新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.4圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教師用書(shū)含答案新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

2.4圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)任務(wù)1．會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征．(數(shù)學(xué)抽象)2．能根據(jù)所給條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3．能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)月亮，是中國(guó)人心目中的宇宙精靈，古代人們?cè)谏钪谐绨?、敬畏月亮，在文學(xué)作品中也大量描寫(xiě)、吟詠月亮．有詩(shī)道：“明月四時(shí)有，何事喜中秋？瑤臺(tái)寶鑒，宜掛玉宇最高頭；放出白豪千丈，散作太虛一色．萬(wàn)象入吾眸，星斗避光彩，風(fēng)露助清幽．”如果把天空看作一個(gè)平面，在上面建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，那么月亮的坐標(biāo)方程如何表示？知識(shí)點(diǎn)1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)稱(chēng)為圓的圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為圓的半徑．用集合表示為P＝{M||MA|＝r}．(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個(gè)條件：圓心坐標(biāo)與半徑．相同的圓，建立坐標(biāo)系不同時(shí)，圓心坐標(biāo)不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．(1)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2一定是圓的方程嗎？(2)若方程表示圓，m滿足什么條件？此時(shí)圓的圓心和半徑分別是什么？提示：(1)當(dāng)m＝0時(shí)，方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝m2表示點(diǎn)(－a，－b)．(2)當(dāng)m≠0時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓的圓心為(－a，－b)，半徑為|m|.知識(shí)點(diǎn)2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點(diǎn)P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝x0位置關(guān)系d與r的大小點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點(diǎn)在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點(diǎn)在圓內(nèi)d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r21．點(diǎn)P(－2，－2)和圓x2＋y2＝4的位置關(guān)系是()A．在圓上 B．在圓外C．在圓內(nèi) D．以上都不對(duì)B[∵(－2)2＋(－2)2＝8>4，∴點(diǎn)P(－2，－2)在圓外，故選B．]2．若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋5)2＝3，則此圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)_______，半徑為_(kāi)_______．[答案](1，－5)33．圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是____________．[答案](x－1)2＋(y＋2)2＝9類(lèi)型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】(源自北師大版教材)求經(jīng)過(guò)A(1，3)，B(4，2)兩點(diǎn)，且圓心C在直線l：x＋y－3＝0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．[解]法一：設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由圓經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且圓心C在直線l上，可得方程組(1①－②，得(1－a)2＋(3－b)2＝(4－a)2＋(2－b)2，④化簡(jiǎn)、整理，得3a－b－5＝0.⑤聯(lián)立③⑤解得a=2，b=1.代入①，得故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5(如圖1)．法二：如圖2，連接AB，作AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，則圓心C是線段AB的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)．線段AB的垂直平分線的方程為3x－y－5＝0.聯(lián)立線段AB的垂直平分線方程和直線l的方程得方程組3解得x=2，y=1，即圓心C又該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，則r2＝(1－2)2＋(3－1)2＝5，故所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.[母題探究]如何求經(jīng)過(guò)A(1，3)，B(4，2)兩點(diǎn)，周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？[解]當(dāng)線段AB為圓的直徑時(shí)，過(guò)點(diǎn)A、B的圓的半徑最小，從而周長(zhǎng)最小，即所求圓以線段AB的中點(diǎn)52，12|AB|＝1210為半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-5求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程只需確定圓心C(a，b)和半徑r，其求解方法：一是幾何法，常用到中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間距離公式，有時(shí)還用到平面幾何知識(shí)，如“弦的中垂線必過(guò)圓心”“兩條弦的中垂線交點(diǎn)必為圓心”等；二是待定系數(shù)法，由三個(gè)獨(dú)立的條件建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程，它是求圓的方程的常用方法．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．求滿足下列條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)圓心在y軸上，半徑長(zhǎng)為5，且過(guò)點(diǎn)(3，－4)；(2)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，0)，B(3，0)，C(3，4)，求△ABC的外接圓方程．[解](1)設(shè)圓心C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，整理得(b＋4)2＝16，解得b＝0或b＝－8.∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(2)法一：(待定系數(shù)法)設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則(1解得a所以外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.法二：(幾何法)易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圓心是斜邊AC的中點(diǎn)(2，2)，半徑是斜邊長(zhǎng)的一半，即r＝5，所以外接圓的方程為(x－2)2＋(y－2)2＝5.類(lèi)型2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】已知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若點(diǎn)M(6，9)在圓上，求a的值；(2)已知點(diǎn)P(3，3)和點(diǎn)Q(5，3)，線段PQ(不含端點(diǎn))與圓N有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．[解](1)因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上，所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，又a>0，可得a＝10.(2)由兩點(diǎn)間距離公式可得：|PN|＝3-52|QN|＝5-5因?yàn)榫€段PQ與圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即P，Q兩點(diǎn)一個(gè)在圓N內(nèi)，另一個(gè)在圓N外，又3<13，所以3<a<13.即a的取值范圍是(3，13)．試總結(jié)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法．提示：(1)幾何法：判斷點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小；(2)代數(shù)法：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程左邊，判斷與r2的大?。甗跟進(jìn)訓(xùn)練]2．(1)點(diǎn)P(m2，5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．點(diǎn)P在圓內(nèi) B．點(diǎn)P在圓外C．點(diǎn)P在圓上 D．不確定(2)已知點(diǎn)M(5a＋1，a)在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為_(kāi)_______．(1)B(2)[0，1)[(1)由(m2)2＋52＝m4＋25>24，得點(diǎn)P在圓外．(2)由題意知a即a≥0，26a<1．圓心為(1，1)，且過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y－1)2＝2D[由圓過(guò)原點(diǎn)知r＝1-02+1-02＝2，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－1)2．點(diǎn)P(1，3)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是()A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．不確定B[由12＋32<24知，點(diǎn)P(1，3)在圓內(nèi)，故選B．]3．(2022·哈工大附中期末)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(－4，－5)，B(6，－1)，且以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．(x－1)2＋(y＋3)2＝29[設(shè)P(x，y)為圓上任意一點(diǎn)，則由PA·PB＝0知，(x＋4)(x－6)＋(y＋5)(y＋1)＝∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋3)2＝29．]4．若圓(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相異兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線kx＋2y－4＝0對(duì)稱(chēng)，則k的值為_(kāi)_______．2[圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，過(guò)圓心的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸，已知圓的圓心為(－1，3)，由題設(shè)知，直線kx＋2y－4＝0過(guò)圓心，則k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2．]回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問(wèn)題：1．試寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．提示：圓心為(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．如何求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？提示：確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a，b，r的方程組求a，b，r