八年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考高分秘籍（人教版）：第12章全等三角形單元測(cè)試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）（解析版）

2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.5第12章全等三角形單元測(cè)試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）姓名：__________________班級(jí)：______________得分：_________________注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共25題，選擇10道、填空8道、解答7道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有四張小畫(huà)片，畫(huà)的都是用七巧板拼成的人物圖形，與另外三張與眾不同的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】分析題目信息，要得到與另外三張不同的卡片，即依據(jù)全等圖形的概念及旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行判斷．【詳解】解：可知將選項(xiàng)A中的圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，即可與選項(xiàng)B中的圖形重合，將選項(xiàng)B中的圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，即可得到選項(xiàng)D中的圖形，故A、B、D中的三個(gè)圖形全等，分析C中圖片人物，結(jié)合四個(gè)圖片可以看出C選項(xiàng)中圖形與其他三個(gè)不同．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形全等及變換，常見(jiàn)的圖形變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等幾種情況，掌握?qǐng)D形全等的概念是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江黑河·八年級(jí)期末）下列說(shuō)法不正確的是（）A．如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同;B．圖形全等，只與形狀，大小有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān);C．全等圖形的面積相等，面積相等的兩個(gè)圖形是全等圖形;D．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.【答案】C【分析】直接利用全等三角形的定義“能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形”與性質(zhì)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等”即可得．【詳解】解：A、如果兩個(gè)圖形全等，那么它們的形狀和大小一定相同，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；B、圖形全等，只與形狀，大小有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān)，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；C、全等圖形的面積相等，但面積相等的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形；選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；D、全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的定義與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的定義與性質(zhì)．3．（2022·陜西漢中·七年級(jí)期末）如圖，△OAB≌△OCD，若∠A=80°，OB=3，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．∠COD=80° B．CD=3 C．∠D=20° D．OD=3【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵△OAB≌△OCD，∠A=80°，OB=3，∴∠C=∠A=80°，OD=OB=3．所以選項(xiàng)A、B、C說(shuō)法錯(cuò)誤，選項(xiàng)D說(shuō)法正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市國(guó)飛中學(xué)八年級(jí)期末）下列條件中，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（

）A．一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等 B．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等C．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等 D．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法一一判斷即可．【詳解】解：A．一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等，符合AAS，能判定兩個(gè)三角形全等，不合題意；B．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等，符合SAS，，能判定兩個(gè)三角形全等，不合題意；C．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，要證兩三角形全等必須有邊的參與，所以不能判定兩個(gè)三角形全等，符合題意；D．斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，符合HL，能判定兩個(gè)三角形全等，不合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法，牢記SSS，ASA，AAS，SAS和HL五種判定方法．5．（2022·山西·運(yùn)城市鹽湖區(qū)教育科技局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）小華在復(fù)習(xí)用尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角的過(guò)程中，回顧了作圖的過(guò)程，他發(fā)現(xiàn)△OCD與△O'C'D'全等，請(qǐng)你說(shuō)明小華得到全等的依據(jù)是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【詳解】解：在ΔOCD和ΔOD=O∴Δ故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山西·運(yùn)城市鹽湖區(qū)教育科技局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）如圖，∠1=∠2，添加下列條件，不能使△ABC≌△BAD的是（

）A．∠CAB=∠DBA B．AC=BD C．∠C=∠D D．AD=BC【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法對(duì)各選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，∴當(dāng)添加∠CAB＝∠DAB時(shí)，根據(jù)“ASA”可證明△ABC≌△BAD，所以A選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加AC＝BD時(shí)，不能判斷△ABC≌△BAD，所以B選項(xiàng)符合題意；當(dāng)添加∠C＝∠D時(shí)，根據(jù)“AAS”可證明△ABC≌△BAD，所以C選項(xiàng)不符合題意；當(dāng)添加AD＝BC時(shí)，根據(jù)“SAS”可證明△ABC≌△BAD，所以D選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．7．（2022·河北保定·八年級(jí)期末）如圖，在∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON，再分別過(guò)點(diǎn)M、N作OA、OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫(huà)射線OP．可判定ΔOMP≌ΔONPA．ASA B．SAS C．AAS D．HL【答案】D【分析】由垂線的定義可知ΔOMP和ΔONP都是直角三角形，已知條件滿足斜邊相等和一組直角邊相等，因此依據(jù)HL判定【詳解】解：由題意可知，ΔOMP和Δ在ΔOMP和ΔOM=ONOP=OP滿足斜邊相等和一組直角邊相等，因此RtΔOMP≌故選D．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是能夠依據(jù)HL判定兩個(gè)直角三角形全等．8．（2021·山東·梁山縣第二中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，則AC長(zhǎng)是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=DE=4，再根據(jù)S△ABD【詳解】解：∵AD是∠BAC的平分線，且DE⊥AB,DF⊥AC,DE=4，∴DF=DE=4，∵S∴S∴12AB?DE+解得AC=6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．9．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，∠A=90°，△ABC的外角平分線CD與內(nèi)角平分線BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接AD，點(diǎn)E為BD中點(diǎn)．有下列結(jié)論：①∠BDC=45°；②∠CED=∠EDF；③12BD+CE=BC；④S△ADEA．①② B．③④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得∠DCF=45°+∠DBC，可求∠BDC=45°，故①正確，由余角的性質(zhì)可證∠CED=∠EDF，故②正確，由“AAS”可證ΔAEB?ΔHED，ΔDCF?ΔDCH，可得BE=BE，SΔ【詳解】解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC∵∠ACF=∠BAC+∠ABC，∴12∠ACF=1又∵∠DCF=∠DBC+∠BDC，∴∠BDC=45°，故①正確；∵DF⊥BC，∴∠DFB=∠BAC=90°，∴∠ABE+∠AEB=∠DBC+∠BDF，∴∠AEB=∠BDF，∴∠CED=∠EDF，故②正確；過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于H，如圖所示：∵DH⊥AC，∴∠DHE=∠BAE=90°，∵點(diǎn)E為BD中點(diǎn)，∴BE=DE，∴在ΔBCE中根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知BE+CE>BC，即1∵BE=DE，∴S在ΔAEB和Δ{∠BAE=∠DHE∴Δ∴S∴S在ΔDCF和Δ{∠DCF=∠DCH∴Δ∴S∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，外角的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在△ABC中P為BC上一點(diǎn)，PR⊥BC，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，AQ=PQ，PR=PS．下面三個(gè)結(jié)論：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP其中正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】A【分析】連接AP，可證AP是∠BAC的角平分線，再證明△APR≌△APS，得AS＝AR，由已知可得∠2＝∠3，得到∠1＝∠3，得QP∥AR，答案可得．【詳解】解：連接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，PS⊥AC，∴AP是∠BAC的平分線，∴∠1＝∠2，在△APR和△APS中:∠PRA=∠PSA=∴△APR≌△APS，∴AS＝AR，故①正確；又AQ＝PQ，∴∠2＝∠3，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴QP∥AR，故②正確；BC只是過(guò)點(diǎn)P，不能證明△BRP≌△CSP，③不成立．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的判定和平行線的判定；準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．第II卷（非選擇題）二、填空題(共0分)11．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC≌△CDA，∠BAC＝94°，∠B＝55°，則∠CAD＝______°．【答案】31【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求出∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到∠CAD＝∠ACB．【詳解】解：∵∠BAC＝94°，∠B＝55°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝31°，∵△ABC≌△CDA，∴∠CAD＝∠ACB＝31°，故答案為：31．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和以及全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．12．（2022·貴州·思南縣張家寨初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D，若PD＝3，則點(diǎn)P到邊OA的距離是___．【答案】3【分析】作PE⊥OA,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PE=PD即可得出答案．【詳解】過(guò)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，∵點(diǎn)P是∠AOB平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，∴PE＝PD，∵PD＝3，∴PE＝3，∴點(diǎn)P到邊OA的距離是3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵在于牢記角平分線的性質(zhì)并靈活運(yùn)用．13．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖是由4個(gè)相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，則∠1+∠2=______．【答案】180°##180度【分析】利用三角形全等，等量代換后計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得：AB=ED，BC=DC，∠D=∠B=90°，所以△ABC≌△EDC（SAS），∴∠BAC=∠1，所以∠1+∠2=180°．故答案為：180°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，兩個(gè)角的和，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．14．（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谑袑W(xué)八年級(jí)期末）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，在池塘外取AB的垂線BF上的兩點(diǎn)C，D，使BC=CD，再畫(huà)出BF的垂線DE，使E與A，C在一條直線上，此時(shí)測(cè)得DE=13米，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】13米##13m【分析】證明△ABC≌△EDC，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠ABC=∠CDE=90°，∵BC=CD，∠ACB=∠DCE，∴△ABC≌△EDC，∴AB=DE=13米．故答案為：13米【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹(shù)人外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，在△ABC和△DEF中，已知：AC＝DF，BE＝CF，要使△ABC≌△DEF，還需要的條件是__________________________．(只填寫一個(gè)條件)【答案】AB=DE（或∠ACB=∠DFE）【分析】根據(jù)SSS或SAS判定三角形全等需要滿足的條件即可求解．【詳解】解：∵BE＝CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，∴在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC=EF，滿足兩組對(duì)邊相等，∴要使△ABC≌△DEF，還需滿足的條件是：第三組對(duì)邊相等，或兩組對(duì)邊的夾角相等，∴還需要的條件是AB=DE或∠ACB=∠DFE．故答案為：AB=DE（或∠ACB=∠DFE）．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握SSS或SAS等三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．16．（2021·遼寧·大連市第十七中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC，∠ACB的平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D，E，CE、BD相交于點(diǎn)F，連接DE．下列結(jié)論：①AB=BC；②∠BFE=60°；③CE⊥AB；④BE+CD=BC．其中正確的結(jié)論是________．【答案】②④【分析】無(wú)法判定①是否正確；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及三角形的外角的性質(zhì)，即可判定②；無(wú)法判定③是否正確；在BC上截取BH=BE，證明兩對(duì)三角形全等：△EBF≌△HBF，△CDF≌△CHF，可判定④．【詳解】解：無(wú)法判定AB與BC是否相等，故①不正確；∵在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=又∵BD、CE分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠DBC=12∴∠BFE=故②正確；無(wú)法判定CE是否垂直于AB，故③不正確；④如圖：在BC上截取BH=BE

，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BF=BF，∴△EBF≌△HBF(SAS)，∴∠EFB=∠HFB=60°，∴∠CFH=180°?∠EFB?∠HFB=180°?60°?60°=60°，∴∠CFH=∠CFD=∠EFB=60°，∵CE平分∠ACB，∴∠DCF=∠HCF，又∵CF=CF，∴△CDF≌△CHF(ASA)，∴CD=CH，∵CH+BH=BC，∴BE+CD=BC，故④正確，故正確的有②④，故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義、三角形外角的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線面構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．17．（2022·山東省青島第六十三中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC于E，F(xiàn)，G分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，連接DF，DG，若DF=DG，△CDF和△DEG的面積分別為50和15，則△CDG的面積為_(kāi)________．【答案】20【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DH=DE，再根據(jù)HL定理證出Rt△CDH?Rt△CDE和Rt△DHF?Rt【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，∵CD是△ABC的角平分線，且DE⊥BC，∴DH=DE，在Rt△CDH和Rt△CDE中，∴Rt∴S同理可得：Rt△DHF?∴S∵△CDF和△DEG的面積分別為50和15，∴====50?15?15=20，即△CDG的面積為20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)、直角三角形全等的判定與性質(zhì)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．18．（2021·吉林·長(zhǎng)春市第一〇八學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，AB＝8，AC＝4，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，一動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2厘米/秒的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，且始終保持ED＝CB，當(dāng)點(diǎn)E離開(kāi)點(diǎn)A后，運(yùn)動(dòng)______秒時(shí)，△DEB與△BCA全等．【答案】2，6，8【分析】設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△DEB≌△BCA；由斜邊ED=CB，分類討論BE=AC或BE=AB時(shí)的情況，求出t的值即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)E經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△DEB≌△BCA，此時(shí)AE=2t，分情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，BE=8-2t=4，∴t=2；（2）當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，①BE=AC時(shí)，2t-8=4，∴t=6；②BE=AB時(shí)，2t-8=8，∴t=8．故答案為：2，6，8．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定方法；分類討論各種情況下的三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題(共0分)19．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，求證：△ABC≌△DEF；【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)BF=CE得到BC=EF，然后利用SSS判定定理證明△ABC≌△DEF即可．【詳解】證明：∵BE＝CF，∴BF+CF＝CE+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，AB=DEAC=DF∴△ABC≌△DEF（SSS）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2021·廣西·柳州二十五中八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)作∠CAB的角平分線，交BC于D點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；(2)若CD=5，AB=18，求△ABD的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)45【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理求出DE，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解．（1）解：如圖，射線AD即為所求；；（2）解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，，又∠C=90°，AD平分∠BAC，∴DE=DC，又CD=5，∴DE=5，∵AB=18，∴S△ABD【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．21．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一直線上，AB⊥BC于點(diǎn)B，△DEF≌△ABC，且BC＝6，CE＝3(1)求CF的長(zhǎng)；(2)判斷DE與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)9(2)DE⊥EF，見(jiàn)解析【解析】（1）解：∵△DEF≌△ABC，∴BC＝EF，∵BC＝6，CE＝3，∴EF＝6，∴CF＝EF+EC＝6+3＝9；（2）DE⊥EF，理由：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵△DEF≌△ABC，∴∠ABC＝∠DEF＝90°，∴DE⊥EF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等得性質(zhì)，熟練掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．22．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一點(diǎn)，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F．(1)求證：△BDE≌△ADC；(2)求證：BE⊥AC；(3)求EF與AE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)EF＝35，AE【分析】（1）利用直角三角形的判定定理證明即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明∠EBD＝∠CAD，再利用對(duì)頂角相等證明∠BED＝∠AEF，進(jìn)一步可證明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；（3）利用三角形面積求出BC＝7，進(jìn)一步求出CD＝3，利用Rt△BDE≌Rt△ADC，證明ED＝CD＝3，進(jìn)一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面積求出BF＝285，即可求出EF＝BF－BE＝285－5＝（1）證明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=ACBD=AD∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)．（2）證明：∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．（3）解：∵S△ABC＝12AD?BC＝14，AD∴BC＝7，∵BD＝4，∴CD＝3，∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴ED＝CD＝3，∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，∵S△ABC＝12BF?AC＝14，BE＝AC∴BF＝285∴EF＝BF－BE＝285－5＝3【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，對(duì)頂角相等，垂直的定義，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定及性質(zhì)．23．（2021·山東德州·八年級(jí)期中）證明：如果兩個(gè)三角形有兩條邊和其中一條邊上的高分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等．請(qǐng)根據(jù)圖形，用符號(hào)語(yǔ)言表示出已知和求證，并寫出證明過(guò)程．【答案】見(jiàn)解析【分析】先證RtΔADB≌RtΔEHF(HL)，從而得∠B=∠F【詳解】已知：在ΔABC和ΔEFG中，AB=EF，BC=FG，AD、EH分別是BC、FG邊上的高，且求證：ΔABC證明：∵AD、EH分別是BC、FG邊上的高∴∠ADB=∠EHF=在RtΔADB和RtΔ∵AB=EF∴∴∠B=∠F在ΔABC和Δ∵AB=EF∴Δ【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等證明，掌握三角形的全等證明定理是解題的關(guān)鍵．24．（2022·貴州·思南縣張家寨初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀與思考：請(qǐng)閱讀小敏同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，并完成相應(yīng)的任務(wù)：×年×月×日星期日沒(méi)有量角器或圓規(guī)也能作出角平分線今天，我在一本數(shù)學(xué)雜志上看到下面材料：杜師傅有一塊木板，他已經(jīng)在木板上畫(huà)了∠AOB．如圖1，根據(jù)木板的情況，需要畫(huà)出∠AOB的平分線，用鋸子進(jìn)行裁割，然而手頭沒(méi)有量角器（或圓規(guī)），僅有兩個(gè)全等的直角三角板，怎么辦？方法如下：用兩個(gè)全等的直角三角板按照如圖2所示的方式放置在∠AOB的兩邊上，其中直角三角板的短直角邊分別在∠AOB的兩邊上，利用刻度尺可使OM＝ON，兩個(gè)直角三角板的長(zhǎng)直角邊交于點(diǎn)P，連接OP，則OP為∠AOB的平分線．任務(wù)：(1)根據(jù)方法中的操作過(guò)程，求證：OP為∠AOB的平分線．(2)現(xiàn)因缺少工具原因，只有直角尺可以用（直角尺兩個(gè)方向均有刻度），請(qǐng)你根據(jù)圖2的思想，寫出圖3畫(huà)∠AOB平分線OC的步驟，并說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)畫(huà)∠AOB平分線OC的步驟見(jiàn)解析；理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)“HL”證明Rt△POM≌Rt△PON，得出∠POM=∠PON，即可證明結(jié)論；（2）利用刻度尺分別在∠AOB的兩邊上確定M、N，使OM=ON，然后把角尺的兩邊相同的刻度線分別與點(diǎn)M、N重合，標(biāo)記出角尺的頂點(diǎn)的位置C，作出射線OC即可；根據(jù)“SSS”證明△COM≌△CON，得出∠COM=∠CON，即可證明結(jié)論．（1）證明：根據(jù)操作可知：∠PMO=∠PNO=90°，OM=ON，∵在Rt△POM和Rt△PON中OM=ONOP=OP∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），∴∠POM=∠PON，∴OP為∠AOB的平分線．（2）解：畫(huà)∠AOB平分線OC的步驟如下：利用刻度尺分別在∠AOB的兩邊上確定M、N，使OM=ON，然后把角尺的兩邊相同的刻度線分別與點(diǎn)M、N重合，標(biāo)記出角尺的頂點(diǎn)的位置C，作出射線OC即可；理由如下：由作圖可知，OM=ON，CM=CN，∵在△COM和△CON中OM=ONCM=CN∴△COM≌△CON（SSS），∴∠COM=∠CON，∴OC平分∠AOB．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵．25．（2022·江蘇蘇