．【解答】解：（1），，；（2），，．題型01最簡分式的判斷【典例1】下列各式中，最簡分式是（）A． B． C． D．【解答】解：A、A的分子分母有最大公約數(shù)17，不是最簡分式；B、B的分子、分母都不能再分解，且不能約分，是最簡分式；C、＝＝y(tǒng)﹣x；D、＝＝；故選：B．【典例2】下列分式是最簡分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，不是最簡分式，不符合題意；B、＝＝﹣x﹣y，不是最簡分式，不符合題意；C、，是最簡分式，符合題意；D、＝＝，不是最簡分式，不符合題意；故選：C．【典例3】下列分式是最簡分式的個數(shù)為（）①；②；③；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①是最簡分式；②是最簡分式；③，不是最簡分式；④，不是最簡分式；綜上分析可知，最簡分式有2個，故B正確．故選：B．【典例4】下列分式：，其中最簡分式的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：＝﹣2y，故不是最簡分式；＝＝﹣x﹣y，故不是最簡分式；是最簡分式；＝＝，故不是最簡分式；故最簡分式的個數(shù)有1個．故選：A．題型02公因式與公分母【典例1】要將化成最簡分式，應(yīng)將分子分母同時約去它們的公因式，這個公因式為（）A．xy B．5xy C．5xyz D．20xy【解答】解：＝＝，則將化成最簡分式，應(yīng)將分子分母同時約去的公因式為5xy，故選：B．【典例2】下列各式①；②；③；④；⑤中分子與分母沒有公因式的分式是③⑤．（填序號）．【解答】解：①公因式是：3；②公因式是：（x+y）；③沒有公因式；④公因式是：m．⑤沒有公因式；則沒有公因式的是③、⑤．故答案為：③⑤．【典例3】分式，的最簡公分母是（）A．x2﹣y2 B．x2+xy C．（x+y）（x﹣y） D．x（x+y）（x﹣y）【解答】解：＝，＝，∴分式，的最簡公分母是x（x+y）（x﹣y），故選：D．【典例4】分式、、的最簡公分母是（）A．（x+y）（x﹣y） B．（x+y）（x﹣y）（x2﹣y2） C．（x+y）（x2﹣y2） D．（x﹣y）（x2﹣y2）【解答】解：分式、、的最簡公分母是（x+y）（x﹣y），故選：A．【典例5】已知分式，a是這兩個分式中分母的公因式，b是這兩個分式的最簡公分母，且，則x的值為（）A． B． C． D．【解答】解：兩分式分母的公因式為a＝x+1，最簡公分母為b＝2（x+1）（x﹣1），∴＝＝＝3，即x＝．故選：B．題型03約分【典例1】約分的結(jié)果是（）A．3x B．3xy C．3xy2 D．3x2y【解答】解：，故選：B．【典例2】計算的結(jié)果為（）A． B． C． D．x﹣y【解答】解：＝＝，故選：A．【典例3】如果一個分式的分子或分母可以因式分解，且不可約分，那么我們稱這個分式為“和諧分式”．下列分式中，是“和諧分式”的是（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝x+y，故選項A不符合題意；的分子分母都不能分解因式，故選項B不符合題意；＝，故選項C符合題意；＝＝，故選項D不符合題意；故選：C．【典例4】，則？等于（）A．x+1 B．x﹣1 C．x+2 D．x﹣2【解答】解：∵，∴？等于x﹣1，故選：B．【典例5】小麗在化簡分式時，*部分不小心滴上了墨水，請你推測，*部分的式子應(yīng)該是（）A．x2﹣2x+1 B．x2+2x+1 C．x2﹣1 D．x2﹣2x﹣1【解答】解：∵，∴＝＝，故*部分的式子應(yīng)該是x2﹣2x+1．故選：A．題型04通分【典例1】分式的分母經(jīng)過通分后變成2（a﹣b）2（a+b），那么分子應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）【解答】解：＝＝．故選：C．【典例2】將分式與分式通分后，的分母變?yōu)椋?+a）（1﹣a）2，則的分子變?yōu)椋ǎ〢．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a【解答】解：兩分式的最簡公分母為（1+a）（1﹣a）2，∴＝＝，則的分子變?yōu)?﹣a．故選：A．【典例3】若將分式與通分，則分式的分子應(yīng)變?yōu)椋ǎ〢．6m2﹣6mn B．6m﹣6n C．2（m﹣n） D．2（m﹣n）（m+n）【解答】解：分式與的公分母是2（m+n）（m﹣n），則分式的分子應(yīng)變?yōu)?m（m﹣n）＝6m2﹣6mn．故選：A．【典例4】按照下列要求解答：（1）約分：；（2）通分：與．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝，＝．【典例5】通分，，．【解答】解：它們的最簡公分母是3（x﹣3）2（x+3），，，．1．下列分式中，最簡分式是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，則原分式不是最簡分式，故此選項不合題意；B、是最簡分式，故此選項符合題意；C、＝＝，則原分式不是最簡分式，故此選項不合題意；D、＝﹣＝﹣，則原分式不是最簡分式，故此選項不合題意；故選：B．2．下列說法正確的是（）A．代數(shù)式是分式 B．分式中x，y都擴(kuò)大3倍，分式的值不變 C．分式的值為0，則x的值為﹣3 D．分式是最簡分式【解答】解：A、代數(shù)式是整式，不是分式，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、分式中x，y都擴(kuò)大3倍后的值為＝3×，即分式的值擴(kuò)大3倍，故本選項說法錯誤，不符合題意；C、分式的值為0時，x2﹣9＝0且x﹣3≠0，解得x＝﹣3，故本選項說法正確，C符合題意；D、分式＝，不是最簡分式，故本選項說法錯誤，不符合題意．故選：C．3．下列結(jié)論中，正確的是（）A．x為任何實數(shù)時，分式總有意義 B．當(dāng)x＝±2時，分式的值為0 C．和的最簡公分母是6m（2x﹣y）（y﹣2x） D．將分式中的x，y的值都變?yōu)樵瓉淼?0倍，分式的值不變【解答】解：A、當(dāng)x＝0時，分式?jīng)]有意義，不符合題意；B、當(dāng)x＝2時，分式無意義，不符合題意；C、和的最簡公分母是6m（2x﹣y），不符合題意；D、將分式中的x，y的值都變?yōu)樵瓉淼?0倍，則＝，即分式的值不變，符合題意．故選：D．4．化簡分式的結(jié)果是（）A． B． C． D．【解答】解：＝＝．故選：C．5．若m為整數(shù)，則能使也為整數(shù)的m有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：∵＝＝，∴能使也為整數(shù)的m有：m＝﹣2或m＝﹣3或m＝0，故選：C．6．若，則x等于（）A．a(chǎn)+2 B．a(chǎn)﹣2 C．a(chǎn)﹣1 D．a(chǎn)+1【解答】解：等式左邊＝＝，∴x＝a﹣1，故選：C．7．把，，通分過程中，不正確的是（）A．最簡公分母是（x﹣2）（x+3）2 B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A、最簡公分母為最簡公分母是（x﹣2）（x+3）2，正確；B、＝，通分正確；C、＝，通分正確；D、通分不正確，分子應(yīng)為2×（x﹣2）＝2x﹣4；故選：D．8．把與通分后，的分母為（1﹣a）（a+1）2，則的分子變?yōu)椋ǎ〢．1﹣a B．1+a C．﹣1﹣a D．﹣1+a【解答】解：＝＝，故的分子為1+a．故選：B．9．約分：①＝，②＝．【解答】解：①＝；②＝．10．有分別寫有x，x+1，x﹣1的三張卡片，若從中任選一個作為分式的分子，使得分式為最簡分式，則應(yīng)選擇寫有x的卡片．【解答】解：∵＝＝，＝＝，∴，都不是最簡分式，無法化簡，是最簡分式，故使得分式為最簡分式，則應(yīng)選擇寫有x的卡片．故答案為：x．11．以下三個分式的最簡公分母是2x（x+1）（x﹣1）．【解答】解：∵2x+2＝2（x+1），x2+x＝x（x+1），x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），∴，，的最簡公分母是2x（x+1）（x﹣1），故答案為：2x（x+1）（x﹣1）．12．已知x為整數(shù)，則能使代數(shù)式的值為整數(shù)的x值之和為﹣4．【解答】解：＝＝＝x+1﹣3+＝x﹣2+，∵分式的值為整數(shù)，∴x+1＝±1，±2，∴x＝0，﹣2，1，﹣3．∴0+（﹣2）+1+（﹣3）＝﹣4．故答案為：﹣4．13．通分（1），（2），（3），（4），．【解答】解：（1）最簡公分母：12x3y2，＝，＝；（2）最簡公分母：2（a+3）（a﹣3），＝，＝；（3）最簡公分母：（a﹣3）2（a+3），＝，＝；（4）最簡公分母：2（a+3）（a﹣1），＝＝＝，＝＝﹣＝﹣．14．我們知道：分式和分?jǐn)?shù)有著很多的相似點．如類比分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)，等等．小學(xué)里，把分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)．類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如．（1）下列分式中，屬于真分式的是CA、B、C、D、（2）將假分式，化成整式和真分式的和的形式．【解答】解：（1）根據(jù)題意得﹣是真分式．故選C．（2）＝＝+